运筹学课件 第四章-运输问题
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运筹学 04 运输问题
x23
2,12 2 a2’’=0 b3’=10 第2行
x13
16,10 10 a1’=6 b3’’=0 第3列
产量 16 10 22
新产量 新销量 划去
14
销量
8
14
12
14
西北角法步骤 运价表中找出西北角(左上角)运价cij 在该处确定运量xij=min(ai,bj) 计算剩余产量ai’=ai-xij和剩余销量bj’=bj-xij，则出现 (1)ai’=0，bj’≠0——划去第i行运价； (2)ai’≠0，bj’=0——划去第j列运价； (3)ai’=0，bj’=0——划去第i行或第j列运价 重复上述，直到获得(m+n-1)个运输数量
例2：某部门三个工厂生产同一产品的产量、四个销售点的 销量及单位运价如下表。求最低运输费的运输方案。
产地 A1 A2 A3 销量
B1 4 2 8 4
B2 12 10 5 3
B3 4 3 11 5
B4 11 9 6 6
产量 8 5 9
解答
由于总产量=8+5+9=22，总销量=4+3+5+6=18，总产量>总销 量，属于产大于销的产销不平衡运输问题。增加一个销地， 销量b5=22-18=4；运价为0。得到产销平衡表如左表。表上作 业法结果见右表。 产地 B1 B2 B3 A1 4 12 4 A2 2 10 3 A3 8 5 11 销量 4 3 5 B4 11 9 6 6 B5 产量 0 8 0 5 0 9 4 产地 B1 A1 1 A2 4 A3 10 销量 4 B2 3 3 B3 4 1 9 5 B4 0 6 6 B5 产量 4 8 1 5 5 9 4
设xij为从Ai运输到Bj的产品数量，若Σai=Σbj，则称为产销平衡 的运输规划问题，数学模型为 min f=c11x11+…+c1nx1n+c21x21+…+cmnxmn xi1+xi2+…+xin=ai (i=1,2,…,m) x1j+x2j+…+xmj=bj (j=1,2,…,n) xij≥0 (i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
运筹学运输问题-图文
❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
运筹学运输问题
无穷多解
2020/12/14
解称为位势
设：诸x如ij—这类—有从多A个i地不运同往的B生j地产的、消货费物者数，量如何合理不同的生产者和消费者之
运间分派的价问分m题配i称关n为系z=运，输3达x问到11题最+。小4费x1用2 +的问2x题13也+运3筹x2学1 最+重5x要2的2 +问3题x之23一。我们把这种 在运筹学中，x1运1 +输问x1题2 +是一x1个3 广义的“运=输”10，即许多其它问题也可以通
2020/12/14
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2020/12/14
运输问题的数学模型（假定产销平衡）
nm
目标函数：min Z = ∑ ∑ Cij xij
j=1 i=1
产量约束：∑n xij = ai
i=1,2,…m
j=1
m 销量约束：∑ xij = bj
x11
+ x21
=3
x12
+ x22 = 5
x13
+ x23 = 6
111
10
1114
1
1
3
1
1
5
1
16
1）运输问题最优解有界
运输问题求解方法：
表上作业法
2）运输问题系数矩阵非常特殊
3）运输问题约束都是等式约束 4）一般运输问题约束有一个多余的约束
5）一般运输问题都是产销平衡的（不平衡问题要化为平衡问题）
i=1
j=1,2,…n
xij ≥0
max
w
=
m
∑
运筹学-第四章-运输问题 (1)
( i 1 ,2 , ,m ;j 1 ,2 , ,n )
则 x ij 为运输问题的一个可行解。事实上：
jn 1xijjn 1ad ibj a di jn 1bj ai im 1xijim 1ad ibj b d j im 1aibj
(i1,2, ,m ) (j1,2, ,n)
又因 ai 0,bj 0. 所以 xij 0. 故[ x i j ] 是一组可行解。
B4 d4=6
设xij为运量
目标函数：m i nZ 2x11 9x12 10x13 7 x14 x21 3x22
4x23 2x24 8x31 4x32 2x33 5x34
x11 x12 x13 x14 9
x21
x22
x23
x24
5
x31
x32
x33
x34
7
约束条件：
6 22
