北师大版高中数学必修5模块测试试题及答案

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高中数学北师大版必修5习题：模块综合检测含解析

??≥ 0 .
A.3
B.2
C.-2
D.-3
解析 :由约束条件画出可行域 ,如图阴影部分所示 .
线性目标函数 z=ax+y ,即 y=-ax+z.
设直线 l 0:ax+y= 0.
当 -a≥ 1,即 a≤ -1 时 ,l0 过 O(0,0)时 ,z 取得最大值 ,zmax= 0+ 0= 0,不合题意 ;
模块综合检测
(时间 :120 分钟满分 :150 分)
一、选择题 (本大题共 12 小题 ,每小题 5 分,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中
项是符合题目要求的 )
1.已知 a∈R ,且 a2+a< 0,则-a,-a3,a2的大小关系是 (
)
A. a2>-a 3>-a C.-a3>a 2>-a
解析 :画出约束条件对应的平面区域 (如图 ),点 A 为 (1,3),要使 ????最大 ,则 ????--00最大 ,即过点 (x,y),(0,0) 两点的
直线斜率最大 ,由图形知当该直线过点
A
时
,(
??
??)
max
=
3 -0
1 -0= 3.
答案 :3
16.①数列 { an} 的前
n 项和
Sn=n
即 an+ 1= 4an(n≥ 2).
故 n≥2 时 ,{ an} 是以 a2 为首项 ,以 4 为公比的等比数列 . ∵a2= 3S1= 3a1= 3,∴ ??2 = 3≠4.
??1
∴a1 不在上述等比数列里面 .
∴数列 { an} 的通项公式为
1 (??= 1),
a
n=

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案

北师大版高中数学必修5综合测试试题及答案必修模块5试题.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。

考试时间120分钟．第Ⅰ卷选择题共50分一．选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知等差数列{an}中，a7a916,a41,则a12的值是A.15B.30C.31D.6422.若全集U=R,集合M＝某某4，S＝某3某0，则MðUS=某1A.{某某2}B.{某某2或某3}C.{某某3}D.{某2某3}3.若1＋2＋22＋……＋2n>128，nN某，则n的最小值为A.6B.7C.8D.94.在ABC中，B60，bac，则ABC一定是2A、等腰三角形B、等边三角形C、锐角三角形D、钝角三角形115.若不等式a某2b某20的解集为某|某，则a－b值是23A.－10B.－14C.10D.146.在等比数列{an}中，S4=1，S8=3，则a17a18a19a20的值是A．14B．16C．18D．207．已知某2y1，则2某4y的最小值为A．8B．6C．22D．28.黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖的块数是A.4n2B.4n2C.2n4D.3n3第1个第2个第3个某4y309.已知变量某,y满足3某5y25，目标函数是z2某y，则有某1A．zma某12,zmin3C．zmin3,z无最大值B．zma某12,z无最小值D．z既无最大值，也无最小值10．在R上定义运算:某y某(1y)，若不等式(某a)(某a)1对任意实数某成立，则实数a的取值范围是A．1a1B．0a2C．1331aD．a2222第Ⅱ卷非选择题共100分二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）11.已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．12．b克糖水中有a克糖（b>a>0），若再加入m克糖（m>0），则糖水更甜了，将这个事实用一个不等式表示为.13.在数列an中，a11，且对于任意正整数n，都有an1ann，则a100＝________________.14．把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设ai,j（i、j∈N某）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，23456如a4,2＝8．若ai,j＝2006，则i、j的值分别为________，__________78910…………………………三、解答题：（本大题共6小题，共80分。

