人教版B版(2019)高中数学必修第一册：第一章 集合与常用逻辑用语 综合测试(附答案与解析)
第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集{|13}U x x =∈−Z ≤≤，集合{|03}A x x =∈Z ≤…，则U A =ð（ ）A .{1}−B .{1,0}−C .{1,0,1}−−D .{|10}x x −≤＜2.已知集合{}|32A x x =−＜＜，{|4 1}B x x x =−＜或＞，则AB =（ ） A .{|43}x x −−＜＜ B .{}|31x x −＜＜C .{|12}x x ＜＜D .{|31}x x x −＜或＞3.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,5}A =，集合{2,3,5}B =，则()U B A =ð（ ） A .{2} B .{2,3} C .{1} D .{1,4}4.若a ，b 是实数，则“2a ＞”是“24a ＞”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.命题“0x ∀＞，2230x x +−＞”的否定是（ ）A .0x ∃＞，2230x x +−≤B .0x ∀＞，2230x x +−≤C .0x ∃＜，2230x x +−≤D .0x ∀＜，2230x x +−≤6.设p ：实数x ，y 满足1x ＞且1y ＞；q ：实数x ，y 满足3x y +＞，则p 是q 的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件7.设A ，B 是两个非空集合，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且，若{|05}A x N x =∈剟，{|(2)(5)0}B x x x =−−＜，则A B −=（ ）A .{0,1}B .{1,2}C .{0,1,2}D .{0,1,2,5} 8.“(1)(3)0x x −−＞”是“1x ＜”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.若命题“x ∀∈R ，220x mx ++…”为真命题，则m 的取值范围是（ ）A .m ＞B .m −＜C .m −D . m m −剠 10.“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的（ ）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件11.已知命题0:0p x ∃＞，010x a +−=，若p 为假命题，则a 的取值范围是（） A .1a ＜ B .1a ≤ C .1a ＞D .1a ≥ 12.已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（1）{1,2,3,4,5,6}A B =，A B =∅；（2）若x A ∈，则1x B +∈.则有序集合对(,)A B 的个数为（ ）A .12B .13C .14D .15二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上）13.已知命题0:p x ∃∈R ，00sin x x ＞，则p 的否定为__________.14.已知集合{|21,}A x x k k ==−∈Z ，{}|2B x x k k ==∈Z ，，则A B =__________.15.若集合{}24,21,A a a =−−，{5,1,9}B a a =−−且{9}A B =，则a 的值是__________.16.已知集合{|02}A x x =＜＜，集合{|11}B x x =−＜＜，集合{|10}C x mx =+＞，若AB C ⊆，则实数m的取值范围是__________. 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.[10分]判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假.（1）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除.（2）末位是0的实数能被2整除.（3）1x ∃＞，220x −＞.18.[12分]已知集合{}2|30,A x x ax a =−+=∈R .（1）若1A ∈，求实数a 的值；（2若集合{}2|20,B x x bx b b =−+=∈R ，且{3}A B =，求A B .19.[12分]已知集合{|32}A x x =−＜＜，{|05}B x x =＜…，{|}C x x m =＜，全集为R（1）求()R A B ð；（2）若()AC B ⊆，求实数m 的取值范围.20.[12分]已知命题p :“2[1,2],0x x a ∀∈−≥”，命题q ：“0x ∃∈R ,200220x ax a ++−=”.若命题p ，q 都是真命题，求实数a 的取值范围.21.[12分已知集合{|35}A x x =−≤≤，{|121}B x m x m =+−＜＜，{|}C x x A x B =∈∈∈Z 或.（1）当3m =时，用列举法表示出集合C ；（2）若AB B =，求实数m 的取值范围.22.[12分]已知:20p x −＞，:40q ax −＞，其中a ∈R 且0a ≠.（1）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.第一章综合测试答案解析一、1.【答案】A2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】A5.【答案】A6.【答案】D【解析】 1.11x =＞且 1.11y =＞， 2.23x y +=＜，充分性不成立；4x =，0y =，3x y +＞，不满足1x ＞且1y ＞，故选D .7.【答案】D【解析】{0,1,2,3,4,5}A =，{|25}B x x =＜＜，∴{0,1,2,5}A B −=.8.【答案】B【解析】由“(1)(3)0x x −−＞”得3x ＞或1x ＜，即“(1)(3)0x x −−＞”是“1x ＜”的必要不充分条件.9.【答案】C【解析】由题意得280m ∆=−…，m −∴，故选C . 10.【答案】A【解析】关于x 的方程22x a x +=有实数根，则440a ∆=−≥，解得1a ….∴“1a =”是“关于x 的方程22x a x +=有实数根”的充分不必要条件.故选A .11.【答案】D【解析】∵p 为假命题，∴p 的否定为真命题，即0,10x x a ∀+−≠＞，即1x a ≠−，10a −∴≤，则1a ≥.故选D .12.【答案】A【解析】由题意分类讨论可得若{1}A =，则{2,3,4,5,6}B =；若{2}A =，则{1,3,4,5,6}B =；若{3}A =，则{1,2,4,5,6}B =；若{4}A =，则{1,2,3,5,6}B =；若{5}A =，则{1,2,3,4,6}B =；若{1,3}A =，则{2,4,5,6}B =；若{1,4}A =，则{2,3,5,6}B =；若{1,5}A =，则{2,3,4,6}B =；若{2,4}A =，则{1,3,5,6}B =；若{2,5}A =，则{1,3,4,6}B =；若{3,5}A =，则{1,2,4,6)B =；若{1,3,5}A =，则{2,4,6}B =.综上可得有序集合对(,)A B 的个数为12.故选A.二、13.【答案】x ∀∈R ，sin x x …14.【答案】∅【解析】∵集合{}{|21,}A x x k k ==−∈=Z 奇数，{}{|2,}B x x k k ==∈=Z 偶数，∴A B ⋂=∅.15.【答案】3−16.【答案】112m −剟 【解析】由题意，{|12}A B x x =−＜＜，∵集合{|10}C x mx =+＞，A B C ⊆12m−∴… 12m −∴ (102)m −∴＜… ②0m =时，成立；③0m ＞，1x m−＞，11m−−∴…， 1m ∴…01m ∴＜≤. 综上所述，112m −剟. 三、17.【答案】解：（1）命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，真命题.（2）命题中省略了全称量词“所有”，是全称量词命题，真命题.（3）命题中含有存在量词“∃”，是存在量词命题，真命题.18【答案】解：（1）1A ∈∵，∴130a −+=，∴4a =（2）∵{3}A B =，3,3A B ∈∈∴，93301830a b b −+=⎧⎨−+=⎩∴ 解得4a =，9b =.∴{}2|430{1,3}A x x x =−+==，{}23|29903,2B x x x ⎧⎫=−+==⎨⎬⎩⎭∴31,,32A B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭20.【答案】解：若p 为真命题，则[1,2]x ∀∈，2a x …恒成立，∵[1,2]x ∈，2[1,4]x ∈∴1a ∴….若q 为真命题，即2220x ax a ++−=有实根，则244(2)0A a a =−−…， 即1a …或2a −≤综上，所求实数a 的取值范围为2a −≤或1a =.21.【答案】解：（1）当3m =时，{|45}B x x =＜＜，所以{3,2,1,0,1,2,3,4,5}C =−−−.（2）若A B B =，则B A ⊂.①当B =∅时，121m m +−…，解得2m ≤；②当B ≠∅时，由121,13,215,m m m m +−⎧⎪+−⎨⎪−⎩＜≥≤，解得23m ＜≤综上所述，实数m 的取值范围是3m ≤.22.【答案】解：（1）设:{|20}p A x x =−＞，即:{|2}p A x x =＞. :{|40}q B x ax =−＞，因为p 是q 的充分不必要条件，则A B ≠⊂， 则有0,42,a a⎧⎪⎨⎪⎩＞＜解得2a ＞.所以实数a 的取值范围为2a ＞. （2）由（1）及题意得B A Ü，①当0a ＞时，由B A Ü得42a＞.即02a ＜＜； ②当0a ＜时，显然不满足题意.综上可得，实数a 的范围为02a ＜＜.。
人教B版(2019)高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》检测卷(含答案)
人教B 版（2019）高中数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》检测卷一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1．设全集为实数集R ，集合{}3,2,1,0,1,2,3A =---，{}2B x x =≥，则()RA B =（ ）A ．{}2,3B ．{}2,1,0,1--C ．{}3,2,1,0---D ．{}3,2,1,0,1---2．设x 、y R ∈，则“x y ≥”是“x y ≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．“1x >"是“11x<”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．下列结论中，错误的是（ ） A ．“1x =”是“20x x -=”的充分不必要条件B ．已知命题2:,10p x R x ∀∈+>，则2:,10p x R x ⌝∃∈+≤C ．“220x x +->”是“1x >”的充分不必要条件；D ．命题：“x R ∀∈，sin 1x ≤”的否定是“0x R ∃∈，0sin 1x >”；5．已知：p ：1x ，2x 是方程2560x x +-=的两根，q ：126x x ⋅=-，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知命题:1p x ∀>，4220212022x x +>，则p ⌝为（ ）A ．1x ∃≤，4220212022x x +≤B ．1x ∀>，4220212022x x +≤C ．1x ∃>，4220212022x x +≤D ．1x ∀≤，4220212022x x +>7．命题“()0,x ∀∈+∞，x 3＋3x ≥1”的否定是（ ）． A ．()0,x ∃∈+∞，x 3＋3x ＜1 B ．()0,x ∃∈+∞，x 3＋3x ≥1 C ．()0,x ∀∈+∞，x 3＋3x ＜1D ．x 3＋3x ≤18．已知集合{|25}M x x =-<<，{}33N x x =-≤≤，则M N ⋃=（ ） A ．{}3,2,1,0,1,2,3,4--- B ．{}1,0,1,2,3- C ．[)3,5-D ．(]2,3-9．设集合{0,1,2,3,4,5}U =，{0,2,3,5}M =，则UM =（ ）A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{0,4,5}D ．{1,4,5}10．已知集合{}1,2A =，{},,B x x a b a A b A ==-∈∈，则集合B 中元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．设a ∈R ，则“3a >”是“23a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知全集{}2,1,0,1U =--，集合{}220A x x x =+-=，{}0,1B =，则()U A B ⋃=（ ）A ．{}2,1,0--B ．{}2,1,1--C ．2,0,1D ．{}2,1,0,1--二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．命题“2000,230x x x ∃∈-+<R ”，此命题的否定是________命题．（填“真”或“假”）14．设命题:p n N ∀∈，22n n >，则p ⌝为________．15．,A B 是集合{}1,2,3,4的非空子集，则满足A B =∅的有序集合对(),A B 共有_______个． 16．设集合{}1,2,3,4A =，[)1,3B =，则A B =________.三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）已知集合{|2A x x =-或3}x ，{}B |05x x =<<，{}|12C x m x m =-≤≤ （1）求A B ，()R A B ；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围．18．（12分）设全集为R ，集合P ＝{x |3＜x ≤13}，非空集合Q ＝{x |a ＋1≤x ＜2a －5}， （1）若a ＝10，求P ∩Q ； ()R P Q ； （2）若()Q P Q ⊆，求实数a 的取值范围19．（12分）设集合{}250A x x ax =-+>，{}25B x x =<<．（1）若集合R A =，求实数a 的取值范围；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．20．（12分）已知0m >，()():150p x x +-≤，:11q m x m -≤≤+. （1）若5m =，p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.21．（12分）已知集合{|25},{|121}A x x B x m x m =-<<=+≤≤- （1）当3m =时，求()R A B ；（2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围.22．（12分）设集合{}2=40A x R x x ∈+=，{}22=2(1)10,B x R x a x a a R ∈+++-=∈，若B A ⊆，求实数a 的值．参考答案1．D 【分析】先求得B R ，再根据交集运算即可得出结果. 【详解】 {}2B x x =≥,{}2B x x ∴=<R ,{}3,2,1,0,1,2,3A =---()RAB ∴={}3,2,1,0,1---.故选：D. 2．A 【分析】根据充要条件的定义，结合不等式的性质，举实例，可得答案． 【详解】解：①若x y ，||x x ，||x y ∴成立，∴充分性成立，②当3x =-，2y =时，||x y 成立，但x y 不成立，∴必要性不成立，x y ∴是||x y 的充分不必要条件，故选：A ． 3．A 【分析】 由11x<得10x x -<，即1x >或0x <可进行判断.【详解】 由11x<得10xx -<，即1x >或0x <，所以1x >能够得到11x <，但是11x<不一定得到1x >， “1x >”是“11x<”成立的充分不必要条件. 故选：A.【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含 4．C 【分析】根据充分必要条件和全称量词的否定形式判断即可. 【详解】当1x =时，20x x -=.当20x x -=时，1x =或0x =.“1x =”是“20x x -=”的充分不必要条，A 对.对于含有一个量词的全称命题p ：“任意的”x M ∈，()p x 的否定，p ⌝是：“存在”x M ∈，()p x ⌝.B 对.同理，D 对.当220x x +->时，1x >或2x <-.当1x >时，220x x +->.“220x x +->”是“1x >”的必要不充分条件，C 错. 故选：C. 5．A 【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断即可 【详解】解：由2560x x +-=，得(1)(6)0x x -+=，解得1x =或6x =-， 因为1x ，2x 是方程2560x x +-=的两根，所以126x x ⋅=-， 当126x x ⋅=-时，1x ，2x 也可以不是方程260x x --=的两个根， 所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A 6．C 【分析】根据全称命题的否定为特称命题可得. 【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可知命题p 的否定为1x ∃>，4220212022x x +≤. 故选：C. 7．A 【分析】将“任意”改为“存在”，只否定结论. 【详解】“()0,x ∀∈+∞，x 3＋3x ≥1”的否定是“()0,x ∃∈+∞，x 3＋3x ＜1”. 故选：A. 8．C 【分析】由已知集合，应用集合的并运算，求M N ⋃即可. 【详解】由题意，M N ⋃={}{|25}33{|35}x x x x x x -<<⋃-≤≤=-≤<， ∴M N ⋃=[)3,5-. 故选：C 9．A 【分析】根据补集的定义计算可得； 【详解】解：因为{0,1,2,3,4,5}U =，{0,2,3,5}M =，所以{}1,4UM =故选：A 10．C 【分析】由集合B 的描述知{1,2}a ∈、{1,2}b ∈，可求出x a b =-，即得集合B 的元素个数. 【详解】解：由题意知：{1,2}a ∈，{1,2}b ∈，{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-，∴集合B 中元素个数为3. 故选：C. 11．A 【分析】由23a a >，解得0a <或3a >．利用充分、必要条件的定义即可判断出． 【详解】解：由23a a >，解得0a <或3a >． ∴ “3a >”是“23a a >”的充分不必要条件．故选：A ． 12．B 【分析】解一元二次方程用列举法表示集合A ，然后求出U B ，最后按集合的并集概念进行运算即可. 【详解】{}{}2201,2A x x x =+-==-，U{2,1}B =--，∴()U {2,1,1}A B ⋃=--.故选：B 13．真 【分析】写出命题的否定形式，再判断真假即可. 【详解】命题“2000,230x x x ∃∈-+<R ”，此命题的否定为“2,230x x x ∀∈-+≥R ”，由()2223120x x x -+=-+≥，显然成立，所以命题的否定是真命题. 故答案为：真 14．2,2n n N n ∃∈≤【分析】根据命题的否定的定义求解． 【详解】命题:p n N ∀∈，22n n >的否定是：2,2n n N n ∃∈≤． 故答案为：2,2n n N n ∃∈≤． 15．50 【分析】根据题意可知{}1,2,3,4U =，当集合A 确定后，集合B 是UA 的非空子集，分别计算A 中有1、2、3个元素时有序集合对(),A B 的个数之和即可. 【详解】设{}1,2,3,4U =，因为A B =∅，所以B 是UA 的非空子集，当A 中只有一个元素时，(),A B 的个数为()342128⨯-=个，当A 中只有2个元素时，(),A B 的个数为()262118⨯-=个，当A 中只有3个元素时，(),A B 的个数为()14214⨯-=个，所以共有2818450++=个， 故答案为：50. 16．[]{}1,34⋃ 【分析】直接根据并集的定义计算可得； 【详解】解：因为{}1,2,3,4A =，[)1,3B = 所以[]{}1,34A B =⋃ 故答案为：[]{}1,34⋃17．（1）{}|35A B x x =≤<，(){25}R A B x x ⋃=-<<∣；（2）()5,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【分析】（1）进行根据交集、并集和补集的定义运算即可； （2）根据BC C =可得出C B ⊆，然后讨论C 是否为空集：C =∅时，12m m ->；C ≠∅时得到不等式组，然后解出m 的范围即可． 【详解】解：（1）因为{|2A x x =-或3}x ，{}B |05x x =<< 所以{}|35A B x x =≤<，{}|23RA x x =-<<(){}{}{}|23|05|25RA B x x x x x x =-<<<<=-<<（2）由B C C =，则C B ⊆ 当C =∅时，12m m ->，所以1m <- 当C ≠∅时，101225m m m m ->⎧⎪-≤⎨⎪<⎩，所以512m <<综上：实数m 的取值范围为()5,11,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭18．（1）{|1113}x x ，{|1315}x x <<；（2） (]6,9. 【分析】（1）把a 的值代入求出集合Q ，再由交集、补集的运算求出P Q ，(R P Q ⋂； （2）由()Q P Q ⊆得Q P ⊆，再由子集的定义列出不等式组，求出a 的范围． 