【沪科版】九年级数学上第23章《解直角三角形》课时练习合集(含解析)

九年级上学期数学课时练习题（23.1 锐角三角函数）一.选择题1.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A.BDBC B.BCABC.ADACD.CDAC第1题图第2题图第9题图第10题图2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）3523253.若锐角α满足cosα＜22，且tanα3，则α的范围是（）A.30°＜α＜45° B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A.tan70°＜cos70°＜sin70°B.cos70°＜tan70°＜sin70°C.sin70°＜cos70°＜ta n70°D.cos70°＜sin70°＜ta n70°5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝35，则sin B的值为（）A.45 B.35C.34D.436.已知α是锐角，cos α＝13，则tan α的值是（ ）7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为（ ）A.1213B.513 C.125 D.5138.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大小是（ ）A.45°B.60°C.75°D.105°9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC 的面积等于32，则sin ∠CAB 等于（ ）35D.31010.如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y ＝2x上，第二象限的点B 在反比例函数y ＝k x 上，且OA ⊥OB ，cos A ，则k 的值为（ ）二.填空题11.已知：∠A +∠B ＝90°，若sin A =35，则cos B ＝__________.12.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，如果CD ＝3，BD ＝2，那么cos ∠A 的值是__________.13.若α为锐角，且cosα＝132-m ，则m 的取值范围是_________________.14.已知：32＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是__________________.15.已知：α是锐角，且tan α＝34，则sin α+cos α＝__________.16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a ＝3b ，那么sin A ＝________.三.解答题 17.计算下列各题 （1）2sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .（2）2tan 60-︒－(π－3.14)0+(-12)-2+1212+tan27°tan63° .18.先化简，再求值：2-+a ba b ÷222244-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－tan45°，b ＝1.19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.20.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD .CB 相交于点H .E ，AH ＝2CH . （1）求sin B 的值； （2）如果CD 5BE 的长.21.已知：sinα，cosα（0°＜α＜90°）是关于x的一元二次方程2x2－(3+1)x+m＝0的两个实数根，试求角α的度数.22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B.C在同一水平地面上.（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.5 2.236，结果精确到0.1m）23.1《锐角三角函数》课时练习参考答案一.选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B D A B C D B B 1.如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A.BDBC B.BCABC.ADACD.CDAC解答：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠α+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠α＝∠ACD，∴cosα＝cos∠ACD＝BDBC ＝BCAB＝DCAC，故选：C.2.如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cos A的值为（）A.33 B.55C.233 D.255解答：过点B作BD⊥AC于D，由勾股定理，得：AB＝10，AD＝22，∴cos A＝ADAB ＝255，故选：D.3.若锐角α满足cosα＜22，且tanα＜3，则α的范围是（）A.30°＜α＜45°B.45°＜α＜60°C.60°＜α＜90°D.30°＜α＜60°解答：∵α为锐角，∴cosα＞0，又∵cosα，∴0＜cosα，∵cos90°＝0，cos45°，根据锐角三角函数的增减性可得：45°＜α＜90°，∵tanα＞0，tanα，∴0＜tanα∴0°＜α＜60°，又∵tan0°＝0，tan60°综合上述，45°＜α＜60°，故选：B.4.