2017-2018学年(新课标)北师大版高中数学必修五模块检测试题及答案解析

（新课标）2017-2018学年北师大版高中数学必修五模块检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3，则a 5＋a 6的值为( )． A ．91 B ．152 C ．218 D ．279 解析 a 5＋a 6＝S 6－S 4＝63－43＝152. 答案 B2．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝4∶3∶2，则cos A 的值是( )． A ．－14B.14C ．－23 D.23解析由正弦定理得a ∶b ∶c ＝4∶3∶2，设a ＝4k ，b ＝3k ，c ＝2k ，则cos A ＝ 9k 2＋4k 2－16k 22×3k ×2k ＝－14.答案 A3．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )．A ．16B ．32C ．64D ．256解析 ∵{a n }是等比数列且由题意得a 1·a 19＝16＝a 102(a n ＞0)，∴a 8·a 10·a 12＝a 103＝64. 答案 C4．等差数列{a n }满足a 42＋a 72＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )． A ．－9 B ．－15 C ．15 D ．±15解析 a 42＋a 72＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9.∴a 4＋a 7＝±3， ∴a 1＋a 10＝±3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝±15.答案 D5．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x|＋1所表示的平面区域的面积为( )．A. 2B.32C.322D ．2解析 |CD|＝1＋1＝2，⎩⎨⎧y ＝x －1，y ＝－3x ＋1，∴x A ＝12.⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝3x ＋1，∴x B ＝－1，∴S △CDA ＝12×2×12＝12，S △CDB ＝12×2×1＝1.故所求区域面积为32.答案 B6．如果不等式2x 2＋2mx ＋m4x 2＋6x ＋3＜1对一切实数x 均成立，则实数m 的取值范围是( )．A ．(1,3)B ．(－∞，3)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析 ∵4x 2＋6x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋322＋34＞0，∴原不等式⇔2x 2＋2mx ＋m ＜4x 2＋6x ＋3⇔2x 2＋(6－2m)x ＋(3－m)＞0，x ∈R 恒成立⇔Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0，∴1＜m ＜3. 答案 A7．△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝0，b ＝3，则c ∶sin C 等于( )． A ．3∶1 B.3∶1 C.2∶1 D ．2∶1解析 cos 2B ＋3cos(A ＋C)＋2＝2cos 2B －3cos B ＋1＝0， ∴cos B ＝12或cos B ＝1(舍)．∴B ＝π3.∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2. 答案 D8．已知各项都为正数的等比数列{a n }的公比不为1，则a n ＋a n ＋3与a n ＋1＋a n ＋2的大小关系是( )．A ．a n ＋a n ＋3＜a n ＋1＋a n ＋2B ．a n ＋a n ＋3＝a n ＋1＋a n ＋2C ．a n ＋a n ＋3＞a n ＋1＋a n ＋2D ．不确定的，与公比有关解析因为a n ＋a n ＋3＝a n (1＋q 3)， a n ＋1＋a n ＋2＝a n (q ＋q 2)，a n ＋a n ＋3－(a n ＋1＋a n ＋2)＝a n (1＋q 3－q －q 2)＝ a n (1－q)(1－q 2)＝a n (1－q)2(1＋q)＞0. 答案 C9．已知公差不为0的等差数列的第4,7,16项恰好分别是某等比数列的第4,6,8项，则该等比数列的公比是( )． A. 3 B.2C ．±3D ．± 2解析等差数列记作{a n }，等比数列记作{b n }，则q 2＝b 8b 6＝b 6b 4＝b 8－b 6b 6－b 4＝a 16－a 7a 7－a 4＝9d3d ＝3，∴q ＝± 3.答案 C10．若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m 等于( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 解析如图，作出可行域，由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝0，2x －y －3＝0，得A ⎝⎛⎭⎪⎫1＋3m －1＋2m ，5－1＋2m ，平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋y 取得最大值，即1＋3m －1＋2m ＋5－1＋2m＝9，解得m＝ 1. 答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．正项等比数列{a n }满足a 2a 4＝1，S 3＝13，b n ＝log 3a n ，则数列{b n }的前10项和是________．解析 ∵{a n }成等比数列，a n ＞0，∴a 2a 4＝a 32＝1. ∴a 3＝1，∴a 1q 2＝1.①∵S 3＝a 1＋a 2＋1＝13，∴a 1(1＋q)＋1＝13.② 由①②得，a 1＝9，q ＝13，a n ＝33－n .∴b n ＝3－n.∴S 10＝－25. 答案－2512．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树高的高度为________．解析 ∵∠A ＝30°，∠ABP ＝45°，∴∠APB ＝15°，AB sin ∠APB ＝PA sin ∠PBA ，60sin 15°＝PAsin 135°，∴PA ＝60(3＋1)，PQ ＝PA ·sin ∠A ＝60(3＋1)·sin 30°＝30(3＋1)．答案 (30＋303)m13．设，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，8x －y －4≤0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y(a ＞0，b ＞0)的最大值为8，则a ＋b 的最小值为________．解析如图所示，线性约束条件表示的区域为图中的阴影部分，A(0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，C(1,4)，当直线l ：y ＝－abx＋z 过点C 时，z 取最大值8，即8＝ab ＋4， ∴ab ＝4.又∵a ＞0，b ＞0，∴a ＋b ≥2ab ＝24＝4(a ＝b ＝2时取等号)．答案 414．在△ABC 中，D 为BC 边上一点，BC ＝3BD ，AD ＝2，∠ADB ＝135°，若AC ＝2AB ，则BD ＝________. 解析如图，设AB ＝k ，则AC ＝2k ，再设BD ＝x ，则DC ＝2x.在△ABD 中，由余弦定理得 k 2＝x 2＋2－2·x ·2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝x 2＋2＋2x ，① 在△ADC 中，由余弦定理得 2k 2＝4x 2＋2－2·2x ·2·22＝4x 2＋2－4x ， ∴k 2＝2x 2＋1－2x.② 由①②得x 2－4x －1＝0，解得x ＝2＋5(负值舍去)．答案 2＋ 515．设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为________．解析因为a ＞1，b ＞1，a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，所以x ＝log a 3，y ＝log b 3.1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤ log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝1，当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案 1三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及前n 项和T n .解 (1)∵{a n }是首项为a 1＝19，公差为d ＝－2的等差数列，∴a n ＝19－2(n －1)＝21－2n ，S n ＝19n ＋12n(n －1)×(－2)＝20n －n 2.(2)由题意得b n －a n ＝3n －1，即b n ＝a n ＋3n －1，∴b n ＝3n －1－2n ＋21， ∴T n ＝S n ＋(1＋3＋…＋3n －1)＝－n 2＋20n ＋3n －12.17．(12分)已知不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x>b}， (1)求a ，b ；(2)解不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0.解 (1)因为不等式ax 2－3x ＋6＞4的解集为{x|x ＜1或x ＞b}，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b ＞1.由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a，1×b ＝2a.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以a ＝1，b ＝2.(2)所以不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0，即x 2－(2＋c)x ＋2c ＜0，即(x －2)(x －c)＜0.当c ＞2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；当c ＜2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c)＜0的解集为∅，综上，当c ＞2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|2＜x ＜c}；当c ＜2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为{x|c ＜x ＜2}；当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b)x ＋bc ＜0的解集为∅.18．(12分)在△ABC 中，a 比b 长2，b 比c 长2，且最大角的正弦值是32，求△ABC 的面积．解据题意知a －b ＝2，b －c ＝2，∴边长a 最大，∴sin A ＝32， ∴cos A ＝±1－sin 2A ＝±12.∵a 最大，∴cos A ＝－12.又a ＝b ＋2，c ＝b －2，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋(b －2)2－(b ＋2)22b (b －2)＝－12，解得b ＝5，∴a ＝7，c ＝3，∴S △ABC ＝12bcsin A ＝12×5×3×32＝1534.19．(12分)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式．(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6) 解 (1)第一年末的住房面积为 a ·1110－b ＝(1.1a －b)(m 2)．第二年末的住房面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1110－b ·1110－b＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110＝(1.21a －2.1b)(m 2)．(2)第三年末的住房面积为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11102－b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1110·1110－b ＝a ·⎝⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102，第四年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11104－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103，第五年末的住房面积为 a ·⎝⎛⎭⎪⎫11105－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11103＋⎝ ⎛⎭⎪⎫11104＝1.15a －1－1.151－1.1b ＝1.6a －6b.依题意可知1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a 20，所以每年拆除的旧住房面积为a20 m 2.20．(13分)已知1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，求2x －3y 的取值范围．解法一作出一元二次方程组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤5－1≤x －y ≤3所表示的平面区域(如图)即可行域．考虑 z ＝2x －3y ，把它变形为y ＝23x －13z ，得到斜率为23，且随z 变化的一组平行直线，－13z 是直线在y 轴上的截距，当直线截距最大且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最小值；当直线截距最小且满足约束条件时目标函数z ＝2x －3y 取得最大值．由图可知，当直线z ＝2x －3y 经过可行域上的点A 时，截距最大，即z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝5，得A 的坐标为(2,3)．所以z min ＝2x －3y ＝2×2－3×3＝－5.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，x ＋y ＝1，得B 的坐标为(2，－1)，所以z max ＝2x －3y ＝2×2－3×(－1)＝7. ∴2x －3y 的取值范围是[－5,7]．法二设2x －3y ＝m(x ＋y)＋n(x －y)＝mx ＋my ＋nx －ny ＝(m ＋n)x ＋(m －n)y则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3，⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.则2x －3y ＝－12(x ＋y)＋52(x －y)∵1≤x ＋y ≤5，－1≤x －y ≤3，∴－52≤－12(x ＋y)≤－12，－52≤52(x －y)≤152，∴－5≤2x －3y ≤7. 即2x －3y 的取值范围为[－5,7]．21．(14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值．解 (1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．如图所示，设小艇与轮船在C 处相遇．在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝103，AC ＝20sin 30°＝10.又AC ＝30t ，OC ＝vt.此时，轮船航行时间t ＝1030＝13，v ＝10313＝303，即小艇以303海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)如图所示，设小艇与轮船在B 处相遇．由题意，可得(vt)2＝202＋(30t)2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简，得v 2＝400t 2－600t＋900＝400⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －342＋675.由于0＜t ≤12，即1t≥2，所以当1t＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/时．。