【详解】（1）当10a =时，{|1115}Q x x =<， 又集合{|313}P x x =<，所以{|313}{|1115}{|1113}P Q x x x x x x ⋂=<⋂<=，{|3RP x x =或13}x >，则(){|1315}R P Q x x ⋂=<<； （2）由()Q P Q ⊆得，Q P ⊆，因为Q φ≠，则125132513a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-⎩，解得69a <，综上所述：实数a 的取值范围是(]6,9.19．（1）a -<；（2）a < 【分析】（1）由判别式小于0可得；（2）题意说明B A ⊆，即250x ax -+>在(2,3)上恒成立，分离参数后，由基本不等式求得函数的最小值可得结论． 【详解】解：（1）∵{}250A x x ax R =-+>=，∴2200a ∆=-<，∴a -<（2）∵x A ∈是x B ∈的必要条件，∴B A ⊆，∵250x ax -+>，∴min 5a x x ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，()2,5x ∈，∵5x x +≥5x x+，即x =∴min 5x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴a <20．（1）{41x x -≤<-或}56x <≤；（2）[)4,+∞ 【分析】（1）由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得p 与q 一真一假，然后分p 真q 假、p 假q 真两种情况，分别列出关系式，求解即可；（2）由p 是q 的充分条件，可得[][]1,51,1m m -⊆-+，则有01115m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，从而可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）当5m =时，:46q x -≤≤，由()()150x x +-≤，可得15x -≤≤，即P ：15x -≤≤. 因为p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，故p 与q 一真一假，若p 真q 假，则1564x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，该不等式组无解；若p 假q 真，则1546x x x <->⎧⎨-≤≤⎩或，得41x -≤<-或56x <≤.综上所述，实数x 的取值范围为{41x x -≤<-或}56x <≤.（2）由题意，P ：15x -≤≤，:11q m x m -≤≤+，因为p 是q 的充分不必要条件，故[][]1,51,1m m -⊆-+，故111115m m m m -<+⎧⎪-≤-⎨⎪+≥⎩，得4m ≥，故实数m 的取值范围为[)4,+∞.21．（1）(){}5R A B =；（2）3m <.【分析】（1）根据集合的运算法则计算；（2）由A B A ⋃=得B A ⊆，然后分类B =∅和B ≠∅求解．【详解】（1）当3m =时，B 中不等式为45x ≤≤，即{}|45B x x =≤≤，∴{|2R A x x =≤-或5}x ，则(){}5R A B =（2）∵A B A ⋃=，∴B A ⊆，①当B =∅时，121m m +>-，即2m <，此时B A ⊆；②当B ≠∅时，12112215m m m m +≤+⎧⎪+>-⎨⎪-<⎩，即23m ≤<，此时B A ⊆.综上m 的取值范围为3m <.22．a ≤－1或a ＝1.【分析】先求出集合A ，当A ＝B 时，满足B A ⊆，再由根与系数的关系可求出实数a 的值；当B A ≠时，分B ≠∅和B =∅两种情况求解即可【详解】∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得22(1)410a a -+=-⎧⎨-=⎩解得a ＝1. (2)当B A ≠时，又可分为两种情况． ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件； ②当B =∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值为a ≤－1或a ＝1.。
人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试题(有答案解析)(2)
一、选择题1．已知集合{}*N 2,0A x x y x y y =∈=+-≥∣，若B A ⊆且集合B 中恰有2个元素，则满足条件的集合B 的个数为（ ）． A ．1B ．3C ．6D ．102．已知命题2:2,:2320p x q x x <--<，则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．设a R ∈，则“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．设集合{}125S x x x =-++>，{}4T x x a =-≤，S T R ⋃=，则a 的取值范围为（ ） A ．2a ≤-或1a ≥B ．21a -≤≤C ．21a -<<D ．2a <-或1a >8．全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞9．设a ，b 都是不等于1的正数，则“log 3log 31a b >>”是“33a b <”的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．下列命题错误的是（ ）A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠ ，则2320x x -+≠”B ．若p q ∧为假命题，则,p q 均为假命题C ．对于命题p ：x ∃∈R ，使得210x x ++<，则p ⌝：x ∀∈R ，均有210x x ++≥D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件 11．下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．若命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥B ．“3sin 2x =”的一个必要不充分条件是“3x π=”C ．若+=-a b a b ，则a b ⊥D ．α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，如果m n ⊥，m α⊥，βn//，那么αβ⊥ 12．下列命题中，不正确的是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”二、填空题13．已知命题：“∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，使x 2＋2x ＋a ≥0”为真命题，则实数a 的取值范围是______．14．已知集合U =R ，集合[]5,2A =-，()1,4B =，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．15．不等式220mx mx --<对任意x ∈R 恒成立的充要条件是m ∈__________． 16．设:5x α≤-或1x ≥，:2321m x m β-≤≤+，若α是β的必要条件，求实数m 的取值范围_______________.17．命题“数列的前n 项和()2*3n S n n n N=+∈”成立的充要条件是________.（填一组符合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n ） 18．已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}3,4,5B =，则A B =_______.19．已知命题：①将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的2倍； ②命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“2,10x R x x ∀∈++<”；③在ABC ∆中，若sin sin A B A B ><，则； ④在正三棱锥S ABC -内任取一点P ，使得12P ABC S ABC V V --<的概率是78； ⑤若对于任意的()2,430n N n a n a *∈+-++≥恒成立，则实数a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 以上命题中正确的是__________（填写所有正确命题的序号）.20．已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是___________. 三、解答题21．已知命题:p 关于x 的不等式()()21120k x k x ---+>的解集为R ，:2q x ∃>，2272x k x -<-，试判断“p 为真命题”与“q ⌝为真命题”的充分必要关系． 22．在“①AB B =，②RB A ⊆，③A B =∅”这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题.问题：已知集合{}24120A x x x =-++>，集合{5}B x m x m =<<+.（1）若2m =，求AB ，()R A B ；（2）若______，求m 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 23．已知命题20:{100x p x +≥-≤，命题:11,0q m x m m -≤≤+>，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数的取值范围．24．已知1:123x p --≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，若p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围.25．已知命题p ：∀x ∈R ，ax 2+ax +1＞0及命题q ：∃x 0∈R ，x 02﹣x 0+a =0，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 26．已知()1f x x a x =-++.（1）若不等式()21f x x <++的解集是区间3,2的子区间，求实数a 的取值范围；（2）若对任意的x ∈R ，不等式()21>+f x a 恒成立，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将方程平方整理得()2224820y xy x x -+-=，再根据判别式得04x ≤≤，故1,2,3,4x =，再依次检验得{}2,3,4A =，最后根据集合关系即可得答案.【详解】解:根据题意将x 22x x =+继续平方整理得：()2224820y xy x x -+-=，故该方程有解. 所以()222641620x x x ∆=--≥，即240x x -+≥，解得04x ≤≤， 因为*N x ∈，故1,2,3,4x =，当1x =时，易得方程无解，当2x =时，240y y -=，有解，满足条件； 当3x =时，242490y y -+=，方程有解，满足条件； 当4x =时，28160y y -+=，方程有解，满足条件； 故{}2,3,4A =，因为B A ⊆且集合B 中恰有2个元素， 所以B 集合可以是{}2,3，{}2,4，{}3,4. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为()2224820y xy x x -+-=，再结合判别式得1,2,3,4x =，进而求出集合{}2,3,4A =.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.2．C解析：C 【分析】求出q 成立的x 的范围，然后根据集合包含关系判断． 【详解】2:2320q x x --<，(21)(2)0x x +-<，122x -<<，由于1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭是(,2)-∞的真子集，因此应是必要不充分条件． 故选：C ．【点睛】命题p 对应集合A ，命题q 对应的集合B ，则 （1）p 是q 的充分条件⇔A B ⊆； （2）p 是q 的必要条件⇔A B ⊇；（3）p 是q 的充分必要条件⇔A B =；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件⇔集合,A B 之间没有包含关系．3．A解析：A 【分析】计算直线平行等价于1a =或2a =-，根据范围大小关系得到答案. 【详解】直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行，则()12a a +=，1a =或2a =-，验证均不重合，满足.故“1a =”是“直线1:20l ax y +=与直线()2140+++=：l x a y 平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.4．D解析：D 【分析】从充分性和必要性两方面分别分析判断得解. 【详解】直线,m n 和平面α，n ⊂α，若//m n ，当m α⊂时，//m α显然不成立，故充分性不成立；当//m α时，如图所示，显然//m n 不成立，故必要性也不成立．所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【点睛】方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：（1）定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解； （2）集合法：利用集合的包含关系分析判断得解； （3）转化法：转化成逆否命题分析判断得解.5．A解析：A 【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.6．A解析：A 【分析】根据线面平行的性质定理、线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当//m α时，过直线m 作平面β，使得l αβ=，则//m l ，n α⊥，l α⊂，n l ∴⊥，m n ∴⊥，即//m m n α⇒⊥； 当m n ⊥时，由于n α⊥，则m α⊂或//m α，所以，//m n m α⊥⇒/.综上所述，//m α是m n ⊥的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.7．B解析：B 【解析】{|32},[4,=4]S x x x T a a =-=-或 ，所以432142a a a -≤-⎧⇒-≤≤⎨+≥⎩，选A. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.8．C解析：C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.9．B解析：B 【分析】由已知结合对数不等式的性质可得13a b <<<，得到33a b <；反之，由33a b <，不一定有log 3log 31a b >>成立，再由充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：a ，b 都是不等于1的正数，由log 3log 31a b >>，得13a b <<<，33a b ∴<；反之，由33a b <，得a b <，若01a <<，1b >，则log 30a <，故log 3log 31a b >>不成立．∴ “log 3log 31a b >>”是“33a b <”的充分不必要条件．故选：B ． 【点睛】本题考查指数不等式与对数不等式的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．10．B解析：B 【分析】由原命题与逆否命题的关系即可判断A ；由复合命题的真值表即可判断B ; 由特称命题的否定是全称命题即可判断C ；根据充分必要条件的定义即可判断D ；． 【详解】A ．命题：“若p 则q ”的逆否命题为：“若￢q 则￢p ”，故A 正确；B ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，故B 错．C ．由含有一个量词的命题的否定形式得，命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1＜0，则￢p 为：∀x ∈R ，均有x 2+x +1≥0，故C 正确；D ．由x 2﹣3x +2＞0解得，x ＞2或x ＜1，故x ＞2可推出x 2﹣3x +2＞0，但x 2﹣3x +2＞0推不出x ＞2，故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，即D 正确 故选B ． 【点睛】本题考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系，充分必要条件的定义，复合命题的真假和含有一个量词的命题的否定，这里要区别否命题的形式，本题是一道基础题．11．A解析：A 【分析】对选项逐个分析，对于A 项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B 项，根据充分必要条件的定义判断正误；对于C 项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D 项，从空间直线平面的关系可判断正误. 【详解】对于A ，命题p ：0x R ∃∈，01x e <，则命题p ⌝：x R ∀∈，1x e ≥，A 正确； 对于B ，当3x π=时， sin 2x =成立， 所以“3x π=”是“sin 2x =”的充分条件，所以B 错误； 对于C ，a b >且两向量反向时 +=-a b a b 成立， a b ⊥不成立C 错误； 对于D ，若m n ⊥，m α⊥，βn//，则α，β的位置关系无法确定，故D 错误. 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关选择正确命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.12．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题； 对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的； 对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.故选：C. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.二、填空题13．a≥－8【分析】等价于∃x ∈{x|1≤x≤2}求出函数在的最小值即得解【详解】由题得∃x ∈{x|1≤x≤2}x2＋2x ＋a≥0所以∃x ∈{x|1≤x≤2}因为函数在的最小值为此时所以故答案为：【点睛解析：a ≥－8【分析】等价于∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，2(1)1a x ≥-++,求出函数2(1)1y x =-++在[1,2]的最小值即得解. 【详解】由题得∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，x 2＋2x ＋a ≥0，所以∃x ∈{ x |1≤x ≤2}，222(1)1a x x x ≥--=-++,因为函数2(1)1y x =-++在[1,2]的最小值为8-，此时2x =. 所以8a ≥-. 故答案为：8a ≥- 【点睛】本题主要考查特称命题，考查一元二次不等式的能成立问题的求解，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.14．【解析】因为所以或则图中阴影部分所表示的集合为应填答案 解析：[]5,1-【解析】因为[]5,2A =-，()1,4B =，所以{|1U C B x x =≤或4}x ≥，则图中阴影部分所表示的集合为(){|51}U C B A x x ⋂=-≤≤，应填答案[]5,1-．15．【分析】先根据一元二次不等式恒成立得再根据充要条件概念即可得答案【详解】解：当时显然满足条件当时由一元二次不等式恒成立得：解得：综上所以不等式对任意恒成立的充要条件是故答案为：【点睛】本题考查充要条 解析：(]8,0-【分析】先根据一元二次不等式恒成立得(]8,0m ∈-，再根据充要条件概念即可得答案. 【详解】解：当0m =时，显然满足条件，当0m ≠时，由一元二次不等式恒成立得：2800m m m ⎧+<⎨<⎩，解得：80m -<<综上，(]8,0m ∈-，所以不等式220mx mx --<对任意x ∈R 恒成立的充要条件是(]8,0m ∈-， 故答案为：(]8,0- 【点睛】本题考查充要条件的求解，一元二次不等式恒成立问题，是基础题.16．或【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出的范围即可【详解】解：或若是的必要条件则或故或故答案为：或【点睛】本题考查了充分必要条件考查集合的包含关系属于基础题解析：3m ≤-或2m ≥ 【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系求出m 的范围即可． 【详解】解：:5x α-或1x ，:2321m x m β-+， 若α是β的必要条件， 则231m -或215m +-， 故2m 或3m -， 故答案为：2m 或3m -． 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，属于基础题．17．数列为等差数列且【分析】根据题意设该数列为由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且反之验证可得成立综合即可得答案【详解】根据题意设该数列为若数列的前项和则当时当时当时符合故有数列为等差数列且反之当解析：数列为等差数列且14a =，6d =． 【分析】根据题意，设该数列为{}n a ，由数列的前n 项和公式分析可得数列为等差数列且14a =，6d =，反之验证可得23n S n n =+成立，综合即可得答案．【详解】根据题意，设该数列为{}n a ，若数列的前n 项和23n S n n =+，则当1n =时，114a S ==，当2n 时，162n n n a S S n -=-=-，当1n =时，14a =符合62n a n =-，故有数列为等差数列且14a =，6d =，反之当数列为等差数列且14a =，6d =时，62n a n =-，21()232n n a a S n n +⨯==+； 故数列的前n 项和23(*)n S n n n N =+∈”成立的充要条件是数列为等差数列且14a =，6d =，故答案为：数列为等差数列且14a =，6d =．