比较sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（）A.tan70°＜cos70°＜sin70°B.cos70°＜tan70°＜sin70°C.sin70°＜cos70°＜ta n70°D.cos70°＜sin70°＜ta n70°解答：根据锐角三角函数的概念，知：sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1．又cos70°＝sin20°，正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°，即sin70°＞cos70°，∴cos70°＜sin70°＜ta n70°故选D．5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝3，则sin B的值为（）5A.45B.35C.34D.43解答：∵sin 2B +cos 2B ＝1，cos B ＝35，∴sin B 45，故选：A.6.已知α是锐角，cos α＝13，则tan α的值是（ ）解答：由sin 2α+cos 2α＝1，cos α＝13，得：sin α，∴tanα＝sin cos αα＝，故选：B.7.在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513，则tan B 的值为（ ）A.1213B.513 C.125 D.513解答：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝513， ∴可设BC ＝5k ，AB ＝13k ，∴AC 12k ，∴tan B ＝AC BC＝125k k＝125，故选：C.8.在△ABC 中，若角A ，B 满足cos A +(1－tan B )2＝0，则∠B 的大小是（ ）A.45°B.60°C.75°D.105°解答：由题意得，cos A ，tan B ＝1，则∠A＝30°，∠B＝45°，则∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故选：D．9.如图，在2×2的正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于32，则sin∠CAB等于（）A.332 B.35C.105D.310解答：过点A作AE⊥BC于E，过点C作CD⊥AB于C，由勾股定理，得：AB＝AC＝5，BC＝2，由等腰三角形的性质，得：BE＝12BC＝22，∴AE＝22AB BE＝322，由三角形的面积，得：12AB CD＝12BC AE，∴CD＝BC AEAB ＝355，∴sin∠CAB＝CDAC ＝35，故选：B.10.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝2x上，第二象限的点B在反比例函数y＝kx 上，且OA⊥OB，cos A＝33，则k的值为（）A.-3B.-6C.-4D.-23解答：作AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，设A点坐标为(x，y)，则∠BCO＝∠ADO＝∠AOB＝90°，∴∠BCO+∠AOD＝∠OAD+∠AOD＝90°，∴∠BCO＝∠OAD，又∵∠BCO＝∠ADO，∴△OAD∽△BOC，∴OAOB ＝ADOC＝ODBC，∵cos∠BAO＝OAOB ＝33，∴ADOC＝ODBC＝33，∵y＝AD＝33OC，x＝OD＝33BC，∵第一象限内的点A在反比例函数y＝2x上，∴xy＝33OC×33BC＝2，∴k＝OC BC＝2×3＝－6，故选：B.二.填空题11. 35. 12. 31313． 13. －13＜m＜13．14. 20°＜∠A＜30° 15. 75 16. 12.11.已知：∠A+∠B＝90°，若sin A＝35，则cos B＝__________.解答：由∠A+∠B＝90°，sin A＝35，得：cos B＝sin A＝35，故答案为：35．12.在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD是斜边AB上的高，如果CD＝3，BD＝2，那么cos∠A的值是__________.解答：如图所示，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠A＝90°，∵CD⊥AB，∴∠CDA＝90°，∴∠B +∠BCD ＝90°，∴∠BCD ＝∠A ， ∵CD ＝3，BD ＝2，∴BC∴cos A ＝cos ∠BCD ＝DCBC故答案为：1313.若α为锐角，且cos α＝132-m ，则m 的取值范围是_________________. 解答：∵0＜cos α＜1，∴0＜132-m ＜1，解得：－13＜m ＜13，故答案为：－13＜m ＜13．14.＜cos A ＜sin70°，则锐角A 的取值范围是____________.解答：∵＜cos A ＜sin 70°，sin 70°＝cos 20°，∴cos 30°＜cos A ＜cos 20°，∴20°＜∠A ＜30°． 故答案为：20°＜∠A ＜30°．15.已知：α是锐角，且tan α＝34，则sin α+cos α＝__________.解答：由tan α＝a b＝34知，如果设a ＝3x ，则b ＝4x ，结合a 2+b 2＝c 2得c ＝5x ．所以sin α＝a c＝35x x ＝35，cos α＝b c＝45x x＝45，sin α+cos α＝35+45＝75，故答案为：75．16. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果3a，那么sin A ＝________.解答：∵3a ，∴ab＝3；令a，则b ＝3k ；c k ．∴sin A ＝12，故答案为：12.三.解答题 17.计算下列各题 （1sin60°－4cos230°+sin45°tan60° .解答：×2－4×(2)2+2－3（2）2tan 60-︒－(π－3.14)0+(-12)-2+12tan27°tan63° .解答：原式＝2 ＝2－ ＝618.先化简，再求值：2-+a ba b ÷222244-++a b a ab b －1，其中a ＝2sin60°－tan45°，b ＝1.