2020-2021数北师大必修5模块综合测评 Word含解析

模块综合测评(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若c ＝4，a ＝42，A ＝45°，则sin C 等于( )A ．12 B ．22 C ．14D ．24A [由正弦定理得sin C ＝c ·sin A a ＝4×2242＝12．]2．函数y ＝ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．(－4，－1) B ．(－4,1) C ．(－1,1)D ．(－1,1]C [由题⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，⇒－1<x <1．]3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )A ．32B ．54C ．94D ．4C [由题意知a 1＝S 1＝1，设公差为d ，则S 4＝4a 1＋6d ，S 2＝2a 1＋d ，结合S 4＝4S 2得d ＝2，∴S 4＝16，S 6＝36，∴S 6S 4＝94．]4．当x >1时，不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[3，＋∞) D ．(－∞，3]D [∵x >1，∴x －1>0．又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3， (当且仅当x ＝2时取“＝”)，要使x ＋1x －1≥a 恒成立，只需a ≤3．故选D ．] 5．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝ (x ∈R )，则p 、q 的大小关系为( ) A ．p ≥q B ．p >q C ．p <q D ．p ≤qA [p ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2≥4，当且仅当a ＝3时等号成立；当且仅当x ＝0时等号成立．显然，p ≥q ．]6．已知在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4，那么cos C 的值为( ) A ．－14 B ．14 C ．－23D ．23A [由题意知，sin A ∶sinB ∶sinC ＝a ∶b ∶c ＝3∶2∶4，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ (3k )2＋(2k )2－(4k )22·3k ·2k ＝－14．]7．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5 B ．7 C ．9D ．11A [a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝3⇒a 3＝1，S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5．故选A ．]8．已知数列{log 2x n }是公差为1的等差数列，数列{x n }的前100项的和等于100，则数列{x n }的前200项的和等于( )A ．100×(1＋2100)B ．100×2100C ．1＋2100D ．200A [由已知，得log 2x n ＋1－log 2x n ＝1， ∴x n ＋1x n＝2，∴数列{x n }是以2为公比的等比数列．∵数列{x n }的前100项的和等于100，由定义得，数列{x n }的前200项的和等于100×(1＋2100)．]9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，则目标函数z ＝y －2x 的最小值为( )A ．－7B ．－4C ．1D ．2A [由x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，y －3≤0，画出可行域如图，容易求出A (2,0)，B (5,3)，C (1,3)，可知z ＝y －2x 过点B (5,3)时，z 最小值为3－2×5＝－7．]10．等差数列{a n }中，若3a 8＝5a 13，且a 1>0，S n 为前n 项和，则S n 中最大的是( )A ．S 21B ．S 20C ．S 11D ．S 10B [设数列{a n }的公差为d ，因为3a 8＝5a 13，所以2a 1＋39d ＝0，即a 1＋a 40＝0，所以a 20＋a 21＝0，又a 1>0，d <0，故a 20>0，a 21<0，所以S n 中最大的是S 20．] 11．如图，一轮船从A 点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B ，又从B 沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C ，若此轮船从A 点直接沿直接行驶至海岛C ，则此船沿方向行驶海里至海岛C ( )A ．北偏东60°；10 2B ．北偏东40°；10 3C ．北偏东30°；10 3D ．北偏东20°；10 2B [由已知得在△ABC 中，∠ABC ＝180°－70°＋10°＝120°， AB ＝BC ＝10，故∠BAC ＝30°，所以从A 到C 的航向为北偏东70°－30°＝40°，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝102＋102－2×10×10×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝300，所以AC ＝103．]12．若直线ax －y －a ＋3＝0将x ，y 满足的不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域分成面积相等的两部分，则z ＝4x －ay 的最大值是( )A ．－8B ．2C ．4D ．8C [由直线ax －y －a ＋3＝0，得a (x －1)＋(3－y )＝0，此直线恒过点C (1,3)．不等式组⎩⎨⎧x －2y ＋5≥0，x ＋y －1≥0，x －y ＋1≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x －y ＋1＝0，解得B (3,4)．由⎩⎨⎧x －2y ＋5＝0，x ＋y －1＝0，解得A (－1,2)，可得C (1,3)是AB 的中点．若直线ax －y －a ＋3＝0，将阴影部分所表示的平面区域分成面积相等的两部分，则直线过顶点M (0,1)，将M (0,1)代入ax －y －a ＋3＝0，解得a ＝2．z ＝4x －ay ＝4x －2y ，即y ＝2x －z 2．易知当y ＝2x －z2经过点B 时，目标函数取得最大值，且最大值为4×3－2×4＝4．故选C ．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将★答案★填在题中的横线上)13．已知二次函数f (x )＝ax 2－3x ＋2，不等式f (x )＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b }，则b ＝．2 [由题意知1，b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＝3a ，1×b ＝2a ，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2.] 14．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝．2n [因为数列{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2，所以S n ＝2n ．]15．如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为海里．13 [如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD＝13．]16．实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋y －3≥02x ＋y －7≤0，若x －2y ≥m 恒成立，则实数m 的取值范围是．(－∞，4] [x ，y 满足的平面区域如图：设z ＝x －2y ，则y ＝12x －12z ，当经过图中的A 时z 最小，由⎩⎨⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0得到A (2,3)，所以z 的最小值为2－2×3＝－4，所以实数m 的取值范围是(－∞，－4]．] 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a n ＋1＝2a n ＋4． (1)求证{a n ＋4}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项的和S n ．[解] (1)证明：a n ＋1＝2a n ＋4，变形为a n ＋1＋4＝2(a n ＋4)．又∵a 1＝－2， ∴a 1＋4＝2，∴数列{a n ＋4}是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＋4＝2n ，a n ＝2n －4． (2)由(1)可知，a n ＝2n －4，∴S n ＝2＋22＋ (2)－4n ＝2(1－2n )1－2－4n ＝2n ＋1－4n －2．18．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，2b ＝3a sin B ＋b cos A ，c ＝4．(1)求A ；(2)若D 是BC 的中点，AD ＝7，求△ABC 的面积．[解] (1)∵2b ＝3a sin B ＋b cos A ，可得：2sin B ＝3sin A sin B ＋sin B cos A ，由sin B ≠0，可得2＝3sin A ＋cos A ， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝1， ∵A ∈(0，π)，可得：A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，∴A ＋π6＝π2，解得：A ＝π3． (2)设BD ＝CD ＝x ，则BC ＝2x ，由于cos A ＝b 2＋16－(2x )28b ＝12，可得：4x 2＝b 2－4b ＋16，① ∵∠ADB ＝180°－∠ADC ， ∴cos ∠ADB ＋cos ∠ADC ＝0，∵7＋x 2－1627x ＋7＋x 2－b 227x ＝0，可得：2x 2＝b 2＋2，②联立①②可得：b 2＋4b －12＝0，解得b ＝2． ∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×4×32＝23．19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？[解] 设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎨⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24．所以点A 的坐标为(20,24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800．即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元．20．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2(a ＋1)x ＋4>0．[解] 当a ＝0时，－2x ＋4>0，解集为{x |x <2}．当a ≠0时，原不等式可化为(ax －2)·(x －2)>0，则(1)a <0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)<0，又2a <0<2，所以解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a <x <2；(2)a >0时，原不等式等价于x －2a ·(x －2)>0，令2a ＝2，则a ＝1，则 ①当a ＝1时，不等式解集为{x |x ≠2}； ②当a >1时，2a <2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2，或x <2a ； ③当0<a <1时，2a >2，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2a ，或x <2． 21．(本小题满分12分)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 5＝30，数列{b n }满足b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ．(1)求a n ；(2)设c n ＝b n ·b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n ． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ， ∵a 2＝4，S 5＝30， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝45a 1＋5×42d ＝30，解得a 1＝d ＝2．∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ． (2)∵b 1＋2b 2＋…＋nb n ＝a n ， ∴当n ＝1时，b 1＝a 1＝2；当n ≥2时，b 1＋2b 2＋…＋(n －1)b n －1＝a n －1，∴nb n ＝a n －a n －1＝2，解得b n ＝2n ．∴c n ＝b n ·b n ＋1＝4n (n ＋1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1．∴数列{c n }的前n 项和22．(本小题满分12分)某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S (单位：m 2)．(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值．[解] (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(2)因为8<x <450，所以2x ＋7 200x ≥22x ·7 200x ＝240．当且仅当2x ＝7 200x ，即x ＝60时等号成立．从而S ≤－240＋916＝676．故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2．。

高二数学必修五模块试题(北师大版含答案和解释)

