优化解题策略,提升运算素养——以2022年高考数学全国乙卷理科第20题为例
数学说题 全国卷ii理科数学第20题
02
解题思路
审题
明确问题
首先，仔细阅读题目，明确问题的要求和已知条件。确保对题目的理解准确无误 ，这是解题的第一步。
寻找解题方法
策略选择
在理解了题目之后，需要寻找合适的解题方法。这可能涉及到对数学知识的综合运用，以及对问题结构的深入分析。选择正 确的解题方法对于解决问题至关重要。
解题步骤
实施解答
会影响最终结果，因此需要认真核对，确保答案的准确性。
易错点分析
对题目理解不准确
有些学生在解题时，可能会对题 目的要求和条件理解不准确，导 致解题方向错误。因此，在解题 前需要认真阅读题目，准确理解
题意。
计算错误
在解题过程中，有些学生可能会 因为粗心大意而出现计算错误。 为了避免这种情况，需要加强计 算能力的训练，提高计算的准确
数学说题 全国卷ii理 科数学第20题
汇报人： 202X-01-04
目录
• 题目概述 • 解题思路 • 解题方法 • 题目变式 • 总结与反思
01
题目概述
题目来源
01
题目选自《高中数学》必修第一 册，属于数列章节的题目。
02
该题目是高考数学全国卷ii理科数 学的压轴题，难度较大。
题目难度
难度等级
加强实践训练
在数学教学中，应该加强实践训练 ，让学生多做习题、多思考问题、 多参与讨论，提高数学应用能力和 解决问题的能力。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
行解答。在解题过程中，要保持思路清晰，不要被复杂的数学表达式所
迷惑。
02
善于运用数学定理和公式
在解题过程中，要善于运用所学的数学定理和公式，简化计算过程，提
多角度探究圆锥曲线中的定值问题——以２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题为例
二次曲线系方程可设为llBD ＋λ
lAB lAD ＝０．
设直线 AP :
x＝my－２,
AQ :
x＝ny－２,
PQ :
y＝
易 知 椭 圆 在 点 A 处 的 切 线 方 程 为x＝
k(
x＋２)＋３．
,
由引理可知过点
－２
A,
P,
Q 的二次曲线方程可设为
(
(
(
x＋２)
kx－y＋２
k＋３)＋λ(
x－my＋２)
９＋４
k２
１
１
２
－８
k２ ＋１８
３６
k２
,
．
yQ ＝
９＋４
k２
９＋４
k２
２
２
设 直线 PQ 方程为y＝k(
x＋２)＋３,将点 P ,
Q的
同理,可得 xQ ＝
２
坐标分别代入直线方程,可得
１２
k２
６
k１ ＋３６k＋２７＝０,
１ －３
{
１２
k２
６
k２ ＋３６k＋２７＝０,
２ －３
即 k１ ,
k２ 是方程 １２x２ －３６x＋３６k＋２７＝０ 的 两 个 根,
x１ ,
a＞
y１ )在 椭 圆 ２ ＋ ２ ＝１(
a b
b＞０)外,过点 P 可以作两条直线与椭圆相切,连 接 切
点 A,
B ,称线段 AB 为 切 点 弦,则 切 点 弦 所 在 直 线 的
x１x y１y
方程为 ２ ＋ ２ ＝１．
我们将 点 P 和 切 点 弦 分 别 称 为
a
b
椭圆的一对极点与极线 [１]．
提高解析几何数学运算能力的策略——以20_23年高考全国乙卷理数第20题为例
提高解析几何数学运算能力的策略——以2023年高考全国乙卷理数第20题为例ʏ河南省郑州市第一〇一中学 冯连福解析几何数学运算能力是指在明晰运算对象(直线㊁圆㊁圆锥曲线等)的基础上,依据运算法则解决数学问题的能力㊂同学们在解析几何数学运算中存在的诸多问题,要通过数学运算专项训练,培养良好的数学运算习惯,增强数学运算的信心,提高数学运算的正确率,达到 敢计算 愿计算 会计算 的效果㊂下面以2023年高考全国乙卷理数第20题为例,说明提高解析几何数学运算能力的策略㊂题目:已知椭圆C :y2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率为53,点A (-2,0)在椭圆C 上㊂(1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(-2,3)的直线交椭圆C 于P ,Q 两点,直线A P ,A Q 与y 轴的交点分别为M ,N ,证明:线段MN 的中点为定点㊂解析:(1)由题意得b =2,c a =53㊂又a 2=b 2+c 2,解得a =3,b =2㊂椭圆C 的标准方程为y 29+x 24=1㊂(2)求解定点问题的常用方法是先猜后证㊂若直线P Q 的斜率趋于零,则点M ㊁N 趋于点(0,3),故MN 中点过定点(0,3),下面证明这个结论㊂策略一 点斜式正设㊂先用点斜式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3,即y =k x +2k +3,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立y =k x +2k +3,9x 2+4y 2-36=0,得(9+4k 2)x 2+(16k 2+24k )x +(16k 2+48k )=0㊂因此,x 1+x 2=-16k 2+24k4k 2+9,x 1x 2=16k 2+48k9+4k2㊂易知直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),令x =0,则M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y2x 2+2 ㊂设MN 的中点为0,y M+yN2 ㊂所以y M +y N 2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=(k x 1+2k +3)(x 2+2)+(k x 2+2k +3)(x 1+2)(x 1+2)(x 2+2)=2k x 1x 2+(4k +3)(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂MN 的中点是定点(0,3)㊂策略二 点斜式反设㊂先用点斜式反设直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,此策略计算量较策略一少一些㊂设直线P Q 