解答：2-+a ba b ÷222244-++a b a ab b －1＝2-+a ba b÷2()()(2)+-+a b a b a b －1＝2-+a ba b ×2(2)()()++-a b a b a b －1＝2++a b a b－1＝+ba b， 当a ＝2sin60°－tan45°＝2×32－1＝3－1，b ＝1时，原式＝－1311-+＝13＝33.19.如图，△ABC 是锐角三角形，AB ＝15，BC ＝14，S △ABC ＝84，求tan C 和sin A 的值.解答：过A 作AD ⊥BC 于点D ，∵S △ABC ＝12BC AD ＝84，∴12×14×AD ＝84，∴AD ＝12．又∵AB ＝14， ∴BD ＝22-AB AD ＝9．∴CD ＝14﹣9＝5．在Rt △ADC 中，AC ＝22+AD DC ＝13，∴tan C ＝AD DC＝125；过B 作BE ⊥AC 于点E ，∵S △ABC ＝12AC EB ＝84，∴BE ＝16813，∴sin ∠BAC ＝BE AB ＝1681315＝5665.20.如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD .CB 相交于点H .E ，AH ＝2CH . （1）求sin B 的值； （2）如果CD ＝5，求BE 的长.解答：（1）∵∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线， ∴CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD ，∵AE ⊥CD ，∴∠CAH +∠ACH ＝90°， 又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD +∠ACH ＝90°， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠CAH ， ∵AH ＝2CH ，∴由勾股定理，得：AC ＝5CH ，∴CH ：AC ＝1：5，∴sin B ＝55；（2）由sin B ＝55得：AC AB＝15，∴AC ＝2，∵∠B ＝∠CAH ，∴sin ∠CAH ＝sin B ＝15，设CE ＝x （x ＞0），则AE ＝5x ，则x 2+22＝(5x )2，∴CE ＝x ＝1，AC ＝2， 在Rt △ABC 中，AC 2+BC 2＝AB 2， ∵AB ＝2CD ＝25，∴BC ＝4，∴BE ＝BC －CE ＝3.21.已知：sin α，cos α（0°＜α＜90°）是关于x 的一元二次方程2x 2－(3+1)x +m ＝0的两个实数根，试求角α的度数.解答：由根与系数的关系，得：sin α+cos α＝312+，sin αcos α＝2m ，∵(sin α+cos α)2＝sin 2α+cos 2α+2 sin αcos α＝1+2 sin αcos α，∴(312+)2＝1+2×2m ，解得：m ＝32，把m ＝32代入原方程得：2x 2－(3+1)x +32＝0，解这个方程得：x 1＝12，x 2＝32，∴sinα＝12或sinα＝32，∴α＝30°或60°.22.如图，在同一平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20km；BC段与AB.CD段都垂直，长为10km，CD段长为30km，求两高速公路间的距离（结果保留根号）.解答：过点B作BE⊥l1，交l1于E，CD于F，l2于G，在Rt△ABE中，BE＝AB sin30°＝20×12＝10km，在Rt△BCF中，BF＝BC÷com30°＝10÷32＝2033km，CF＝BF•sin30°＝2033×12＝1033km，DF＝CD－CF＝(30－1033)km，在Rt△DFG中，FG＝DF sin30°＝(30－1033)×12＝(15－533)km，EG＝BE+BF+FG＝(25－53)km，答：两条高速公路间的距离为(25－53)km.23.如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i＝1：2，顶部A处的高AC为4m，B.C在同一水平地面上.（1）求斜坡AB的水平宽度BC；（2）矩形DEFG为长方体货柜的侧面图，其中DE＝2.5m，EF＝2m，将该货柜沿斜坡向上运送，当BF＝3.5m时，求点D离地面的高.（5≈2.236，结果精确到0.1m）解答：（1）∵坡度为i＝1：2，AC＝4m，∴i＝ACBC ＝12，∴BC＝2AC＝4×2＝8m，（2）作DS⊥BC于点S，且与AB相交于点H，∵∠DGH＝∠BSH＝90°，∠DHG＝∠BHS，∴∠GDH＝∠SBH，∴tan∠GDH＝tan∠SBH＝ACBC ＝GHGD＝12，∵DG＝EF＝2m，∴GH＝1m，∴DH＝2212＝5m，BH＝BF+FH＝3.5+（2.5－1）＝5m，设HS＝x m，则BS＝2x m，由勾股定理，得：x2+(2x)2＝52，解得：x＝5m，∴DS＝DH+HS＝5+5＝25m，答：点D离地面的高为25m.九年级上学期数学课时练习题（23.2 解直角三角形及其应用）一.选择题1.在△ABC中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝35，则斜边上的高等于（）A.6425 B.4825C.165D.1252.已知：△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC+AC＝3+3，则BC等于（）A.3B.3C.23D.3+13.在△ABC中，AB＝122，AC＝13，cos B＝22，则BC边长为（）A.7B.8C.8或17D.7或174.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A.13 B.2－1 C.2－3 D.14第5题图第6题图第7题图6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM ＝35，则tan B的值为（）A.32 B.23C.56D.437.