高二数学必修五模块试题(北师大版含答案和解释)模块学习评价 (时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若a＞b＞c，则一定成立的不等式是( ) A．a|c|＞b|c| B．ab＞ac C．a－|c|＞b－|c| D.1a＜1b＜1c 【解析】∵a＞b，∴a－|c|＞b－|c|. 【答案】 C 2．在△ABC中，若sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，则cos C的值为( ) A．－14 B.14 C．－23 D.23 【解析】由正弦定理知，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，设a＝3k，b＝2k，c＝4k，(k＞0)，由余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c22ab ＝9k2＋4k2－16k22×3k×2k＝－14. 【答案】 A 3．(2013•洋浦高二检测)在△ABC中，若a＝2，b＝23，A＝30°，则B为( ) A．60° B．60°或120° C．30° D．30°或150° 【解析】根据正弦定理得sin B＝bsin Aa＝23×sin30°2＝32，∴B＝60°或120°，∵b>a，故两解都符合题意．【答案】 B 4．不等式ax2＋2x＋c>0的解集是(－2，3)，则a＋c的值是( ) A．10 B．－10 C．14 D．－14 【解析】不等式ax2＋2x＋c>0的解集是(－2，3)，即方程ax2＋2x＋c＝0的解为x＝－2或x＝3. ∴－2＋3＝－2a，－2×3＝ca，∴a＝－2，c＝12，∴a＋c＝10. 【答案】 A 5．设{an}是等差数列，且a2＝－6，a8＝6，Sn是数列{an}的前n项和，则( ) A．S4＜S5 B．S4＝S5 C．S6＜S5 D．S6＝S5 【解析】设公差为d，则a1＋d＝－6，a1＋7d＝6解得d＝2，a1＝－8.则a4＝－2，a5＝0，a6＝2，∴S4＝S5. 【答案】 B 6．(2013•乌鲁木齐高二检测)已知U 为实数集，M＝{x|x2－2x<0}，N＝{x|y＝x－1}，则M∩(∁UN)等于( ) A．{x|0<x<1} B．{x|0<x<2} C．{x|x<1} D．∅【解析】不等式x2－2x<0可化为x(x－2)<0，所以M＝{x|0<x<2}，又因为N＝{x|x≥1}，所以∁UN＝{x|x<1}，M∩(∁UN)＝{x|0<x<2}∩{x|x<1}＝{x|0<x<1}．【答案】 A 7．不等式组（x－y＋5）（x＋y）≥0，0≤x≤3表示的平面区域是( ) A．矩形 B．三角形 C．直角梯形D．等腰梯形【解析】画出图形可知：不等式组（x－y＋5）（x＋y）≥00≤x≤3表示的平面区域是等腰梯形．【答案】 D 8．(2013•惠州高二检测)若AB→•BC→＋AB→2＝0，则△ABC是( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形【解析】由AB→•BC→＋AB→2＝0，得c2＝－ac•cos(π－B)，∴cos B＝ca，根据余弦定理得a2＋c2－b22ac＝ca，整理得a2＝c2＋b2，所以该三角形为直角三角形．【答案】 A 9．等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为( ) A.12 B．2 C.12或－2 D．2或12 【解析】由已知得a1q4－a1＝60，a1q3－a1q＝24，两式相除得q＝2或12，经检验q＝2或12均满足{an}是递增数列，故选D. 【答案】 D 10．(2013•丰台高二检测)已知数列{an}中，a1＝35，an＝1－1an－1(n≥2)，则a2 012＝( ) A．－12 B．－23 C.35 D.52 【解析】由an＝1－1an－1及a1＝35得a2＝－23，a3＝52，a4＝35，a5＝－23，…，所以数列中的项呈周期出现，周期为3，于是a2 012＝a670×3＋2＝a2＝－23. 【答案】 B 11．(2012•辽宁高考)设变量x，y满足x－y≤10，0≤x＋y≤20，0≤y≤15，则2x＋3y的最大值为( ) A．20 B．35 C．45 D．55 【解析】不等式组表示的区域如图所示，所以过点A(5，15)时2x＋3y 的值最大，此时2x＋3y＝55. 【答案】 D 图1 12．如图1，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运( ) A．3年 B．4年 C．5年 D．6年【解析】由图像知，函数过点(6，11)，可设y＝a(x－6)2＋11，把点(4，7)代入得7＝a(4－6)2＋11，解得a＝－1，∴y＝－(x－6)2＋11＝－x2＋12x－25. ∴平均利润yx＝－x2＋12x－25x＝－(x＋25x)＋12≤－2x×25x＋12＝2.这时x＝25x即x＝5. 【答案】 C 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．若关于x的不等式x－ax＋1＞0的解集为(－∞，－1)∪(12，＋∞)，则实数a＝________．【解析】由题意知 x＝－1和x＝12是方程(x－a)•(x＋1)＝0的两个根，∴a ＝12. 【答案】12 14．等比数列{an}的前n项和为2n－1，则数列{an2}的前n项和为________．【解析】设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n－1，∴n≥2时Sn－1＝2n－1－1，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－1，n＝1时也适合上式，∴an＝2n－1(n∈N＋)，故an2＝4n －1. 易知{an2}为以1为首项，以4为公比的等比数列，∴其前n 项和为1－4n1－4＝4n－13. 【答案】13(4n－1) 15．设x，y为正实数，且x＋y＝2，则2x＋1y的最小值为________．【解析】2x ＋1y＝(2x＋1y)×1＝(2x＋1y)•(x＋y2)＝32＋yx＋x2y≥32＋2 yx•x2y＝3＋222，当且仅当x＋y＝2，yx＝x2y，即x＝4－22，y＝22－2，时等号成立．【答案】3＋222 16．(2013•哈师大附中高二检测)如图2，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________．图2 【解析】∠ABC＝180°－105°＝75°，∠BCA＝180°－135°＝45°，∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，又AB＝x，BC＝10，∴xsin 45°＝10sin 60°. 得x＝10sin 45°sin 60°＝1063. 【答案】1063 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知a、b、c分别是△ABC的三个内角所对的边，若△ABC面积S△ABC＝32，c＝2，A＝60°，求a、b的值．【解】∵32＝12b×2×sin 60°，∴b＝1，又a2＝b2＋c2－2bccos A，∴a2＝3，即a＝3. 18．(本小题满分12分)(2013•福州高二检测)已知不等式mx2＋nx－1m<0的解集为{x|x<－12，或x>2}． (1)求m，n的值； (2)解关于x的不等式：(2a－1－x)(x＋m)>0，其中a是实数．【解】(1)依题意m<0，－12＋2＝－nm，－12×2＝－1m2得m＝－1，n＝32.(2)原不等式为(2a－1－x)(x－1)>0即[x－(2a－1)](x－1)<0. ①当2a－1<1，即a<1时，原不等式的解集为{x|2a－1<x<1}．②当2a－1＝1即a＝1时，原不等式的解集为∅. ③当2a－1>1即a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<2a－1}． 19．(本小题满分12分)某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°，距离为126 n mile；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83 n mile.货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求： (1)A处与D处之间的距离； (2)灯塔C与D处之间的距离．【解】(1)在△ABD中，由已知得∠ADB＝60°，B＝45°. 由正弦定理得 AD＝ABsinBsin∠AD B＝126×2232 ＝24(n mile)． (2)在△ADC中，AC＝83，AD＝24，∠CAD＝30°，由余弦定理得 CD2＝AD2＋AC2－2AD•ACcos 30° ＝242＋(83)2－2×24×83cos 30° ＝3×64，∴CD＝83(n mile)．所以A处与D处之间的距离为24n mile，灯塔C与D处之间的距离为83 n mile. 20．(本小题满分12分)某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成．已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时，又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？【解】设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，则x＋2y≤8，3x ＋y≤9，x≥0，y≥0，目标函数为：z＝2x＋3y. 作出可行域：把直线l：2x＋3y＝0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝2x＋3y取最大值，解方程x ＋2y＝83x＋y＝9，得M的坐标为(2，3)．故每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润． 21．(本小题满分12分)(2013•黄冈高二检测)已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn. (1)求an及Sn； (2)令bn＝1an2－1(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn. 【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a3＝7，a5＋a7＝26，所以有a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2，所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1；Sn＝3n＋n（n－1）2×2＝n2＋2n. (2)由(1)知an＝2n＋1，所以bn＝1an2－1＝1（2n＋1）2－1＝14•1n（n＋1）＝14•(1n－1n＋1)，所以Tn＝14•(1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1)＝14•(1－1n＋1)＝n4（n＋1），即数列{bn}的前n项和Tn＝n4（n ＋1）. 22．(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f(n)表示前n年的纯利润总和f(n)＝(前n年的总收入－前n年的总支出－投资额)． (1)该厂从第几年开始盈利？ (2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案：①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以10万元出售该厂，问哪种方案更合算？【解】由题意知， f(n)＝50n－12n＋n（n－1）2×4－72 ＝－2n2＋40n－72. (1)由f(n)＞0，即－2n2＋40n－72＞0，解得2＜n ＜18. 由n∈N＋知，从第三年开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润f（n）n＝40－2n＋36n≤16当且仅当n＝6时等号成立．故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n＝6. 方案②：f(n)＝－2(n －10)2＋128.当n＝10，f(n)max＝128. 故方案②共获利128＋10＝138(万元)．比较两种方案，选择第①种方案更合算．。