的方程为x +2=k (y -3),P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂联立x +2=k (y -3),y 29+x 24=1,得(9k 2+4)y 2-18(3k +2)k y +81k 2+108k =0㊂因此,y 1+y 2=18k (3k +2)9k 2+4,y 1㊃y 2=81k 2+108k9k 2+4㊂因为直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),所以y M =2y 1x 1+2㊂同理,y N =2y 2x 2+2㊂故y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1k (y 1-3)+y 2k (y 2-3)=1k ㊃y 1y 1-3+y 2y 2-3=1k ㊃2y 1y 2-3(y 1+y 2)y 1y 2-3(y 1+y 2)+9=1k ㊃54㊃(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)27(3k 2+4k )-3㊃18k ㊃(3k +2)+9(9k 2+4)=1k ㊃108k36=3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略三 斜截式正设㊂先用斜截式设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立,利用韦达定理写出表达式,最后代入m =2k +3化简㊂此策略数学运算量较前两种少㊂设直线P Q 的方程为y =k x +m ,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (0,y M ),N (0,y N )㊂因为P Q 过(-2,3),所以m =2k +3㊂联立y =k x +m ,4y 2+9x 2-36=0,得(4k 2+9)x 2+8k m x +4m 2-36=0㊂故x 1+x 2=-8k m 4k 2+9,x 1x 2=4m 2-364k 2+9㊂则y M +y N2=y 1x 1+2+y 2x 2+2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4㊂(思路一)直接代入韦达定理因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+8k +12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k (4m 2-36)+(2k +m )(-8k m )+4m (4k 2+9)4m 2-36+2(-8k m )+4(4k 2+9)=8k m 2-72k -16k 2m -8k m 2+16m k 2+36m4m 2-16k m +16k2=36(m -2k )4(m -2k )2=9m -2k =3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂(思路二)先分离常数再代入韦达定理,计算量会少一些㊂因此,y M +y N2=2k x 1x 2+(2k +m )(x 1+x 2)+4mx 1x 2+2(x 1+x 2)+4=2k +3(x 1+x 2)+12x 1x 2+2(x 1+x 2)+4=3㊂所以MN 的中点是定点(0,3)㊂策略四 斜截式反设㊂先用斜截式仅设出直线P Q ,再将直线方程与椭圆方程联立㊂设P Q :x =m y +n ,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂因P Q 过(-2,3),故3m +n =-2,即b +2=-3m ㊂联立x =m y +n ,4y 2+9x 2-36=0,得4y 2+9(m y +n )2-36=0㊂则(4+9m 2)y 2+18m n y +9(n 2-4)=0㊂因此,y 1+y 2=-18m n 9m 2+4,y 1y 2=9(n 2-4)9m 2+4㊂其中Δ=(18m n )2-4(4+9m 2)㊃9(n 2-4)>0,则9m 2-n 2+4>0㊂由于A P :y =y 1x 1+2(x +2),故可得点M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,点N 0,2y 2x 2+2㊂故MN 中点的纵坐标为:y 1x 1+2+y 2x 2+2=y 1m y 1+n +2+y 2m y 2+n +2=y 1m (y 1-3)+y 2m (y 2-3)=2y 1y 2-3(y 1+y 2)m [y 1+y 2-3(y 1+y 2)+9]=1m ㊃2㊃9(n 2-4)+3㊃18m n9(n 2-4)+3㊃18m n +9(9m 2+4)=1m ㊃2(n 2-4)+6m n(3m +n )2=n 2-4+3m n2m=n (n +3m )-42m =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略五 点斜式正设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的点斜式正设,再与椭圆方程联立,求点P ,Q 坐标,最后斜率同构㊂设A P :y =k 1(x +2),A Q :y =k 2(x +2),设P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂设P Q :y -3=k (x +2)㊂联立y =k 1(x +2),y 29+x 24=1,得4k 21(x +2)2+9x 2=36㊂即(4k 21+9)x 2+16k 21x +16k 21-36=0㊂所以x A x P =16k 21-364k 21+9㊂由于x A =-2,故x P =18-8k 214k 21+9,y P =k 1(x P +2)=36k 14k 21+9㊂因为点P 在直线y -3=k (x +2)上,所以36k 14k 21+9-3=k ㊃364k 21+9㊂整理得12k 21-36k 1+36k +27=0㊂同理,12k 22-36k 2+36k +27=0㊂故k 1㊁k 2是12x 2-36x +36k +27=0的解,则k 1+k 2=3㊂因为M (0,2k 1),N (0,2k 2),所以MN 的中点是(0,k 1+k 2)㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略六 斜截式反设+斜率同构㊂先对直线A P ㊁A Q 方程的斜截式反设,再求点P ,Q 坐标㊂设B (-2,3),由B ,P ,Q 三点共线,得到1m 1+1m 2=3㊂设A P :x =m 1y -2,A Q :x =m 2y -2,P (x P ,y P ),Q (x Q ,y Q )㊂联立x =m 1y -2,y 29+x 24=1,得(4+9m 21)y 2-36m 1y =0㊂所以y A +y P =36m 14+9m21,解得y P =36m 14+9m 21,x P =m 1y P -2=18m 21-84+9m 21㊂P 点坐标为18m 21-84+9m 21,36m 14+9m 21㊂同理,Q 点坐标为18m 22-84+9m 22,36m 24+9m 22㊂因为B ,P ,Q 三点共线,所以y P -3x P +2=y Q -3x Q +2,代入化简得1m 1+1m 2=3㊂因为M 0,2m 1 ,N 0,2m 2,所以MN 的中点为定点(0,3)㊂策略七 点斜式正设+齐次化法㊂先用点斜式正设直线A P ㊁A Q 的方程,求出MN 中点坐标,联想齐次化㊂齐次化解题的要点是消常数项㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1+2(x +2),故M 0,2y 1x 1+2㊂同理可得,N 0,2y 2x 2+2㊂则MN 的中点为0,y 1x 1+2+y 2x 2+2㊂下面求y 1x 1+2+y 2x 2+2,联想齐次化㊂设直线P Q 的方程为m (x +2)+n y =1㊂因P Q 过(-2,3),故3n =1㊂联立m (x +2)+n y =1,9x 2+4y 2=36,得:9[(x +2)-2]2+4y 2=36㊂即(9-36m )(x +2)2-36n (x +2)y +4y 2=0,4y x +22-36n yx +2+9-36m =0㊂所以y 1x 1+2+y 2x 2+2=9n =3㊂故MN 的中点是定点(0,3)㊂策略八 坐标轴平移+齐次化法+一般式㊂由于MN 中点的纵坐标与斜率有关,为简化计算,自然联想到以点A 为坐标系原点建立坐标系㊂将椭圆向右平移2个单位,即以A 为原点建立平面直角坐标系,则平移后椭圆C 方程为y 29+(x -2)24=1,即9x 2+4y 2-36x =0㊂设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)㊂则直线A P 的方程为y =y 1x 1㊃x ,可得M 2,2y 1x 1㊂同理可得,N 2,2y 2x 2㊂故y M +y N 2=y 1x 1+y 2x 2㊂所以MN 的中点是2,y 1x 1+y 2x 2㊂下面求y 1x 1+y 2x 2㊂设P Q :m x +n y =1㊂因为直线P Q 过点(0,3),所以3n =1㊂联立m x +n y =1,9x 2-36x +4y 2=0,得9x 2-36x (m x +n y )+4y 2=0㊂整理得(9-36m )x 2-36n x y +4y 2=0㊂则4yx2-36n y x+(9-36m )=0㊂故y 1x 1+y 2x 2=9n =3,即平移后MN 的中点为(2,3)㊂故平移前MN 的中点为定点(0,3)㊂策略九 二次曲线系㊂此题是定点定值问题,背景是极点极线问题,故可用二次曲线系㊂设直线A P 的方程为x =m y -2,即x -m y +2=0㊂直线A Q 的方程为x =n y -2,即x -n y +2=0㊂直线P Q 的方程为y -3=k (x +2),即k x -y +2k +3=0㊂点A 处切线方程为x =-2,即x +2=0㊂设M (0,y M ),N (0,y N )㊂令x =0,则y M =2m ,y N =2n㊂M N 的中点为0,1m +1n ,即0,m +n m n㊂下面求m +nm n㊂过A ,B ,C 三点的二次曲线系方程为:(x -m y +2)(x -n y +2)+λ(x +2)㊃(k x -y +3+2k )=μy 29+x 24-1㊂对比两边展开式系数得:x 2项系数,1+λk =14μ;①y 2项系数,m n =19μ;②x y 项系数,-m -n -λ=0;③常数项,4+2λ(3+2k )=-μ㊂④由④得1+λk =-32λ-14μ㊂代入①式得μ=-3λ㊂由③得m +n =-λ㊂则m +n m n =-λ19μ=-λ19(-3λ)=3㊂故MN 的中点为定点(0,3)㊂策略十 斜率同构㊂先由点斜式正设A P ㊁A Q ㊁P Q 的方程,再联立求点P ㊁Q 坐标,最后将两点坐标代入椭圆方程,利用同构求出k 1+k 2值,即求出中点坐标㊂设直线A P 的方程为y =k 1(x +2),则点M 的坐标为(0,2k 1)㊂设直线A Q 的方程为y =k 2(x +2),则点N 的坐标为(0,2k 2)㊂则MN 的中点为(0,k 1+k 2)㊂下面求k 1+k 2的值㊂设直线P Q 的方程为y =k (x +2)+3㊂将直线A P 与直线P Q 联立,求点P 坐标㊂由y =k (x +2)+3,y =k 1(x +2),得:P3k 1-k -2,3k 1k 1-k㊂同理可得,点Q的坐标为3k 2-k -2,3k 2k 2-k㊂因为点P 在椭圆9x 2+4y 2=36上,所以93k 1-k -22+43k 1k 1-k2=36㊂即99(k 1-k )2-12k 1-k +4+36k 21(k 1-k )2=36,也即4k 21-12k 1+12k +9=0㊂同理,点Q 在椭圆9x 2+4y 2=36上,可得4k 22-12k 2+12k +9=0㊂所以k 1㊁k 2是方程4x 2-12x +12k +9=0的解㊂故k 1+k 2=124=3㊂所以MN 的中点为定点(0,3)㊂以上为常用解题策略,请同学们仔细领会㊁认真钻研,对于不同的情景选择合适的策略,提高自己的解析几何数学运算能力㊂注:本文系2023年度河南省基础教育教学研究项目 基于核心素养的高中生解析几何数学运算能力测评与对策研究 (立项编号J C J Y C 2303010018)研究成果㊂(责任编辑 徐利杰)。
