第二型曲面积分的计算方法
第二型曲面积分
R( x, y,z )dx dy
n A( x , y ,z )ndS lim R( i , i , i )cos i Si d 0i 1
M i ( i , i , i ) i z( i ,i ) ，
16
10.4
第二型曲面积分
对于双侧曲面，可通过曲面上法向量的指向来 确定曲面的侧。取定了法向量指向的曲面，称为 有向曲面。
z
n
上侧
z
下侧
n
y
o x
o x
y
5
10.4
第二型曲面积分
对于 ： z f ( x , y ) 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 锐 角 ， 则取定了曲面的上侧。 若 法 向 量n 与 z 轴 的 正 向 成 钝
a
1
o
6
a y
答案： a 4
22
10.4
第二型曲面积分
例 3．计算 xyzdx dy ，
z
2
其中是球面 x 2 y 2 z 2 1 的外侧在 x 0, y 0 的部分。
y
x
解
1
把分成1和 2两部分
1 : z1 1 x 2 y 2 ; 2 : z2 1 x 2 y 2 ,
i 1 n
（4）取极限
设 d max { S i 的直径} ，则 lim Vi ni S i 。
1 i n
n
d 0
i 1
取极限得到流量的精确值.
10
10.4
第二型曲面积分
2、第二型曲面积分的定义
设 是 向量场 A( x, y, z ) 所在空间中的一个有向光滑曲面。
11.5第二类曲面积分
v
A
A
0 n
流量 v A cos 0 v n A v A
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1) 的速度场由
v ( x , y, z ) P ( x , y, z )i Q( x , y, z ) j R( x , y, z )k
2 2 2 2 x dydz x dydz x dydz a dydz 0dydz 3 4
D yz D yz
例 1 计算曲面积分 x2dydz y 2dzdx z 2dxdy 其中 是长
方体的整个表面的外侧 {(x y z)|0xa 0yb 0zc} 解 把的上下面分别记为1和2 前后面分别记为3和 4 左右面分别记为5和6 除3、4外 其余四片曲面在yOz 面上的投影为零 因此
要注意到,这里的dydz ,dzdx , dxdy可能为正也可能
为负, 甚至为零, 而且当 n改变方向时,它们都要改
变符号, 与二重积分的面积微分元 dxdy 总取正值 是有区别的.
（1）、存在条件:
当 P ( x , y , z ), Q ( x , y , z ), R ( x , y , z ) 在有向光滑曲 面Σ 上连续时,对坐标的曲面积分存在.
（2）、物理意义:
P ( x , y , z )dydz Q( x , y , z )dzdx R( x , y , z )dxdy
（3）第二类曲面积分与有向曲面 的法向量的指向有
关。 如果改变曲面 的法向量的指向, 则积分要改
变符号, 即 A ndS A ndS .