【点睛】本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题． 18．{34}【分析】利用交集的概念及运算可得结果【详解】【点睛】本题考查集合的运算考查交集的概念与运算属于基础题解析：{3，4}．【分析】利用交集的概念及运算可得结果.【详解】{}1234A =，，，，{}345B =，，{}34A B ∴⋂=，.【点睛】本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.19．③④⑤【解析】所以将一组数据中的每个数都变为原来的2倍则方差也变为原来的4倍；故①错误；命题的否定是故②错误；在中若则由正弦定理得故③正确；在正三棱锥内任取一点P 使得则在与底面平行的中截面上则中截面解析：③④⑤【解析】,所以将一组数据中的每个数都变为原来的2倍，则方差也变为原来的4倍；故①错误；命题“2,10x R x x ∃∈++<”的否定是“”，故②错误；在ABC ∆中，若，则，由正弦定理,得,故③正确；在正三棱锥S ABC -内任取一点P ，使得12P ABC S ABC V V --<，则,在与底面平行的中截面上，则中截面将正三棱锥的体积分成的两部分，所以所求概率是78，即④正确；⑤若对于任意的()2,430n N n a n a *∈+-++≥恒成立，则 ，即，令，显然在上为减函数，且，即，即实数a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，故⑤正确；所以选③④⑤.考点：命题的判定. 20．【分析】若使得成立只要保证在R 上不单调即可【详解】函数的对称轴为当即时在上不是单调函数则在R 上也不是单调函数满足题意；当即时分段函数为R 上的单调增函数不满足题意故答案为：【点睛】本题以命题的形式考查 解析：(,2)-∞【分析】若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，只要保证()f x 在R 上不单调即可.【详解】函数2y x ax =-+的对称轴为=2a x ， 当12a <即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数， 则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意； 当12a >即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意. 故答案为：(,2)-∞ 【点睛】本题以命题的形式考查了分段函数单调性，考查了转化的思想，属于中档题.三、解答题21．充分不必要【分析】分10k -=和100k ->⎧⎨∆<⎩可求出当命题p 为真命题时对应的实数k 的取值范围，利用基本不等式求出2272x x --在2x >时的最大值，可求出当命题q ⌝为真命题时对应的实数k 的取值范围，再利用集合的包含关系可得出结论.【详解】若p 为真命题：当1k =时，对于任意x ∈R ，则有20>恒成立；当1k ≠时，根据题意，有()()2101810k k k ->⎧⎪⎨∆=---<⎪⎩，解得19k <<. 所以19k ≤<；若q ⌝为真命题：2x ∀>，2272x k x -≥-． ()()()22228212712288222x x x x x x x -+-+-==-++≥---，当且仅当22x =+时，等号成立，所以8k ≤+ {}19k k ≤< {8k k ≤+，所以，“p 为真命题”是“q ⌝为真命题”的充分不必要条件.【点睛】 本题考查充分不必要条件的判断，同时也涉及了利用命题的真假求参数，考查运算求解能力与推理能力，属于中等题.22．（1）{|26}A B x x =<<，()R A B {|2x x =≤-或2}x >；（2）选①，21m -≤≤；选②，7m ≤-或6m ≥；选③7m ≤-或6m ≥. 【分析】先解二次不等式可得A ，进而可得A R ，（1）再利用交集并集的定义直接求解即可；（2）若选①，由B A ⊆列不等式求解即可；若选②，由52m +≤-或6m ≥即可得解；若选③，由52m +≤-或6m ≥即可得解.【详解】集合{}24120{|26}A x x x x x =-++>=-<<，{|2R A x x =≤-或6}x ≥ （1）若2m =，{27}B x x =<<，则{|26}A B x x =<<，()R A B {|2x x =≤-或2}x >.（2）若选①A B B =，则B A ⊆，所以562m m +≤⎧⎨≥-⎩，解得21m -≤≤； 若选②R B A ⊆，则52m +≤-或6m ≥，解得：7m ≤-或6m ≥； 若选③AB =∅，则52m +≤-或6m ≥， 解得：7m ≤-或6m ≥.【点睛】本题主要考查了集合的交并补的运算及由集合的包含关系求参，属于基础题.23．{}|9m m ≥【分析】化简命题p ：－2≤x ≤10，若￢p 是￢q 的必要不充分条件等价于q 是p 的必要不充分条件，从而可列出不等式组，求解即可.【详解】由题意得p ：－2≤x ≤10.∵￢p 是￢q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．∴p ⇒q ，q p .∴12110m m -≤-⎧⎨+≥⎩∴39m m ≥⎧⎨≥⎩∴m ≥9. 所以实数m 的取值范围为{m |m ≥9}．【点睛】 本题主要考查了必要不充分条件，逆否命题，属于中档题.24．(]0,3【分析】分别求解绝对值不等式和含参一元二次不等式，结合,p q 命题对应x 的取值范围，根据充分不必要条件，求得集合之间的包含关系，再由集合的包含关系，求参数范围即可.【详解】 因为1123x --≤，即12123x --≤-≤，整理得：319x -≤-≤，解得[]2,10x ∈-； 因为22210x x m -+-≤，整理得：()221,(0)x m m -≤>，解得[]1,1x m m ∈-+；又因为p ⌝是q ⌝的充分而不必要条件，故q 是p 的充分不必要条件，也即集合[]1,1m m -+是集合[]2,10-的真子集. 故12110m m -≥-⎧⎨+≤⎩(不能同时取等号)，解得3m ≤，又因为0m >， m ∴的取值范围为(]0,3.故答案为：(]0,3.【点睛】本题考查由充分不必要条件求参数的范围，涉及绝对值不等式和含参一元二次不等式的求解，以及由集合关系求参数范围的问题，属于中档题.25．0a <或144a << 【分析】题:p x R ∀∈，210ax ax ++>，对a 分类讨论：当0a =时，直接验证；当0a ≠时，可得2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩．命题0:q x R ∃∈，2000x x a -+=，可得10∆．由p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，可得命题p 与q 必然一真一假．解出即可．【详解】解：命题:p x R ∀∈，210ax ax ++>，当0a =时，10>成立，因此0a =满足题意；当0a ≠时，可得2040a a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得04a <<． 综上可得：04a <．命题0:q x R ∃∈，2000x x a -+=，∴1140a =-∆，解得14a ． p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，∴命题p 与q 必然一真一假．∴0414a a <⎧⎪⎨>⎪⎩或0414a a a <⎧⎪⎨⎪⎩或， 解得0a <或144a <<． ∴实数a 的取值范围是0a <或144a <<． 【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的解集与判别式的关系、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．26．（1）[]1,0-（2）(),0-∞ 【分析】 （1）首先求出不等式的解集，再根据集合的包含关系求出参数的取值范围； （2）根据绝对值的三角不等式可得()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+，故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 分类讨论计算可得；【详解】解：（1）因为()1f x x a x =-++，且()21f x x <++，2x a ∴-< ，22a x a ∴-+<<+，由题意知，()[]2,23,2a a -+⊆-，所以2322a a -≥-⎧⎨+≤⎩， 解得10a -≤≤，所以实数a 的取值范围是[]1,0-.（2）()1111f x x a x a x x a x x a =-++=-++≥-++=+， 当且仅当()()10a x x -+≥时，等号成立，所以()f x 的最小值为1a +.故对任意的x ∈R ，()21>+f x a 恒成立可转化为121a a +>+， 所以10121a a a +≥⎧⎨+>+⎩或10121a a a +<⎧⎨-->+⎩，解得0a <. 所以实数a 的取值范围是(),0-∞.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，集合的包含关系及绝对值三角不等式的应用，属于中档题.。
人教B版高中数学必修第一册课后习题 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2.3 充分条件、必要条件
1.2.3 充分条件、必要条件必备知识基础练1.设a∈R,则“a>√2”是“a2>2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.集合M={x|-1<x<1},P={x|b-a<∩P≠⌀”的充分条件,则b的取值范围是( )A.[-2,0)B.(0,2]C.(-3,-1)D.(-2,2)3.(多选题)在下列各选项中,p是q的充要条件的是( )A.p:A⊆B,q:A∩B=AB.p:a=b,q:|a|=|b|C.p:|x|+|y|=0,q:x=y=0(x,y∈R)D.p:a,b都是偶数,q:a+b是偶数4.设集合A={1,a2,-2},B={2,4},则“a=2”是“A∩B={4}”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是.6.已知p:1≤x≤2,q:x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围为.(1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等.(2)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等.(3)p:A⊆B,q:A∩B=A.试分别指出p是q的什么条件.8.设p:x>a,q:x>3.(1)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围;(2)若p是q的充分不必要条件,求a的取值范围;(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.关键能力提升练A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件D.“a<5”是“a<3”的必要条件A.a>-1B.a>0C.a≥-1D.a≤012.已知p:m-1<x<m+1,q:2<的取值范围为( )A.(3,5)B.[3,5]C.(-∞,3)∪(5,+∞)D.(-∞,3]∪[5,+∞)13.已知集合A={x|a-2<x<a+2},B={x|x≤-2或x≥4},则A∩B=⌀的充要条件是.14.证明:对于任意x,y∈R,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件.学科素养创新练15.请在①充分不必要条件,②必要不充分条件,③充要条件这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的实数m存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.已知集合A={>0}.若x∈A是是否存在?参考答案1.2.3 充分条件、必要条件1.A 由a2>2,解得a>√2或a<-√2,则当a>√2时,有a2>2成立.当a2>2时,a>√2不一定成立,如a=-3时,满足a2>2,但a>√2不成立.所以“a>√2”是“a2>2”的充分不必要条件.故选A.2.D 因为a=1,所以P={x|b-1<∩P≠⌀,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,所以0≤b<2或-2<b≤0,即b的取值范围是(-2,2).3.AC 选项A,C中,p都是q的充要条件.选项B中,p是q的充分不必要条件.选项D中,p是q的充分不必要条件.4.A 当“a=2”时,A={1,4,-2},“A∩B={4}”.当“A∩B={4}”时,a可以为-2,故不能推出“a=2”.由此可知“a=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.5.(-∞,0][0,+∞)因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x ∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.6.(-∞,1)∵p是q的充分不必要条件,∴[1,2]⫋(a,+∞).∴a<1,故实数a的取值范围为(-∞,1).7.解(1)因为两个三角形相似两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,所以p是q的必要不充分条件.(2)因为矩形的对角线相等,所以p⇒q,而对角线相等的四边形不一定是矩形,所以q p.所以p是q的充分不必要条件.(3)因为p⇒q,且q⇒p,所以p既是q的充分条件,又是q的必要条件,即p 是q的充要条件.8.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.(1)若p是q的必要不充分条件,则有B⫋A,所以a<3,a的取值范围为(-∞,3).(2)若p是q的充分不必要条件,则有A⫋B,所以a>3,a的取值范围为(3,+∞).(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,即a=3,则有A=B,所以p是q的充要条件.12.B 因为q是p的必要条件,q不是p的充分条件,所以由p能得到q,而由q得不到p,所以{m-1≥2, m+1≤6,所以3≤m≤5.所以实数m的取值范围是[3,5].13.0≤a≤2因为A∩B=⌀,所以{a +2≤4,a -2≥-2,所以0≤a≤2. 14.证明“⇐”:∵(x-1)2+(y-1)2=0,∴x-1=0且y-1=0,∴(x-1)(y-1)=0,即(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要条件;“⇒”:∵(x-1)(y-1)=0,∴x-1=0,y-1≠0或x-1≠0,y -1=0或x-1=0,y-1=0,故不一定能得到(x-1)2+(y-1)2=0,即充分性不成立.综上,对于任意x,y ∈R,(x-1)(y-1)=0是(x-1)2+(y-1)2=0的必要不充分条件.15.解若选择条件①,即x ∈A 是x ∈B 成立的充分不必要条件,集合A 是集合B 的真子集,则有{1-m ≤-2,1+m ≥6,解得m≥5,所以实数m 的取值范围是[5,+∞).若选择条件②,即x ∈A 是x ∈B 成立的必要不充分条件,集合B 是集合A 的真子集,则有{1-m ≥-2,1+m ≤6,解得0<m≤3,所以实数m 的取值范围是(0,3]. 若选择条件③,即x ∈A 是x ∈B 成立的充要条件,则集合A 等于集合B,则有{1-m =-2,1+m =6,方程组无解, 所以不存在满足条件的实数m.。
高中数学人教B版(2019)必修一单元测试AB卷 第一章 集合与常用逻辑用语A卷 基础夯实
人教B 版（2019）必修一单元测试AB 卷第一章 集合与常用逻辑用语A 卷 基础夯实1.设集合{}1,2A =，则满足{}1,2,3AB =的集合B 的个数是( ) A ．1 B ．3C ．4D ．82.若{}1,3,A x =，{}2,1B x =，且{}1,3,A B x ⋃=，则满足条件x 的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.43.已知集合{}2A x x =<，{}320B x x =->，则( ) A.3{|}2AB x x =< B.AB =∅ C.3{|}2AB x x =< D.A B =R4.已知命题2:,20p x R x x a ∀∈+->.若p 为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.1a >-B.1a <-C.1a ≥-D.1a ≤-5.对下列命题的否定说法错误的是( )A.:p 能被2整除的数是偶数；:p ⌝存在一个能被2整除的数不是偶数B.:p 有些矩形是正方形；:p ⌝所有的矩形都不是正方形C.:p 有的三角形为正三角形；:p ⌝所有的三角形不都是正三角形D.22:,20;:,20p x R x x p x R x x ∃∈++≤⌝∀∈++>6.“a b >”是“a b >”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既是充分条件，也是必要条件D. 既不充分也不必要条件7.已知2:40,:20p x m q x x +<-->，若p 是q 的一个充分不必要条件，则实数m 的取值范围是( )A.[8,)+∞B.[4,)+∞C.(4],-∞D. (],4-∞- 8.设集合{}{}{}1,1,2,3,5,2,3,4,R |13A B C x x =-==∈≤<，则()A C B ⋂⋃=( )A.{}2B.{}2,3C.{}1,2,3-D.{}1,2,3,49.设全集为R ，集合{}{}|02,|1A x x B x x =<<=≥，则()R AB =( ) A.{}|01x x <≤ B.{}|01x x << C.{}|12x x ≤< D.{}|02x x << 10.已知集合{|1}A x x =>，{|}B x x a =>，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是______. 11.某校高一(1)班有学生50人，参加数学小组的有24人，参加物理小组的有30人，至少参加一个小组的有43人，则既参加数学小组又参加物理小组的人数为 ______.12.命题“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定是____________________ 13.若“2x >”是“x a >”的必要不充分条件，则a 的取值范围为________14.已知条件2:60p x x +-=，条件:10q mx +=，且q 是p 的充分不必要条件，则实数m 的值为________15.试分别用描述法和列举法表示下列集合：(1)方程220x -=的所有实数根组成的集合A ；(2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合B .16.已知集合{}3A x a x a =≤≤+，{}1,5B x x x =<->或.(1)若A B ⋂=∅，求a 的取值范围；(2)若A B B ⋃=，求a 的取值范围.17.设集合(][),23,,(,2)(,)(0)A B a a a =-∞-⋃+∞=-∞⋃-+∞<.(1)若“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.(2)设:,:p x A q x B ∈∈，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.(3)是否存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件？若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由.答案以及解析1.答案：C解析：{}{}1,2,1,2,3A A B ==则集合B 中必含有元素3，即此题可转化为求集合{}1,2A =的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B 共有224=个2.答案：C解析：由集合中元素互异性可知，1x ≠±且3x ≠，故23x =或2x x =，即x =0x =或1x =舍去）.综上所述，x 可取x =0，即满足条件的x 的个数为3.3.答案：A解析：由320x ->得32x <，所以33{|2}{|}{|}22A B x x x x x x =<<=<.故选A. 4.答案：B解析：依题意不等式220x x a ->+对x R ∈恒成立，所以必有440a ∆=+<，解得1a <- 5.答案：C解析：“有的三角形为正三角形”为存在量词命题，其否定为全称量词命题：“所有的三角形都不是正三角形”，故选C6.答案：B解析：由a b a b >⇒>，而a b >推不出a b >7.答案：B解析：由 40x m +<，得4m x <-，即:4m p x <- 由220x x -->，得2x >或1x <-，即:2q x >或1x <-p 是q 的一个充分不必要条件，|{|21}4m x x x x x ⎧⎫∴<-><-⎨⎬⎩⎭或，即14m -≤-， 解得4m ≥，故选B.8.答案：D解析：由条件可得{}1,2A C ⋂=，故{}()1,2,3,4A C B ⋂⋃=.9.答案：B解析：因为{}|1B x x =≥，所以{}|1R B x x =<.又{}|02A x x =<<，所以{}()|01R A B x x =<<，故选B.10.答案：(],1-∞解析：如图，在数轴表示,A B ，因为A B ⊆，故1a ≤，填(],1-∞.11.答案：11解析：设既参加数学小组又参加物理小组的有x 人，则只参加数学小组的有(24)x -人，只参加物理小组的有(30)x -，既没有参加数学小组又没有参加物理小组的有(5043)-人.如图所示，可得方程7(24)(30)50x x x +-++-=，解得11x =.故既参加数学小组又参加物理小组的有11人.12.答案：存在末位数字是0或5的整数不能被5整除解析：如果把末位数字是0或5的整数集合记为M ，则这个命题可以改写为“,x M x ∀∈能被5整除”，因此这个命题的否定是“,x M x ∃∈不能被5整除”，即“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”13.答案：(2,)+∞解析：由题意得，{}|x x a >是{}2|x x >的真子集，故2a >14.答案：21-或13解析：条件p 中的元素为2和3- 又q 中的元素必在p 当中0m ∴≠，从而条件q 当中的元素为1x m=- 当12m -=时，12m =-，此时满足题意 当13m -=-时，13m =，经检验此时也符合题意故答案为21-或1315.答案：(1)设x A ∈，则x 是一个实数，且220x -=.因此，用描述法表示为2{|20}A x x =∈-=R .方程220x -=A =.(2)设x B ∈，则x 是一个整数，即x ∈Z ，且1020x <<.因此，用描述法表示为{|1020}B x x =∈<<Z .大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为{11,12,13,14,15,16,17,18,19}B =.16.答案：(1)由A B ⋂=∅得135a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得12a -≤≤，所以a 的取值范围是[]1,2-. (2)由A B B ⋃=知A B ⊆，所以31a +<-或5a >，解得4a <-或5a >. 所以a 的取值范围是()(),45,-∞-⋃+∞17.答案：(1)由题意，知A B ，则有2230a a a >-⎧⎪-<⎨⎪<⎩，∴10a -<<，即实数a 的取值范围是(1,0)-.(2)∵p ⌝中x 的取值构成的集合为(2,3),q -⌝中x 的取值构成的集合为[]2,a a -， ∴[](2,3)2,a a --，∴0223a a a <⎧⎪≤-⎨⎪-≥⎩，∴3a ≤-，∴实数a 的取值范围为(],3-∞-.(3)∵无论a 取何值，都有A B ≠，∴不存在实数a ，使得“x A ∈”是“x B ∈”的充要条件.。