2022年普通高等学校招生全国统一考试(新高考全国Ⅰ卷) 数学真题第20题题目及答案
2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国Ⅰ卷） 数学真题第20题题目及答案20．（12分）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？（2）从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”，(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅； （ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．20. （1）由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯， 又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.（2）（i）因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P ARP B A P B A P A P AB P A P AB=⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B RP B P AB P B P AB =⋅⋅⋅所以(|)(|)(|)(|)P A B P A BRP A B P A B=⋅；(ii)6R=；。
2022年全国乙卷数学第20题答案
2022年全国乙卷数学第20题答案
20.(12分)已知圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、轴，且过(0，-2)，8(，-1)两点
(1)求E的方程;
(2)设过点P(1-2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH证明:直线HN过定点。
解：（1）设E的方程为意十字1，将4（0.-2），8（号。
-1）两点代人得。
解得a=3，6°=4，故E的方程为旁+号=1.
（2）由A（0，-2），m（号，-1）可得直线AB：y-号-2，①若过P（1-2）的直线的斜率不存在，直线为x=1，代人号+号=1可得M（1.号）。
N（1，一）。
将5=3年代人AB：y=-2，可得T（、石+3.5）。
由MT=1，得H （2/6+5.25）。
易求得此时直线HN；y=（2-26）-2，过点（0.-2）。
②若过P（1-2）的直线的斜率存在，设hx-y-（k+2）=0，M（小）N（工）x-y-（k+2）=0，得（3k+4）-6k（2+h）x+34（k+4）=0，故有。
[-。
y：=34+432744（4+4k-22）且sn-（。
）。
可求得此时川N：y-“36-）（x-）。
将（0.-2）代人整理得2（x；+x）-6（y+）：）+*：）+x-3y-12=0.将（）式代入得24k+12+96+48k-244-48-48A+2482-361-48=0显然成立。
综上，可得直线HN过定点（0.-2）。
2024全国乙卷高考理科数学试题及答案解析
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另外，高考志愿是分批次录取的，本科和专科的填报时间不同，甚至不同的本科批次都有不同的志愿填报时间。
一般情况下都是一个批次录取结束后才开始进行下一个录取批次。
所以考生一定要时刻关注高考志愿填报时间。
从每年的志愿填报时间上来看，一般高考结束后二十天左右成绩就会公布，而成绩公布几天后就会开始填报高考志愿了。
去年大部分的省市的提前批和本科填报志愿时间都是从6 月25号左右开始的，而专科志愿填报时间则是比较晚，可能会在7月末8月初，也可能会在7月份，主要还是要看各省市的安排。
高考志愿填报时间每年都会根据高考录取工作的实际情况来作出一些调整和变化，但是变化不会很大，考生想知道高考后多久填报志愿，也可以去本省市的考试院，参考一下去年的志愿填报时间。
2022高考填志愿流程是什么1、阅读招生计划特别提醒考生注意的是，有些高校对填报志愿的要求以及一些有特殊规定的院校和专业进行了提示，考生一定要全部阅读。
2、拟定志愿草表建议考生上网填报志愿前，先将选报的志愿填写到志愿草表上，再按志愿草表上的内容上网填报，可以减少在网上反复修改的次数，减少出错的可能性。
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2023_年高考数学全国乙卷理科第20_题的6_种证法及推广
㊀㊀㊀㊀㊀㊀２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的种证法及推广２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的６种证法及推广Һ贾方正㊀（安徽省颍上第一中学，安徽㊀阜阳㊀２３６２００）㊀㊀ʌ摘要ɔ对高考试题的研究既有利于教师明确考试重点和命题方向，也有利于学生总结解题技巧与方法，对高考备考具有非常积极的影响．２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题 解析几何综合题考查了直线与圆锥曲线的位置关系及其运算，具有很好的区分度．笔者对其进行了深入探究，给出该题的６种证明方法，并对试题进行推广，希望借此帮助相关教师总结教法，帮助学生提高解题效率．ʌ关键词ɔ２０２３年高考；全国乙卷；解析几何；推广试题承担着对较高水平考生的鉴别任务，通过增加思维强度来选拔拔尖创新人才．２０２３年高考试题对考生的能力要求较高，呈现出 反刷题 的现象，要求考生从 机械刷题 和 题海战术 中跳出来．其中的全国乙卷理科第２０题，以高等几何中的极点与极线为命题背景，注重对数学本质及其应用性的考查，具有很好的选拔功能．一㊁真题再现２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题如下：已知椭圆Ｃ：ｙ２ａ２＋ｘ２ｂ２＝１（ａ＞ｂ＞０）的离心率是５３，点Ａ（－２，０）在Ｃ上．