D yz
(前正后负)
§4第二型曲面积分与计算
位法矢量 cos , cos , cos ， dS 是面积微元。所以 F dS ( F n) dS ，
S S
Pdydz Qdzdx Rdxdy ( P cos Q cos R cos )dS
S S
3、第二型曲面积分的计算 定理 1 设 R( x, y, z ) 是定义在光滑曲面 S : z z ( x, y ) ， ( x, y ) Dxy 上的连续
例 2
计算积分
( x y)dydz ( y z )dzdx ( z 3x)dxdy
， 为球面
x 2 y 2 z 2 R 2 取外侧。
解：对积分 ( x y)dydz ，分别用 前 和 后 记前半 和 后 半 球 面 的 外 侧 ， 则 有 前 ：
x R 2 y 2 z 2 , D yz : y 2 z 2 R 2 ；
S 2 : x = - R 2 - y 2 - z 2 , ( z 0) 。
在 S 上，由于外侧为正，单位法矢量 n ( x, y, z ) 与 Ox 轴正向的夹角余弦
1
另外，S1 在 yOz 平面上的投影为 D yz {( y, z ) | y 2 z 2 R 2 , z 0} ， cos 为正。 并且 x R 2 y 2 z 2 ，所以若令 y r cos , z r sin ，则有
P( x, y, z )dydz Px( y, z ) , y , z dydz 。
S D yz
对 光 滑 曲 面 S : y y ( z, x) ， ( z , x) Dzx ， 在 其 右 侧 上 的 积 分
Q( x, y, z )dzdx Qx , y( z, x) , z dzdx 。
x R2 y2 z2 。 因 为 两 个 积 分 的 积 分 区 域 相 同 ， 所 以 有
探讨第二型曲面积分的计算方法资料
摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords ............................................................................................. 1. 0刖言 (1)1直接利用公式进行计算 (1)2利用积分曲面的对称性进行计算 (3)3利用两类曲面积分之间的联系进行计算 (6)4利用高斯公式进行计算 (6)参考文献 (9)姓名：李亚平学号：20105031272探讨第二型曲面积分的计算方法数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导老师：张萍职称：讲师摘要：本文总结了有关第二类曲面积分的几种算法，对每种计算方法均配以典型例题加以诠释.关键词：曲面积分；二重积分；投影区域；高斯公式•The application of symmetry to the calculation ofcurvilinear integral and camber integralAbstract:Some theorems and methods for simplifying curvilinear integral and camber integral calculations by means of symmetry have been introduced in this essay. And the proves of theorems is also in cludedKey Words：symmetry；curvilinear integral；camber integral; gauss formula.0刖言众所周知，第二型曲面积分的计算比较繁琐，但是若能分类，利用曲面的对称性、两类曲面积分之间的联系、高斯公式、图形结合等方法系统的来解答第二型曲面积分，有时候就能使第二型曲面积分的计算相对简单、易懂，故此篇文章就第二型曲面积分的几种常见计算方法为中心进行展开讨论.1利用公式直接进行计算大家知道，若R x, y,z在光滑有向曲面匕：z二zx,y,x,y・D X y上连续，则!! R x, y, z dxdy存在，且有计算公式：Z..Rx,y,zd xdy- ..Rx,y,zx,y dxdy (1)—Dxy其中D xy表示三在xOy面上的投影区域，当曲面取上侧时⑴的右端取“ +”号，取下侧时取“一”号.这一公式表明，计算曲面积分R x, y,z dxdy时，只要把其中变量z换为表示三的Z函数z=zx,y ,然后在匕的投影区域D xy上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可•这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.