有限公式法二维涡流场计算技术及其在电机集肤效应计算中的应用

ｉＣＥＹ ＷＯＲＤＳ： ｆｉｎｉｔｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ； ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ；ｅｌｅｃｔｒｏｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｉｅｌｄ；ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ ｍａｃｈｉｎｅ；ｅｄｄｙ
ｃｕｒｒｅｎｔ；ｓｋｉｎ ｅｆｆｅｃｔ
摘要：有限公式法是基于全局量的电磁场数值计算方法，用 代数方程取代微分和积分方程描述电磁场物理规律，具有物 理意义明确，计算过程简单等优点。该文扼要介绍了有限公 式的理论体系和应用现状，阐明了全局物理变量与原空间和 映射空间元素的关系：采用基于正弦时变电磁场的复数模 型，详细推导了有限公式法二维涡流电磁场的计算公式；并 研究推导出了有限公式理论中二类齐次边界条件和非齐次 条件的处理方法。结合电机工程中的具体实例，计算了鼠笼 电机转子导条的集肤效应，通过与有限元计算结果的对比， 验证了方法的正确性。该文的工作，丰富和完善了有限公式
方法计算电机内部静磁场分布的计算技术，将电磁 场源变量定义在原空间，将电磁场形态变量定义在 映射空间；并在刚度矩阵的单元合成中，运用痧表 示Ｆ，避免了对矩阵的求逆运算。最终的计算结果
与有限元计算结果有较好的吻合。本文在文献［１１】 的基础上，进一步研究电机内涡流场的计算技术， 推导了基于正弦复数模型的计算公式，和边界条件 处理技术。 １．３涡流场物理量
（１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＥｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｈｏｈａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９８，Ｊｉａｎｇｓｕ Ｐｒｏｖｉｎｃｅ，Ｃｈｉｎａ； ２．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｅｌｅｃｔｒｉｃａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｂｅｉｊｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈａｉｄｉａｎ Ｄｉｓｔｒｉｃｔ，Ｂｅｉｊｉｎｇ １０００４４，Ｃｈｉｎａ）
０引言
有限公式方法是一种基于系统全局变量的新 型电磁场数值计算方法，全局变量指即场量的线积 分量、面积分量、或体积分量，如磁通、电动势等。 与已有的电磁场数值计算方法相比，其创新之处在 于，革除了传统的以微积分形式表达物理实验事实 的思维， 即“无穷逼近求极限＂的微观思维，不 再考虑“一个点、一个时刻”的物理量，而是注重 “一条线段，或一个面积上，在一段时间内”场的 分布与变化情况，所以是宏观思维。它改变了自 Ｍａｘｗｅｌｌ的论文发表后用微分方程表达电磁学物理 规律的习惯，创新性地使用基于全局变量的代数方 程表述电磁物理现象［１‘７１。另外，由于全局变量在两 介质交界处是自然连续的，所以有限公式方法易于 处理多介质区域和各向异性介质区域中场分布问 题，具有简单实用的优势。研究有限公式方法，还 将有助于丰富发展其它学科或领域的科研思维。…
万方数据
第９期
严登俊等： 有限公式法二维涡流场计算技术及其在电机集肤效应计算中的应用