（１）求Ｃ的方程；（２）过点（－２，３）的直线交Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＡＰ，ＡＱ与ｙ轴的交点分别为Ｍ，Ｎ，证明：ＭＮ的中点为定点．二㊁证法探究（１）由题意得ｂ＝２，ａ２－ｂ２ａ＝５３，解得ａ２＝９．所以Ｃ的方程为ｙ２９＋ｘ２４＝１．下面重点探究第（２）问．证法１㊀如图所示，设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｍ（０，ｙＭ），则直线ＡＰ：ｙ＝ｙ１ｘ１＋２（ｘ＋２），ｙＭ＝２ｙ１ｘ１＋２．设Ｑ（ｘ２，ｙ２），Ｎ（０，ｙＮ），同理可得ｙＮ＝２ｙ２ｘ２＋２．设直线ＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３，ＭＮ的中点Ｄ（０，ｙＤ），则ｙＤ＝ｙＭ＋ｙＮ２＝ｋ（ｘ１＋２）＋３ｘ１＋２＋ｋ（ｘ２＋２）＋３ｘ２＋２＝２ｋ＋３（ｘ１＋２＋ｘ２＋２）（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）．由ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３，ｙ２９＋ｘ２４＝１ìîíïïï得（４ｋ２＋９）㊃（ｘ＋２）２＋１２（２ｋ－３）（ｘ＋２）＋３６＝０，所以（ｘ１＋２）＋（ｘ２＋２）＝１２（３－２ｋ）４ｋ２＋９，（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝３６４ｋ２＋９，所以ｙＤ＝２ｋ＋３（ｘ１＋２＋ｘ２＋２）（ｘ１＋２）（ｘ２＋２）＝３．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法２㊀设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），显然ｋ存在，故设直线ＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３．由ｙ＝ｋｘ＋２ｋ＋３，ｙ２９＋ｘ２４＝１ìîíïïï得（４ｋ２＋９）ｘ２＋（１６ｋ２＋２４ｋ）ｘ＋１６ｋ２＋４８ｋ＝０．因为Δ＝－１７２８ｋ＞０，所以ｋ＜０．不妨令ｘ１＞ｘ２，故ｘ１＝－８ｋ２－１２ｋ＋１２－３ｋ４ｋ２＋９，ｘ２＝－８ｋ２－１２ｋ－１２－３ｋ４ｋ２＋９．㊀㊀㊀㊀㊀所以ｙ１＝－８ｋ３－１２ｋ２＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９＋２ｋ＋３＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９，同理ｙ２＝１８ｋ＋２７－１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９．于是直线ＡＰ：ｙ＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ４ｋ２＋９－８ｋ２－１２ｋ＋１２－３ｋ４ｋ２＋９＋２（ｘ＋２），化简，得ｙ＝１８ｋ＋２７＋１２ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ（ｘ＋２）．令ｘ＝０，则点Ｍ的纵坐标为３６ｋ＋５４＋２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ．同理得点Ｎ的纵坐标为３６ｋ＋５４－２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ－１２－３ｋ．所以３６ｋ＋５４＋２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ＋１２－３ｋ＋３６ｋ＋５４－２４ｋ－３ｋ１８－１２ｋ－１２－３ｋ＝２ˑ（３６ｋ＋５４）（１８－１２ｋ）＋６ˑ２８８ｋ２（１８－１２ｋ）２＋４３２ｋ＝６（４ｋ２＋９）４ｋ２＋９＝６．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法３㊀设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｍ（０，ｙＭ），Ｑ（ｘ２，ｙ２），Ｎ（０，ｙＮ），直线ＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），直线ＡＱ：ｙ＝ｋ２（ｘ＋２），显然ｋ１，ｋ２存在且ｋ１ʂｋ２，则ｙＭ＝２ｋ１，ｙＮ＝２ｋ２．由ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），ｙ２９＋ｘ２４＝１，ìîíïïï得（４ｋ２１＋９）ｘ２＋１６ｋ２１ｘ＋１６ｋ２１－３６＝０．故－２ｘ１＝１６ｋ２１－３６４ｋ２１＋９，ｘ１＝１８－８ｋ２１４ｋ２１＋９，ｙ１＝３６ｋ１４ｋ２１＋９．同理ｘ２＝１８－８ｋ２２４ｋ２２＋９，ｙ２＝３６ｋ２４ｋ２２＋９．因为直线ＰＱ过点（－２，３），所以（ｙ１－３）（ｘ２＋２）＝（ｙ２－３）（ｘ１＋２）．所以３６ｋ１４ｋ２１＋９－３æèçöø÷１８－８ｋ２２４ｋ２２＋９＋２æèçöø÷＝３６ｋ２４ｋ２２＋９－３æèçöø÷１８－８ｋ２１４ｋ２１＋９＋２æèçöø÷，化简，得［３－（ｋ１＋ｋ２）］（ｋ１－ｋ２）＝０，即ｋ１＋ｋ２＝３．故２ｋ１＋２ｋ２２＝３．因此线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．证法４㊀（同构方法）设Ｔ（－２，３），ｌＡＭ：ｙ＝ｍ（ｘ＋２），ｌＡＮ：ｙ＝ｎ（ｘ＋２），则Ｍ（０，２ｍ），Ｎ（０，２ｎ），ＭＮ的中点为（０，ｍ＋ｎ），问题等价于证明ｍ＋ｎ为定值．联立ｙ＝ｍ（ｘ＋２）与ｙ２９＋ｘ２４＝１，得Ｐ１８－８ｍ２４ｍ２＋９，３６ｍ４ｍ２＋９æèçöø÷．同理得Ｑ１８－８ｎ２４ｎ２＋９，３６ｎ４ｎ２＋９æèçöø÷，ʑＴＰң＝３６４ｍ２＋９，３（１２ｍ－４ｍ２－９）４ｍ２＋９æèçöø÷．同理ＴＱң＝３６４ｎ２＋９，３（１２ｎ－４ｎ２－９）４ｎ２＋９æèçöø÷．由Ｔ，Ｐ，Ｑ三点共线，得到１２ｍ－４ｍ２－９＝１２ｎ－４ｎ２－９，即（ｍ－ｎ）（ｍ＋ｎ－３）＝０，又ｍʂｎ，所以ｍ＋ｎ＝３．所以线段ＭＮ的中点是（０，３），即ＭＮ的中点为定点．点评：上述证法用了同构的思想，看起来过程比较多，实际上只算了点Ｐ和ＴＰң，而点Ｑ与ＴＱң都是类比得到的．