类似地，如果曲面Z的方程为y = y乙x ,则Q x, y,z dzdx ：iiQ x, y z, x ,zd zd x (2)Z D zx如果曲面匕的方程为x=xy,z，贝UP x,y,z dxd 予一P x y,z,y,zdyd.z (3)Z D yz因此我们在计算Pdydz Qdzdx Rdxdy时通常将其分开计算三个积分EPdydz, Qdzdx, Rdxdy，z z z即分别把曲面工投影到yoz面、zox面，xoy面上化为二重积分进行计算，投影域的侧由曲面工的方向决定.例1计算积分11 ix y dydz y「z dzdx z 3x dxdy，Z其中工为球面x2y2 z^ R2,且取外侧.解对积分11 'x y dydz，分别用前和后记前半球面和后半球面的外侧，贝U2 2 2 2 2 2前：x「R-y-z,D yz：y z R ，2 2 2 2 2 2后：X- - R - y -z , D yz: y z - R，所以..x y dydz =' '前'后111 R2_ y2 _ z2y dydz _ . R2_ y2_ z2y I—dydzD yz D yz2 11R2- y2「z2dydz 令y = r cos [ z 二r sinD yz2兀 r R ■ 2243=2 o dr o . R —r rdr R .对积分iiiy-zdzdx ，分别用 右和左记右半球面和左半球面的外侧，则Z'右：y 二..R 2_x 2_z 2,D xz : x 2z 2乞 R 2,'左：y 二一 R 2一 x 2- z 2, D xz ： x 2z 2一 R 2.对积分 z 3x dxdy ，分别用 '上和'下记上半球面和下半球面的外侧，则' 上:z p R 2—x 2—y 2,D xy :x 2y 2— R 2,二下：z - - . R 2_ x 2_ y 2, D xy ： x 2y 2_ R 2.同理带入计算得4311 [y 「z dzdx= 11 [ z 3x dxdy = R 3，二 二 3所以111x y dydz y - z dzdx z 3x dxdy =4 R 3. Z2利用积分曲面的对称性进行计算定理1设曲面S 是由关于点P （或平面〉）对称的S i 和S 2组成，设S i 的对 称点为M 2 S 2，则2\\ f (M dsJJ f (M ds =彳S i证 以曲面S 关于平面：•对称为例.不妨设曲面 S 是关于平面xoy 对称的曲面S i 和S 2组成，设M 「S i 坐标为x, y,z ，则其对称点M 2，S 2的坐标为x,y 厂z ,设 S i 、S 2在xoy 平面上的射影区域为-Xy ，则..f x,y,z ds ： 11 f x, y,z ds 亠 11 f x, y,z dsSS iS 2=J 卩f ky,z(x, y )】+ f t, y,—z(x, y )%；i+ z ：dxdy .匚Y若f M 2 二 f M i 若f M 2 i —f M i(1) f X, y,—z 二f x, y, z 时，f x,y,z ds =2 f x,y,z ds ;S ◎(2) f x, y, —z - - f x, y, z 时，f x, y, z ds =0 .S例2计算曲面积分I = xyzds，其中S为曲面z = x2• y2介于平面z=0和z=1 S之间的部分.解因曲面S关于平面xo和yoz对称，而f(x, y,z)=|xyz ,由定理1知I =4 i ixyzds，其中S i是S在第一卦限的部分.S iz = x2y2,z x= 2x,z y= 2y,ds = 1 4x24y2dxdy ,于是I =4 iixy x2y2. 1 4x24y2dxdyD xyJI I _____=4 ； d ： r2si nc o s r2 1 4r2r d r= 125^-1=420其中D xy是曲面S在xoy面上的射影.定理2设光滑曲面S关于平面xoy对称，且S在xoy平面上半空间的部分曲面S1 取定上侧，在xoy平面下半空间的部分曲面取定下侧，则(1) 若R x, y, z关于变量z是偶函数，贝U I I R x,y,z dxd^ 0 ;S(2) 若R x, y, z 关于变量z 是奇函数，贝U 11 R x, y,z dxdy 二2 11 R x, y,z dxdy .S S1证由于S =S1 • S2,而S1 :z = z x, y取上侧，S2 : z二-z x,y取下侧，设5，S?