《现代控制理论》课后习题答案5

u
2 x
-
∫
x2
-
1 x
∫
2
x1
（2）其单位阶跃响应曲线如图所示
Step Response 0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 Amplitude 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 System: g Rise Time (sec): 2.97 System: g Settling Time (sec): 4.6
5.11 已知系统状态方程
⎡1 1⎤ ⎡1⎤ =⎢ x x+⎢ ⎥u ⎥ ⎣0 1⎦ ⎣1⎦
计算状态反馈增益矩阵，使得闭环极点为 −2 和 −3 ，并画出反馈系统的结构图。 答：由 A = ⎢ ⎥ ， B = ⎢1⎥ ，得能控性矩阵为 ⎣0 1⎦ ⎣ ⎦
⎡1 1⎤
⎡1⎤
Γ c ( A, B ) = [ B
= ( A − BK ) x + Bv x
y = Cx
开环系统 S 0 的能控性矩阵为
Γ c [ A, B ] = [ B
闭环系统 S K 的能控性矩阵为
AB " An −1 B ]
Γ cK [( A − BK ), B ] = [ B ( A − BK ) B " ( A − BK ) n −1 B ]
C ⎤ = ⎡3 1⎤ Γ0 ⎡ A ⎣ ⎦ ⎢0 0⎥ ⎣ ⎦
该矩阵不是满秩的， 故系统是不能观的。 这个例子说明了状态反馈的引入使得原来能观的系 统变得不能观了。 5.7 证明定理 5.1.2。 证明：先证能控性。对任一输出反馈系统都可对应地构造等价的一个状态反馈系统。由定理 5.1.1 知，状态反馈不改变系统的能控性，因而，输出反馈也不改变系统的能控性。 设被控系统 S 0 的状态空间模型为：
由于能观性矩阵满秩，故系统是能观的。 设 K = [ k1
k2 ] ，引入状态反馈 u = − Kx + v 后，闭环系统的状态矩阵是
1 ⎤ = A − BK = ⎡ 0 A ⎢ −2 − k −3 − k ⎥ ⎣ 1 2⎦
闭环系统的能观性矩阵为
取 K = [ −2
0] ，则可得
1 ⎤ C ⎤ = ⎡ C ⎤ = ⎡ 3 A Γ0 ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ CA ⎣ ⎦ ⎣ −2 − k1 −k2 ⎦
1⎤ ⎡ 0 ⎡0 ⎤ =⎢ x x + ⎢ ⎥u ⎥ ⎣ −2 −3⎦ ⎣1 ⎦ y = [3 1] x
可以通过选择适当的状态反馈增益矩阵来改变闭环系统的能观性。 答： 对于用能控性检验矩阵的方法证明状态反馈不改变系统的能控性， 在题 5.4 中已经证明。 开环系统的能观性矩阵为
⎡ C ⎤ ⎡ 3 1⎤ Γ 0 [ A, C ] = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣CA⎦ ⎣ −2 0 ⎦
(λ − λ1 )(λ − λ2 ) " (λ − λn ) = λ n + bn −1λ n −1 + " + b1λ + b0
3、系统矩阵 A − BK 的特征多项式
det[λ I − ( A − BK )] = λ n + an −1λ n −1 + " + a1λ + a0
4、两个多项式相等即等号两边 λ 同次幂的系数相等，导出关于 K 的分量 k1 ," kn 的一 个线性方程组，求解该线性方程组，可得要求的增益矩阵 K 。 （2）变换法： 1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第 2 步。 2、利用系统矩阵 A 的特征多项式
u
B
A
x
C
y
K
具有输出反馈 u = − Fy + v 的闭环系统状态空间模型为
= ( A − BFC ) x + Bv x
y = Cx
相应的反馈控制系统结构图为
v
u
B
A
x
C
y
F
5.3 状态反馈对系统的能控性和能观性有什么影响？输出反馈对系统能控性和能观性的影 响如何？ 答：状态反馈不改变系统的能控性，但不一定能保持系统的能观性。输出反馈不改变系统的 能控性和能观性。 5.4 通过检验能控性矩阵是否满秩的方法证明定理 5.1.1。 答：加入状态反馈后得到闭环系统 S K ，其状态空间模型为
因此，状态反馈增益矩阵是
K = [5 7 ] T = [12 −5]
结构图为
2 x
x2
1 x
x1
5.12 给定系统
1⎤ ⎡ −2 ⎡0⎤ =⎢ x x+ ⎢ ⎥u ⎥ ⎣ 0 −1⎦ ⎣1⎦
（1） 画出模拟结构图； （2） 画出单位阶跃响应曲线。若动态性能不满足要求，可否任意配置闭环系统极点？ （3） 若指定闭环极点为－3 和－3，求状态反馈增益矩阵，并画出单位阶跃响应曲线。 答： （1）模拟结构图
4、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为
(λ − λ1 )(λ − λ2 ) " (λ − λn ) = λ n + bn −1λ n −1 + " + b1λ + b0