人教B版高中数学必修第一册课后习题 第1章 集合与常用逻辑用语 1.1.3 第1课时 交集、并集
1.1.3 集合的基本运算第1课时 交集、并集课后训练巩固提升1.若集合M={-1,1},N={-2,1,0},则M∩N=( )A.{0,-1}B.{1}C.{0}D.{-1,1}答案:B2.已知集合A={(x,y)|x+y=3},B={(x,y)|x-y=1},则A∩B=( )A.{2,1}B.{x=2,y=1}C.{(2,1)}D.(2,1) 解析:A∩B={(x ,y )|{x +y =3,x -y =1}={(2,1)}. 答案:C3.设集合A={5,2a},B={a,b}.若A∩B={2},则a+b 等于( )A.1B.2C.3D.4解析:由A∩B={2},得2a=2,解得a=1,则b=2,故a+b=3.答案:C4.(多选题)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|x<0或x≥2},则( )A.A∩B={x|2≤x≤3}B.A∪B={x|x<0或x≥1}C.A⊆BD.A∪B={x|x<0或x≥2}解析:结合数轴知A∪B={x|x<0或x≥1},A∩B={x|2≤x≤3}.答案:AB5.设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使A∪B=A成立的a的值是( )A.-1B.0C.1D.-1或1或0解析:∵A∪B=A,∴B⊆A,∴a2=0或a2=1,∴a=0或a=±1,但a=0与a=1不合题意,舍去.∴a=-1.答案:A6.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为.解析:易知A∪B={1,2,3,4,5},故A∪B中有5个元素.答案:57.已知集合A={x|x<1或x>5},B={x|a≤x≤b},且A ∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b= .解析:如图,由题意可知a=1,b=6,所以2a-b=-4.答案:-48.已知集合A={x|a<x≤a+8},B={x|x<-1或x>5}.若A ∪B=R,则实数a 的取值范围为 ;若A ⊆B,则实数a 的取值范围是 .解析:由题意A ∪B=R,在数轴上表示出A,B,如图.则{a <-1,a +8≥5,解得-3≤a<-1. 若A ⊆B,则a+8<-1或a≥5,解得a<-9或a≥5.答案:-3≤a<-1 (-∞,-9)∪[5,+∞)9.已知集合A={x |{3-x >0,3x +6>0},B={x|3>2x-1},求A∩B,A∪B. 解:∵A={x |{3-x >0,3x +6>0}={x|-2<x<3}, B={x|3>2x-1}={x|x<2}.用数轴表示集合A,B,如图.∴A∩B={x|-2<x<2},A ∪B={x|x<3}.10.已知集合A={x|2a≤x≤a+3},B={x|x<-1或x>5}.若A∩B=⌀,求实数a 的取值范围.解:由A∩B=⌀,A={x|2a≤x≤a+3},得若A=⌀,则2a>a+3,解得a>3.若A≠⌀,如图,则{2a ≥-1,a +3≤5,2a ≤a +3,解得-12≤a≤2. 综上,实数a 的取值范围是-12≤a≤2或a>3.1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P 的子集的个数为( )A.2B.4C.6D.8解析:∵P=M∩N={1,3},∴P 的子集的个数为22=4.答案:B2.设集合A={1,2,6},B={2,4},C={x∈R|-1≤x≤5},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{x∈R|-1≤x≤5}解析:A∪B={1,2,4,6},(A∪B)∩C={1,2,4},故选B.答案:B3.(多选题)已知集合M={∪N=MD.N⊆M解析:M={x|y=∪N=M,N⊆M.答案:ACD4.如果集合A,B同时满足A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},那么就称有序集对(A,B)为“好集对”.这里有序集对(A,B)是指,当A≠B 时,(A,B)和(B,A)是不同的集对,则“好集对”的个数为( )A.5B.6C.7D.8解析:∵A∪B={1,2,3,4},A∩B={1},A≠{1},B≠{1},∴当A={1,2}时,B={1,3,4};当A={1,3}时,B={1,2,4};当A={1,4}时,B={1,2,3};当A={1,2,3}时,B={1,4};当A={1,2,4}时,B={1,3};当A={1,3,4}时,B={1,2}.故满足条件的“好集对”的个数为6.答案:B5.设集合A={x ||x -32|=12},B={t|t 2+2(a+1)t+(a 2-5)=0}.若A∩B=B,则实数a 的取值范围为 .解析:A={x ||x -32|=12}={1,2},B={t|t 2+2(a+1)t+(a 2-5)=0}. 由A∩B=B,得B ⊆A.当4(a+1)2-4(a 2-5)<0,即a<-3时,B=⌀,符合题意;当4(a+1)2-4(a 2-5)=0,即a=-3时,B={t|t 2-4t+4=0}={2},符合题意; 当4(a+1)2-4(a 2-5)>0,即a>-3时,要使B ⊆A,则B=A,即{1+2=-2(a +1),1×2=a 2-5,此方程组无解. 故实数a 的取值范围是{a|a≤-3}.答案:{a|a≤-3}6.若集合A={2,4,x},B={2,x 2},且A ∪B={2,4,x},则x= . 解析:由已知,得B ⊆A,则x 2=4或x 2=x,解得x=0,1,±2.由元素的互异性知x≠2,故x=0,1或-2.答案:0,1或-27.已知集合A={x|-1≤x<3},B={x|2x-4≥x-2}.(1)求A∩B;(2)若集合C={x|2x+a>0},满足B∪C=C,求实数a的取值范围.解:(1)由题意,得B={x|x≥2}.又A={x|-1≤x<3},如图.故A∩B={x|2≤x<3}.}.(2)由题意,得C={x|x>-a2<2,∴a>-4.∵B∪C=C,∴B⊆C,∴-a28.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1或x>16}.若A⊆(A∩B),求实数a的取值范围.解:因为A⊆(A∩B),且(A∩B)⊆A,所以A∩B=A,即A⊆B.显然A=⌀满足条件,此时a<6.若A≠⌀,如图,则{2a +1≤3a -5,3a -5<-1或{2a +1≤3a -5,2a +1>16. 由{2a +1≤3a -5,3a -5<-1,此时a 不存在;由{2a +1≤3a -5,2a +1>16,解得a>152. 综上,满足条件A ⊆(A∩B)的实数a 的取值范围是{a |a <6或a >152}.。
人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(有答案解析)
一、选择题1．已知命题2:11xp x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞ B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞2．已知直线,m n 和平面α，n ⊂α，则“//m n ”是“//m α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．全集U =R ，集合04xA x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞5．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2C ．1D ．07．若命题“∃x 0∈R ，x ＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，3)B ．[－1，3]C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)8．已知p ：02x ≤≤，q ：2230x x --≥，则p 是q ⌝的（ ）A ．既不充分也不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．充分必要条件9．已知1:12p x ≥-，:||2q x a -<，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,4]-∞B ．[1,4]C ．(1,4]D ．(1,4)10．设集合{}1,0,1,2,3A =-， 2{|30}B x x x =->，则()R A C B （ ）A ．{－1}B ．{0,1,2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2}11．已知平面向量a 和b ，则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知,a b →→为非零不共线向量，设条件:()M b a b →→→⊥-，条件:N 对一切x ∈R ，不等式||||a x b a b →→→→-≥-恒成立，则M 是N 的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为__________．14．若“条件α：24x ≤≤”是“条件β：31m x m -≤≤-”的充分条件，则m 的取值范围是________.15．已知等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的________条件.（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M ∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________．17．已知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，记()(){}()(){},f A n f n A f B m f m B =∈=∈， 则()()f A f B ⋂=_________.18．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______． 19．设命题21:01x p x -<-，命题2:2110q x a x a a ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．20．已知()2:9p x a -<，()3:log 21q x +<．若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．三、解答题21．已知集合{|22}A x a x a =-+，2{|540}B x x x =-+ （1）当3a =时，求A B ，()R A B ⋃；（2）若AB =∅，求实数a 的取值范围．22．已知集合103x A xx +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭∣，{}2(1)20B x x m x m =--+-≤∣．（1）若[,][1,4]A a b ⋃=-，求实数a ，b 满足的条件； （2）若A B A ⋃=，求实数m 的取值范围．23．已知集合{}30A x x a =->，{}260B x x x =-->． （Ⅰ）当3a =时，求A B ，A B ；（Ⅱ）若()RA B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．24．已知集合{}2|5140A x x x =--≤，{}|14B x x =-≤.（1）若{}|121C x m x m =+≤≤-，()C A B ⊆⋂，求实数m 的取值范围； （2）若{}|61D x x m =>+，且()A B D =∅，求实数m 的取值范围.25．已知集合{}2|320A x R ax x =∈-+=． （1）若A 是空集，求实数a 的取值范围； （2）若A 中只有一个元素，求实数a 的值． 26．已知集合1|11A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，()(){}|320,1B x x a x a a =--->≤. （1）求集合A 和B ；（2）若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果. 【详解】 因为211xx <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<，当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<， 当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意， 当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意， 综上所述：1a ≥. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．2．D解析：D 【分析】从充分性和必要性两方面分别分析判断得解. 【详解】直线,m n 和平面α，n ⊂α，若//m n ，当m α⊂时，//m α显然不成立，故充分性不成立；当//m α时，如图所示，显然//m n 不成立，故必要性也不成立．所以“//m n ”是“//m α”的既不充分又不必要条件. 故选：D 【点睛】方法点睛：判定充要条件常用的方法有三种：（1）定义法：直接利用充分必要条件的定义分析判断得解； （2）集合法：利用集合的包含关系分析判断得解； （3）转化法：转化成逆否命题分析判断得解.3．A解析：A 【分析】求出函数()()xf x x a e =-的极值点，利用该极值点在()0,∞+内求得实数a 取值范围，利用集合的包含关系可得出结论.【详解】()()x f x x a e =-，则()()1x f x x a e '=-+，令()0f x '=，可得1x a =-.当1x a <-时，()0f x '<；当1x a >-时，()0f x '>. 所以，函数()y f x =在1x a =-处取得极小值.若函数()y f x =在()0,∞+上有极值，则10a ->，1a ∴>.因此，“2a >”是“函数()()xf x x a e =-在()0,∞+上有极值”的充分不必要条件.故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了利用导数求函数的极值点，考查计算能力与推理能力，属于中等题.4．C解析：C 【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃. 【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >，()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C . 【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.5．B解析：B 【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件．6．B解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,22⎛-- ⎝⎭，则A B 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.7．C解析：C 【分析】根据二次函数的图象与性质，得到关于a 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<，则2(1)40a ∆=-->，解得3a >或1a <-， 所以实数a 的取值范围是(,1)(3,)-∞-+∞，故选C.【点睛】本题主要考查了存在性命题的真假判定及应用，其中熟记转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．C解析：C 【分析】设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，根据集合之间的包含关系，即可求解.【详解】因为q ：2230x x --≥， 所以q ⌝：2230x x --<，设[0,2]M =，2{|230}N x x x =--<，则(1,3)N =-， 所以M N ,所以p 是q ⌝的充分不必要条件， 故选：C 【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件，集合的真子集，考查了推理能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】求出p ，q 的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 【详解】由112x ≥-，即302x x -≤-，解得23x <≤， 由||2x a -<得22a x a -<<+，若p 是q 的充分不必要条件，则2223a a -≤⎧⎨+>⎩，解得14a <≤，实数a 的取值范围为(]1,4， 故选：C. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于中档题.10．B解析：B 【分析】解出集合B ，进而求出R C B ，即可得到()R A C B ⋂. 【详解】{}{}{}23003,03,R B x x x x x x C B x x =->=∴=≤≤或故(){}{}{}1,0,1,2,3030,1,2,3R A C B x x ⋂=-⋂≤≤=. 故选B. 【点睛】本题考查集合的综合运算，属基础题.11．C解析：C 【分析】||||b a b =-两边平方得出22()b a b =-，展开等价变形得出102b a a ⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】22||||()b a b b a b =-⇔=-22221122020022b a a b b a a b a b a b a a ⎛⎫⎛⎫⇔=-⋅+⇔-⋅=⇔⋅-=⇔-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则“||||b a b =-”是“1()02b a a -⋅=”的充分必要条件 故选：C 【点睛】本题主要考查了充要条件的证明，涉及了向量运算律的应用，属于中档题.12．C解析：C 【分析】条件M ：()b a b →→→⊥-20a b b ⇔⋅-=，条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220.x b a bx a b b -⋅+⋅-≥进而判断出结论．【详解】条件M ：0b a a b ⊥⇔⋅=．条件N ：对一切x R ∈，不等式a xb a b -≥-成立，化为：222220x b a bx a b b -⋅+⋅-≥．因为20b ≠，()2224()420a b b a b b ∴=⋅-⋅-≤， 22()0a b b →→→∴⋅-≤，即20a b b →→→⋅-=，可知：由M 推出N ，反之也成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量数量积运算性质、充要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】集合A 中所有元素被选取了次可得集合中所有3个元素的子集的元素和为即可得结果【详解】集合中所有元素被选取了次∴集合中所有3个元素的子集的元素和为故答案为【点睛】本题考查了集合的子集正整数平方和解析：(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++【分析】 集合A 中所有元素被选取了21n C -次，可得集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()222122123n n C -+++⋯+即可得结果.【详解】 集合{}22221,2,3,,A n =中所有元素被选取了21n C -次，∴集合{}22221,2,3,,A n =中所有3个元素的子集的元素和为()()()()()22222112121 12326n n n n n n C n ---+++++⋯+=⨯()()()()2112112n n n n n --++=， 故答案为(2)(1)(1)(21)12n n n n n --++．