同时可知，ＭＮ的中点为定点等价于ｋＡＰ＋ｋＡＱ为定值．证法５㊀（曲线系方法）设ｌＡＰ：ｙ＝ｍ（ｘ＋２），ｌＡＱ：ｙ＝ｎ（ｘ＋２），则Ｍ（０，２ｍ），Ｎ（０，２ｎ），ＭＮ的中点为（０，ｍ＋ｎ），问题等价于证明ｍ＋ｎ为定值．经过Ａ，Ｐ，Ｑ三点的二次曲线方程为［ｙ－ｍ（ｘ＋２）］［ｙ－ｎ（ｘ＋２）］＝０，即ｙ２－（ｍ＋ｎ）（ｘ＋２）ｙ＋ｍｎ（ｘ＋２）２＝０．椭圆方程ｙ２９＋ｘ２４＝１可化为ｙ２＝９４（２＋ｘ）（２－ｘ），消去ｙ２，得９４（ｘ＋２）（２－ｘ）－（ｍ＋ｎ）（ｘ＋２）ｙ＋ｍｎ（ｘ＋２）２＝０，再消去一个（ｘ＋２），得９４（２－ｘ）－（ｍ＋ｎ）ｙ＋ｍｎ㊃（ｘ＋２）＝０，这就是直线ＰＱ的方程，又直线ＰＱ经过（－２，３），所以９－３（ｍ＋ｎ）＝０，即ｍ＋ｎ＝３．所以线段ＭＮ的中点是（０，３），即ＭＮ的中点为定点．点评：该题的本质是证明直线ＡＰ，ＡＱ的斜率之和为定值，而二次曲线系是证明两直线的斜率之和为定值的 利器 ．证法６㊀（齐次化方法）易知直线ＡＰ，ＡＱ的斜率存在，分别设为ｋ１，ｋ２，则ｌＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋２），ｌＡＱ：ｙ＝ｋ２（ｘ＋２），令ｙ＝０得Ｍ（０，２ｋ１），Ｎ（０，２ｋ２），所以线段ＭＮ的㊀㊀㊀㊀㊀㊀中点坐标为（０，ｋ１＋ｋ２）．下面证明ｋ１＋ｋ２为定值．设Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２），则ｌＰＱ：ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３．ｙ２９＋ｘ２４＝１⇒９（ｘ＋２－２）２＋４ｙ２＝３６⇒９（ｘ＋２）２－３６（ｘ＋２）＋４ｙ２＝０．将其与ｙ＝ｋ（ｘ＋２）＋３联立，得９（ｘ＋２）２－１２（ｘ＋２）［ｙ－ｋ（ｘ＋２）］＋４ｙ２＝０，即（９＋１２ｋ）（ｘ＋２）２－１２（ｘ＋２）ｙ＋４ｙ２＝０，即４ｙｘ＋２æèçöø÷２－１２ｙｘ＋２æèçöø÷＋（９＋１２ｋ）＝０，由韦达定理得ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２＝３．又因为ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２，所以ｋ１＋ｋ２＝３，即线段ＭＮ的中点为定点（０，３）．点评：由于线段ＭＮ的中点坐标为（０，ｋ１＋ｋ２），所以解题的关键是证明ｋ１＋ｋ２是定值．而ｋ１＋ｋ２＝ｙ１ｘ１＋２＋ｙ２ｘ２＋２，所以考虑将ｘ＋２作为整体，构造齐次方程，然后利用韦达定理求解，这样可以简化运算，提高解题效率．三㊁试题推广推广１㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），Ａ（－ａ，０），过点（－ａ，ｂ）的直线交曲线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＡＰ，ＡＱ与ｙ轴交于Ｍ，Ｎ两点，证明：ＭＮ的中点为（０，ｂ）．类似可得：推广２㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），Ｂ（０，ｂ），过点（－ａ，ｂ）的直线交曲线Ｃ于Ｐ，Ｑ两点，直线ＢＰ，ＢＱ与ｘ轴交于Ｍ，Ｎ两点，证明：ＭＮ的中点为（－ａ，０）．设Ｔ（－ａ，ｂ），Ａ（－ａ，０），Ｂ（０，ｂ），则ＴＡ，ＴＢ是椭圆的两条切线，即ＡＢ是切点弦．而ＭＮ的中点为定点（０，ｂ）等价于ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝２ｋＡＢ．于是可将问题再推广如下：推广３㊀已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０），顶点Ａ（－ａ，０）．点Ｔ是直线ｘ＝－ａ上任意一点，过点Ｔ作椭圆的两条切线，切点分别为Ａ，Ｂ，过点Ｔ作直线交Ｃ于Ｐ，Ｑ两点．设直线ＡＰ，ＡＱ，ＡＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，ｋ，证明：ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．证明㊀设Ｔ（－ａ，ｔ），则ＡＢ是Ｔ的切点弦所在的直线，方程为－ａｘａ２＋ｔｙｂ２＝１，故ｋ＝ｂ２ｔａ．设ｌＡＰ：ｙ＝ｋ１（ｘ＋ａ），联立ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１，ｙ＝ｋ１（ｘ＋ａ），{可得（ｂ２＋ａ２ｋ２１）ｘ２＋２ａ３ｋ２１ｘ＋ａ４ｋ２１－ａ２ｂ２＝０．由ｘＡ㊃ｘＰ＝ａ４ｋ２１－ａ２ｂ２ｂ２＋ａ２ｋ２１及ｘＡ＝－ａ，得ｘＰ＝ａｂ２－ａ３ｋ２１ｂ２＋ａ２ｋ２１，故Ｐａｂ２－ａ３ｋ２１ｂ２＋ａ２ｋ２１，２ａｂ２ｋ１ｂ２＋ａ２ｋ２１æèçöø÷．设ｌＰＱ：ｙ＝ｍ（ｘ＋ａ）＋ｔ，将点Ｐ代入，化简，得ａ２ｔｋ２１－２ａｂ２ｋ１＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０，同理得ａ２ｔｋ２２－２ａｂ２ｋ２＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０，所以ｋ１和ｋ２是方程ａ２ｔｘ２－２ａｂ２ｘ＋２ａｂ２ｍ＋ｂ２ｔ＝０的两个根，所以ｋ１＋ｋ２＝２ａｂ２ａ２ｔ＝２ｂ２ａｔ．因此，ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．四㊁试题再推广把试题进行进一步推广可得到如下更一般的情形，其证明留给读者完成．设Ｔ是椭圆Ｃ：ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）外一定点，ＴＡ，ＴＢ是椭圆的两条切线，其中Ａ，Ｂ是切点．过Ｔ的直线与椭圆Ｃ交于Ｐ，Ｑ两点．设直线ＡＰ，ＡＱ，ＡＢ的斜率分别为ｋ１，ｋ２，ｋ，证明：ｋ１＋ｋ２＝２ｋ．结㊀语试题的解决过程也是考生经历猜想和假设㊁转化和化归㊁实验和论证等问题研究的过程．教师通过对高考试题进行深度研究，可促进自身的专业发展，从而更好地服务于教学．该题虽然证明的是线段的中点为定点，但实质是证明直线的斜率之和为定值．对于定值问题，解决的方法主要有常规方法㊁同构方法㊁曲线系方法㊁齐次化方法等．有兴趣的读者还可以对该题的高等数学背景进行深度探究，然后基于高等数学背景对该题进行推广，还可以对该题进行改编，甚至基于极点与极线命制出高质量的原创题．ʌ参考文献ɔ［１］罗文军．多视角切入，巧方法运用 ２０２３年高考数学全国乙卷理科第２０题的探究［Ｊ］．广东教育（高中版），２０２３（９）：２０－２３．［２］李歆．数学问题：因变化而精彩 对一道经典三角题的变式探究［Ｊ］．中学数学，２０１３（１１）：２１－２３．［３］田甜，曹文栋，李誉．高考试题中数学表征转换水平比较研究 以新高考Ⅰ卷㊁全国乙卷及北京卷为例［Ｊ］．内江师范学院学报，２０２３，３８（８）：６－１２．［４］佟俊姬．夯实基础知识，落实立德树人２０２３年高考数学全国乙卷评析［Ｊ］．数学之友，２０２３，３７（１３）：８９－９１．。