5、确定极点配置状态反馈增益矩阵 K ：
K = [b0 − a0
b1 − a1 " bn −2 − an −2
bn −1 − an −1 ] T
由于 ( A − BK ) B = AB − BKB ( A − BK )2 B = ( A2 − ABK − BKA + BKBK ) B = A2 B − AB( KB) − B( KAB − KBKB)
# 以此类推， ( A − BK ) B 总可以写成 Am B, Am −1 B, AB, B 的线性组合。因此，存在一个适当
rankQoF ≤ rankQo
由于 S o 又可以看成为 S F 的输出反馈系统，因而有
rankQo ≤ rankQoF
由以上两式可得
rankQo = rankQoF
因此，系统 S F 完全能观测等价于 S 0 完全能观测。 5.8 采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是什么？ 答：采用状态反馈实现闭环极点任意配置的条件是，开环系统是能控的。 5.9 采用状态反馈实现闭环极点任意配置，其状态反馈增益矩阵 K 的行数和列数如何确 定，计算方法有几种？ 答：状态反馈增益矩阵 K 的行数是输入变量的个数，列数是状态变量的个数。计算方法有： 1.直接法；2.变换法；3. 利用爱克曼公式求解。 5.10 为什么要进行极点配置？解决系统极点配置问题的思路和步骤是什么？
相应的闭环系统结构图为
v
uBLeabharlann AxCy
K
闭环系统结构图 5.2 画出状态反馈和输出反馈的结构图，并写出状态反馈和输出反馈的闭环系统状态空间 模型。 答：具有状态反馈 u = − Kx + v 的闭环系统状态空间模型为
= ( A − BK ) x + Bv x
y = Cx
相应的反馈控制系统结构图为
v
= Ax + Bu x
y = Cx
引入状态反馈后，闭环系统 S F 的状态空间模型为：
= ( A − BFC ) x + Bv x y = Cx
系统 S 0 和 S F 的能观矩阵分别为
C ⎡ C ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ CA ⎥ ⎢ C ( A − BFC ) ⎥ ⎥ ， Q0 F = ⎢ ⎥ Q0 = ⎢ ⎢ # ⎥ ⎢ ⎥ # ⎢ n −1 ⎥ ⎢ n −1 ⎥ ⎣C ( A − BFC ) ⎦ ⎣CA ⎦
答：对一个线性时不变系统，其稳定性和动态性能主要是由系统极点所决定，闭环极点在复 平面的适当位置上就可以保证系统具有一定的性能。因此，为了得到期望的系统性能，可以 通过改变闭环系统极点位置的方式来实现，这就是极点配置的思想。 解决极点配置问题的思路如下： 1、要改变系统的行为，自然想到所考虑的系统应该是能控的。因此，从能控系统入手 来分析系统的求解问题； 2、一般的能控系统也是很复杂的，为了求解问题，从最简单的能控系统开始，即从三 阶的能控标准型模型出发分析极点配置问题的解，进而推广到 n 阶能控标准型模型； 3、对一般的能控系统，设法将它化成等价的能控标准型模型，进而利用第 2 步的方法 得到极点配置问题的解。 解决极点配置问题的具体方法和步骤如下： （1）直接法： 1、检验系统的能控性。如果系统是能控的，则继续第 2 步。 2、利用给定的期望闭环极点，可得到期望的闭环特征多项式为
故状态变换矩阵为：
, B ](Γ [ A, B ]) −1 = − ⎡0 1 ⎤ ⎡ 1 −2 ⎤ = ⎡1 −1⎤ T = Γc [ A c ⎢1 2 ⎥ ⎢ −1 1 ⎥ ⎢1 0 ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
根据给定的期望闭环极点，可得闭环特征多项式为：
(λ − λ1 )(λ − λ2 ) = (λ + 2)(λ + 3) = λ 2 + 5λ + 6
《现代控制理论》第 5 章习题解答
= Ax + Bu, y = Cx ， 画出加入状态反馈后的系统结构图， 5.1 已知系统的状态空间模型为 x
写出其状态空间表达式。 答：具有状态反馈 u = − Kx + v 的闭环系统状态空间模型为：
= ( A − BK ) x + Bv x y = Cx
⎡1 2 ⎤ AB ] = ⎢ ⎥ ⎣1 1 ⎦ det(Γ c ( A, B)) = −1 ≠ 0
所以系统是能控的。 由于
⎡λ − 1 −1 ⎤ 2 det(λ I − A) = ⎢ ⎥ = λ − 2λ + 1 0 λ − 1 ⎣ ⎦
系统的能控标准形矩阵对是
= ⎡ 0 1⎤ ， B = ⎡0⎤ A ⎢ −1 2 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
T T T 可 以 看 出 ， C ( A − BFC ) 每 个 行 均 可 表 为 ⎡ ⎣C , A C ⎤ ⎦ 各行的线性组合，同理有 T T T T 2 T C ( A − BFC ) 2 是 ⎡ ⎦ 各行的线性组合，如此等等。据此可以导出： ⎣C , A C , ( A ) C ⎤ T T