高中数学模块综合复习与测试卷北师大版必修5

高中数学模块综合复习与测试卷北师大版必修5高一数学（必修5）满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1、数列 ,1,,51,41,31n中第10项是（A ）121（B ）.81 （C ）111（D ）1012、设{a n }是公比q ≠1的等比数列，且a 2 = 9，a 3 + a 4 = 18，则q 等于（）（A ）2（B ）– 2（C ）21（D ）21-3、在ABC ∆中，若0222<-+c b a ，则ABC ∆是―――――――――――――（）（A ）钝角三角形（B ）直角三角形（C ）锐角三角形（D ）都有可能4、已知R c b a ∈,,，那么下列命题中正确的是( ）A ．若b a >，则22bc ac > B ．若cbc a >，则b a > C ．若033<>ab b a 且，则ba 11> D ．若022>>ab b a 且，则ba 11<5、已知等比数列的公比是2，且前四项和为1，那么前八项之和为（）(A)15 (B)17 (C)19 (D)216、若数列{a n }是等比数列，则数列{a n ＋a n ＋1}（A ）一定是等比数列（B ）可能是等比数列，也可能是等差数列（C ）一定是等差数列（D ）一定不是等比数列7、设a 、a ＋1、a ＋2为钝角三角形的边，则a 的取值范围是（）（A ） 0＜a ＜3 （B ）3＜a ＜4 （C ）1＜a ＜3 （D ）4＜a ＜68、已知不等式250ax x b -+>的解集是{|32}x x -<<-，则不等式250bx x a -+>的解是（A ）32x x <->-或（B ）12x <-或13x >- （C ）1123x -<<- （D ）32x -<<- 9、若4x y +≥，则x y +的最小值为（A ）8 （B ）42 （C ）2 （D ）410、．若不等式x 2-2ax+a>0,对 x ∈R 恒成立, 则关于t 的不等式32122-++<t t t a a <1的解为( )A ． 1<t<2B ． -2<t<1C ．-2<t<2D ． -3<t<2一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11、已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，则CcB b A a sin sin sin 2-- ＝。

高中数学北师大版必修五达标练习：模块综合检测含解析

模块综合检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 可能是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2n －1解析：选C.取n ＝1时，a 1＝1，排除A 、B ，取n ＝2时，a 2＝3，排除D. 2．若a ＜1，b ＞1，那么下列不等式中正确的是( ) A.1a ＞1b B ．b a ＞1C ．a 2＜b 2D ．ab ＜a ＋b解析：选D.利用特值法，令a ＝－2，b ＝2，则1a ＜1b ，A 错；ba ＜0，B 错；a 2＝b 2，C 错．3．若f (x )＝－x 2＋mx －1的函数值有正值，则m 的取值范围是( ) A ．m <－2或m >2 B ．－2<m <2 C ．m ≠±2D ．1<m <3解析：选A.因为f (x )＝－x 2＋mx －1有正值，所以Δ＝m 2－4>0，所以m >2或m <－2.4．等差数列{a n }满足a 24＋a 27＋2a 4a 7＝9，则其前10项之和为( )A ．－9B ．－15C ．15D ．±15解析：选D.因为a 24＋a 27＋2a 4a 7＝(a 4＋a 7)2＝9，所以a 4＋a 7＝±3，所以a 1＋a 10＝±3，所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝±15.5．若log a 5<log a 2，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <a C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >1a 或x <a D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <1a 或x >a 解析：选A.由log a 5<log a 2知0<a <1，所以a <1a；不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0⇔(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，解得a <x <1a.6．在△ABC 中，B ＝135°，C ＝15°，a ＝5，则此三角形的最大边长为( ) A ．5 2 B ．5 3 C ．2 5D ．3 5解析：选A.依题意，知三角形的最大边为b .由于A ＝30°，根据正弦定理b sin B ＝asin A ，得b＝a sin B sin A ＝5sin 135°sin 30°＝5 2. 7．在坐标平面上，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )A. 2 B ．32C.322D ．2解析：选B.由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B 、C 两点横坐标分别为－1、12，A 、D两点纵坐标分别为1，－1.所以S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪12－（－1）＝32.8．某学生用一不准确的天平(两臂不等长)称10 g 药品，他先将5 g 的砝码放在左盘，将药品放在右盘使之平衡；然后又将5 g 的砝码放在右盘，将药品放在左盘使之平衡，则此学生实际所得药品( ) A ．小于10 g B ．大于10 g C ．大于等于10 gD ．小于等于10 g解析：选B.设左、右臂长分别为t 1，t 2(t 1≠t 2)，第一次称的药品为x 1 g ，第二次称的药品为x 2 g ，则有5t 1＝x 1t 2，x 2t 1＝5t 2，所以x 1＋x 2＝ 5⎝⎛⎭⎫t 1t 2＋t 2t 1>5×2＝10，即大于10 g.9．已知钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5B ． 5C ．2D ．1解析：选B.因为S ＝12AB ·BC sin B ＝12×1×2sin B ＝12，所以sin B ＝22，所以B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.10．某企业在今年年初贷款a 万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还( ) A.a （1＋γ）（1＋γ）5－1万元 B ．aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1万元C.aγ（1＋γ）5（1＋γ）4－1万元 D ．aγ（1＋γ）5万元解析：选B.设每年偿还x 万元，则：x ＋x (1＋γ)＋x (1＋γ)2＋x (1＋γ)3＋x (1＋γ)4＝a (1＋γ)5，所以x ＝aγ（1＋γ）5（1＋γ）5－1.11．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，y ≥0，当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax ＋y 取得最大值，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－23，35 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－35，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 解析：选C.直线3x －5y ＋6＝0和直线2x ＋3y －15＝0的斜率分别为k 1＝35，k 2＝－23，且两直线的交点坐标为(3，3)，作出可行域如图所示，当且仅当直线z ＝ax ＋y 经过点(3，3)时，z 取得最大值，则直线z ＝ax ＋y 的斜率－a 满足－23<－a <35，解得－35<a <23，故选C.12．在各项均为正数的等比数列{a n }中，公比q ∈(0，1)．若a 3＋a 5＝5，a 2·a 6＝4，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，n 的值为( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：选C.因为a 2·a 6＝a 3·a 5＝4，且a 3＋a 5＝5，所以a 3，a 5是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根．又因为等比数列{a n }各项均为正数且q ∈(0，1)，所以a 3＝4，a 5＝1. 所以q 2＝a 5a 3＝14，所以q ＝12.所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －3，所以b n ＝log 2a n ＝5－n .所以S n ＝（9－n ）·n 2，所以S n n ＝9－n2.T n ＝S 11＋S 22＋…＋S n n ＝14(－n 2＋17n )＝14⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫n －1722＋2894. 所以当n ＝8或9时，T n 取得最大值．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝________．解析：因为{a n }为等比数列，则a n ＝2q n －1，又数列{a n ＋1}也是等比数列，则(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)⇒a 2n ＋1＋2a n ＋1＝a n a n ＋2＋a n ＋a n ＋2，解得q ＝1，a n ＝2，所以S n ＝2n . 答案：2n14.如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处，则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：如图，连接AC ，由题意知，AB ＝BC ＝5，∠ABC ＝60°，所以△ABC 为等边三角形，则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13. 答案：1315．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确不等式的编号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④1a ＋1b≥2.解析：两个正数，和为定值，积有最大值，即ab ≤（a ＋b ）24＝1，当且仅当a ＝b 时取等号，故①正确；(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝2＋2ab ≤4，当且仅当a ＝b 时取等号，得a ＋b ≤2，故②错误；由于a 2＋b 22≥（a ＋b ）24＝1，故a 2＋b 2≥2成立，故③正确；1a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋1b a ＋b2＝1＋a 2b ＋b2a ≥1＋1＝2，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．答案：①③④16．在△ABC 中，AC →·AB →＝|BC →|＝2，则△ABC 面积的最大值为________．解析：设角A ，B ，C 所对的边分别为a 、b 、c ，由题意得bc cos A ＝a ＝2，即cos A ＝2bc ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ≥2bc －42bc ，即cos A ≥1－2bc ＝1－cos A ，所以cos A ≥12，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π3.S ＝12bc sin A ＝1cos A sin A ＝tan A ≤ 3. 答案： 3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a ，b 的值； (2)解不等式ax 2＋bx －1>0.解：(1)因为方程ax 2＋bx ＋2＝0的两根为－12和2.由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－12＋2＝－ba ，－12×2＝2a ，解得a ＝－2，b ＝3.(2)易知ax 2＋bx －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1.所以不等式ax 2＋bx －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <1. 18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知A ＝π3，sin B＝3sin C . (1)求tan C 的值；(2)若a ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为A ＝π3，所以B ＋C ＝2π3，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－C ＝3sin C ，所以32cos C ＋12sin C ＝3sin C ，即3 2cos C ＝52sin C ，得tan C ＝35. (2)由b sin B ＝csin C，sin B ＝3sin C ，得b ＝3c . 在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝9c 2＋c 2－2×(3c )×c ×12＝7c 2，又因为a ＝7，所以c ＝1，b ＝3，所以△ABC 的面积为S ＝12bc sin A ＝334.19．(本小题满分12分)某蔬菜基地种植甲、乙两种无公害蔬菜．生产一吨甲种蔬菜需用电力9千瓦时，耗肥4吨，3个工时；生产一吨乙种蔬菜需用电力5千瓦时，耗肥5吨，10个工时，现该基地仅有电力360千瓦时，肥200吨，工时300个．已知生产一吨甲种蔬菜获利700元，生产一吨乙种蔬菜获利1 200元，在上述电力、肥、工时的限制下，问如何安排甲、乙两种蔬菜种植，才能使利润最大？最大利润是多少？解：设种植甲种蔬菜x 吨，乙种蔬菜y 吨，利润为z 元，根据题意可得⎩⎪⎨⎪⎧9x ＋5y ≤360，4x ＋5y ≤200，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0，目标函数为：z ＝700x ＋1 200y ，作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图，作直线：700x ＋1 200y ＝0，即7x ＋12y ＝0，平移直线，当直线过A 点时目标函数取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得x ＝20，y ＝24. 所以点A 的坐标为(20，24)．所以z max ＝700×20＋1 200×24＝42 800.即种植甲种蔬菜20吨，乙种蔬菜24吨，才能使利润最大，最大利润为42 800元． 20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 3(x 2－4x ＋m )的图像过点(0，1)． (1)求实数m 的值； (2)解不等式：f (x )≤1.解：(1)由已知有f (0)＝log 3m ＝1，所以m ＝3. (2)由(1)知f (x )＝log 3(x 2－4x ＋3)．由x 2－4x ＋3＞0，得x ＜1或x ＞3，所以函数的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)．因为log 3(x 2－4x ＋3)≤1且y ＝log 3x 为增函数，所以0＜x 2－4x ＋3≤3，所以0≤x ＜1或3＜x ≤4，所以不等式的解集为{x |0≤x ＜1或3＜x ≤4}．21．(本小题满分12分)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N ＋)，b 1＋12b 2＋13b 3＋…＋1n b n ＝b n ＋1－1(n ∈N ＋)． (1)求a n 与b n 的表达式；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n 的表达式．解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N ＋)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2. 当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n .整理得b n ＋1n ＋1＝b n n ，所以b n ＝n (n ∈N ＋)． (2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此T n ＝2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ， 2T n ＝22＋2·23＋3·24＋…＋n ·2n ＋1，所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N ＋)．22．(本小题满分12分)为保护环境，绿色出行，某高校今年年初成立自行车租赁公司，初期投入36万元，建成后每年收入25万元，该公司第n 年需要付出的维修费用记作a n 万元，已知{a n }为等差数列，相关信息如图所示．(1)设该公司前n 年总盈利为y 万元，试把y 表示成n 的函数，并求出y 的最大值；(总盈利即n 年总收入减去成本及总维修费用)(2)该公司经过几年经营后，年平均盈利最大，并求出最大值．解：(1)由题意知，每年的维修费用是以6为首项，2为公差的等差数列，则a n ＝6＋2(n －1)＝2n ＋4(n ∈N ＋)，所以y ＝25n －n [6＋（2n ＋4）]2－36＝－n 2＋20n －36＝－(n －10)2＋64，当n ＝10时，y 的最大值为64万元．(2)年平均盈利为y n ＝－n 2＋20n －36n ＝－n －36n＋20＝－⎝⎛⎭⎫n ＋36n ＋20≤－2× n ×36n＋20＝8(当且仅当n ＝36n ，即n ＝6时取“＝”号)．故该公司经过6年经营后，年平均盈利最大，为8万元．。

