现代控制理论(刘豹版)第三章部分习题及解答

例3-3 有系统如下，判断其是否能控。

u x a a a X ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡---=10010
001032
1
解：由A 阵为友阵，设其特征根分别为321,,λλλ，有 （1）若321,,λλλ互异，其变换阵为一个范德蒙德矩阵：
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=2322
21
32
1
11
1
λλλλλλT 由3210λλλ==⇒=T ，与题设矛盾，故0≠T 从而得：
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=-1231231
*
*
***
*
λλλλλλT ，所以⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=-1231231λλλλλλb T 各行均不为0
因此系统是能控的。

（2）若3121,λλλλ≠=，则有：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2
32
21
31
21
101
λλλλλT 由0)(2
13≠-=λλT ，得⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1****1*
*1311λλT T ， 故⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=-11311
λλb T 各行均不为0，因此系统是能控的。

（3）若321λλλ==，则有：
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=2201001
2
211
λλλT ，从而得⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣
⎡--=-1201001
2
2111
λλλT 故⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=-1001
b T 最后一行元素不为0，因此系统是可控的。

3-6 已知系统的微分方程
试写出其对偶系统的状态空间表达式,及其传递函数。

u y y y
y 66116=+++
解：系统的传递函数为
状态空间表达式为
∑1
其对偶系统的状态空间表达式为
∑2
由系统
∑2中，⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡+++=--**6******61161)
(23
12
S s s A sI
故其传递函数为=
-=-21
222)()(b A sI c s W 6
1166
23+++S s s
3-7 【习题3-7 】已知能控系统的状态方程A ，b 为
试将该状态空间表达式化为能控标准型 解：
，所以系统是能控的。

特征多项式： 即：
系统能控Ⅰ型：
从而得 []
x y u x x 0061006116100010
=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= 6
1166
)()()(23+++==s s s s U s Y s W []x
y u
x x 1000066101101600=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=113421b A []n rankM Ab b M
==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-==27111105
432
12+-=---=-λλλλλA I []⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=1216150117111011
1a b Ab T c ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡----=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=--62118112161
11c T 10,501=-=a a
系统能控Ⅱ型：
3-8 已知能观系统的A ，b ，c 为
试将该状态空间表达式化为能观标准型 解：
，所以系统是能观的。

特征多项式 即：2.201=-=a a 系统能观Ⅰ型：
从而得
系统能控观Ⅱ型：
从而得 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-51010~1111c c c AT T A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡===-10~111b T b c c []
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==71112Ab b T c ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-1117811
2c T ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==-51100~2122c c c AT T A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-01~122b T b c c []
11121111-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=c b A n rankN cA c N ==⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2201122
1
11
12+-=---=-λλλλλA I ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-101221201111o T ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-20111
1N T o [][]
0110122111~11=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--==o o CT C ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-21122011~111b T b o o ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-2210~11011
o o AT T A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-110211201021101112c cA a T o ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=2101212o T
3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。

[] x
100y u 210x 311032010 =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=X
解：。

不能变换为能控标准型，系统为不能控系统，32<=rankM
变换为能观标准型。

，系统为能观系统，能3=rankN
3-11 试将下列系统按能控性进行分解
（1）[]111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A
解：
[
]
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--==9310004102b A Ab b
M rankM=2<3，系统不是完全能控的。

构造奇异变换阵c R ： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c R 从而得⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******
c R
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==-2120~21
022o o AT T A ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-==-14~1
22b T b o o []
10~
22==o o CT C [
]
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---==11527313102b A Ab
b
M ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=971311100
2CA CA C N
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==-100241230~1c c AR R A ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==-001~1b R b c []121~-==c cR C
解：[
]
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--==1010002102b A Ab b
M rankM=2<3，系统不是完全能控的。

构造奇异变换阵c R ： ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001100010c R 从而得⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******
c R
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----==-200221410~1c c AR R A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==-001
1b R b c []111~-==c CR C
3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解
（1） []111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A
解： ⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5942311112CA CA C N rank N=2<3，该系统是不完全能观的
构造非奇异变换矩阵1
0R -，有
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-1002311111
0R 从而得⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-----=200111113210R
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=041020122)2(A []111-=C ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100b u x x bu R x x AR R x x o o o o o o o o o ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12112204301011 []⎥⎦
⎤⎢⎣⎡==o o x x cR y 000
1
（2） []111,100,041020122-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A
解： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=121
1011112CA CA C N rank N=2<3，所以系统是不完全能观的
构造非奇异变换矩阵1
0R -，有
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1001011111
0R 从而得⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡----=1000111100R
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---==-134032010~010AR R A ⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==-111~1
0b R b []001~0==CR C。