优化运算方法 提升运算素养——以2022_年高考数学全国Ⅰ卷第21_题为例
优化运算方法㊀提升运算素养以２０２２年高考数学全国Ⅰ卷第２１题为例黄锦哲(厦门市同安实验中学ꎬ福建厦门３６１１００)摘㊀要:数学运算是处理解析几何问题时避不开的核心问题ꎬ它贯穿解析几何学习的全过程.文章以２０２２年高考数学全国Ⅰ卷第２１题为例ꎬ提出在解析几何问题处理中的几种简化运算量的方法ꎬ以破解解析几何运算难的问题.关键词:解析几何ꎻ数学运算ꎻ算法中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００６５－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:黄锦哲(１９８２.９－)ꎬ女ꎬ福建省厦门人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀课程标准提出:数学运算是指在明晰运算对象的基础上ꎬ依据运算法则解决数学问题的素养.数学运算主要包括:理解运算对象㊁掌握运算法则㊁探究运算思路㊁选择运算方法㊁设计运算程序与求得运算结果[１].解析几何与数学运算有着密切的联系.一方面ꎬ解析几何问题的解决需要借助数学运算ꎻ另一方面ꎬ数学运算素养的提升需要解析几何这一载体.高考中的解析几何问题往往综合性较强且变量比较多ꎬ导致运算量大ꎬ学生存在畏难情绪.所以ꎬ解读问题的本质ꎬ剖析算理的意义ꎬ总结各种算法的优劣ꎬ达成数学运算素养的培养ꎬ是解析几何教学的重要任务[２].１问题呈现题１㊀已知点Ａ(２ꎬ１)在双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ａ２－１＝１(ａ>１)上ꎬ直线ｌ交Ｃ于ＰꎬＱ两点ꎬ直线ＡＰꎬＡＱ的斜率之和为０.(１)求ｌ的斜率ꎻ(２)若ｔａｎøＰＡＱ＝２２ꎬ求әＰＡＱ的面积.评注㊀本题主要考查双曲线的方程㊁直线与双曲线的位置关系㊁三角形的面积等基础知识ꎻ考查推理论证㊁运算求解以及创新能力ꎻ考查逻辑推理㊁数学运算和直观想象等数学核心素养.２问题剖析思路１㊀因为点Ａ(２ꎬ１)在双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ａ２－１＝１(ａ>１)上ꎬ所以４ａ２－１ａ２－１＝１ꎬ解得ａ２＝２ꎬ即双曲线Ｃ:ｘ２２－ｙ２＝１.易知直线ｌ的斜率存在ꎬ设ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬＰｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()ꎬ联立ｙ＝ｋｘ＋ｍꎬｘ２２－ｙ２＝１ꎬ{可得１－２ｋ２()ｘ２－４ｍｋｘ－２ｍ２－２＝０.所以ｘ１＋ｘ２＝－４ｍｋ２ｋ２－１ꎬｘ１ｘ２＝２ｍ２＋２２ｋ２－１.由Δ＝１６ｍ２ｋ２－４２ｍ２＋２()２ｋ２－１()>０ꎬ得ｍ２＋１－２ｋ２>０ꎬ且ｋʂʃ２２.所以由ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝０ꎬ得ｙ２－１ｘ２－２＋ｙ１－１ｘ１－２＝０.５６即２ｋｘ１ｘ２＋ｍ－１－２ｋ()ｘ１＋ｘ２()－４ｍ－１()＝０.所以２ｋˑ２ｍ２＋２２ｋ２－１＋ｍ－１－２ｋ()－４ｍｋ２ｋ２－１æèçöø÷－４ｍ－１()＝０.化简ꎬ得ｋ＋１()２ｋ－１＋ｍ()＝０.所以ｋ＝－１或ｍ＝１－２ｋ.当ｍ＝１－２ｋ时ꎬ直线ｌ:ｙ＝ｋｘ＋ｍ＝ｋｘ－２()＋１过点Ａ２ꎬ１()ꎬ与题意不符ꎬ舍去ꎬ故ｋ＝－１.以下通过改变运算方法来简化运算.２.１同理类比ꎬ事半功倍思路２㊀设直线ＡＰ的斜率为ｋ(ｋʂʃ２２)ꎬ根据ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝０ꎬ则直线ＡＱ的斜率为－ｋ.直线ＡＰ的方程为ｙ－１＝ｋ(ｘ－２)ꎬ代入ｘ２２－ｙ２＝１ꎬ得(１－２ｋ２)ｘ２－(４ｋ－８ｋ２)ｘ－８ｋ２＋８ｋ－４＝０.由于ｘ＝２为方程的一根ꎬ所以ｘｐ＝４ｋ２－４ｋ＋２２ｋ２－１ꎬｙｐ＝－２ｋ２＋４ｋ－１２ｋ２－１.同理ｘＱ＝４ｋ２＋４ｋ＋２２ｋ２－１ꎬｙＱ＝－２ｋ２－４ｋ－１２ｋ２－１.所以ｋＰＱ＝ｙｐ－ｙＱｘｐ－ｘＱ＝８ｋ－８ｋ＝－１.２.２设而不求ꎬ搭梯登顶思路３㊀设Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬＱｘ２ꎬｙ２()ꎬ易知ｘ１ʂｘ２ꎬｋＰＱ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２.由ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝０ꎬ得ｙ２－１ｘ２－２＋ｙ１－１ｘ１－２＝０.又点ＰꎬＱ在曲线Ｃ上ꎬ所以有ｘ２１２－ｙ２１＝１ꎬｘ２２２－ｙ２２＝１.即ｙ１－１ｘ１－２＝１２ ｘ１＋２ｙ１＋１ꎬｙ２－１ｘ２－２＝１２ ｘ２＋２ｙ２＋１.由于ｙ２－１ｘ２－２＋ｙ１－１ｘ１－２＝０ꎬ可得１２ ｘ１＋２ｙ１＋１＋ｙ２－１ｘ２－２＝０ꎬ１２ ｘ２＋２ｙ２＋１＋ｙ１－１ｘ１－２＝０.整理ꎬ得ｘ１ｘ２－２(ｘ１－ｘ２)＋２ｙ１ｙ２＋２(ｙ２－ｙ１)－６＝０ꎬｘ１ｘ２－２(ｘ２－ｘ１)＋２ｙ１ｙ２＋２(ｙ１－ｙ２)－６＝０.作差ꎬ得－４(ｘ１－ｘ２)－４(ｙ１－ｙ２)＝０.所以ｋＰＱ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１.２.３平移坐标ꎬ简化运算思路４㊀以Ａ为坐标原点ꎬ建立平面直角坐标系ꎬ则双曲线Ｃ的方程为(ｘ＋２)２２－(ｙ＋１)２＝１.