北师大版高中数学必修五模块测试卷.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作必修五模块测试卷（150分，120分钟）一、选择题(每题5分，共60分）1.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos 22A ＝ccb 2+，则△ABC 是( )A.直角三角形B.等腰三角形或直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形2.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8等于( ) A.135 B.100 C.95 D.803.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A 的值等于( ) A.23 B. 33 C. 43 D. 63 4.〈日照模拟〉已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t 25-⋅n －51，则实数t 的值为( ) A.4 B.5 C. 54 D. 515.某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是3 km ，那么x 的值为( )A.3B.23C.3或23D.3 6.设{a n }为各项均是正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则( ) A.44S a =66S a B. 44S a ＞66S a C. 44S a ＜66S a D. 44S a≤66S a 7.已知数列{a n }的首项为1，并且对任意n ∈N +都有a n >0.设其前n 项和为S n ，若以(a n ，S n )(n ∈N +)为坐标的点在曲线y ＝21x (x ＋1)上运动，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝n 2＋1 B.a n ＝n 2 C.a n ＝n ＋1 D.a n ＝n8.设函数f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-.0,1,0,132＜x xx x 若f (a )<a ，则实数a 的取值范围为( )A.(－1，＋∞)B.(－∞，－1)C.(3，＋∞)D.(0,1) 9.已知a >0，b >0，则a 1＋b1＋2ab 的最小值是( ) A.2 B.22 C.4 D.510.已知目标函数z =2x +y 中变量x ,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤-,1,2553,34x y x y x ＜则( )A.z max =12,z min =3B.z max =12,无最小值C.z min =3,无最大值D.z 无最大值,也无最小值 11.如果函数f (x )对任意a ，b 满足f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，且f (1)＝2，则)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝( )A.4 018B.1 006C.2 010D.2 014 12.已知a ，b ，a ＋b 成等差数列，a ，b ，ab 成等比数列，且log c (ab )>1，则c 的取值范围是( ) A.0<c <1 B.1<c <8 C.c >8 D.0<c<1或c >8 二、填空题（每题4分，共16分）13.〈泉州质检〉△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列，则角B = .14.已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11的最小值为 . 15.两个等差数列的前n 项和之比为12105-+n n ，则它们的第7项之比为 .16.在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a n ＋1＝31S n (n ≥1)，则a n ＝ .三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）(17~20题每题12分，21~22题每题13分，共74分)17.已知向量m ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛21,sin A 与n ＝(3，sin A ＋3cos A )共线，其中A 是△ABC 的内角. (1)求角A 的大小；(2)若BC ＝2，求△ABC 的面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.18.已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *) (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足11144421---n b b b =n b n a )1(+ (n ∈N*),证明：{b n }是等差数列;19.如图1,A ,B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D 点需要多长时间？图120.解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ).21.已知等差数列{a n }的首项a 1＝4，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前四项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前三项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，求实数λ的最小值.22.某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6 t ，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，每次购买面粉需支付运费900元. (1)该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210 t 时，其价格可享受9折优惠(即原价的90%)，该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由.参考答案及点拨一、1.A 点拨：因为cos 22A ＝c c b 2+及2cos 22A －1＝cos A ，所以cos A ＝c b .而cos A=bca cb 2222-+，∴b 2+a 2=c 2，则△ABC 是直角三角形.故选A.2.A 点拨：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，…，a 7＋a 8仍然成等比数列，公比q ＝2143a a a a ++＝4060＝23，∴a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)14-q ＝40×323⎪⎭⎫ ⎝⎛＝135. 3.B 点拨：(3b －c )cos A ＝a cos C ，由正弦定理得3sin B cos A ＝sin C cos A ＋cos C sin A⇒3sin B cos A ＝sin(C ＋A )＝sin B ，又sin B ≠0，所以cos A ＝33.故选B. 4.B 点拨：∵a 1＝S 1＝51t －51，a 2＝S 2－S 1＝54t ，a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列.知254⎪⎭⎫ ⎝⎛t ＝⎪⎭⎫⎝⎛-5151t ×4t ，显然t ≠0，∴t ＝5. 5.C 点拨：根据题意，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或23.6.B 点拨：由题意得公比q >0，当q ＝1时，有44S a －66S a ＝41－61>0，即44S a >66S a ；当q ≠1时，有44S a －66S a ＝()41311)1(q a q q a --－()61511)1(qa q q a --＝q 3(1－q )()()642111q q q ---⋅＝231q q +611q q --⋅>0，所以44S a >66S a .综上所述，应选B. 7.D 点拨：由题意，得S n ＝21a n (a n ＋1)，∴S n －1＝21a n －1(a n －1＋1)(n ≥2). 作差，得a n ＝21()1212---+-n n n n a a a a ，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0.∵a n >0(n ∈N +)，∴a n －a n －1－1＝0，即a n －a n －1＝1(n ≥2).∴数列{a n }为首项a 1＝1，公差为1的等差数列. ∴a n ＝n (n ∈N +).8.A 点拨：不等式f (a )<a 等价于⎪⎩⎪⎨⎧≥-0,132a a a ＜或⎪⎩⎪⎨⎧,1,0a aa ＜＜解得a ≥0或－1<a <0，即不等式f (a )<a 的解集为(－1，＋∞). 9.C 点拨：依题意得a 1＋b 1＋2ab ≥2ab 1＋2ab ≥4ab ab ⋅1＝4，当且仅当a1＝b1，且ab 1=ab 时，取等号，故应选C.10.C11.D 点拨：由f (a ＋b )＝f (a )·f (b )，可得f (n ＋1)＝f (n )·f (1)，)()1(n f n f +＝f (1)＝2，所以)1()2(f f ＋)3()4(f f ＋)5()6(f f ＋…＋)2013()2014(f f ＝2×1 007＝2 014. 12.B 点拨：因为a ，b ，a ＋b 成等差数列，所以2b ＝a ＋(a ＋b )，即b ＝2a .又因为a ，b ，ab 成等比数列，所以b 2＝a ×ab ，即b ＝a 2.所以a ＝2，b ＝4，因此log c (ab )＝log c 8>1＝log c c ，有1<c <8，故选B. 二、13.60° 点拨：依题意得a cos C ＋c cos A ＝2b cos B ，根据正弦定理得sin A cos C ＋sin C cos A ＝2sin B cos B ，则sin(A ＋C )＝2sin B cos B ，即sin B ＝2sin B cos B ，所以cos B ＝21，又0°<B <180°，所以B ＝60°，14. 425 点拨：z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+y y x x 11＝xy ＋xy 1＋x y ＋y x ＝xy ＋xy 1＋xy xy y x 2)(2-+＝xy 2＋xy －2，令t ＝xy ，则0<t ＝xy ≤22⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x ＝41.设f (t )＝t ＋t 2，t ∈⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0，设41≥t 2>t 1>0，则f (t 1)－f (t 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+112t t －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+222t t ＝212121)2)((t t t t t t --. 因为41≥t 2>t 1>0，所以t 2－t 1>0，t 1·t 2<161.则t 1·t 2－2<0. 所以f (t 1)－f (t 2)>0.即f (t 1)>f (t 2).∴f (t )＝t ＋t 2在⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0上单调递减，故当t ＝41时f (t )＝t ＋t2有最小值433，所以当x ＝y ＝21时，z 有最小值425. 15.3∶1 点拨：设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和为S n ，T n ，则n n T S ＝12105-+n n ，而77b a＝131131b b a a ++＝1313T S ＝113210135-⨯+⨯＝3. 16.21,114,233n n n -=⎧⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩点拨：∵3a n ＋1＝S n (n ≥1)，∴3a n ＝S n －1(n ≥2). 两式相减，得3(a n ＋1－a n )＝S n －S n －1＝a n (n ≥2)⇒n n a a 1+＝34(n ≥2) ⇒n ≥2时，数列{a n }是以34为公比，以a 2为首项的等比数列， ∴n ≥2时，a n ＝a 2234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n .令n ＝1，由3a n ＋1＝S n ，得3a 2＝a 1，又a 1＝1⇒a 2＝31，∴a n ＝31234-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅n (n ≥2).故⎪⎩⎪⎨⎧≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-.2,3431,112n n n ，三、17.解：(1)因为m ∥n ，所以sin A ·(sin A ＋3cos A )－23＝0. 所以22cos 1A -＋23sin2A －23＝0.即23sin2A －21cos2A ＝1，即sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-62πA ＝1. 因为A ∈(0，π)，所以2A －6π∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-611,6ππ，故2A －6π＝2π，即A ＝3π. (2)由余弦定理，得4＝b 2＋c 2－bc ，又S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ，而b 2＋c 2≥2bc ，bc ＋4≥2bc ，bc ≤4(当且仅当b ＝c 时等号成立)，所以S △ABC ＝21bc sin A ＝43bc ≤43×4＝3.当△ABC 的面积最大时，b ＝c ，又A ＝3π，故此时△ABC 为等边三角形. 18.(1)解：∵a n +1=2a n +1(n ∈N *),∴a n +1+1=2(a n +1).∴{a n +1}是以a 1+1=2为首项，2为公比的等比数列.∴a n +1=2n . 即a n =2n －1(n ∈N *). (2)证明：∵114-b 124-b …14-n b =()n bn a 1+.∴nb b b n -+++)(214=nnb 2.∴2［(b 1+b 2+…+b n )－n ］=nb n ,①2［(b 1+b 2+…+b n +b n +1)－(n +1)］=(n +1)b n +1.②②－①，得2(b n +1－1)=(n +1)b n +1－nb n ,即(n －1)b n +1－nb n +2=0,③ ∴nb n +2－(n +1)b n +1+2=0.④ ④－③，得nb n +2－2nb n +1+nb n =0,即b n +2－2b n +1+b n =0,∴b n +2－b n +1=b n +1－b n (n ∈N *).∴{b n }是等差数列.19.解：由题意知AB ＝5(3＋3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 在△DAB 中，由正弦定理得，DAB DB ∠sin ＝ADBAB∠sin .∴DB ＝ADBDAB AB ∠∠⋅sin sin ＝︒︒⋅+105sin 45sin )33(5＝︒⋅︒+︒⋅︒︒⋅+45cos 60sin 60sin 45sin 45sin )33(5＝213)13(35++＝103(海里).又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203海里，在△DBC 中，由余弦定理得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×21＝900， ∴CD ＝30海里.则需要的时间t ＝3030＝1(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时.20.解:原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1. (2)当a ＞0时，原不等式化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≥0⇒x ≥a2或x ≤－1； (3)当a ＜0时，原不等式化为⎪⎭⎫⎝⎛-a x 2 (x ＋1)≤0. ①当a 2＞－1，即a ＜－2时，原不等式的解集为－1≤x ≤a 2； ②当a 2＝－1，即a ＝－2时，原不等式的解集为x ＝－1；③当a 2＜－1，即－2＜a ＜0时，原不等式的解集为a2≤x ≤－1.综上所述：当a ＜－2时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-a2,1；当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}；当－2＜a ＜0时，原不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,2a ；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1］；当a ＞0时，原不等式的解集为(－∞，－1］∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,2a . 21.解:(1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，又a 1＝4，所以公差d ＝－1，所以a n ＝5－n ，从而S n ＝2)9(n n -. (2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列的公比为q ，则q ＝12b b ＝21，所以T n ＝2112114-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n ＝8⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 211.令f (n )=n⎪⎭⎫ ⎝⎛21.因为f (n )＝n⎪⎭⎫⎝⎛21是关于自然数n 的减函数，所以{T n }是递增数列，得4≤T n <8.又S m ＝2)9(m m -＝－22921⎪⎭⎫⎝⎛-m ＋881，当m ＝4或m ＝5时，S m 取得最大值，即(S m )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N ＋，使对任意n ∈N ＋总有T n <S m ＋λ恒成立，则8≤10＋λ，得λ≥－2，所以λ的最小值为－2.22.解：(1)设该厂应每x 天购买一次面粉，则其购买量为6x t.由题意知，面粉的保管等其他费用为3［6x ＋6(x －1)＋…＋6×2＋6×1］＝9x (x ＋1)元. 设每天所支付的总费用为y 1元，则 y 1＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800＝x900＋9x ＋10 809≥2x x 9900⋅＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝x900，即x ＝10时取等号. 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.(2)若该厂接受此优惠条件，则至少每35天购买一次面粉.设该厂接受此优惠条件后，每x (x ≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y 2元，则y 2＝x 1［9x (x ＋1)＋900］＋6×1 800×0.90＝x900＋9x ＋9 729(x ≥35). 令f (x )＝x ＋x100(x ≥35)，x 2>x 1≥35，则f (x 1)－f (x 2)＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+11100x x －⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+22100x x ＝212121)100)((x x x x x x --. 因为x 2>x 1≥35，所以x 1－x 2<0，x 1·x 2>100.所以x 1x 2－100>0. 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). 所以f (x )＝x ＋x100在［35，＋∞)内为增函数. 所以当x ＝35时，y 2有最小值，约为10 069.7. 此时y 2<10 989，所以该厂应该接受此优惠条件.。

