高等数学2期末考试总复习

第11章 重积分 20%
1.熟练掌握二重积分的极坐标 2.会改变二重积分的积分次序
3.熟练掌握用对称性计算重积分
4.熟练掌握三重积分柱坐标 1.设f(x)在[0,4]上连续，且D：x2+y2≤4 ,则

D
f ( x 2 y 2 )dxdy

2 0
4 d f.( r 2 )rdr 在极坐标系下先对r积分的二次积分为__________
( x 2 y 2 1)d dx
1 0 D2
1 1 x 2
y3 2 y ] 11 x 2 dx ( x 2 y 2 1)dy [ x y 0 3
2011级高数（下）复习重点
配合《高等数学（下）》使用 微分方程、级数、空间解析几何、 多元微分学和多元积分学
第7章 微分方程
1.熟练掌握一阶微分方程的解法 2.熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的通解公式
3.掌握二阶常系数非齐次线性微分方程特解的结构
(1) (3 x 2 2 xe y )dx (3 y 2 x 2e y )dy 0
n 1
s( x ) 3 ln(3 x ),
( 3 x 3 )
xn 3
n 1
n
3 ln(3 x ).
xn ex. 求级数 (n 1) 3n n1

的收敛域及和函数.
第9章 空间解析几何 15%
1. 二次曲面的特性及其作图：
z x2 y2 ,
x 2 y 2 z 2 R2
x 2 y2 a 2
4dxdy 4 a 2 .
故 I

4
a 4 4 a 2 .
4． 计算 I
2 2
zdxdydz，其中

是球面
x y z 4与抛物面 x y 3 z
2 2 2
所围的立体.
x r cos 解 由 y r sin , 知交线为 zz r 2 z 2 4 z 1, r 3, 2 r 3z


的和.
2n 1 (n 1)2 n2 解： 2 n (n 1)2 n2 (n 1)2 n 1 n 1
故部分和为
1 Sn 1 1 2 ( n 1)
3n 2 3 n 1 ex. 求级数 3 的和. n (n 1)3 n 1

6. 求级数 (1)
u
n 1

n
收敛.
(2) 若 un收敛，则 un1000 收敛.
n 1


n 1
u lim n1 1 ，则 (3) 若 n un
u
பைடு நூலகம்n 1

n
发散.
n 1
(4) 若
(u
n 1

n
v n ) 收敛，则 un ， v n 都收敛.
n 1
则以上命题中正确的是 (A) (1) (2).
(2 sinx 3 y )dxdy 0 .
2 2
1 又 x dxdy y dxdy ( x 2 y 2 )dxdy 2 x 2 a 2 x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 a 2 y2
a 1 2 4 3 d r dr a . 0 2 0 4
xn 3
n 1
n
,
显然 s(0) 0,
( 3 x 3 )
x x2 3 ( x ) 1 2 s , 3 3 3 x
两边积分得

x
0
s(t )dt 3 ln(3 x )
即 s( x ) s(0) 3 ln(3 x )
(1)n1

(B) (2) (3).
(C) (3) (4).

(D) (1) (4) (4)是错误的，如令
un 1 1 , vn . n n
n 解：(1)是错误的，如令 un (1) ,
则 ( u2 n1 u2 n ) 收敛，而 un 发散.
n 1
n 1
2n 1 5. 求级数 2 2 n 1 n ( n 1)
P Q y 2 xe 解： (1) y x
所以方程为全微分方程，于是有：