【点睛】本题考查了集合的子集、正整数平方和计算公式，属于中档题．14．【分析】利用充分必要条件的定义问题转化为集合的包含关系根据不等式之间的关系即可得到结论【详解】设p 对应的集合为q 对应的集合为若p 是q 的充分条件则解得:实数m 的取值范围为故答案为【点睛】本题主要考查充 解析：(],4-∞-【分析】利用充分、必要条件的定义，问题转化为集合的包含关系，根据不等式之间的关系即可得到结论. 【详解】设p 对应的集合为A=[2,4),q 对应的集合为B=[3m-1,-m], 若p 是q 的充分条件, 则A B ⊆,313124m m m m -≥-⎧⎪∴-≤⎨⎪-≥⎩, 1414m m m ⎧≤⎪⎪≤⎨⎪≤-⎪⎩, 解得:4m ≤-.实数m 的取值范围为(,4]-∞-，故答案为(,4]-∞-. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,以及转化思想的应用，属于中档题.15．充分不必要【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案【详解】在等比数列中则由得即；反之由得即或当时等比数列中则是的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查等比数列的性质考解析：充分不必要 【分析】由等比数列的性质结合充分必要条件的判定方法得答案． 【详解】在等比数列{}n a 中，10a >，则由12a a <，得11a a q <，即1q >，∴243115a a q a q a =<=；反之，由243115a a q a q a =<=，得21q >，即1q >或1q <-，当1q <-时，112a a q a >=．∴等比数列{}n a 中，10a >，则“12a a <”是“35a a <”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．【点睛】本题主要考查等比数列的性质，考查充分必要条件的判定方法，是基础题．16．4【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论【详解】由M*N 的定义可知fM （x ）+fN （x ）＝1则M*N ∈{x|x ∈M ∪N 且x ∉M∩N}即M*A ＝{x|x ∈M ∪A 且x ∉M∩A}M*B解析：4 【分析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由M *N 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则M *N ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即M *A ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，M *B ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （M *A ）+Card （M *B ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．17．【分析】由题意求得所再根据集合的交集的运算即可求解【详解】由题意知集合所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算其中解答中正确求解集合是解答的关键着重考查了推理与运算能力属于基础题 解析：{}7,9,11【分析】由题意求得所(){}3,5,7,9,11f A =，(){}7,9,11,13,15f B =，再根据集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，知()()21f n n n N*=+∈，集合{}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,7A B ==，所以()(){}{}3,5,7,9,11f A n f n A =∈=，()(){}{}7,9,11,13,15f B m f m B =∈=， 所以()(){}7,9,11f A f B ⋂=. 故答案为：{}7,9,11. 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念与运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x 解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题，即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值， 由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52， 则2a 52＜，可得a 54＜，则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）． 故答案为（﹣∞，54）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 19．【详解】试题分析：由题意得解得所以由解得即要使得是的充分不必要条件则解得所以实数的取值范围是考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用分式不等式 解析：10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【详解】 试题分析：由题意得，21:01x p x -<-，解得112x <<，所以1:12p x <<，由2:2110q x a x a a ，解得1a x a ≤≤+，即1q a x a ≤≤+:，要使得p 是q 的充分不必要条件，则11{12a a +≥≤，解得102a ≤≤，所以实数a 的取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 考点：充分不必要条件的应用；不等式的求解．【方法点晴】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定与应用、分式不等式和一元二次不等式的求解等知识的应用，本题的解答中根据分式不等式的求解和一元二次不等式的求解，求解,p q 的解集，再由p 是q 的充分不必要条件，列出不等式组是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．20．【分析】解不等式和由题意可得是的必要不充分条件转化为两集合的包含关系由此可求得实数的取值范围【详解】因为是的充分不必要条件所以是的必要不充分条件解不等式得解不等式解得所以即因此实数的取值范围是故答解析：[]2,1-【分析】解不等式()29x a -<和()3log 21x +<，由题意可得p 是q 的必要不充分条件，转化为两集合的包含关系，由此可求得实数a 的取值范围.【详解】因为p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，解不等式()29x a -<，得33a x a -<<+，解不等式()3log 21x +<，解得21x -<<. :33p a x a -<<+，:21q x -<<，{}33x a x a ∴-<<+ {}21x x -<<，所以3231a a -≤-⎧⎨+≥⎩，即21a -≤≤． 因此，实数a 的取值范围是[]2,1-.故答案为：[]2,1-.【点睛】本题考查利用充分不必要条件求参数，解答的关键就是转化为集合的包含关系来处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 三、解答题21．（1）{|11A B x x =-或45}x ；(){}|15R AB x x =-；（2） (,1)-∞. 【分析】（1）3a =时求出集合A ，B ，再根据集合的运算性质计算A B 和()R A B ⋃； （2）根据AB =∅，讨论A =∅和A ≠∅时a 的取值范围，从而得出实数a 的取值范围．【详解】解：（1）当3a =时，{|22}{|15}A x a x a x x =-+=-， 2{|540}{|1B x x x x x =-+=或4}x ，{|11A B x x =-或45}x ；又{|14}R B x x =<<，(){}|15R A B x x =-；（2）A B =∅，当22a a ->+，即0a <时，A =∅，满足题意；当0a 时，应满足2124a a ->⎧⎨+<⎩，此时得01a <； 综上，实数a 的取值范围是(,1)-∞．【点睛】本题考查了集合的基本运算以及不等式解法问题，注意等价变形的应用，属于中档题． 22．（1）4b =，13a -≤<;（2）15m ≤<.【分析】（1）直接利用并集结果可得4b =，13a -≤<;（2）根据A B A ⋃=可得B A ⊆，再对集合B 的解集情况进行分类讨论，即可得答案；【详解】解：（1）10{13}3x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭∣∣；[,][1,4]A a b ⋃=-， ∴4b =，13a -≤<;（2）{}2(1)20{|(1)((2))0}B x x m x m x x x m =--+-≤=---≤∣,A B A ⋃= B A ∴⊆∴分情况讨论①21m -<，即3m <时2121m m -≥-⎧⎨-<⎩得13m ≤<； ②若21m -=，即3m =，B 中只有一个元素1符合题意；③若21m ->，即3m >时2321m m -<⎧⎨->⎩得35m <<，∴35m << ∴综上15m ≤<．【点睛】由集合间的基本关系求参数时，注意对可变的集合,分空集和不为空集两种情况. 23．（Ⅰ）{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >；（Ⅱ）(),9-∞.【分析】（Ⅰ）解不等式求得集合,A B ，再由交并集的定义求解；（Ⅱ）求出A 与B R ，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得a 的范围． 【详解】由30x a ->得3a x >，所以3a A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 由260x x -->，得()()230x x +->，解得2x <-或3x >，所以{}2B x x =<-或3}x >．（Ⅰ）当3a =时，{}1A x x =>， 所以{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >（Ⅱ）因为{|2B x x =<-或3}x >， 所以{}23B x x =-≤≤R ．又因为()R A B ⋂≠∅，所以33a <，解得9a <． 所以实数a 的取值范围是(),9-∞．【点睛】本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．24．（1）3m ≤；（2）m 1≥. 【分析】（1）先求出A B ，再根据包含关系可得关于m 的不等式组，从而求实数m 的取值范围，注意对C 是否为空集分类讨论； （2）先求出AB ，再根据()A B D =∅得到关于m 的不等式，从而求实数m 的取值范围.【详解】（1）{}|27A x x =-≤≤，{}|35B x x =-≤≤，{}|25A B x x =-≤≤，①若C =∅，则121m m +>-，∴2m <； ②若C ≠∅，则12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，∴23m ≤≤，综上3m ≤.（2）{}|37A B x x ⋃=-≤≤，∴617m +≥，∴m 1≥.【点睛】本题考查集合的包含关系以及一元二次不等式的解的求法，注意根据集合关系得到不同集合中的范围的端点满足的不等式（或不等式组），要验证等号是否可取，还要注意含参数的集合是否为空集或全集.25．（1）9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）0a =或98a =【分析】（1）A 是空集，即2320ax x -+=无解，计算得到答案.（2）考虑0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案.【详解】（1）∵A 是空集，∴()20380a a ≠⎧⎪⎨--<⎪⎩，即98a >，∴实数a 的取值范围9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵A 中只有一个元素，∴0a =或()20380a a ≠⎧⎪⎨--=⎪⎩即：0a =或98a =. 【点睛】本题考查了根据空集和集合中元素个数求参数，意在考查学生的计算能力，漏解是容易发生的错误.26．（1）()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞；（2）(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）利用不等式的性质即可求出集合A 和B ；（2）由A B B ⋃=，得A B ⊆，解不等式组，进而得出实数a 的取值范围.【详解】 （1）集合{}1|1|0|0111x A x x x x x x ⎧⎫⎧⎫=>=>=<<⎨⎬⎨⎬--⎩⎭⎩⎭， 因1a ≤，则32a a ≤+，所以集合()(){}{320,1|3B x x a x a a x x a =---≤=<或}2x a >+.即集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞.（2）由（1）知，集合()0,1A =，()(),32,B a a =-∞++∞，由A B B ⋃=，得A B ⊆，所以131a a ≤⎧⎨≥⎩或120a a ≤⎧⎨+≤⎩，解得113a ≤≤或2a ≤-， 故实数a 的取值范围为(]1,2,13⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查集合、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.。
新人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．13a < B ．103a <≤ C ．13a > D ．13a ≤ 2．已知命题2:11x p x <-，命题:()(3)0q x a x -->，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1]-∞B ．[1,3]C ．[1,)+∞D ．[3,)+∞ 3．已知条件:12p x +>，条件2:56q x x ->，则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．已知非空集合A ，B 满足以下两个条件：（i ）{}1,2,3,4,5A B =，A B =∅； （ii ）A 的元素个数不是A 中的元素，B 的元素个数不是B 中的元素，则有序集合对(),A B 的个数为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．105．函数3()1f x ax x =++有极值的充分但不必要条件是（ ）A ．1a <-B ．1a <C ．0a <D ．0a > 6．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．已知下列命题：①“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”；②已知,p q 为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题；③“2019a >”是“2020a >”的充分不必要条件；④“若0xy =，则0x =且0y =”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为（ ）A ．③④B ．①②C ．①③D ．②④ 8．全集U =R ，集合04x A x x ⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，集合(){}2log 12B x x =->，图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．(][],04,5-∞B ．()(],04,5-∞C ．()[],04,5-∞D ．(](),45,-∞+∞9．已知集合{} 1A x x =>-，{}2B x x =<，则A B =（ ） A ．()1,-+∞ B ．(),2-∞ C ．1,2D ．R 10．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 12．命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为A ．对任意x ∈R ,都有20x <B ．不存在x ∈R ,都有20x <C ．存在0x ∉R ,使得200x <D ．存在0x ∈R ,使得200x < 二、填空题13．①一个命题的逆命题为真，它的否命题一定也为真：②在ABC 中，“60B ∠=︒”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件； ③1{2x y >>是3{2x y xy +>>的充要条件；④“22am bm <”是“a b <”的充分必要条件；以上说法中，判断错误的有_______________.14．已知集合U =R ，集合[]5,2A =-，()1,4B =，则下图中阴影部分所表示的集合为__________．15．若“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题，则实数m 的取值范围为________. 16．已知命题:44,:(2)(3)0p x a q x x -<-<-->，若p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求a 的取值范围________.17．已知集合{}2,M y y x x R ==∈,221,4y N y x x R ⎧⎫⎪⎪=+=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭,则M N =__________.18．已知命题“0x ∃∈[1，2]， 200210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为______．19．已知集合{}ln(21)A x y x ==-，{}2230B x x x =--≤，则A B __________． 20．已知“x m ≥”是“121x +>”的充分不必要条件，且m Z ∈，则m 的最小值是________．三、解答题21．已知函数()f x =A ，函数2()41,[0,3]g x x x x =-+-∈的值域为B .（Ⅰ）设集合()M A B Z =⋂⋂，其中Z 是整数集，写出集合M 的所有非空子集； （Ⅱ）设集合{|121}C x a x a =-<<+，且B C =∅，求实数a 的取值范围. 22．已知集合A 是函数2lg 20()8y x x =+-的定义域，集合B 是不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，:,:p x A q x B ∈∈．（1）若A B =∅，求a 的取值范围；（2）若p ⌝是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．23．已知命题:P 实数x 满足2280x x --≤，命题:q 实数x 满足2(0)x m m -≤> （1）当m=3时，若“p 且q”为真，求实数x 的取值范围;（2）若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．24．已知集合{}30A x x a =->，{}260B x x x =-->．（Ⅰ）当3a =时，求A B ，A B ； （Ⅱ）若()R A B ⋂≠∅，求实数a 的取值范围．25．设命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立；命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m --+≤成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 、q 有且只有一个是真命题，求实数m 的取值范围.26．已知集合13279x A x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，函数()lg 1x f x -=B . （1）求A B ，()R B A ；（2）已知集合{}433C x m x m =-≤≤+，若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题意可得2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，讨论0a =和0a ≠即可求解.【详解】若命题p ：x R ∀∈，2230ax x ++>是真命题，则2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，当0a =时，230x +>可得：32x >-不满足对于x ∈R 恒成立，所以0a =不符合题意； 当0a ≠时，需满足04430a a >⎧⎨∆=-⨯<⎩解得13a >， 所以实数a 的取值范围是13a >， 故选：C【点睛】关键点点睛：对于2230ax x ++>对于x ∈R 恒成立，需讨论0a =和0a ≠，当0a ≠时，结合二次函数图象即可得等价条件. 2．C解析：C【分析】化简命题q ，分类讨论a 解不等式()(3)0x a x -->，根据p 是q 的充分不必要条件列式可解得结果.【详解】 因为211x x <-，所以2101x x x -+<-，所以(1)(1)0x x -+<，所以11x -<<， 当3a <时，由()(3)0x a x -->得x a <或3x >， 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1a ≥，所以13a ≤<，当3a =时，由()(3)0x a x -->得3x ≠，满足题意，当3a >时，由()(3)0x a x -->得3x <或x a >，满足题意，综上所述：1a ≥.