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数学必修5
第一部分（选择题共50分）
一、选择题（每小题5分，10小题，共50分）
1、在ABC ∆中，︒===452232B b a ，，，则A 为（）
A ．︒︒︒︒︒︒30.15030.60.12060D C
B 或或
2、在ABC ∆中，bc c b a ++=222，则A 等于（）
A ︒︒
︒
︒
30.45.60.120.D C B
3、在ABC ∆中，1660=︒=b A ，，面积3220=S ，则a 等于( ) A. 610.
B. 75
C . 49
D. 51
4、等比数列{}n a 中293a a =，则313239310log log log log a a a a ++++ 等于（） A ．9 B ．27 C ．81 D ．243
5、三个数a ，b ，c 既是等差数列，又是等比数列，则a ，b ，c 间的关系为 ( ) A ．b-a =c-b B ．b 2=a c C ．a =b=c D ．a =b=c ≠0
6、等比数列{}n a 的首项1a =1，公比为q ，前n 项和是n S ，则数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n a 1的前n 项和是（）
A ．1-n S
B ．n n q S -
C ．n n q S -1
D ．11
--n n q S
7、在等差数列{}n a 中，前四项之和为40，最后四项之和为80，所有项之和是210，则项数n 为（）
A ．12
B ．14
C ．15
D ．16 8、已知,,a b c R ∈,则下列选项正确的是（）
A.22a b am bm >⇒>
B.
a b
a b c c
>⇒> C .11,0a b ab a b >>⇒< D.2211
,0a b ab a b
>>⇒<
9、已知x y xy +=，则y x +的取值范围是（）
A ．]1,0(
B ．),2[+∞
C ．]4,0(
D ．),4[+∞
10、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥-<-<+0
0112
34x y y x y x 表示的平面区域内的整点的个数是（）
A ．8个
B ．5个
C ．4个
D ．2个
第二部分（非选择题共100分）
二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）
11、已知0,0>>y x ，且
19
1=+y
x ，求y x +的最小值 _____________ 12、当x 取值范围是_____________ 时，函数122-+=x x y 的值大于零 13、在等比数列}{n a 中，08,204321=+=+a a a a ，则=10S
14、不等式组6003x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
表示的平面区域的面积是
三、解答题（共六个题，前两题每题10分，后面每题15分，共80分）
15、在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程02322
=+-x x 的两个根，
且()1cos 2=+B A 。