在xoy平面上的射影区域为匚xy，贝U!! R x, y, z dxdy !! R x, y,z dxdy 亠iiRx,y,z dxdyS S1 S2=I I R X, y,zx, y dxdy i iRx, y,-zx,y dxdyCxy= IRlx, y, z x, y 1-Rx, y,-z x, y [dxdy .Cxy⑴若R x, y,z 二Rx, y, -z，贝U !」Rx,y,zdxdy = O ；S⑵若R x, y, z - -R x, y,-z，贝U R x, y,z dxdy =2 口R x, y, z dxdy .S S i推论1设光滑曲面S关于平面yoz对称，且S在yoz平面前半空间的部分曲面S i 取定前侧，在yoz平面后半空间的部分曲面取定后侧，则(1)若P x, y, z关于变量x是偶函数，贝U 11 P x,y,z dydz = 0 ;S⑵若P x,y,z关于变量x是奇函数，贝U P x, y,zdydz =2 P x,y,z dydz .S S1推论2设光滑曲面S关于平面xoz对称，且S在xoz平面右半空间的部分曲面0 取定右侧，在xoz平面左半空间的部分曲面取定左侧，则(1) 若Q x, y,z关于变量y是偶函数，贝U i iQ x, y, z dzd^0 ;S(2) 若Q x, y,z 关于变量y是奇函数，贝U Q x,y,z dzdx = 2 Q x, y, z dzdx .S S i例3计算曲面积分2 2 2I 二x dydz y dzdx z dxdy ,S其中S是抛物面x2• y2二a2-z在上半空间部分的外侧a 0 .由推论1和推论2知11 x2dydz = 0, 11 y2dzdx = 0，S S故原式I 二z2dxdy 二a2_x2_y2dxdyS D xy= ]＞『(宀2吩如6其中D xy例4 计算曲面积分I二ydydz-xdzdx • z2dxdy，其中S为锥面z= x2 y2在S平面z =1和z =2之间的外侧.解由推论1和推论2知11 ydydz = 0, i 丨xdzdx = 0 ,S S\ = z2dxdy = x2y2dxdys 1 m2 y2 哆1523利用两类曲面积分之间的联系进行计算公式Il Pdydz Qdzdx Rdxdy 二Pcos t 11Qcos.亠Rcos dS，Z Z建立了两类曲面积分之间的联系，其中co^ ,cos '■, cos是有向曲面匕上点x, y,z处的法向量的方向余弦.例5计算积分i i〔x y dydz y - z dzdx z 3x dxdy , E其中二为球面x2y2z2= R2,取外侧.解设cos：•,cos ：,cos是有向曲面二上点x,y,z处的法向量的方向余弦，则x R y y z cos , cos , cosR R R曲面的面积微元为dS，根据对称性有II〔X y dydz y - z dzdx z 3x dxdy Z=i i Jx y cos很亠i y「z cos ■亠〔z -3x cos ds Z= x2xy y2-yz z2-3xzdSR ZR dS=4「：R3.R '4利用高斯公式进行计算(1)设空间闭区域V由光滑双侧曲面三所围成，P,Q,R在V上连续，且有一阶连续偏导数，则有■P FQ FRJJ Pdydz + Qdzdx+Rdxdy=川一+—- +—[dxdydz,y v \ ex cy cz 丿其中匕取外侧.例6计算积分11 ix y dydz y - z dzdx z 3x dxdy , Z其中]为球面x2y2z2^R2,取外侧.解设V :x2y2T< R2，则P x, y, z 二x y,Qx,y,z = y- z,R x,y,z 二z 3x，满足高斯公式的条件，所以11〔x y dydz 亠〔y - z dzdx 亠〔z 3x dxdyZ:P Q : R 3二dxdydz 1113dxdydz=4二R .:x 鋼:z vv⑵若三不是封闭曲面，则不能直接利用高斯公式，此时可以考虑用添加辅助曲面的方法将积分曲面补成封闭曲面 3 •二，通常我们称这种方法为“补块”补块是平行于坐标平面的平面块时一般最为有利，从而有11 Pdydz Qdzdx Rdxdy 二：-= ——— dxdydz 11 Pdydz Qdzdx Rdxdy，x :y 工二其中门是由分片光滑的闭曲面3 •匸1所围成，P,Q,R在门具有一阶连续偏导数.例7计算积分11xdydz ydzdx zdxdy，S其中S是上半球面Z二.a2 -X2-y2的外侧.