故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．A解析：A【详解】 因为:1213p x x x +>⇔><-或，p ⌝：31x -≤≤；22:5656023q x x x x x ->⇔-+<⇔<<，q ⌝：23x x ≤≥或，因此从集合角度分析可知p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，选A.4．B解析：B【分析】结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解.【详解】由题意，符合要求的情况分为以下几类：（1）当集合A 只有一个元素时，集合B 中有四个元素，1A ∉且4B ∉，故{4}A =，{1,2,3,5}B =，共计1种；（2）当集合A 有两个元素时，集合B 中有三个元素，2A ∉且3B ∉，故可能结果为：①{1,3}A =，{2,4,5}B =；②{3,4}A =，{}1,2,5B =；③{}3,5A =，{1,2,4}B =，共计3种；（3）当集合A 有三个元素时，集合B 中有两个元素，3A ∉且2∉B ，故可能结果为：①{2,4,5}A =，3{}1,B ；②{}1,2,5A =，{3,4}B =；③{1,2,4}A =，{}3,5B =，共计3种；（4）当集合A 中有4个元素时，集合B 中有1个元素，4A ∉且1B ∉，故{1,2,3,5}A =，{4}B =，共计1种．所以有序集合对(),A B 的个数为13318+++=.故选：B.【点睛】本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.5．A解析：A【分析】求导2()31f x ax '=+，所以要使函数3()1f x ax x =++有极值，则需3012>0a a ≠∆=-，，可求得a 的范围，再由充分必要条件可得选项.【详解】因为2()31f x ax '=+，所以要使函数3()1f x ax x =++有极值，则需3012>0a a ≠∆=-，，解得0a <，又由1a <-可推得0a <，而由0a <不能推得1a <-，所以函数3()1f x ax x =++有极值的充分但不必要条件是1a <-，故选：A ．【点睛】本题考查函数有极值的条件，以及命题的充分必要条件的判断，属于中档题.6．A解析：A【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】 若a b a b +=+，则a 与b 共线，且方向相同，充分性； 当a 与b 共线，方向相反时，a b a b ≠++，故不必要.故选：A .【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.7．B解析：B【分析】由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．【详解】“2,56x R x x ∀∈+>”的否定是“2,56x R x x ∃∈+≤”，正确；已知为两个命题，若“p q ∨”为假命题，则“()()p q ⌝∧⌝”为真命题，正确；“2019a >”是“2020a >”的必要不充分条件,错误；“若0xy =，则0x =且0y =”是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误.故选：B ．【点睛】本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．8．C解析：C【分析】由图可得，阴影部分表示的集合为()U C A B ⋃.求出集合,,A B A B ⋃，即求()U C A B ⋃.【详解】∵集合{}04A x x =≤<，{}5B x x =>，由Venn 图可知阴影部分对应的集合为()U C A B ⋃，又{04A B x x ⋃=≤<或}5x >， ()()[],04,5U C A B ∴=-∞⋃.故选：C .【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.9．C解析：C【分析】由集合的交集运算即可得出结果.【详解】{|12}=(1,2)=-<<-A B x x故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了计算能力，属于一般题目.10．B解析：B【解析】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m ⊥β”的必要不充分条件． 11．C解析：C【分析】结合等差数列的单调性，根据充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】在{}n a 是等差数列，若123a a a <<，可得21320d a a a a =-=->，所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立；若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立，所以“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及等差数列的单调性判定及应用，其中解答中熟记等差数列的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力.12．D解析：D【解析】命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为:存在0x R ∈,使得200x <,选D.二、填空题13．③④【解析】对于①一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题则若其逆命题为真其否命题也一定为真①正确；对于②若则有则三个角成等差数列反之若三个角成等差数列有又由则故在中是三个角成等差数列的充要条件②正确解析：③④【解析】对于①，一个命题的逆命题与其否命题互为逆否命题，则若其逆命题为真，其否命题也一定为真，①正确；对于②，若60B ∠=，则120A C ∠+∠=，有2A C B ∠+∠=∠，则,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，反之若,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列，有2A C B ∠+∠=∠，又由3=180A B C B ∠+∠+∠=∠，则60B ∠=，故在ABC ∆中，“60B ∠=”是“,,A B C ∠∠∠三个角成等差数列”的充要条件，②正确；对于③， 当19,22x y ==，则满足32x y xy +>⎧⎨>⎩，而不满足12x y >⎧⎨>⎩，则12x y >⎧⎨>⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩的不必要条件，③错误；对于④，若a b <，当0m =时，有22am bm =，则“22am bm <”是“a b <”的不必要条件，④错误，故答案为③④.14．【解析】因为所以或则图中阴影部分所表示的集合为应填答案解析：[]5,1-【解析】因为[]5,2A =-，()1,4B =，所以{|1U C B x x =≤或4}x ≥，则图中阴影部分所表示的集合为(){|51}U C B A x x ⋂=-≤≤，应填答案[]5,1-． 15．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假解析：【分析】根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可.【详解】因为“0,63x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使得0tan x m ≥”是假命题,所以其否定:“,63x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦,tan x m <”是真命题,又,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,tan x ∈,所以m >故答案为:)+∞. 【点睛】本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等. 16．【分析】是的充分不必要条件可转化为是的充分不必要条件再化简两命题对应的取值范围进一步判断即可【详解】是的充分不必要条件是的充分不必要条件命题中：命题中：由是的充分不必要条件可知应满足解得故答案为：【 解析：[1,6]-【分析】p ⌝是q ⌝的充分不必要条件可转化为q 是p 的充分不必要条件，再化简两命题对应x 的取值范围，进一步判断即可【详解】“p ⌝是q ⌝的充分不必要条件”⇔q 是p 的充分不必要条件，命题p 中：44a x a -<<+，命题q 中：23x <<，由q 是p 的充分不必要条件可知，应满足4243a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得[1,6]a ∈- 故答案为：[1,6]-【点睛】本题考查由命题的充分不必要条件求解参数范围，属于中档题17．【分析】根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合再根据集合的运算即可求解【详解】由题意集合所以【点睛】本题主要考查了集合的运算其中解答中根据函数的值域以及椭圆的性质求得集合是解答的关键着重考查了推理与运 解析：[]0,2【分析】根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N ，再根据集合的运算，即可求解．【详解】 由题意，集合{}2,{|0}M y y x x R y y ==∈=≥，221,{|22}4y N y x x R y y ⎧⎫⎪⎪=+=∈=-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭， 所以{|02}[0,2]M N y y =≤≤=．【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中根据函数的值域，以及椭圆的性质求得集合,M N 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．【分析】由题意可得2a ＜x0在12的最大值运用对勾函数的单调性可得最大值即可得到所求a 的范围【详解】命题∃x0∈12x02﹣2ax0+1＞0是真命题即有2a ＜x0在12的最大值由x0在12递增可得x 解析：5,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 【分析】由题意可得2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值，运用对勾函数的单调性可得最大值，即可得到所求a 的范围．【详解】命题“∃x 0∈[1，2]，x 02﹣2ax 0+1＞0”是真命题，即有2a ＜x 001x +在[1，2]的最大值， 由x 001x +在[1，2]递增，可得x 0＝2取得最大值52， 则2a 52＜，可得a 54＜，则实数a 的取值范围为（﹣∞，54）． 故答案为（﹣∞，54）． 【点睛】本题考查存在性命题的真假问题解法，注意运用分离参数法，运用对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 19．(或用区间表示为【解析】分析：先根据真数大于零得集合A 再解一元二次不等式得集合B 最后根据交集定义求结果详解：因为所以因为所以因此点睛：求集合的交并补时一般先化简集合再由交并补的定义求解在进行集合的运 解析：13|22x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭(或用区间表示为13(,]22. 【解析】分析：先根据真数大于零得集合A,再解一元二次不等式得集合B ，最后根据交集定义求结果.详解：因为210x ->，所以12x >因为2230x x --≤，所以312x -≤≤因此13(,]22A B ⋂=. 点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 20．0【分析】根据是的充分不必要条件且即可得出【详解】由是的充分不必要条件且则的最小值是故答案为：【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定方法考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：0.【分析】1121221x x x +->⇔>⇔>-．根据x m ”是“+121x >”的充分不必要条件，且m Z ∈，即可得出．【详解】由1211x x +>⇒>-，“x m ”是“+121x >”的充分不必要条件，且m Z ∈，0m ∴，则m 的最小值是0．故答案为：0．【点睛】本题考查了充分不必要条件的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题21．（Ⅰ）{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1；（Ⅱ）(][),14,-∞-+∞【分析】（Ⅰ）计算得到(]3,log 8A =-∞，[]1,3B =-，再计算交集得到{}1,0,1M =-，得到答案.（Ⅱ）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，得到121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得答案. 【详解】（Ⅰ）函数()f x =830x -≥，即3log 8x ≤，即(]3,log 8A =-∞，()22()4123,[0,3]g x x x x x =-+-=--+∈，[]1,3y ∈-，即[]1,3B =-，[]{}31,log (1,0,8)1M A B Z Z =⋂⋂=--⋂=.故集合M 的所有非空子集为{}1,0,1-，{}1,0-，{}1,1-，{}0,1，{}1-，{}0，{}1. （Ⅱ）{|121}C x a x a =-<<+，B C =∅，当C =∅时，121a a -≥+，解得2a ≤-；当C ≠∅时，121211a a a -<+⎧⎨+≤-⎩或12113a a a -<+⎧⎨-≥⎩，解得(][)2,14,a ∈--+∞. 综上所述：(][),14,a ∈-∞-+∞.【点睛】 本题考查了函数的定义域，值域，子集，根据交集运算结果求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略空集是容易发生的错误.22．（1）9a ≥（2）03a <≤【解析】分析：（1）分别求函数2lg 20()8y x x =+-的定义域和不等式22210(0)x x a a -+-≥>的解集，从而确定集合A,B ，由A B φ⋂=，得到区间端点值之间的关系，解不等式组得到a 的取值范围；（2）求出p ⌝对应的x 的取值范围，由p ⌝是q 的充分不必要条件得到对应的集合之间的关系，由区间端点值的关系列不等式组求解a 的取值范围.详解：（1）由题意得{}{}|210,|11A x x B x x a x a =-<<=≥+≤-或． 若A B ⋂=∅，则必须满足110120a a a +≥⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得9a ≥．∴a 的取值范围为9a ≥．（2）易得:102p x x ⌝≥≤-或．∵p ⌝是q 的充分不必要条件，∴{}|102x x x ≥≤-或是{}|11B x x a x a =≥+≤-或的真子集，则101210a a a ≥+⎧⎪-≤-⎨⎪>⎩，解得03a <≤，∴a 的取值范围是03a <≤．点睛：该题所涉及的考点有交集及其运算，充分不必要条件，复合命题的真假，解题的关键是先确定集合中的元素，再者就是两集合交集为空集时对应参数的取值范围，可以借助于数轴来完成.23．（1）[1,4]-（2）4m ≥【详解】试题分析：（1）先转化，q ，由且q 为真，得真q 真，解出x （2）由p ⌝是q⌝的必要不充分条件 得是q 的充分不必要条件，根据数轴列出不等式解出m 试题解：（1）若真：24x -≤≤；当3m =时，若q 真：15x -≤≤ ∵且q 为真 ∴24{15x x -≤≤-≤≤ ∴实数x 的取值范围为：[1,4]-（2）∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴是q 的充分不必要条件 ∵若q 真：22m x m -≤≤+∴22{42m m-≤-≤+且等号不同时取得 （不写“且等号不同时取得”，写检验也可） ∴4m ≥．考点：复合命题，充要条件，解不等式24．（Ⅰ）{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >；（Ⅱ）(),9-∞.【分析】（Ⅰ）解不等式求得集合,A B ，再由交并集的定义求解；（Ⅱ）求出A 与B R ，然后分析两集合有公共元素时的不等关系，可得a 的范围． 【详解】由30x a ->得3a x >，所以3a A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭ 由260x x -->，得()()230x x +->，解得2x <-或3x >，所以{}2B x x =<-或3}x >．（Ⅰ）当3a =时，{}1A x x =>， 所以{}3A B x x ⋂=>，{|2A B x x ⋃=<-或1}x >（Ⅱ）因为{|2B x x =<-或3}x >， 所以{}23B x x =-≤≤R ．又因为()R A B ⋂≠∅，所以33a <，解得9a <． 所以实数a 的取值范围是(),9-∞．【点睛】本题考查集合的表示、运算，考查集合间的关系，考查一元二次不等式的解法．属于基础题．25．（1）12m ≤≤（2）1m <或524m <≤ 【分析】（1）命题p 为真，只需[]()2min 21,20,3x m m x -≥-∈，根据一次函数的单调性，转化为求关于m 的一元二次不等式；（2）命题q 为真，只需[]()2min 1,1,10x x m x -+-∈-≤，根据二次函数的性质，求出m 的范围，依题意求出p 真q 假，和p 假q 真时，实数m 的取值范围.【详解】（1）对于命题p ：对任意[]0,1x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，而[]0,1x ∈，有()min 222x -=-，223m m ∴-≥-，12m ∴≤≤，所以p 为真时，实数m 的取值范围是12m ≤≤；（2）命题q ：存在[]1,1x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立，只需()2min 10x x m -+-≤，而22151()24x x m x m -+-=-+-，2min 5(1)4x x m m ∴-+-=-+，504m ∴-+≤，54m ≤， 即命题q 为真时，实数m 的取值范围是54m ≤， 依题意命题,p q 一真一假， 若p 为假命题， q 为真命题，则1254m m m ⎧⎪⎨≤⎪⎩或，得1m <； 若q 为假命题， p 为真命题，则1254m m ≤≤⎧⎪⎨>⎪⎩，得524m <≤， 综上，1m <或524m <≤. 【点睛】本题考查不等式恒（或存在）成立与函数最值关系，以及命题真假关系求参数范围，考查等价转化思想，计算求解能力，属于中档题. 26．（1）[)2,4A B =-，()[]2,1R B A =-；（2）()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 【分析】（1）求出集合A 、B ，利用补集的定义可得出集合A B ，利用补集和交集的定义可得出集合()R B A ；（2）分C =∅和C ≠∅两种情况讨论，根据题意得出关于实数m 的不等式（组），解出即可.【详解】（1）解不等式13279x ≤≤，即23333x -≤≤，解得23x -≤≤，得[]2,3A =-. 对于函数()lg 1x f x -=1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<，则()1,4B =.[)2,4A B ∴=-，(][),14,R B =-∞+∞，则()[]2,1R B A =-；（2）当C =∅时，433m m ->+，得到72m <-，符合题意； 当C ≠∅时，433332m m m -≤+⎧⎨+<-⎩或43343m m m -≤+⎧⎨->⎩，解得7523m -≤<-或7m >. 综上所述，实数m 的取值范围是()5,7,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查交集、补集与并集的计算，同时也考查了利用交集的结果求参数，解题的关键就是对集合C 是否为空集进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.。
新人教版(2019)必修一 第一章 集合与常用逻辑用语教材例题课后习题答案完整word版
【解析】
【分析】
集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.
【详解】集合 表示直线 与直线 交点的集合，
即 .DC
【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.
拓广探索
10.请解决下列问题：
（1）设 ，若 ，求 的值；
（2）已知集合 ，若 ，求实数a的取值范围.
习题1.1
复习巩固
4.用符号“ ”或“ ”填空：
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
（2）若 ，则-1_____________A；
（3）若 ，则3________________B；
（3） ；
（4） .
【答案】（1）{ 是立德中学的女生}
（2）{ 是直角三角形}
（3）
（4）
【解析】
【分析】
根据子集的定义写出一个子集即可.
【详解】（1）{ 是立德中学的女生}
（2）{ 是直角三角形}
（3）
（4）
【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题.
9.在平面直角坐标系中，集合 表示直线 ，从这个角度看，集合 表示什么？集合C，D之间有什么关系？
, , , , , , , .
【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型.
4.用适当的符号填空：
（1）a_____ ；（2）0____ ；（3） ____ ；
（4） ____N；（5） ____ ；（6） ____ .