x
0
(3 x 2 x )dx (3 y 2 x 2e y )dy C
2 y 0
即 x 3 x 2 y 3 x 2e y x 2 C 所以方程通解为： x 3 y 3 x 2e y C
z z 2 z , 2. 求偏导数： xz ln 1 ，求 y x xy
3. 求方向导数： z x3 sin( y 2 1) 在(1,-1)处指向 （2，1）的方向导数.
4. 求下列函数的一阶偏导数：
x z u ln v, u , v 3 x 2 y y
2
1 1 lim ( x sin y sin ) ( x , y )( 0 , 0 ) y x
5. 求 z x2 y 2 ，在(1,1)处的梯度gradient。 求 F x3i sin( y 2 1)j z 2k 在（1，1，1）处的 散度divergence 。 6. 求 z 4 x2 5 y 2 在限制条件 2 x2 y 2 1 时的最大值 和最小值。
特征根为：r 1 , r i（二重根），通解为
y C1e x (C2 C3 x) cos x (C4 C5 x) sinx .
第8章 级数 20%
1.熟练掌握判别常见级数的敛散性 2.熟练掌握常见幂级数的收敛域及和函数的求法
3.准确理解狄里克雷定理的内涵
4.准确理解正项级数判别法的内涵 级数绝对收敛 级数条件收敛

函数可微


函数偏导连续 P20
z u( x , y ) ,
u u dz dx dy x y
z f (u , v ) , u u( x , y ) , v v( x , y )
z
u v
x y
z f ( x , u , v ) , u u( x , y ) , v v( x , y )
a
0
2
d rdr r 2dz
0 r
a
a
5 a4 a5 3 2 r (a r )dr 2[a ] a . 0 4 5 10
*6. 计算二重积分

D
x 2 y 2 1d , 其中
(05数二、三)
D {( x, y) 0 x 1 , 0 y 1}.

(A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛
n
(D)收敛性与a有关
a a a2 解：由 ( 1) (1 cos ) 1 cos ~ 2 n n n a2 而 2 收 敛 所以原级数绝对收敛 n1 n 3.设级数 un 收敛，则必收敛的级数为
( A) ( 1) un .
2.已知连续函数 f (x) 满足
f ( x)

3x 0
t f ( )dt e 2 x , 3
求 f (x)
解：对所给方程两边求导，得
f ( x) 3 f ( x) 2e 2 x f ( x) 3 f ( x) 2e 2 x
为一阶线性方程，其通解为：
3 xdx ( 2e 2 x e 3 xdx dx C ) f ( x) e
e 3 x ( 2 e x dx C ) Ce 3 x 2e 2 x
由所给方程可得 f (0) 1 C 3 , 所以
f ( x ) 3e 3 x 2e 2 x .
【例3】求解 y 4 y 5 y 2 y 0 .
3 2 2 【解】特征方程 r 4r 5r 2 (r 1) (r 2) 0 .
z
x2 y2 ,
x2 y2 a2 ,
x 2 y 2 ( z R)2 R2
2. 常见的直线和平面方程 特殊位置的平面方程：与坐标轴平行；与坐标面平行 特殊位置的直线方程：与坐标轴平行，与坐标面垂直
3. 求下列曲面在指定点的切平面和法线方程：
z x 2 y 2 ,(1,1, 2)
1.判别级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛？
(1)
n 1

n 1
1 sin 2 n
( 1)
n 1
1 1 1 sin 2 sin 2 2 , n n n
且
1 n2 n 1

收敛，所以原级数绝对收敛
a ( 1)n (1 cos ) 2.级数 （常数 a 0 ） n n 1
x 2 y 2 z 2 ， 与平面 z a
解：
2

( a 0) 所围的立体.
采用柱面坐标
2 2
x y z
z r,
0 r a, 0 2 ,
D : x2 y2 a2 ,
: r z a,
2 2
I ( x y )dxdydz
1 1 1 x y z R ,( , , ) 2 2 2
2 2 2 2
4. 求下列曲面与指定直线的位置关系：
3x 2 y 5 0 与 y 轴
3 x 2 2 y 2 5 0与 z 轴
第10章 多元微分学 30%
1. 多元函数重点概念之间个关系
2.全微分的计算； 3.会描绘多元复合函数符合关系图 4.一阶复合函数偏导数的计算 5.极值、最值和条件极值; 实际应用问题 函数连续 函数偏导存在