求：(1)角C 的度数； (2)AB 的长度。

16、有四个数，前三个数成等比数列，它们的和19，后三个数成等差数列，它们的和12，求此四个数。

17、求和 1+2x+3x 2
+…+nx n-1
18、若y=)8(62
++-k kx kx 对于x 取一切实数均有意义，求k 的取值范围。

19、设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，已知3a ＝24，011=S ．
(Ⅰ) 求数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）求数列{n a }的前n 项和n S ；
（Ⅲ）当n 为何值时，n S 最大，并求n S 的最大值。

20、已知关于x 的不等式02
<++c bx ax 的解集是⎭
⎬⎫⎩⎨⎧->-<212|x x x 或，求不等式02
>+-c bx ax 的解集。

参考答案：
11．16 12、34+∞⋃-∞-（，）（，）
13、 6820 14、 36
三、解答题
15、解：（1）()[]()2
1
cos cos cos -
=+-=+-=B A B A C π ∴C ＝120° （2
）由题设：2
a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
︒-+=∙-+=∴120cos 2cos 22
2
2
2
2
ab b a C BC AC BC AC AB
()()
1023
22
2
22=-=-+=++=ab b a ab b a
10=∴AB
16、解：设此四个数依次为
2
(4),4,4,44d d d --+，则
2
(4)44194
d d -+-+= 2
12280d d ∴--=
解得d= -2或14
所以这四个数为9，6，4，2或25，-10，4，18
17、解：当x=1时，S n =1+2+3+…+n=
(1)
2
n n + 当x ≠1时，S n =1+2x+3x 2+…+nx n-1 ① xS n = x+2x 2+…+(n-1) x n-1+nx n ②
①-②: (1-x) S n =1+x+x 2+x 3+…+x n-1+nx n
=
11n
n x nx x
--- S n =1
2
1(1)(1)
n n n x nx x +-++- 18、解：要使函数有意义，必须有0)8(62
≥++-k kx kx ① 又由题意可知，函数的定义域为R ，所以不等式①的解集为R 所以有（1）当0=k 时，不等式①可化为08≥，其解集为R （2）当0≠k 时，有⎩⎨
⎧≤+--=∆>0
)8(4)6(0
2
k k k k ，
解得10≤<k 综合（1）（2）得所求k 的取值范围是]1,0[
19、解：（Ⅰ）依题意有⎪⎩
⎪
⎨⎧=⨯+=+0210
111124
211d a d a ，解之得⎩⎨⎧-==8401d a ，∴n a n 848-=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1a ＝40，n a n 848-=， ∴ n S ＝
1()(40488)22
n a a n n n ++-=＝2
444n n -+. （Ⅲ）由（Ⅱ）有，n S ＝2
444n n -+＝－42
112n ⎛⎫
- ⎪⎝
⎭＋121，
故当5=n 或6=n 时，n S 最大，且n S 的最大值为120
20、解：由条件知，21,2--是方程02
=++c bx ax 的两个实根，且0<a 1)21
()2(,25212=-⋅-=-=--=-∴a c a b ，
a c a
b ==∴,2
5
从而不等式02
>+-c bx ax 可变为0)125(2>+-x x a
0252,02<+-∴<x x a ，∴解得221
<<x
∴不等式02
>+-c bx ax 的解集是}22
1|{<<x x。