14 48
①
③
销地
产地
B1
4
A1
2
A2 8
A3
8
销量
8
表 3-2
B2
B3
12
4
10
10
3
2
5
11
14 12 10
B4
产 量
11 6 16
9
②
10
6
8
22
14
14 48
①
④
③
销地 产地
A1
A2
B1
4
2 8
A3
8
销量
8
表 3-2
B2
B3
B4
12
4
11
10
10
3
9
2
管理运筹学04运输问题
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
9
2
A3
销量
3
4
10
6
5
产
B4
量
10
7
8
4
5
9
6 20
方案表 2
产
销
地
B1
B2
A1
A2 (3)
A3
销量
3
6
地
B3
B4
1
5
6
产 量 7
4 9 20
2020/6/24
例4-1的最小元素法
运价表 3
产
销
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
(1)
A3
销量
3
4
10
6
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
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例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
9
2
A3
销量
3
4
10
6
5
产
B4
量
10
7
8
4
5
9
6 20
方案表 2
产
销
地
B1
B2
A1
A2 (3)
A3
销量
3
6
地
B3
B4
1
5
6
产 量 7
4 9 20
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例4-1的最小元素法
运价表 3
产
销
地
B1
A1
B2
B3
11
3
A2 (3)
(1)
A3
销量
3
4
10
6
运筹学课件运输问题
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、约 束条件和目标函数组成，用于描述问 题的数学关系。
VS
数学模型的一般形式为： $text{maximize} quad f(x)$$text{subject to} quad a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$ 或$a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$，其中$x_1, x_2, ldots, x_n$是决策变量，$a_1, a_2, ldots, a_n$和$b$是常数，$f(x)$是目标函 数。
运输问题的分类
按产地和目的地数量
单对多、多对单、多对多运 输问题。
按运输方式
陆运、空运、水运等运输问 题。
按优化目标
最小化运输成本、最小化运 输时间、最小化运输量等运 输问题。
运输问题的应用场景
物流配送
如何将货物从多个仓库运送到 多个零售店，以最小化总运输
成本。
车辆路径规划
如何规划车辆行驶路径，以最 小化总行驶时间和成本。
详细描述
在实际的货物运输过程中，可能会遇到各种不确定性和 风险，如天气变化、交通拥堵、意外事故等。这些因素 可能会对运输计划产生影响，甚至导致运输计划的失败 。因此，在制定运输计划时，需要考虑这些不确定性和 风险，并制定相应的应对措施。
实际案例二：城市物流配送优化
总结词
优化城市物流配送路径和策略
VS
运筹学课件运输问题
目录
• 运输问题概述 • 线性规划与运输问题 • 运输问题的解决方案 • 运输问题的扩展与优化 • 案例分析
01
运输问题概述
运筹学：运输问题
运输问题运输问题（transportation problem）一般是研究把某种商品从若干个产地运至若干个销地而使总运费最小的一类问题。
然而从更广义上讲，运输问题是具有一定模型特征的线性规划问题。
它不仅可以用来求解商品的调运问题，还可以解决诸多非商品调运问题。
运输问题是一种特殊的线性规划问题，由于其技术系数矩阵具有特殊的结构，这就有可能找到比一般单纯形法更简便高效的求解方法，这正是单独研究运输问题的目的所在。
§1运输问题的数学模型[例4-1] 某公司经营某种产品，该公司下设A、B、C三个生产厂，甲、乙、丙、丁四个销售点。
公司每天把三个工厂生产的产品分别运往四个销售点，由于各工厂到各销售点的路程不同，所以单位产品的运费也就不同案。
各工厂每日的产量、各销售点每日的销量，以及从各工厂到各销售点单位产品的运价如表4-1所示。