如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tan B＝53，则tan∠CAD的值为（）A.33 B.35C.13D.158.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A.20海里B.40海里3海里39.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tan ＝5，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（）2A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm第8题图第9题图第10题图10.如图，为了测得电视塔高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为（）33+1 D.101二.填空题11. 在△ABC中，，∠C＝90°，tan a＝2，AC＝6，则BC＝___________.312.在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象过点P(1，1)，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO ＝3，那么点A的坐标是____________.13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB的坡度为1：3，斜坡AB的水平宽度BE＝33m，那么斜坡AB的长为_________m.第14题图第15题图第16题图15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A.D.B在同一直线上，则AB两点的距离是_________________米．16.如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，若cos B＝4，EC＝2，P5是AB边上的一动点，则线段PE的长度的最小值是___________.三.解答题17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝4，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC5的值.18.如图，已知矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝6，AD＝8，求sin∠OEA的值．19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(3≈1.7)20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°. （1）求调整后的滑梯AD的长度（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽为6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）22.如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD＝4，sin B＝4，若E是5 AC边上的点，且满足AE：EC＝2：3，连接DE，求sin∠ADE的值.23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A.B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距3海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）23.2解直角三角形及其应用课时练习题参考答案一.选择题1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝4，sin A ＝5，则斜边上的高等于（ ）A.6425B.4825C.165D.125解答：∵在Rt △ABC 中，sin A ＝BC AB＝35，AB ＝4，∴BC ＝125，由勾股定理得：AC ＝165，∵在Rt △ADC 中，sin A ＝CD AC，∴CD ＝165×35＝4825.故选：B.2.已知：△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，BC +AC ＝，则BC 等于（ ）解答：设BC ＝x ，则AC ＝tan BCAx ，∵BC +AC ＝x x ＝解得：x ＝3，即BC ＝3， 故选：B.3.在△ABC 中，AB ＝，AC ＝13，cos B ＝2，则BC 边长为（ ）A.7B.8C.8或17D.7或17解答：∵cos∠B＝22，∴∠B＝45°，当△ABC为钝角三角形时，如图1，∵AB＝122，∠B＝45°，∴AD＝BD＝12，∵AC＝13，∴由勾股定理得CD＝5，∴BC＝BD﹣CD＝12﹣5＝7；当△ABC为锐角三角形时，如图2，BC＝BD+CD＝12+5＝17，故选：D．4.等腰三角形的底边与底边上的高的比是2：3，则顶角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°解答：如图，AB＝AC，AD为BC边上的高，由题意得：BC：AD＝2：3，由等腰三角形的“三线合一”得BD＝12BC，∴BD：AD＝1：3，即ADBD＝3，∴tan B＝3，∴∠B＝60°，∴此三角形为等边三角形，故顶角为60°，故选：A.5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD，则tan∠DBC的值为（）A.13 B.2－1 C.2－3 D.14解答：∵在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝45°，BC＝2AC．又∵点D为边AC的中点，∴AD＝DC＝12AC．∵DE⊥BC于点E，∴∠CDE＝∠C＝45°，∴DE＝EC＝22DC＝24AC．