高考全国卷文科数学第一轮复习讲义一数列

（2017高考文科数学）2016-4-30讲义一数列一、高考趋势1、考纲要求（1）．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式)．（2）．了解数列是自变量为正整数的一类函数．（3）．理解等差数列的概念．（4）．掌握等差数列的通项公式及前n项和公式．（5）．了解等差数列及一次函数的关系．（6）．理解等比数列的概念．（7）．掌握等比数列的通项公式及前n项和公式．（8）．能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．（9）．了解等比数列及指数函数的关系．2、命题规律数列一般在全国文科卷中平均考查分值为12分。

考察形式一般有两种，第一种是选择题+填空题的形式，第二种是解答题的形式。

并且全国文科卷解答题第一题是数列和三角函数二选一。

因此数列题在高考中属于“要尽量全部做对且拿到满分”的“高期待值”题。

二、基础知识+典型例题 1、等差数列的概念及运算 （1）．等差数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项及前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． （2）．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则它的通项公式是1(1)n a a n d =+-.）（*∈N n （3）．等差中项 如果2a bA +=，那么A 叫做a 及b 的等差中项． （4）．等差数列的前n 项和等差数列{a n }的前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=）（*∈N n（5）．等差数列的判定通常有两种方法：① 第一种是利用定义，a n －a n －1＝d (常数) (n ≥2)， ② 第二种是利用等差中项，即2a n ＝a n ＋1＋a n －1 (n ≥2)．a 1，d . 如果再给出第三个条件就可以完成a n ，a 1，d ，n ，S n 的“知三求二”问题．这体现了用方程的思想解决问题．考点一：等差数列通项公式及前n 项和公式例1、 （15全国卷一）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） A 、172 B 、192C 、10D 、12例2、 （15安徽卷）已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .2、等差数列的性质（1）通项推广：a n ＝a m ＋(n －m )d ，）（*∈N n (d 为数列{a n }的公差)． （2）若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . 特别地：a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….（3）项数成等差数列，则相应的项也成等差数列，即若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （4）S n ＝a 1＋a n2n ＝a 2＋a n －12n ＝a 3＋a n －22n ＝….（5）等差数列的单调性① 等差数列公差为d ，若d >0，则数列递增． ② 若d <0，则数列递减． ③ 若d ＝0，则数列为常数列．背诵知识点二：（1）等差中项的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .（2）等差中项的性质：若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p . （3）等差数列的性质：d m n a a m n )(-=-考点二：等差数列中项的性质例3、 （15全国卷二） 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11例4、（15陕西卷）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．3、等比数列的概念及运算 （1）．等比数列的定义如果一个数列从第二项开始每一项及它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示． （2）．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项11n n a a q -=.）（*∈N n （3）．等比中项若20G ab =≠，那么G 叫做a 及b 的等比中项． （4）．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ， ① 当q ＝1时，S n ＝na 1；）（*∈N n ② 当q ≠1时，S n ＝qq a a q q a n n --=--11)1(11）（*∈N n （5）．在涉及等比数列前n 项和公式时要注意对公式q 是否等于1的判断和讨论．（6）．等比数列的判定方法：① 定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n≥2)，则{a n }是等比数列．② 中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．考点三：等比数列定义及前n 项和公式例5、 （15全国卷一） 数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .例6、 （12全国卷） 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3230S S +=,则公比q =________例7、 （13全国卷一） 设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则 （ ）A.21n n S a =-B.32n n S a =-C.43n n S a =-D.32n n S a =-例8、 （12全国卷） 数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{}n a 的前60项和为( )A.3690B.3660C.1845 D .18304、等比数列的性质（1）通项公式的推广：m n n m a a q -=，(n ，m ∈N *)．（2）若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n ，(k ，l ，m ，n ∈N *)，则n m l k a a a a ⋅=⋅ （3）若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列：则{λa n }(λ≠0)，{1a n }，{a 2n }，{a n ·b n }，{a nb n}仍是等比数列．（4）等比数列的单调性．① ⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<00<q <1⇔{a n }为递增数列；② ⎩⎪⎨⎪⎧a 1>00<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0q >1⇔{a n }为递减数列；③ q ＝1⇔{a n }为非零常数列； ④ q <0⇔{a n }为摆动数列．（5） a n a m＝q n －m(m ，n ∈N *)考点四：等比数列中项的性质例9、（14全国卷二） 等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ）A. (1)n n +B. (1)n n -C. (1)2n n + D.(1)2n n -例10、（15全国卷二） 已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.21D.8例11、（15浙江卷）已知{a n}是等差数列，公差d不为零．若a2，aa7成等比数列，且2a1＋a2＝1，则a1＝________，d＝________．3，例12、（15广东卷）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋26，c＝5－26，则b＝________．5、数列的通项（1）．数列的通项公式：若数列{}n a 的第n 项n a 及项数n 之间的关系可以用一个式子表示出来，记作()n a f n =，称作该数列的通项公式. （2）．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-()m a n m d =+-． （3）．等比数列的通项公式：11n n m n m a a q a q --== （4）．等差数列性质： ① ()n m a a n m d =+-；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a +=+； （5）．等比数列性质： ① n m n m a a q -=；② 若*,,,m n p q N m n p q ∈+=+且，则m n p q a a a a = （6）．等差数列的判定：①定义法；②等差中项法 （7）．等比数列的判定：①定义法；②等比中项法（8）．数列通项公式求法① 累加法：对于可转化为)(1n f a a n n +=+形式数列的通项公式问题 ② 累乘法：对于可转化为1()n n a a f n +=形式数列的通项公式问题 ③ 构造法：对于化为1()n n a pa f n +=+（其中p 是常数）型的通项公式问题④ 利用前n 项和n S 及第n 项n a 关系求通项公式问题 对递推公式为n S 及n a 的关系式(或()n n S f a =)，利用⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n nn 进行求解.注意n a =1n n S S --成立的条件是n ≥2，求n a 时不要漏掉n =1即n a =1S 的情况，当1a =1S 适合n a =1n n S S --时，n a =1n n S S --；当1a =1S 不适合n a =1n n S S --时，用分段函数表示.考点五：求数列的通项公式 ①、累加法例13、已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