解添加一曲面S：x2，y2二a2，z = 0，取下侧为正向，则S与S i构成一圭寸闭曲面，外侧为正向，故11 xdydz ydzdx zdxdyS=I ：I xdydz ydzdx zdxdy - xdydz ydzdx zdxdyS S iS i3=111 3dv -0 = 2二a .V(3) 如果函数P x, y,z ,Q x, y, z , R x, y,z 在门不具有一阶连续偏导数，则通过清 除奇点，再利用高斯公式.例8计算曲面积分I = — yinrdydz -xln rdzdx zdxdy ,X2 2 2 ______________________________________________________其中匕是椭球面笃•当•务=1的外侧，^A-x 2 y 2 z 2 .a b c解 P yln r,Q = -xln r, R =z ，则当 x, y, z = 0,0,0 时，作球面3 :x 2 y 2 z 2 = ；2，使3 ；所包围的部分门；包含在3所围成的区域门内, 且球面3 的法向量指向球心.此时，由高斯公式，I = 删 -啊 |y ln r d y d-zxln r d z d+xz d x d y 如爲丿=ii idxdydz i'i y ln rdydz-xln rdzdx zdxdy- y In rdydz - xln rdzdx zdxdy=-二abc在计算第二型曲面积分时，如果所给条件满足高斯公式的条件，我们通常选择用 高斯公式来计算，因为用此种方法计算量比较小，且容易计算.在所给条件不满足高 斯公式条.:P ；:Q；:R-- + ------ 十 ----xyz 2xyx 2y 2z 21 =1 .= ^「：abc-4「：；=电二abc - 4 二;33 3111dxdydz件时，我们再考虑另外的几种计算方法.下面对其他几种计算方法的特点加以说明.直接利用公式进行计算，首先必须标出曲面的“正负侧”，其次计算量比较大；利用曲面的对称性来进行计算的话，显而易见此曲面必须具有对称性，此种方法的优点在于可以很大程度的减少计算量，甚至能一步得出结果；利用两种曲面积分之间的关系来计算这种方法，在可以减少计算量的同时，必须知道有向曲面三上点x,y,z处的法向量的方向余弦.因此，我们在计算第二型曲面积分时，要根据所求积分的性质，以及所给条件,灵活应用各种方法.参考文献：[1] 刘三阳等.数学分析选讲[M].北京：科学出版社，2007.[2] 陈纪修等.数学分析（下）[M].北京：高等教育出版社，2004.[3] 赵振海.对坐标的曲面积分的一题多解[J].数学学习（高等数学季刊），1998，19（1）: 33-36.[4] 赵艳辉，王湘平.用对称性求线面积分[J].湖南科技学院学报，2012，9（1）: 5-8.⑸陈文灯，袁一圃，俞元洪.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2001 .⑹同济大学数学教研室主编.高等数学（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，1998.[7] 张从军.数学分析概要二十讲[M].安徽：安徽大学出版社，2000 .[8] 复旦大学数学系主编.数学分析（上、下册）[M].上海：上海科技出版社，1979.[9] 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下册）[M].北京：高等教育出版社，2010. 6.10。
第二型曲面积分课件
Dxy
2
x2 y2R2
R2
x2
y2
Dxy
dxdy
4 R3
3
综上, 3
4
(
R3
x
4
y)dydz
R3
(
y
z)dzdx
(
z
3x)dxdy
3
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程z z( x, y) 给出,Σ在
xoy面上的投影区域为Dxy , 函数z z( x, y) 在Dxy
上具有一阶连续偏导数, R( x, y, z)在Σ上连续.
{[1 ( x2 y2 ) x] ( x) 1 ( x2 y2 )}dxdy
4 Dxy
2
[ x2 1 ( x2 y2 )]dxdy
Dxy
2
2
d
2 (r 2 cos2 1 r 2 )rdr
8.
0
0
2
六、小结
1、物理意义 2、计算时应注意以下两点
曲面的侧 “一投,二代,三定号”
都在Σ上连续, 求在单位
时间内流向Σ指定侧的流
体的质量 .
o
y
x
1. 分割 把曲面Σ分成n
第i 小块曲面的面积),
在si 上任取一点
z
(i ,i , i ),
小块si
(si
同时也代表
Si
ni
vi
(i ,i , i
)
则该点流速为
vi
.