问该公司应如何调运产品，在满足各销售点需要的前提下，使总运费最小。
表4-1设代表从第个产地到第个销地的运输量（；），用代表从第个产地到第个销地的运价，于是可构造如下数学模型：（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）通过该引例的数学模型，我们可以得出运输问题是一种特殊的线性规划问题的结论，其特殊性就在于技术系数矩阵是由“1”和“0”两个元素构成的。
将该引例的数学模型做一般性推广，即可得到有个产地、个销地的运输问题的一般模型。
注意：在此仅限于探讨总产量等于总销量的产销平衡运输问题，而产销不平衡运输问题将在本章的后续内容中探讨。
（；运出的商品总量等于其产量）（；运来的商品总量等于其销量）供应约束确保从任何一个产地运出的商品等于其产量，需求约束保证运至任何一个销地的商品等于其需求。
除非负约束外，运输问题约束条件的个数是产地与销地的数量和，即；而决策变量个数是二者的积，即。
由于在这个约束条件中，隐含着一个总产量等于总销量的关系式，所以相互独立的约束条件的个数是个。
运筹学运输问题
须满足需求量区域的相应变量x31, x33, x34运费的取
值为M，可调整需求量区域的相应变量x32 , x35运费
的取值为0，作出产销平衡的运价表
运筹学运输问题
B1
B1’
B2
B3
B3’ Supply
A1
175 175 195 208 208 1500
A2
160 160 182 215 215 4000
•因此运输问题约
束条件系数矩阵
•第i个
的元素只能是0 或1，对应变量xij 列除了第i个与第
•第(m+j)个
(m+j)个分量为1 外，其它分量均
为零
此外产销平衡运输问题的数学模型还具有 特点：
• 所有约束条件都是等式
• 前m个约束条件的和等于后n个约束条件 的和（可以证明尽管有m+n个约束条件， 但独立的约束条件只有m+n-1个）
B62
2B3
8B4 Supply
9 •[1 3 (15)
0 •[3] 15
3 0•[]8] 4 •[5] 0 •[7] 18
2 (12) 6 (1) 0 (4)
17
12
16
4
运筹学运输问题
•思考题2：
•运
•已知某运输问题的产销需求及单位运价如下表所示
输
B1
B2
B3
Supply
问
A1
5
9
3
15
A2
1
40
15
30
30
100
A3
30
35
40
55
25
130
需要量 25
115
60
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计算过程： 1．寻找初始可行解； 2．检查是否已达到最优。若已是最优或无可行解，
则结束； 3．进一步改善目前的解；
1、寻找初始可行解的方法
（1）西北角方法； （2）最小元素法。
运输问题例子
产销平衡和单位运价表
单 位
销地
B1
B2
B3
运
产地 费
A1
5
1
6
A2
2
4
0
A3 销量
3
6
7
9
10
11
产量
12 14 4
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西 北 A1 角 A2 方 法 A3
需求量
B1 5 2 3
9
B2 1 4 6
10
B3 6 0 7
11
产量 12 14 4 30
将 min{a,b} 赋值给空格 (A1,B1)
B1
求 初
A1
9
5
始 A2
2
解
A3
3
需求量
09
B2 31 74
6
0170
B3 6
70 47 0411
(2) 最小负检验数空格为第一奇数顶点，沿闭回路的 逆时针方向前进，对闭回路上的顶点依此编号。
(3) 在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小 的顶点（格子），以该格中的变量为退出变量。x13 为退基变量。
(4) 在闭回路上的所有顶点中，偶数减去最小运输量， 奇数加上最小运输量得到改进的基变量值。
用最小元素法时，可能出现只剩一行或一列的 所有格均未填数或未划掉，此时在这一行或这 一列中除已填上数的格外均填上零，不能按空 格划掉，要保证填过数的格为m+n-1，即基变 量的个数为m+n-1个。
例如下列例子：非零基变量个数<m+n-1
B1 B2 B3 B4 B5 产量
A1 A2 A3 销量
7 110
单位运输成本
工厂
B1
B2
B3
B4 生产能力
A1
3
2
7
6
5000
A2
7
5
2
3
6000
A3
分销中心 需求
2 6000
5 4000
4 2000
5
2500 供给=需求
1500 13500
5000 A1 6000 A2 2500 A3