②、累乘法例14、已知数列{}n a 满足，1211==+a a a n n n ，，求数列{}n a 的通项公式。

③、构造法例15、已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式.④、利用前n 项和n S 及第n 项n a 关系求通项公式问题例16、已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式。

6、数列的求和（1）．数列{}n a 的前n 项和为12n n S a a a =+++． （2）．等差数列{}n a 的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+=． （3）．等比差数列{}n a 的前n 和公式：1111,1,1(1),1,111n n n na q na q S a a q a q q q qq ==⎧⎧⎪⎪==--⎨⎨≠≠⎪⎪--⎩⎩，（4）．倒序相加法：适用于求首项及尾项有关系的前n 项和（5）．分组转化法：适用于求等差数列＋（－）等比数列数列的前n 项和（6）．错位相减法：适用于求等差数列ｘ（÷）等比数列数列的前n 项和（7）．裂项相消法：适用于求通项为1a n a n ＋1的数列的前n 项和，常见的拆项公式：① ⇒+-=+111)1(1n n n n =+)(1k n n 1k (1n －1n ＋k )； ② ⇒-+=++n n n n 1111n ＋n ＋k＝ 1k (n ＋k －n )．③)121121(211)(21)-2(1+--=+⋅n n n n ；考点六：求数列的前n 项和 ①、倒序相加法例17、已知等差数列的通项公式为1(1)n a a n d =+-）（*∈N n ，求数列的前n 项和②、分组转化法例18、求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aa a n ，…③、错位相减法例19、（14全国卷一）已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。