∴tan∠DBC＝DEBE ＝24224ACAC AC-＝13，故选：A．6.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM ＝35，则tan B的值为（）A.32 B.23C.56D.43解答：在Rt△ACM中，sin∠CAM＝CMAM ＝35，设CM＝3x，则AM＝5x，根据勾股定理得：AC＝22AM CM-＝4x，又M为BC的中点，∴BC＝2CM＝6x，在Rt△ABC中，tan B＝ACBC ＝46xx＝23，故选：B.7.如图，在Rt△ABC中，延长斜边BD到点C，使DC＝12BD，连接AC，若tan B＝53，则tan CAD的值为（）A.33 B.35C.13D.15解答：如图，延长AD，过点C作CE⊥AD，垂足为E，∵tan B＝53，即ADAB＝53，∴设AD＝5x，则AB＝3x，∵∠CDE＝∠BDA，∠CED＝∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴CEAB ＝DEAD＝CDBD＝12，∴CE＝32x，DE＝52x，∴AE＝152x，∴tan∠CAD＝ECAE ＝15，故选：D．8.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A.20海里B.40海里C.203海里D.403海里解答：根据题意可知∠CAD＝30°，∠CBD＝60°，∵∠CBD＝∠CAD+∠ACB，∴∠CAD＝30°＝∠ACB，∴AB＝BC＝40海里，在Rt△CBD中，∠BDC＝90°，∠DBC＝60°，sin ∠DBC ＝CD BC，∴sin 60°＝CD BC，∴CD ＝40×sin 60°＝40×32＝203 （海里），故选：C ．9.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm 长的绑绳EF ，tan α＝52，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是（ ）A.144cmB.180cmC.240cmD.360cm 解答：根据题意可知：：△AFO ∽△ABD ，OF ＝12EF ＝30cm∴OF DC＝AF AC ，即30DC＝2.56，∴DC ＝72cm ，∵tan α＝52，∴AD DC＝52，∴AD ＝52×72＝180cm ．故选：B ．10.如图，为了测得电视塔高度AB ，在D 处用高为1米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米到达F 处，又测得电视塔顶端A 的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB （单位：米）为（ ） A.503 B.51 C.503+1 D.101解答：设AG ＝x ，在Rt △AEG 中，∵tan ∠AEG ＝AG EG，∴EG ＝3AG ＝33x ，在Rt △ACG 中，∵tan ∠ACG ＝AG CG，∴CG ＝tan 30x＝3x ，∴3x ﹣33x ＝100，解得：x ＝503，则AB ＝503+1（米），故选：C ． 二.填空题11. 4 12. （4，0）. 13. 182米. 14. 6. 15. 2003+200． 16. 4.8.11.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝23，AC ＝6，则BC ＝___________.解答：∵∠C ＝90°，tan A ＝23，∴BC AC＝23，∴BC ＝6×23＝4，故答案为：4.12.在平面直角坐标系xOy 中，已知一次函数y ＝kx +b （k ＜0）的图象过点P (1，1)，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，且tan ∠ABO ＝3，那么点A 的坐标是____________.解答：如图，∵一次函数y ＝kx +b （k ＜0）的图象过点P (1，1)， ∴k +b ＝1①，点A ，点B 分别与x 轴，y 轴的正半轴相交，且点B 坐标为（0，b ）， ∴OB ＝b ，在Rt △AOB 中，∵tan ∠ABO ＝3，∴OA ＝3OB ＝3b ， ∴点A 的坐标为（3b ，0）， ∴3bk +b ＝0，∴k ＝－13，把k ＝－13代入①得：b ＝43，∴点A 的坐标为（4，0），故答案为：（4，0）.13.小明同学在距某电视塔底部水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°（不考虑身高因素），则此电视塔高约为________________米.（结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475）解答：设电视塔高为x 米，由题意得：x ＝500tan20°≈500×0.3640＝182（米）， 故答案为：182米.14.如图，铁路的路基横断面可看成是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1：3，斜坡AB 的水平宽度BE ＝33m ，那么斜坡AB 的长为_________m.解答：∵斜坡AB 的坡度为1：3，∴tan B ＝33，∴∠B ＝30°， ∵cos B ＝BE AB，∴AB ＝sin30BE＝6（m ）， 故答案为：6.15.4月26日，2015黄河口国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A 处的俯角为30°，B 处的俯角为45°．如果此时直升机镜头C 处的高度CD 为200米，点A .D .B 在同一直线上，则AB 两点的距离是_________________米． 解答：由已知，得∠A ＝30°，∠B ＝45°，CD ＝200，∵CD ⊥AB 于点D ，∴在Rt △ACD 中，∠CDA ＝90°，tan A ＝CD AD，∴AD ＝20033＝2003，在Rt △BCD 中，∠CDB ＝90°，∠B ＝45° ∴DB ＝CD ＝200， ∴AB ＝AD +DB ＝2003+200，故答案为：2003+200．