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允许不规则网格单元，如非正三角形、非正四面体 的存在，此时需要对矩阵进行求逆。在对大规模矩 阵进行求逆时，必然存在数值误差，很难保证计算
结果的精度，有时甚至远离真实解。 针对上述现状，文献［１８】报道了运用有限公式
文献［１６１采用了两套分别基于电动量Ｐ和磁通 西表达式的三维静磁场计算公式，依次计算了均匀 磁场环境下立方体和圆柱缸内铁磁球中的磁场分 布情况，并将计算结果和解析法计算结果进行了对 比。圆柱缸整体的空间原网格剖分情况是：３ ２４０ 个四面体，６６７６个面，４０８８条边，和６５３个点。 采用电动量Ｐ的计算误差为３．２％，采用磁通多的计 算误差为４．６％，证明了有限公式方法的正确性。
第２８卷第９期 ２００８年３月２５日
中国电机工程学报
Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ ｏｆ ２５，２００８
＠２００８ Ｃｈｉｎ．Ｓｏｃ．ｆｏｒ Ｅｌｅｃ．Ｅｎｇ
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文章编号：０２５８—８０１３（２００８）０９．０１３３．０６ 中图分类号：ＴＭ １５２ 文献标识码：Ａ 学科分类号：４７０·４０
某 点处的场变量是无法测量的，但是全局变量，因
为与有限的线元，面元和体元相关，可以用电通计， 磁通计等直接测量。所以，有限公式方法的优势在 于，计算结果可以被实验直接验证。
全局变量分为描述磁场形态的形态变量，如： 电动势，磁通量，电动量；描述场源的源变量，如： 磁动势，电通量，和电荷流等；以及能量变量。采 用Ｙｅｅ元胞结构【９以３１，在全局变量与几何空间元素 之间建立了联系。首先在待求解区域，即原空间中 生成原网格，然后根据特定的映射准则在映射空间 中生成映射网格，映射网格所构成的空间称为映射 空间。形态变量定义在原空间的相关几何元素上， 源变量定义在映射空间的相关几何元素上。能量变 量被定义为形态变量与源变量的乘积，形态变量与 源变量通过介质方程和欧姆定律联系在一起。
（２）
磁动势Ｆ（ｍａｇｎｅｔｉｃ ｍｏｔｉｖｅ ｆｏｒｃｅ， ＭＭＦ）定义在 原空间，即：
在有限公式理论中，与涡流场有关的全局物理 量包括：外加电源电压以彬感应电势Ｅ，磁动势
Ｆ，磁通量磊和电动量Ｐ。采用复数模型的优点是，
物理量独立于时间变量，即复数模型下全局变量都
被定义在空间坐标系ｄＱ［５－７，１８１。
磁通豌义在映射空间，即：
；
。‰＝￡曰·心
（１）
电动量Ｐ定义在映射空间，即：
Ｐ（￡）＝ＩＬＡ·ｄｒ．
第２８卷
的实际情况，推导了二类齐次边界条件和非齐次边 界条件的处理方法；最后，即第４部分，结合具体 算例，将有限公式方法的计算结果，与有限元方法 的结果进行了对比，对本文方法的正确性进行了验 证。与文献［８】的方法相比，本文的优点是不需要迭 代求解，提高了计算效率，而且推导了文献没有涉 及的二类齐次边界条件的处理方法。本文的工作， 有助于有限公式理论的进一步发展与完善。
的电磁学的实验定律出发，运用代数表达方式，以 有限公式的形式推导出最终的可直接求解的线性 或非线性矩阵方程【ｌ玉１３ｊ。 １．２应用现状
在已有的有关有限公式方法应用技术的文献 中，算例的几何结构都非常简单，求解区域的形状 也很规则，因为文献目的只是为了论证说明有限公 式方法的应用技术及其正确性，较少研究面向具体 工程应用的实际问题。
基金项目：国家自然科学基金项Ｉ；ｌ（５０５７７０１６）。 Ｐｒｏｊｅｃｔ Ｓｕｐｐｏｒｔｅｄ ｂｙ Ｎａｔｉｏｎａｌ Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｈｉｎａ ｆ５０５７７０１６）．
理论在涡流场方面的计算技术为在其他工程问题上的进一 步应用打下了基础。