B1 6000
3
7
2
2
7
5
B2 4000
5
2 6
B3 2000
4
3
B4
5
1500
初 需求量
9
10
11
30
始
解 x11 2, x12 10, x21 3, x23 11, x31 4
其余为0。
总运费=2*5+10*1+3*2+11*0+4*3=38（元）
两种方法结果比较
最 小 A1 元 A2 素 法 A3
需求量
B1
2
5
3
2
4
3
9
B2 10 1
4 6 10
B3 6
建立模型
首先假设xij：表示从起点Ai运送到终点Bj的货物数 量，i=1，2，3；j =1，2，3，4：
从A1运输货物的成本 TC1=3x11+2x12+7x13+6x14； 从A2运输货物的成本 TC2=7x21+5x22+2x23+3x24 从A3运输货物的成本 TC3=2x31+5x32+4x33+5x34 用x11+x12+x13+x14表示从A1运出的货物总量，则有：
（1）闭合回路法 （2）为势法
（1）闭回路法
B1
初 A1 32+
5
始 A2
3
2
解
A3 34-
3
需求量
9
B2 190- 1
4 +1 6
B3 6
11 0 7
10
11
产量 12 14 4 30
例如，空格(A3,B2)处；先在该处增加一个单位， 为保持平衡需做相应的增减。
检验数：σ32=c32-c13+c11-c31=6-1+5-3=7>0 如果所有检验数都大于0，则该解是最优解。
x11+x12+x13+x14=5000； 同理可得： x21+x22+x23+x24=6000 A2的供给量； x31+x32+x33+x34=6000 A3的供给量；
建立模型
同样四个分销中心的需求量的约束条件为：
x11+x21+x31=6000； x12+x22+x32=4000； x13+x23+x33=2000； x14+x24+x34=2500；
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
最 小 A1 元 A2 素 法 A3
需求量
B1 5 2 3
9
B2 1 4 6
10
B3 6 0 7
11
产量 12 14 4 30
求 初
A1
始 A2
解
A3
需求量
B1
2
5
3
2
4
3
6029
B2 10 1
4 6 10 0
B3 6
11 0 7
011
产量 1022 3104 04 30
运输问题的一般模式
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
供给约束 需求约束 非负约束
一般运输问题的基本原则
最小化所有运输费用之和 供给=需求 产品是离散计量的 要求运输量是整数个单位产品 线性约束
运输问题的求解方法
20 20
9 + 7 1122 - 66 40
10
0
3
6
5
88
40
50 - 0 +
30 40 60 20
1111 90 20 170
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 B5 产量
7 110
8
66
44 40
20 20
5 30
9
7
10
1122
66 40
0
3
6
5
88
40 50
0
1111 90
30 40 60 20 20 170
A1 A2 A3 需求量
B1
2
5
3
2
4
3
9
B2 10 1
4 6 10
B3 6
11 0 7
11
产量 12 14 4 30
x11 2, x12 10, x21 3, x23 11, x31 4
其余为0。
总运费=2*5+10*1+3*2+11*0+4*3=38
运输问题的提出
某公司现将产品从三个工厂A1、A2、A3运往四个分销中心B1、 B2、B3、B4。三个工厂的生产能力、四个分销中心的预测需求以及 从三个工厂运往四个分销中心单位运输成本见下表。现在的问题是， 决定使用哪些路线，并且每条路线分别运送多少货物可以使总运输 成本达到最小。
平衡运输问题的最优解
B1
B2
B3
产量
最
A1
7
1
2
6
7
优 解
A2
3
0
49 2
12
A3
3 10 1 1 5
11
需求量
10
10
10
30
因所以空格的检验数大于等于零，故此解为最优解。
x11 7, x21 3, x23 9, x33 1, x32 10
其它为0。总成本为40。
闭回路具有如下特征：
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
A1 A2 A3 需求量
B1
2
5
3
2
4
3
6029
B2
10
1
4
6
10 0
B3 6
0
11