•
法向量为
ni
.
o
y
x
vi
v(i ,i , i )
P(i ,i , i )i Q(i ,i , i ) j R(i ,i , i )k ,
第二类曲面积分三种计算方法
第二类曲面积分三种计算方法
第二类曲面积分可分为三种计算方法：
1. 直接应用公式法：对于给定曲面和向量场，在直接计算二重积分时利用公式进行求解。
该方法适用于曲面比较简单、向量场表达式也较简单的情况。
2. 参数化法：先将曲面参数化，再利用曲面元素、向量场在参数化后的表达式计算出积分。
该方法适用于曲面较为复杂，但能够找到合适的参数化方程的情况。
3. Stokes公式法：通过应用Stokes公式将曲面积分转化为曲线积分的形式，再利用曲线积分的求解方法得到结果。
该方法适用于曲面较为复杂，但是能够找到与曲面边界相对应的曲线的情况。
第二型曲面积分-精品
cos zy ,
1zx2 z2y
cos 1 .
1zx2 z2y
对面积的曲面积分为
R(x,y,z)cosdSR[x,y,z(x,y)]dxdy
Dxy
所 以 R(x,y,z)dxdyR(x,y,z)cods S
(注 意 取 曲 面 的 两 侧 均 成 立 )
D xy 2
Hale Waihona Puke R2x2y2dx D x dy 4yR3
x2y2R2
3
综上3, 4R3 ( x 4 Ry ) 3dy (y d z z )dz (d z 3 x x )dx
3
五、两类曲面积分之间的联系
设有向曲面Σ是由方程zz(x,y)给出,Σ在
有向曲面Σ 上点(x,y,z)处的单位法向量,
dSndS{dyd,dz zd,xdxd}y称为有向曲面
元,An为向量A在n上的投影.
例 3 计算 (z2 x)dydz zdxdy,其中Σ 是
旋转抛物面z 1 ( x2 y2 )介于平面z 0及 2
z 2之间的部分的下侧.
决定了侧的曲面称为有向曲面.
曲面的投影问题: 在 有 向 曲 面 Σ上 取 一 小 块
曲面 S, S 在 xo 面 上 y 的( 投 S)x为 影 y
()xy 当cos0时
(S)xy()xy 当cos0时 .
0
当cos0时
其中 ()xy表示投影区域.的面积
果当各小块曲面的直径的最大值0时,
n
lim
0
i1
R(i
,i
,
i
)(Si
)xy
存在,
第二型曲面积分
A dS
S定 侧
P dydz Q dzdx R dxdy
可以理解为先将有向面 积 dS 往各个坐标平
(可正可负,依侧而定) 上投影得dydz, dzdx , dxdy, 进而在直角系下对坐标变量作二重积分。
这时被积函数，如 P ( x , y, z ), ( x , y, z ) S
D
cos
C A2 B 2 C 2
A B C dd
D
cos sin cos dd
2
/2
2 解法2 由于，球面的两部分
0
d sin cos d 0
1
3
cos
3 0
3
S1 : z 1 x y ,
一般方程 F ( x , y, z ) 0, 上下侧如何表示？
1. 物理背景与概念
流量问题——空间某不可压液体的流速
场中，求液体向曲面指定一侧的流量.
对稳恒流体, 若流速 v ( M ) a i b j c k
其中a, b, c为常数，
单位时间通过某界
n
v
S
面 S 的流量为：
的曲面积分；
与二重积分不同：A A ( x, y, z ) 定义在
曲面 S上；
与二重积分不同之二, 积分区域为空间一
指定了侧的曲面 S, 因此“投影有向面积元”
dydz , dzdx , dxdy要根据与侧相关的
cos、 cos 、cos 的符号确定其正负号；
第一、二型曲面积分的关系：
第二型曲面积分
The Surface Integrals
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第二型曲面积分的计算方法
作者：周三章赵大方
来源：《科教导刊》2014年第24期
摘要本文从化归的角度，介绍利用高斯公式和合一投影法简化第二型曲面积分的计算，并结合实例予以说明。
关键词第二型曲面积分高斯公式合一投影法
中图分类号：O172.2 文献标识码：A
Methods of Computing the Second Surface Integral
ZHOU Sanzhang[1]， ZHAO Dafang[2]
（[1]College of Mechatronics and Control Engineering， Hubei Normal University，Huangshi， Hubei 435002；
[2] College of Mathematics and Statistics， Hubei Normal University， Huangshi， Hubei 435002）
Abstract This paper introduces how to simplify the caculation of the Second Surface Integral by utilizing the Gauss formula and Projection method， there application are illustrated by some typical example.