设直线ＡＰ的方程为ｙ＝ｋｘꎬ联立以上两个方程得(１－２ｋ２)ｘ２－(４ｋ－４)ｘ＝０ꎬ解得ｘ＝０或ｘ＝４ｋ－４１－２ｋ２ꎬ即点Ｐ(４ｋ－４１－２ｋ２ꎬ(４ｋ－４)ｋ１－２ｋ２).又因为直线ＡＰꎬＡＱ的斜率之和为０ꎬ则ＡＱ的方程为ｙ＝－ｋｘꎬ同理可得Ｑ(－４ｋ－４１－２ｋ２ꎬ(４ｋ＋４)ｋ１－２ｋ２).所以ｋＰＱ＝(４ｋ＋４)ｋ－(４ｋ－４)ｋ－４ｋ－４－４ｋ＋４＝－１.２.４巧用齐次ꎬ化繁为简思路５㊀设直线ｌ的方程为ｍ(ｘ－２)＋ｎ(ｙ－１)＝１ꎬ令ｘᶄ＝ｘ－２ꎬｙᶄ＝ｙ－１ꎬ{则直线ｌ的方程为ｍｘᶄ＋ｎｙᶄ＝１.将ｘᶄꎬｙᶄ代入双曲线的方程可得ｘᶄ２－２ｙᶄ２＋４ｘᶄ－４ｙᶄ＝０.直线ｌ与双曲线联立得ｘᶄ２－２ｙᶄ２＋４ｘᶄ－ｙᶄ()(ｍｘᶄ＋ｎｙᶄ)＝０.整理ꎬ得(２＋４ｎ)(ｙᶄｘᶄ)２＋(４ｍ－４ｎ)(ｙᶄｘᶄ)－１＋４ｍ()＝０.由于ｋＡＰꎬｋＡＱ为上式的两根ꎬ而由条件ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝０ꎬ所以可得－４ｍ－４ｎ２＋４ｎ＝０ꎬ因此可得ｍ＝ｎꎬ从而直线ｌ的斜率ｋＰＱ＝－ｍｎ＝－１.２.５高观导向ꎬ未算先知结论㊀若Ａ(ｘ０ꎬｙ０)是双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)上的非顶点任意一点ꎬ直线ｌ交Ｃ于ＰꎬＱ两点ꎬ直线ＡＰꎬＡＱ的斜率之和为０ꎬ则直线ｌ的斜率为定值－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０.证明㊀在坐标系ｘＯｙ中将原点Ｏ(０ꎬ０)平移至６６Ａ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则在坐标系ｘᶄＯᶄｙᶄ中双曲线的方程为(ｘᶄ＋ｘ０)２ａ２－(ｙᶄ＋ｙ０)２ｂ２＝１ꎬ结合ｘ２０ａ２－ｙ２０ｂ２＝１可得ｘᶄ２＋２ｘ０ｘᶄａ２－ｙᶄ２＋２ｙ０ｙᶄｂ２＝０.因为直线ＰＱ不经过Ｏᶄ(０ꎬ０)ꎬ可设直线ＰＱ在坐标系ｘᶄＯᶄｙᶄ中的方程为ｍｘᶄ＋ｎｙᶄ＝１ꎬ与曲线联立得ｘᶄ２＋２ｘ０ｘᶄ(ｍｘᶄ＋ｎｙᶄ)ａ２－ｙᶄ２＋２ｙ０ｙᶄ(ｍｘᶄ＋ｎｙᶄ)ｂ２＝０.整理ꎬ得(ａ２＋２ａ２ｎｙ０) (ｙᶄｘᶄ)２＋(２ａ２ｍｙ０－２ｂ２ｎｘ０)ｙᶄｘᶄ－(ｂ２＋２ｂ２ｍｘ０)＝０.平移后的坐标系中设Ｐ(ｘᶄ１ꎬｙᶄ１)ꎬＱ(ｘᶄ２ꎬｙᶄ２)ꎬ由于平移坐标系直线的斜率不改变ꎬ由根与系数的关系可得ｋＡＰ＋ｋＡＱ＝ｋＯᶄＰ＋ｋＯᶄＱ＝－２ａ２ｍｙ０－２ｂ２ｎｘ０ａ２＋２ａ２ｎｙ０＝０.即２ａ２ｍｙ０－２ｂ２ｎｘ０＝０.则直线ｌ的斜率为ｋｌ＝－ｍｎ＝－ｂ２ｘ０ａ２ｙ０.第(２)问也有多种解法ꎬ笔者介绍两种方法.２.６数形结合ꎬ以形助数解法１㊀设直线ＡＰ的倾斜角为αꎬ０<α<π２æèçöø÷ꎬ由ｔａｎøＰＡＱ＝２２ꎬ得ｔａｎøＰＡＱ２＝２２.由２α＋øＰＡＱ＝πꎬ得ｋＡＰ＝ｔａｎα＝２.即ｙ１－１ｘ１－２＝２.联立ｙ１－１ｘ１－２＝２及ｘ２１２－ｙ２１＝１得ｘ１＝１０－４２３.如图１ꎬ过点Ｐ作ＰＭʊｘ轴ꎬ交ＡＱ于点Ｍ.显然ＰꎬＭ两点关于直线ｘ＝２对称.所以ＰＭ＝２(２－１０－４２３)＝８２－８３.图１㊀双曲线右支图所以ＳәＰＡＱ＝ＳәＰＡＭ＋ＳәＱＰＭ＝１２ＰＭｙＡ－ｙＱ＝１２ˑ８２－８３ˑ(１－－４２－５３)＝１６２９.２.７巧设方程ꎬ绝处逢生解法２㊀设直线ＡＰ的倾斜角为αꎬ则由题意知直线ＡＱ的倾斜角为π－αꎬ于是设直线ＡＰ的参数方程为ｘ＝２＋ｔ１ｃｏｓαꎬｙ＝１＋ｔ１ｓｉｎαꎬ{代入ｘ２２－ｙ２＝１ꎬ得(２＋ｔ１ｃｏｓα)２－２(１＋ｔ１ｓｉｎα)２＝２.即ｔ１＝－４ｃｏｓα＋４ｓｉｎαｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α.设直线ＡＱ的参数方程为ｘ＝２＋ｔ２ｃｏｓαꎬｙ＝１＋ｔ２ｓｉｎαꎬ{同理得ｔ２＝４ｃｏｓα＋４ｓｉｎαｃｏｓ２α－２ｓｉｎ２α.由ｔａｎøＰＡＱ＝２２ꎬ得ｔａｎα＝２ꎬｓｉｎα＝６３ꎬｃｏｓα＝３３.于是ｔ１＝－４２＋４３ꎬｔ２＝－４２－４３.又ｓｉｎøＰＡＱ＝２２３ꎬ所以ＳәＰＡＱ＝１２ｔ１ｔ２ｓｉｎøＰＡＱ＝１６２９. 多思少算 是数学高考命题的指导思想ꎬ在解析几何教学中要注重对运算对象的理解㊁运算目标的确定ꎬ要给学生足够的时间和空间探索运算思路和方法ꎬ要重视演示运算过程中出现的难点ꎬ鼓励学生进行解后反思ꎬ优化运算方法ꎬ提升运算素养.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[２]王祯玥.明晰算理ꎬ掌握算法ꎬ发展数学运算核心素养[Ｊ].中学数学月刊ꎬ２０２２(１０):１７－１９ꎬ４１.[责任编辑:李㊀璟]７６。
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优化解题策略,提升运算素养——以2022年高考数学全国乙
卷理科第20题为例
李俊岭;陈凤华
【期刊名称】《山东教育》
【年(卷),期】2022()33
【摘要】数学运算是六大数学核心素养之一,是学生继续学习数学的基础,也是后续发展的必备素养。
解析几何与数学运算有着天然的联系。
一方面,解析几何是发展学生数学运算素养的良好载体;另一方面,解析几何问题往往需要借助数学运算来解决。
但由于解析几何题运算量大,思维含量高,平时教学中经常遇到学生只能按照套路列出几个式子.
【总页数】4页(P55-58)
【作者】李俊岭;陈凤华
【作者单位】山东省滨州实验中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
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1.领会数学思想提升思维品质\r——以2018年高考数学全国卷Ⅰ文科第20题为例
2.领会数学思想提升思维品质——以2018年高考数学全国卷I文科第20题为例
3.优化解题运算提升运算素养——以2019年高考数学全国Ⅱ卷第21题为例
4.
对数比较大小,反思解题技巧--以2020年全国高考数学全国Ⅲ卷文科第10题为例5.解题思路源自核心素养——以2019年高考数学全国卷Ⅰ理科第12题为例
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