28.2 解直角三角形

变式练习一：如图，直升飞机在高为200米的大楼 AB上方点P处，从大楼的顶部和底部测得飞机的 仰角分别为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30° A
45°
200米
O
B
变式练习二：如图，直升飞机在高为200米的 大楼AB左侧点P处，测得大楼的顶部仰角为 45°,同时测得大楼底部俯角为30°，求飞机与 大楼之间的水平距离.
思想与方法
1．数形结合思想. 2．方程思想. 3．转化（化归）思想. 方法：把数学问题转化成解直角三角形问题， 如果示意图不是直角三角形，可添加适当的辅 助线，构造出直角三角形.
挑战中考
解：
课堂小结与提高
• 本节课的知识，你感兴趣吗？学习中，你 觉得愉快吗？
• 本节课所总结的数学思想和数学方法，你 掌握了吗？
B 30
2
C
6
B
AB 2 2
学习目标
课前预习检测
合作与探究一
【例】如图，直升飞机在跨江 大桥AB的上方点P处，此时飞 机离地面的高度PO=450米，且 A、B、O三点在一条直线上， 测得大桥两端的俯角分别为 α=30°，β=45°，求大桥AB的 长.
P αβ
总计学习时间：8分
要求： 1、 4 人小组，讨论解题 方法、策略 （5分）；
• 本节课学习后，你还有什么困惑吗？请谈 一谈，让大家一起来帮帮你。
结束寄语
下课了!
•生活是数学的源泉.
• 探索是数学的生命线.
练习 1. 建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m 的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部 A B的仰角为45°，求旗杆的高度（精确到0.1m） B
参考数据：tan54°≈1.38
总计学习时间：8分
且A、B、O三点在一条直线上，
要求： 1、 4 人小组，讨论解题
在大桥的两端测得飞机的仰角 方法、策略 （5分）；
分别为30°和45 °，求飞机的 2、个人完成具体解答过
高度PO .
程（3分）。
P
45°
30°
O
B 400米 A
变式：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥AB的上方 点P处，且A、B、O三点在一条直线上，在大桥的两端 测得飞机的仰角分别为30°和45 °，求飞机的高度PO .
x 解：设OP长为 米，
x 则OB= 米，所以
P
x OA=（ +400米）。
于是，在Rt△AOP中，
tan 300 op x oA x 400
x 200 3 200
45°
30°
O
B 400米 A
答:飞机的高度为 (200 3 200 ) 米
总结：利用解直角三角形的知识解决实际问题
的一般步骤: 1.将实际问题抽象为数学问题;
此时 OB=OP=450米 ；
x 设AB长为 米，
x 则OA=450+ （米），得
P
α β
tan 300 OP ,即 450 OA 450 x
3 3 450米
解得x 450 3 450
答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.O
B
A
合作与探究二
变式：如图，直升飞机在长400 米的跨江大桥AB的上方点P处，
2、同桌合作，完成具体 解答过程（3分）；
3、计算结果保留根号 （下同）。
450米
O
B
A
【例】如图，直升飞机在跨江大桥AB的上方点P处，
此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、O三点在
一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为α=30°，
β=45°，求大桥AB的长 .
解：由题意得 PAO 30,PBO 45，
(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)
2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数， 解直角三角形; (有“弦”用“弦”; 无“弦” 用“切”)
3.得到数学问题的答案;
4.得到实际问题的答案.
学习小组合作学习
总计学习时间：20分 要求： 1、以学习小组为单位，合作完成以下练习； 2、在先后出示的三题变式练习中，最先找到解题 思路的学习小组优先选择题目，并随机选择其他 一个学习小组为竞赛伙伴（3分）； 3、学习小组合作，讨论好方法后，在黑板上完成 具体解答过程（6分）； 4、完成本小组的练习后，先对比检查竞赛小组的 解答情况，再游览其他小组的解答，有发现不正 确的情况要作好笔记（5分）； 5、小组间交互点评（6分）。
么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
AB 140°
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
C
E
cos BDE DE
50°
BDDEBiblioteka cosBDEgBDDcos50o 520 0.64520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
1. 解直角三角形. 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的 过程，叫做解直角三角形.
2. 解直角三角形的两种情况： （1）已知两条边，求两角一边； （2）已知一条边和一个锐角，求两边一角。
练习
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2, BC 6
解这个直角三角形。
A
解： A 60
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m
在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
AC tan ADCgDC
54°45°
D 40m
C
tan 54o 40 1.38 40 55.2
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2
答：棋杆的高度为15.2m.
2. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那
A
P 45°
30°
200米 D
O
B
变式练习三：如图，直升飞机在与大楼AB水平 距离为120米的点P处，测得大楼的顶部仰角为 45°,同时测得大楼底部俯角为30°，求大楼 AB的高度.
A
P 45°120米
30°
D
O
B
参考答案
• 变式练习一：(100 3 300) 米 • 变式练习二：(300 100 3) 米 • 变式练习三：(120 40 3) 米