Key words the second surface integral； Gauss formula； projection
高等数学的学习中，第二型曲面积分的计算是一个难点。
计算第二型曲面积分方法比较多，计算的难易程度也不同。
如果运用化归的思想，通常可以达到事半功倍的效果。
化归的思想具体表现在运用合一投影法，高斯公式简化求解过程。
本文以几例具体来说明以上两种计算方法。
1 利用高斯公式转化为三重积分计算
引理[1]：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，函数（），（），（）在具有一定阶连续偏导数，则有
（ + + ） = + + ，
或
这里的是的整个边界曲面的外侧，、、是在点（）的法向量的方向余弦。
2 合一投影法计算（即把不同面的投影通过关系式转化到同一个面上计算）
引理：以平面向平面转化为例：
由曲面积分的基本关系可得：
（） = []，
（） = []，。
由以上基本关系可得：
= ，
所以， = （）. = （）。
由以上推论可以得出[2]：若光滑的曲面表示为 = （），（（）），其中是在平面上投影区域，（）在上有连续偏导数，又（），（），（）均在上连续。
则
+ + = €？（（）） + （（）） + （）。
其中取上侧时取“+”号，当取下侧时取“”号。
其他的结论可以仿照以上推理过程得出。
3 举例
例1： = + + ，其中为锥面 = + 介于 = 0和 = 两平面间部分取外侧。
解：方法1：合一投影法
由的方程 = （0≤≤），投影到面上计算比较方便。
投影区域是：：≤。
这里取下侧。
于是= [ （）+ （）+ ]。
由的方程，可得：
= ， = 。
= [ （）+ （）+ ]
注：由此可知参考文献[2]中的解答有误。
方法2：运用高斯公式
分析：由于所给的曲面不是封闭曲面，故不能直接运用高斯公式。
需要进行“加盖”处理。
若设锥面被截的部分为，为 = 的上侧，则由高斯公式可得：
+ + = 3 = 。
由于为 = ，所以
+ + = = ，
因此
= + +
= + + + +
= = 0。
例2：计算曲面积分 = + + ，其中是曲面 = （>0）的上侧。
解：方法1：运用高斯公式
因曲面不是封闭曲面，故不能直接利用高斯公式。
设为 = 0方向朝下，则与一起构成一个封闭曲面。
由高斯公式可得：
= + +
= （2· + 2· + 3·）
= 6（ + + ）
= 6·（ + ） = 2
由于为 = 0，所以
= + +
= 3·（） = 。
因此
= + + = + + + + = 。
方法2：合一投影法
设曲面在平面上的投影区域：+ ≤1。
由 = ，可得： = ， = 。
= [（）+ （）+]
= （ + + ）
= [ + + 6（ + ）]。
由轮转对称性可得： = ，即
= 14 + 6 6（ + ） = + = 。
例3： = + ，其中为上半球面 + + = （≥0）的上侧。
解：显然运用合一投影法求解比较简便。
曲面在平面上的投影区域：+ ≤，由 + + = 可得= 。
从而 = [（） + ] = （ + ）。
因为关于轴对称，且被积函数是关于的奇函数，所以 = 。
设 = ， = ，可得： = = 。
参考文献
[1] 同济大学数学系.高等数学（下册）（6版）[M].北京：高等教育出版社，2007：220-229.
[2] 李正元.高等数学辅导（上下册合订本）[M].北京：国家行政学院出版社，2012：471-476.
[3] 许洪范.考研微积分500例[M].北京：国防工业出版社，2009：260-261.。