16.如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于点E ，若cos B ＝45，EC ＝2，P是AB 边上的一动点，则线段PE 的长度的最小值是___________. 解答：设菱形ABCD 的边长为x ，则AB ＝BC ＝x ，又EC ＝2，所以BE ＝x ﹣2， 因为AE ⊥BC 于E ，所以在Rt △ABE 中，cos B ＝2x x-，又cos B＝45，于是2x x-＝45，解得x ＝10，即AB ＝10． 所以易求BE ＝8，AE ＝6， 当EP ⊥AB 时，PE 取得最小值．故由三角形面积公式有：12AB PE ＝12BE AE ，求得PE 的最小值为4.8， 故答案为 4.8.三.解答题17.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC 的值.解答：（1）∵AD是边BC上的高，AD＝12，∴sin B＝ADAB ＝45，∴AB＝15，在Rt△ABD中，BD＝22AB AD-＝9，∴DC＝BC－BD＝14－9＝5；（2）∵E是斜边AC的中点，∴DE＝EC，∴∠EDC＝∠C，在R t△ADC中，tan C＝ADDC ＝125，∴tan∠EDC＝tan C＝125.18.如图，已知矩形ABCD的对角线AC.BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AB＝6，AD＝8，求sin∠OEA的值．解答：连结EC，∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝8，OA＝OC，∠ABC＝90°，由勾股定理得：AC＝22AB BC+＝10，则OA＝5，∵OE⊥AC，∴OE是A C的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△EDC中，设EC＝AE＝x，则有ED＝AD－AE＝8－x，DC＝AB＝6，根据勾股定理得：x2＝(8－x)2+62，解得：x＝254，∴AE＝254，在Rt△AOE中，sin∠OEA＝OAAE ＝45.19.如图，平台AB高为12米，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度.(3≈1.7)解答：作BE⊥CD于点E，则CE＝AB＝12，在Rt△BCE中，BE＝tan CECBE∠＝12tan30︒＝123，在Rt△BDE中，DE＝BE tan∠DBE＝123tan45°＝123，∴CD＝CE+DE＝12+123≈32.4，所以，楼房CD的高度约为32.4米.20.如图，某水上乐园有一个滑梯AB，高度AC为6米，倾斜角为60°，暑期将至，为改善滑梯AB的安全性能，把倾斜角由60°减至30°. （1）求调整后的滑梯AD的长度（2）调整后的滑梯AD比原滑梯AB增加多少米？（精确到0.1米）（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45）解答：（1）Rt△ABD中，∵∠ADB＝30°，AC＝6米，∴AD＝2AC＝12（m）∴AD的长度为12米；（2）∵Rt △ABC 中，AB ＝sin30AC ︒＝43（m ）， ∴AD －AB ＝12﹣43≈5.1（m ）．∴改善后的滑梯会加长5.1m ．21.如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽为6米，坝高20米，斜坡AB 的坡度i ＝1：2.5，斜坡CD 的坡角为30°，求坝底AD 的长度.（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）解答：作BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点E ，F ，则四边形BCFE 是矩形，由题意知：BC ＝EF ＝6米，BE ＝CF ＝20米，斜坡AB 的坡度i ＝1：2.5， 在Rt △ABE 中，i ＝BE AE ＝12.5， ∴AE ＝50米，在Rt △CFD 中，∠D ＝30°，∴DF ＝tan 30CF ︒＝203米， ∴AD ＝AE +EF +DF ＝50+6+203≈90.6（米）， 答：坝底AD 的长度约为90.6米.22.如图，AD 是等腰△ABC 底边上的高，且AD ＝4，sin B ＝45，若E 是AC 边上的点，且满足AE ：EC ＝2：3，连接DE ，求sin ∠ADE 的值. 解答：过点A 作AF ∥BC ，交DE 的延长线于F ，∵AD 是等腰△ABC 底边上的高，∴BD ＝CD ，AB ＝AC ，在Rt △ABD 中，∵sin B ＝AD AB ＝45，而AD ＝4，∴AB＝5，∴BD＝22AB AD-＝3，∴CD＝BD＝3，∵AF∥CD，∴∠DAF＝90°，△AEF∽△CED，∴AFCD ＝AEEC，即3AF＝23，∴AF＝2，在Rt△DAF中，D F＝22AD AF+＝25，在Rt△DAF中，sin∠ADF＝AFDF ＝225＝55，即sin∠ADE的值为55．23.如图，在南北方向的海岸线MN上，有A.B两艘巡船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：2≈1.41，3≈1.73）解答：过点C作CE⊥AB于点E，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE tan60°＝3x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝3x，∴AE +BE ＝xx ＝+1)，解得：x ＝100，∴AC ＝cos60AE＝2x ＝200． 在△ACD 中，∠DAC ＝60°，∠ADC ＝75°，则∠ACD ＝45°， 过点D 作DF ⊥AC 于点F ，设AF ＝y ，则DF ＝CF ，∴AC ＝y＝200，解得：y ＝－1)， ∴DF×1)≈126.3海里，∵126.3＞100，所以巡逻船A 沿直线AC 航线，在去营救的途中没有触暗礁危险 .。