关键词：有限公式法；数值计算；电磁场；电机；涡流；集 肤效应
文献【８】运用有限公式方法计算了二维涡流场， 将一个边长为０．５ ｍ的有源导体和一个同样形状的 无源导体置于无穷大空间中，在求解区域边界处电 磁物理量为Ｏ。文中给出了基于实数模型的迭代求 解公式，计算时间较长。并且由于认为求解空间无 穷大，所以没有涉及到边界条件处理方面的内容。 在不周的时刻和不同的空间位置处，将计算结果与 有限元的计算结果进行了对比，平均误差低于ｌ％。
在已有的数值计算方法中，如：有限差分法， 时域有限差分法，有限元方法，和边界元方法，为 得到系统的刚度矩阵，一般从基于场变量队Ｊ、Ｅ、 召、日、Ｄ的Ｍａｘｗｅｌｌ方程出发，运用系列的数学离 散方法，推导出最终可直接求解的线性或非线性矩 阵方程。有限积分方法和有限体积方法，则是运用 映射技术，以积分的形式将Ｍａｘｗｅｌｌ方程表达成１ 个稀疏的矩阵方程［９－１１，１４－１５】。有限公式方法，有时又 称元胞方法，则是从基于Ｊ、Ｑ、烈仍Ｐ、ｆｋ、孝
文献［１７】给出了一些通用的基于有限公式理论 的射频电磁波方面的计算技术，算例选用了点状发 射源在空间的传播隋况，将计算结果与时域有限差 分方法进行了对比，在Ｏ＾６ ＧＨｚ频率范围内，和 １。１６ ３８４ｐｓ时间范围内，两者有较好的吻合性。
在上述文献中，都将形态变量定义在原空间， 而将源变量定义在映射空间。这种定义在处理高频 电磁波等几何结构简单的问题时，是可行的，此时 场源容易被原空间网格的一个点（即映射空间中的 １个网格）所代表。然而在分析复杂形状，如电机中 的电磁场问题时，场源是区域性的，此时如果继续 将源变量定义在映射空间中，则要求同一个映射网 格单元必须位于同一个介质区域，即如果一个映射 网格单元同时覆盖２种区域，则是不合理的，因为 此时不能精确描述源的分布，不能准确地反映实际 问题。为保证映射网格能满足上述条件，就要求在 生成原网格时必须同时考虑映射网格的分布问题，－ 这样将大大增加网格剖分的难度。另外，在复杂区 域中，很难保证所有的剖分网格都是规则的，必须
１有限公式方法
１．１理论体系 有限公式理论的典型特征就是以全局变量为基
本变量。全局变量包括：电荷Ｑ，电流，，电通驴， 磁通痧，电动势５和磁动势Ｒ等。电磁场的实验定 律，如法拉第定律和安培，都是基于全局变量的， 电路理论中的基尔霍夫定律也是用全局变量电压和 电流来表示的。与全局变量概念相对应的是场变量， 如电荷密度，电流密度，电场强度，磁场强度，电 场感应强度，磁场感应强度，都是指在极限无穷逼 近时空间１个点处的场或场源分布情况。工程中，
本文研究了有限公式方法在涡流场方面的理 论和应用技术。第１部分扼要地阐述了有限公式方 法的理论体系，分析了其应用现状，－并介绍了与低 频时变场计算有关的有限公式方法理论与物理概 念；在第２部分，提出了１个基于复数模型的涡流 场有限公式计算公式；第３部分，结合电机工程中
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中国电机工程学报
有限公式法二维涡流场计算技术及其在电机 集肤效应计算中的应用
严登俊１，刘瑞芳２，李伟１
（１．河海大学电气工程学院，江苏省南京市２１００９８；２．北京交通大学电气工程学院，北京市海淀区１０００４４）
Ｆｉｎｉｔｅ Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ ｆｏｒ ２Ｄ Ｅｄｄｙ Ｃｕｒｒｅｎｔ Ｆｉｅｌｄ ａｎｄ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｓｋｉｎ Ｅｆｆｅｃｔ ｉｎ Ｓｑｕｉｒｒｅｌ Ｃａｇｅ Ｍｏｔｏｒ ＹＡＮ Ｄｅｎｇ－ｊｕｎｌ，ＬＩＵ Ｒｕｉ．ｆａｎ９２，ＬＩ Ｗｅｉｌ