【答案】①. ②. ③. = ④.⑤.⑥. =
【解析】
人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》测试(有答案解析)
一、选择题1．已知集合{}*N 0A x x y =∈=≥∣，若B A ⊆且集合B 中恰有2个元素，则满足条件的集合B 的个数为（ ）． A ．1B ．3C ．6D ．102．已知:250p x ->，2:20q x x -->，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x 2+x ﹣2≤0}，集合N ＝{y |y }，则（C U M ）∪N 等于（ ） A ．{x |x ＜﹣2或x ≥0} B ．{x |x ＞1} C ．{x |x ＜﹣1或1＜x ≤3} D ．R4．m n 是两条不同的直线，α是平面，n α⊥，则//m α是m n ⊥的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．定义：若平面点集A 中的任一个点00(,)x y ，总存在正实数r ，使得集合{(,)}x y r A <⊆，则称A 为一个开集.给出下列集合：①22{(,)|1}x y x y +=；②{(,)|20}x y x y ++≥；③{(,)|6}x y x y +<；④22{(,)|0(1}x y x y <+<. 其中是开集的是（ ） A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④6．判断下列命题①命题“若14m ≥-，则方程20x x m +-=有实根”的逆命题为真命题；②命题“若21x =，则1x =.”的否命题为“若21x =，则1x ≠.”；③若命题“p q ∧”为假命题，则命题“p q ∨”是假命题；④命题“x R ∀∈，22x x ≥."的否定是“0x R ∃∈，0202x x <.” 中正确的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④7．“3,a =b =”是双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．即不充分也不必要条件D ．充分不必要条件8．命题“对任意x ∈R ,都有20x ≥”的否定为 A ．对任意x ∈R ,都有20x < B ．不存在x ∈R ,都有20x < C ．存在0x ∉R ,使得200x <D ．存在0x ∈R ,使得200x <9．函数()31f x x ax =--在()1,1-上不单调的一个充分不必要条件是（ ）A ．[]0,3a ∈B ．()0,5a ∈C ．()0,3a ∈D ．()1,2a ∈10．不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，则a 的取值范围为（ ） A ．–11a ≤≤B ．–11a ≤<C ．–11a <<D ．11a -<≤11．下列命题中，不正确的是（ ）A ．0x R ∃∈，20010x x -+≥B ．若0a b <<则11a b> C ．设0a >，1a ≠，则“log 1a b >”是“b a >”的必要不充分条件D ．命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”12．已知a ，b R ∈，“1a b +<”是“11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．设U =R ，集合2{|320}A x x x =++=， ()2{|10}B x x m x m =+++=，若UA B，则m =__________．14．已知集合(){},320,A a b a b a N =+-=∈，()(){}2,10,B a b k a a b a N =-+-=∈，若存在非零整数k ，满足A B ⋂≠∅，则k =______.15．已知：条件p ：120x-≥和q ：()()22110x a x a a -+++<，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______.16．已知集合{}{}10|133xA aB x =-=，，，＜＜，若A B ⋂=∅，则实数a 的取值范围是______.17．已知命题31:01x p A xx ⎧⎫-=≤⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.若命题q 是p 的必要不充分条件，则m 的取值范围是____； 18．已知集合{}{}22,1,A B a==，若{}0,1,2AB =,则实数a =________.19．已知集合{}12A =，，{}12B =-，，则A B =______．20．下列命题中，正确的是___________.(写出所有正确命题的编号) ①在中，是的充要条件；②函数的最大值是；③若命题“，使得”是假命题，则； ④若函数，则函数在区间内必有零点.三、解答题21．设集合{|33},{|13}A x x B x a x a =-≤≤=-≤≤+． （1）若1a =，求,A B A B ；（2）若AB B =，求实数a 的取值范围． 22．在“①AB B =，②RB A ⊆，③A B =∅”这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题.问题：已知集合{}24120A x x x =-++>，集合{5}B x m x m =<<+.（1）若2m =，求AB ，()R A B ；（2）若______，求m 的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.23．已知集合(){}223120A x x a x a a =--+-<，集合{}2430B x x x =-+<.（1）当2a =时，求A B ；（2）命题P ：x A ∈，命题Q ：x B ∈，若P 是Q 的充分条件，求实数a 的取值范围. 24．集合(){}21|,A x y y x mx ==-+-，(){},3,03|B x y y x x ==-≤≤．（Ⅰ）当4m =时，求A B ；（Ⅱ）若A B ⋂≠∅，求实数m 的取值范围．25．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17S =，集合{}128,,,X x x x =是集合S 的一个含有8个元素的子集.（1）当{}1,2,5,7,11,13,16,17X =时，设,(1,8)i j x x X i j ∈≤≤， ①写出方程3i j x x -=的解（,i j x x ）；②若方程(0)i j x x k k -=>至少有三组不同的解，写出k 的所有可能取值；（2）证明：对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程i j x x k -=(1,8)i j ≤≤至少有三组不同的解.26．设全集是实数集R ，集合{}13A x x =-<<，{}22B x m x m =-<<+． （1）若AB =∅，求实数m 的取值范围；（2）若2B ∈，求A B ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将方程平方整理得()2224820y xy x x -+-=，再根据判别式得04x ≤≤，故1,2,3,4x =，再依次检验得{}2,3,4A =，最后根据集合关系即可得答案.【详解】解:根据题意将x 22x x =+继续平方整理得：()2224820y xy x x -+-=，故该方程有解. 所以()222641620x x x ∆=--≥，即240x x -+≥，解得04x ≤≤， 因为*N x ∈，故1,2,3,4x =，当1x =时，易得方程无解，当2x =时，240y y -=，有解，满足条件； 当3x =时，242490y y -+=，方程有解，满足条件； 当4x =时，28160y y -+=，方程有解，满足条件； 故{}2,3,4A =，因为B A ⊆且集合B 中恰有2个元素， 所以B 集合可以是{}2,3，{}2,4，{}3,4. 故选：B. 【点睛】本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为()2224820y xy x x -+-=，再结合判别式得1,2,3,4x =，进而求出集合{}2,3,4A =.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.2．A解析：A 【分析】先求出,p q 对应的不等式的解，再利用集合包含关系，进而可选出答案. 【详解】由题意，5:2502p x x ->⇒>，设5|2A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭2:20q x x -->，解得：2x >或1x <-，设{|2B x x =>或}1x <-显然A 是B 的真子集，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件， q 对的集合与p 对应集合互不包含．3．A解析：A 【分析】解出不等式x 2+x ﹣2≤0的解集，求出补集，根据集合的运算法则求解. 【详解】解不等式x 2+x ﹣2≤0得：-2≤x ≤1，C U M=()(),21,-∞-+∞，N ＝{y |y }[)0,=+∞， （C U M ）∪N={x |x ＜﹣2或x ≥0}. 故选：A 【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求解二次不等式，根据集合的运算法则求解.4．A解析：A 【分析】根据线面平行的性质定理、线面垂直的定义结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当//m α时，过直线m 作平面β，使得l αβ=，则//m l ，n α⊥，l α⊂，n l ∴⊥，m n ∴⊥，即//m m n α⇒⊥； 当m n ⊥时，由于n α⊥，则m α⊂或//m α，所以，//m n m α⊥⇒/.综上所述，//m α是m n ⊥的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，同时也考查了空间点、线、面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.5．D解析：D 【分析】根据开集的定义逐个验证选项，即可得到答案. 【详解】①：22{(,)|1}x y x y +=表示以原点为圆心，1为半径的圆， 则在该圆上任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆故①不是开集；②{(,)|20}x y x y ++≥，在曲线20x y ++=任意取点00(,)x y ，以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合不是开集； ③{(,)|6}x y x y +<平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到直线的距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)|}x y r A ⊆，故该集合是开集；④22{(,)|0(1}x y x y <+<表示以点()0,3为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点00(,)x y ，则该点到圆周上的点的最短距离为d ，取r d ＝，则满足{(,)}x y r A <⊆，故该集合是开集． 故答案选D 项. 【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查对新定义的理解并解决问题，属于中档题.6．C解析：C 【分析】①写出原命题的逆命题，并判断真假性. ②根据否命题的知识判断真假性.③根据含有逻辑联结词命题真假性来判断命题的真假性. ④根据全称命题的否定的知识判断真假性. 【详解】①原命题的逆命题为：若方程20x x m +-=有实根，则14m ≥-.当方程20x x m +-=有实根则11404m m ∆=+≥⇒≥-.所以逆命题为真命题.所以①正确. ②原命题的否命题为：若21x ≠，则1x ≠.所以②错误.③由于p q ∧为假命题，所以,p q 中至少有一个是假命题，可能是一真一假，所以p q ∨可能为真命题.所以③错误. ④原命题的否定是0x R ∃∈，0202x x <.所以④正确.综上所述，正确的序号为①④.故选：C 【点睛】本小题主要考查四种命题，考查含有逻辑连接词命题，考查全称命题的否定，属于中档题.7．D解析：D 【分析】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化为22221(0,0)y x a b b a -=>>,由于离心率为2可得2234a b =,在根据充分、必要条件的判定方法,即可得到结论.【详解】将双曲线22221(0,0)x y a b a b -=->>标准化22221(0,0)y x a b b a -=>>则根据离心率的定义可知本题中应有222a b c e b c +===,则可解得2234a b =,因为3,a =b =可以推出2234a b =;反之2234a b =成立不能得出3,a =b =. 故选:D . 【点睛】本题考查双曲的离心率公式,考查充分不必要条件的判断,双曲线方程的标准化后离心率公式的正确使用是解答本题的关键,难度一般.8．D解析：D 【解析】命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为:存在0x R ∈,使得200x <,选D.9．D解析：D 【分析】先求出()f x 在()1,1-上单调的范围，其补集即为不单调的范围，结合选项即可得到答案. 【详解】由已知，当()1,1x ∈-时，()[)23,3f x x a a a '=-∈--，当0a ≤时，()0f x '≥，当3a ≥时，()0f x '≤， 所以()f x 在()1,1-上单调，则0a ≤或3a ≥， 故()f x 在()1,1-上不单调时，a 的范围为()0,3，A ､B 是必要不充分条件，C 是充要条件，D 是充分不必要条件. 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，涉及到充分条件、必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.10．D解析：D 【分析】求解一元二次不等式可得220x x --<的解集，再由题意得关于a 的不等式组求解即可. 【详解】由不等式220x x --<，得12x -<<，∵不等式220x x --<成立的一个充分不必要条件是21a x a <<+，∴()2,1a a +⫋()12-，， 则221112a a a a ⎧<+⎪≥-⎨⎪+≤⎩且1a ≥-与212a +≤的等号不同时成立，解得11a -<≤， ∴a 的取值范围为11a -<≤， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题.11．C解析：C 【分析】根据存在性命题的判定方法，可判定A 正确；根据不等式的性质，可判定B 正确；根据对数的运算性，可判定C 不正确；根据含有一个量词的否定，可判定D 正确. 【详解】对于A 中，由2000131()024x x x -+=-+≥，所以A 为真命题； 对于B 中，由0a b <<，则110b aa b ab --=>，所以11a b>，所以B 是正确的； 对于C 中，设0a >，1a ≠，例如11,24a b ==，则121log log 24a b ==，所以充分性不成立，又如1,22a b ==，此时12log log 21a b ==-，所以必要性不成立，所以“log 1a b >”是“b a >”的既不充分也不必要条件，所以C 是错误的；对于D 中，根据全称命题和存在性命题的关系，可得命题“2[1,2],320x x x ∀∈-+≤”的否定为“2000[1,2],320x x x -∃∈+>”，所以是正确的.故选：C. 【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中涉及到含有一个量词的真假判定及否定，对数的运算性质，不等式的性质等知识的综合应用，属于中档试题.12．C解析：C 【分析】由绝对值不等式的基本性质，集合充分必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，a ，b R ∈，1a b +<，可得1a b a b +≤+<且1a b a b -≤+<，所以充分性是成立的； 反之11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩，可得1111a b a b -<+<⎧⎨-<-<⎩，即1a b +<，所以必要性是成立的，综上可得：a ，b R ∈，1a b +<是11a b a b ⎧+<⎪⎨-<⎪⎩成立的充要条件．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的基本性质，以及充分条件、必要条件的判定方法，其中解答中熟练应用绝对值不等式的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题13．1或2【详解】解方程可得因为所以当m=1时满足题意；当即m=2时满足题意故m=1或2解析：1或2 【详解】{|21}A x x x ==-=-或，解方程()210x m x m +++=可得1x x m =-=-或因为UA B ，所以B A ⊆，当1m -=-即m =1时，满足题意；当2m -=-，即m =2时，满足题意，故m =1或2.14．【分析】首先根据条件得到有实数解从而得到又根据为非零整数所以再分别验证的值即可得到答案【详解】因为存在非零整数满足所以有实数解且整理得：有实数解且所以解得因为为非零整数所以当时解得或符合题意当时解得 解析：1-【分析】首先根据条件得到()2231b a b k a a =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩k ≤≤，又根据k 为非零整数，所以1,1,2k =-，再分别验证k 的值即可得到答案. 【详解】因为存在非零整数，满足A B ⋂≠∅，所以()2231b ab k a a =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩有实数解，且a N ∈.整理得：()2320ka k a k +-+-=有实数解，且0k ≠，a N ∈.所以()()23420k k k ∆=---≥k ≤≤， 因为k 为非零整数，所以1,1,2k =-当1k =-时，2430a a -+=，解得1a =或3，符合题意. 当1k =时，2210a a +-=，解得a N ∉，舍去. 当2k =时，220a a +=，解得a N ∉，舍去. 综上1k =-. 故答案为：1- 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时一元二次不等式的解法，属于中档题.15．【分析】根据是的必要不充分条件得到计算得到答案【详解】即；即是的必要不充分条件故得到解得故答案为：【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数意在考查学生的推断能力 解析：102-<≤a【分析】根据p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，得到{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭，计算得到答案. 【详解】120x-≥，即102x <≤；()()22110x a x a a -+++<，即1a x a <<+.p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，故{}1012x x x a x a ≠⎧⎫<≤⊂<<+⎨⎬⎩⎭，得到0112a a ≤⎧⎪⎨+>⎪⎩，解得102-<≤a . 故答案为：102-<≤a .【点睛】本题考查了根据必要不充分条件求参数，意在考查学生的推断能力.16．或或【解析】【分析】由指数不等式的解法得由集合的运算及集合元素的互异性可得实数的取值范围是或或【详解】解:解不等式可得即又且则或或故答案为:或或【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算重点考查解析：1a <-或 10a -<<或1a ≥ 【解析】 【分析】由指数不等式的解法得{}|01B x x =<<，由集合的运算及集合元素的互异性可得实数a 的取值范围是1a <-或10a -<<或1a ≥.【详解】解:解不等式133x <<可得01x <<,即{}|01B x x =<<,又{}1,0,A a =-,且A B φ⋂=,则1a <-或10a -<<或1a ≥,故答案为:1a <-或 10a -<<或1a ≥.【点睛】本题考查了指数不等式的解法及集合的运算，重点考查了集合元素的互异性，属基础题. 17．【分析】求得命题又由命题是的必要不充分条件所以是的真子集得出不等式组即可求解得到答案【详解】由题意命题命题又由命题是的必要不充分条件所以是的真子集设则满足解得经验证当适合题意所以的取值范围是【点睛】 解析：(],2-∞【分析】 求得命题1:{|1}3p A x x =≤<，又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集， 得出不等式组1()03(1)0f f ⎧>⎪⎨⎪≥⎩，即可求解，得到答案．【详解】 由题意，命题311:0{|1}13x p A x x x x ⎧⎫-=≤=≤<⎨⎬-⎩⎭，命题{}2:30q B x x mx =--+>.又由命题q 是p 的必要不充分条件，所以A 是B 的真子集，设()23f x x mx =--+，则满足2111()()30333(1)130f m f m ⎧=--+>⎪⎨⎪=--+≥⎩，解得2m ≤， 经验证当2m =适合题意，所以m 的取值范围是(],2-∞．【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及利用充要条件求解参数问题，其中解答中正确求解集合A ，再根集合的包含关系求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18．0【解析】分析：根据集合的并集的含义有集合A 或B 必然含有元素0又由集合AB 可得从而求得结果详解：根据题意若则A 或B 必然含有元素0又由则有即故答案是0点睛：该题考查的是有关集合的运算问题利用两个集合的 解析：0.【解析】分析：根据集合的并集的含义，有集合A 或B 必然含有元素0，又由集合A,B 可得20a =，从而求得结果.详解：根据题意，若{}=0,1,2A B ⋃，则A 或B 必然含有元素0，又由{}{}22,1,A B a ==，则有20a =，即0a =，故答案是0.点睛：该题考查的是有关集合的运算问题，利用两个集合的并集中的元素来确定有关参数的取值问题，属于基础题目.19．{-112}；【解析】=={-112}解析：{-1,1,2}；【解析】A B ⋃={}{}1212，，⋃-={-1,1,2} 20．①③④【分析】根据正弦定理及三角形的性质可判断（1）；利用均值不等式可判断（2）；利用假命题求参数的范围可判断（3）；利用零点存在性定理可判断（4）【详解】解：对于（1）sinA ＞sinB ⇔2Rsi 解析：①③④【分析】根据正弦定理，及三角形的性质，可判断（1）；利用均值不等式，可判断（2）；利用假命题求参数的范围，可判断（3）；利用零点存在性定理，可判断（4）.【详解】解：对于（1），sin A ＞sin B ⇔2R sin A ＞2R sin B ⇔a ＞b ⇔A ＞B （其中R 为△ABC 外接圆半径），故（1）正确；对于（2），x 21x +=--（1﹣x 21x+-）+1≤﹣1＝﹣+1，当且仅当x ＝12）错误； 对于（3），若命题“x R ∃∈，使得()2310ax a x +-+≤”是假命题⇔命题：“∀x ∈R ，使得ax 2+（a ﹣3）x +1＞0”恒成立．∵a ＝0时，不符合题意，∴20(3)40a a a ⎧⎨=--<⎩＞∴1a 9<<，故（3）正确； 对于（4），∵()12a f a b c =++=-，∴3a +2b +2c ＝0，∴32c a b =--． 又f （0）＝c ，f （2）＝4a +2b +c ，∴f （2）＝a ﹣c ．（i ）当c ＞0时，有f （0）＞0，又∵a ＞0，∴()102a f =-＜，故函数f （x ）在区间（0，1）内有一个零点，故在区间（0，2）内至少有一个零点．（ii ）当c ≤0时，f （1）＜0，f （0）＝c ≤0，f （2）＝a ﹣c ＞0，∴函数f （x ）在区间（1，2）内有一零点，故（4）正确.故正确答案为：①③④【点睛】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，熟练掌握正弦定理，均值不等式，二次函数的，图象和性质，函数零点存在定理，是解答的关键．三、解答题21．（1）{}34A B x x ⋃=-≤≤,{}03A B x x ⋂=≤≤；（2）20a -≤≤.【分析】（1）代入a 的值，根据交集和并集的概念以及运算求解出,AB A B ； （2）根据AB B =分析出B A ⊆，由此列出关于a 的不等式，求解出a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，{}04B x x =≤≤且{}33A x x =-≤≤， 所以{}34A B x x ⋃=-≤≤，{}03A B x x ⋂=≤≤；（2）因为AB B =，所以B A ⊆，且31a a +>-，所以B ≠∅， 所以1333a a -≥-⎧⎨+≤⎩，所以20a -≤≤. 【点睛】结论点睛：常见集合的交集、并集运算性质：（1）若A B B =，则B A ⊆；（2）若A B B ⋃=，则A B ⊆. 22．（1）{|26}AB x x =<<，()R A B {|2x x =≤-或2}x >；（2）选①，21m -≤≤；选②，7m ≤-或6m ≥；选③7m ≤-或6m ≥. 【分析】先解二次不等式可得A ，进而可得A R ，（1）再利用交集并集的定义直接求解即可；（2）若选①，由B A ⊆列不等式求解即可；若选②，由52m +≤-或6m ≥即可得解；若选③，由52m +≤-或6m ≥即可得解.【详解】 集合{}24120{|26}A x x x x x =-++>=-<<，{|2R A x x =≤-或6}x ≥ （1）若2m =，{27}B x x =<<，则{|26}A B x x =<<，()R A B {|2x x =≤-或2}x >.（2）若选①A B B =，则B A ⊆，所以562m m +≤⎧⎨≥-⎩，解得21m -≤≤； 若选②R B A ⊆，则52m +≤-或6m ≥，解得：7m ≤-或6m ≥；若选③AB =∅，则52m +≤-或6m ≥， 解得：7m ≤-或6m ≥.【点睛】本题主要考查了集合的交并补的运算及由集合的包含关系求参，属于基础题. 23．（1）()2,3；（2）[]1,2.【分析】（1）把2a =代入化简A ，求解一元二次不等式化简B ，再由交集运算得答案； （2）由P 是Q 的充分条件，得A B ⊆．然后对a 分类求解A ，再由两集合端点值间的关系列不等式组求解．【详解】解：（1）当2a =时，22{|(31)20}{|23}A x x a x a a x x =--+-<=<<， 2{|430}{|13}B x x x x x =-+<=<<．{|23}{|13}{|23}A B x x x x x x =<<<<=<<；（2）:P x A ∈，:Q x B ∈，若P 是Q 的充分条件，则A B ⊆． 因为(){}()(){}223120120A x x a x a a x x a x a =--+-<=+--< 当1a =时，A =∅，显然成立；当1a <时，{|21}A x a x a =-<<，{|13}B x x =<<，∴2113a a -⎧⎨⎩，解得a ∈∅； 当1a >时，{|21}A x a x a =<<-，{|13}B x x =<<，∴1213a a >⎧⎨-⎩，解得12a <． ∴实数a 的取值范围是[]1,2．【点睛】本题考查交集及其运算，考查充分必要条件的判定及其应用，考查数学转化思想方法，属于中档题．24．（Ⅰ）{(1,2)}AB =；（Ⅱ）[3,)m ∈+∞.【分析】（Ⅰ）联立曲线与直线的方程求出交点，结果写成点集的形式；（Ⅱ）A B ⋂≠∅转化为当[0,3]x ∈时方程213x mx x -+-=-有解，当0x =时，方程不成立；当 (0,3]x ∈时，41m x x +=+，由对勾函数的单调性求出函数4()f x x x=+在(0,3]上的值域即可求得m 的取值范围.【详解】 （Ⅰ）24113203y x x x y x y x ⎧=-+-=⎧⎪=-⇒⎨⎨=⎩⎪≤≤⎩，所以{(1,2)}A B =； （Ⅱ）A B ⋂≠∅等价于当[0,3]x ∈时方程213x mx x -+-=-有解，即2(1)40x m x -++=在[0,3]x ∈上有解， 当0x =时，方程不成立，所以0不是方程的解；当 (0,3]x ∈时，41m x x +=+①， 因为函数4()f x x x=+在(0,2]上单调递减，(2,3]上单调递增，(2)224f =+=， 所以()[4,)f x ∈+∞，①式有解，则143m m +≥⇒≥.综上所述：[3,)m ∈+∞.【点睛】本题考查集合的交集运算，根据集合交集的结果求参数，属于基础题.25．（1）①(,)(5,2),(16,13)i j x x =②4，6.（2）证明见详解.【分析】（1）①根据两个元素之差为3，结合集合X 的元素，即可求得；②根据题意要求，写出集合X 中从小到大8个数中所有的差值（限定为正数）的可能，计算每个差值出现的次数，即可求得k ；（2）采用反证法，假设不存在满足条件的k ，根据差数的范围推出矛盾即可.【详解】（1）①方程3i j x x -=的解有：(,)(5,2),(16,13)i j x x =.②以下规定两数的差均为正，则：列出集合X 的从小到大8个数中相邻两数的差：1,3,2,4,2,3,1；中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和）：4,5,6,6,5,4；中间相隔二数的两数差：6,9,8,9,6；中间相隔三数的两数差：10,11,11,10；中间相隔四数的两数差：12,14,12；中间相隔五数的两数差：15,15；中间相隔六数的两数差：16.这28个差数中，只有4出现3次、6出现4次，其余都不超过2次，所以k 的可能取值有4，6.（2）证明：不妨设128117x x x ≤<<<≤，记1(1,2,,7)i i i a x x i +=-=，2(1,2,,6)i i i b x x i +=-=，共13个差数.假设不存在满足条件的k ， 则这13个数中至多两个1、两个2、两个3、两个4、两个5、两个6， 从而127126()()2(126)749a a a b b b +++++++≥++++= ① 又127126818721()()()()a a a b b b x x x x x x +++++++=-++--81722()()2161446x x x x =-+-≤⨯+=，这与①矛盾.故假设不成立，结论成立.即对任意一个X ，存在正整数k ，使得方程i j x x k -=(1,8)i j ≤≤至少有三组不同的解.【点睛】本题考查集合新定义问题，涉及反证法的使用，本题的关键是要理解题意，小心计算，大胆求证.26．（1）5m ≥或3m ≤- （2）当01m <≤时，()1,2A B m =-+；当14m <<时，()2,3A B m =-【分析】（1）若A B =∅，则23m -≥或21m +≤-，解得实数m 的取值范围； （2）若2B ∈则()0,4m ∈，结合交集定义，分类讨论可得A B . 【详解】解：（1）若A B =∅，则23m -≥或21m +≤-，即5m ≥或3m ≤-.所以m 的取值范围为5m ≥或3m ≤-.（2）∵2B ∈，则22m -<且22m +>，∴04m <<.当01m <≤时，()1,2AB m =-+; 当14m <<时，()2,3AB m =-. 【点睛】本题考查集合的交集运算，元素与元素的关系，分类讨论思想，属于中档题.。
高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语章末综合测评(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册
章末综合测评(一) 集合与常用逻辑用语(满分：150分时间：120分钟)一、单选题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法正确的是()A．0∈B．5∈QC．⊆D．A∪＝C[空集中不含任何元素，A错误．5是无理数，B错误．A∪＝A，D错误，应选C.]2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∪(∁R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}B[由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∁R B＝{x|x≥1}，∴A∪(∁R B)＝{x|x≥－1}．故选B.]3．满足{1}⊆X{1，2，3，4}的集合X有()A．4个B．5个C．6个D．7个D[集合X可以是{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，共7个．故选D.]4．命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是()A．对任意x∈R，都有x2＜1B．不存在x∈R，使得x2＜1C．存在x∈R，使得x2≥1D.存在x∈R，使得x2＜1D[因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x∈R，都有x2≥1”的否定是：存在x∈R，使得x2＜1.故选D.]5．命题“∃x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是()A．∃x∈R，x3－x2＋1<0B．∃x∈R，x3－x2＋1≥0C．∀x∈R，x3－x2＋1>0D．∀x∈R，x3－x2＋1≤0C[由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∀x∈R，x3－x2＋1>0”．故选C.]6. “a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D.既不充分也不必要条件B[当a＝－1时，函数y＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1与x轴只有一个交点；但若函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点，则a＝－1或a＝0，所以“a＝－1”是“函数y＝ax2＋2x－1与x轴只有一个交点”的充分不必要条件．] 7．下列命题中，真命题是()A．若x，y∈R且x＋y＞2，则x，y至少有一个大于1B．∀x∈R，2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．∃x∈R，x2＋2≤0A[当x＝2时，2x＝x2，故B错误；当a＝b＝0时，满足a＋b＝0，但ab＝－1不成立，故C错误；∀x∈R，x2＋2＞0，故∃x∈R，x2＋2≤0错误，故选A.] 8．若集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|5≤x≤16}，则能使A⊆B成立的所有a组成的集合为()A．{a|2≤a≤7} B．{a|6≤a≤7}C．{a|a≤7} D．C[当3a－5<2a＋1，即a<6时，A＝⊆B；当3a －5≥2a ＋1，即a ≥6时，A ≠，要使A ⊆B ，需有⎩⎨⎧3a －5≤16，2a ＋1≥5，解得2≤a ≤7. 综上可知，a ≤7.故选C.]二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．a 2＞b 2的一个充分条件是( )A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a ＞|b |D ．a ＝2，b ＝1CD [A 中，当a ＝0，b ＝－2时，a 2＝0，b 2＝4，不能推出a 2＞b 2；B 中，当a ＝－1，b ＝1时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；C 中，a ＞|b |两边平方得a 2＞b 2，能推出a 2＞b 2；D 中，a 2＝4，b 2＝1，能推出a 2＞b 2，故选C 、D.]10．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )A ．a <0B ．a ＜－2C ．a <－1D ．a ＜1BC [方程有一个正根和一个负根时，根据根与系数的关系知3a ＜0，即a ＜0，故a ＜0是一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0(a ≠0)有一个正根和一个负根的充要条件，其充分不必要条件应为(－∞，0)的真子集，故选B 、C.]11．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ⊆∁R B ，那么m 的值可以是( )A ．0B ．1C ．2D ．3AB [根据补集的概念，∁R B ＝{x |x ≥2m }．又∵A ⊆∁R B ，∴2m ≤2.解得m ≤1，故m 的值可以是0，1.故选A 、B.]12．设P 是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a ，b ∈P ，都有a＋b ，a －b ，ab ，a b ∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是一个数域，有下列说法正确的是( )A ．数域必含有0，1两个数；B ．整数集是数域；C ．若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；D ．数域必为无限集．AD [数集P 有两个元素m ，n ，则一定有m －m ＝0，m m ＝1(设m ≠0)，A 正确；因为1∈Z ，2∈Z ，12Z ，所以整数集不是数域，B 不正确；令数集M ＝Q ∪{2}，则1∈M ，2∈M ，但1＋2M ，所以C 不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D 正确．]三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∪(∁U B )＝________． {x |x ≤1}[∵B ＝{x |x ＞1}，∴∁U B ＝{x |x ≤1}，则A ∪(∁U B )＝{x |x ≤1}．]14．命题“∀x ∈[1，2]，使x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值X 围是________． {a |a ≤1}[命题p ：a ≤x 2在[1，2]上恒成立，y ＝x 2在[1，2]上的最小值为1，∴a ≤1.]15．已知集合P ＝{x |－2≤x ≤5}，Q ＝{x |k ＋1≤x ≤2k －1}，当k ＝4时，P ∩Q ＝________；当P ∩Q ＝时，k 的取值X 围是________．(本题第一空2分，第二空3分){5}k ＜2或k ＞4[当k ＝4时，Q ＝{x |5≤x ≤7}，∴P ∩Q ＝{5}；当P ∩Q ＝时，若Q ＝时，k ＋1>2k －1，∴k <2，P ∩Q ＝成立；若Q ≠，∴k ＋1≤2k －1，即k ≥2.由题意知⎩⎨⎧k ≥2，2k －1<－2或⎩⎨⎧k ≥2，k ＋1>5.∴k >4. 综上所述，k 的取值X 围是{k |k <2或k >4}．]16．已知集合M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A，可将A中的每一个元素k都乘以(－1)k再求和，则对M的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是________．16[因为M＝{1，2，3，4}，对它的非空子集A共有15个，分别是{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，其中数字1，2，3，4都出现了8次. 依题意得：8×[1×(－1)1＋2×(－1)2＋3×(－1)3＋4×(－1)4]＝16.]四、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：(1)p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；(2)p：∃x∈R，x2＋2x＋5＞0.[解](1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∃x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”．(2)由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∀x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∁R A，∁R(A∩B)，(∁R A)∩B.[解]结合数轴，由图可知∁R A＝{x|x≤－2或x≥3}，又∵A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∴∁R (A ∩B )＝∁R A ＝{x |x ≤－2或x ≥3}，∴(∁R A )∩B ＝{x |－3<x ≤－2或x ＝3}．19．(本小题满分12分)已知p ：x －2＞0，q ：ax －4＞0，其中a ∈R 且a ≠0.(1)若p 是q 的充分不必要条件，某某数a 的取值X 围；(2)若p 是q 的必要不充分条件，某某数a 的取值X 围．[解](1)设p ：A ＝{x |x －2＞0}，即p ：A ＝{x |x ＞2}，q ：B ＝{x |ax －4＞0}，因为p 是q 的充分不必要条件，则A B ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a＜2，解得a ＞2. 所以实数a 的取值X 围为a ＞2.(2)由(1)及题意得B A ，①当a ＞0时，由B A 得4a ＞2，即0＜a ＜2；②当a ＜0时，显然不满足题意．综上可得，实数a 的X 围为0＜a ＜2.20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，某某数m 的取值X 围．[解](1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B ，知⎩⎨⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值X 围为{m |m ≤－2}．21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠.(1)若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值X 围；(2)若A ∩B ＝，求a 的取值X 围．[解](1)∵x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∴A ⊆B .∴⎩⎨⎧a ≤2，3a ≥4， 解得a 的取值X 围为43≤a ≤2.(2)∵B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠，∴a ＞0.若A ∩B ＝，∴a ≥4或3a ≤2，∴a 的取值X 围为0＜a ≤23或a ≥4.22．(本小题满分12分)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.[证明] 法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy ，即1x ＜1y . 必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy ＜0.因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0.所以1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0.法二：1x ＜1y ⇔1x －1y ＜0⇔y －x xy ＜0.由条件x ＞y ⇔y －x ＜0，故由y －x xy <0⇔xy ＞0.所以1x ＜1y ⇔xy ＞0，即1x ＜1y 的充要条件是xy ＞0.。