7
011
产量 1022 3104 04 30
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
最
B1
B2
B3
产量
小 元
A1
2
5
10 1
6 12
素 A2
3
2
4 11 0 14
法 A3
4
3
6
74
B1 B2 B3 B4 B5 产量
7 110
8 - 66 + 44 40
20 20
5 30
9 +7
10
1122
66 40
0-
3
6
5
40
50 -
30 40 60
88
+
20
1111 90 20 170
8-5+7-6+4-6=2
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 B5 产量
7
5 30
110
8 - 66 + 44 40
0
14
A3 销量
3
6
7
4
9
10
11 30
A1 A2 A3 需求量
则结束； 3．进一步改善目前的解；
1、寻找初始可行解的方法
（1）西北角方法； （2）最小元素法。
运输问题例子
产销平衡和单位运价表
单 位
销地
B1
B2
B3
运
产地 费
A1
5
1
6
A2
2
4
0
A3 销量
3
6
7
9
10
11
产量
12 14 4
求平衡运输问题初始解方法—西北角方法
西 北 A1 角 A2 方 法 A3
需求量
B1 5 2 3
9
B2 1 4 6
10
B3 6 0 7
11
产量 12 14 4 30
将 min{a,b} 赋值给空格 (A1,B1)
B1
求 初
A1
9
5
始 A2
2
解
A3
3
需求量
09
B2 31 74
6
0170
B3 6
70 47 0411
(2) 最小负检验数空格为第一奇数顶点，沿闭回路的 逆时针方向前进，对闭回路上的顶点依此编号。
(3) 在闭回路上的所有偶数顶点中，找出运输量最小 的顶点（格子），以该格中的变量为退出变量。x13 为退基变量。
(4) 在闭回路上的所有顶点中，偶数减去最小运输量， 奇数加上最小运输量得到改进的基变量值。
用最小元素法时，可能出现只剩一行或一列的 所有格均未填数或未划掉，此时在这一行或这 一列中除已填上数的格外均填上零，不能按空 格划掉，要保证填过数的格为m+n-1，即基变 量的个数为m+n-1个。
例如下列例子：非零基变量个数<m+n-1
B1 B2 B3 B4 B5 产量
A1 A2 A3 销量
7 110
单位运输成本
工厂
B1
B2
B3
B4 生产能力
A1
3
2
7
6
5000
A2
7
5
2
3
6000
A3
分销中心 需求
2 6000
5 4000
4 2000
5
2500 供给=需求
1500 13500
5000 A1 6000 A2 2500 A3
B1 6000
3
7
2
2
7
5
B2 4000
5
2 6
B3 2000
4
3
B4
5
1500
初 需求量
9
10
11
30
始
解 x11 2, x12 10, x21 3, x23 11, x31 4
其余为0。
总运费=2*5+10*1+3*2+11*0+4*3=38（元）
两种方法结果比较
最 小 A1 元 A2 素 法 A3
需求量
B1
2
5
3
2
4
3
9
B2 10 1
4 6 10
B3 6
建立模型
首先假设xij：表示从起点Ai运送到终点Bj的货物数 量，i=1，2，3；j =1，2，3，4：
从A1运输货物的成本 TC1=3x11+2x12+7x13+6x14； 从A2运输货物的成本 TC2=7x21+5x22+2x23+3x24 从A3运输货物的成本 TC3=2x31+5x32+4x33+5x34 用x11+x12+x13+x14表示从A1运出的货物总量，则有：
（1）闭合回路法 （2）为势法
（1）闭回路法
B1
初 A1 32+
5
始 A2
3
2
解
A3 34-
3
需求量
9
B2 190- 1
4 +1 6
B3 6
11 0 7
10
11
产量 12 14 4 30
例如，空格(A3,B2)处；先在该处增加一个单位， 为保持平衡需做相应的增减。
检验数：σ32=c32-c13+c11-c31=6-1+5-3=7>0 如果所有检验数都大于0，则该解是最优解。
x11+x12+x13+x14=5000； 同理可得： x21+x22+x23+x24=6000 A2的供给量； x31+x32+x33+x34=6000 A3的供给量；
建立模型
同样四个分销中心的需求量的约束条件为：
x11+x21+x31=6000； x12+x22+x32=4000； x13+x23+x33=2000； x14+x24+x34=2500；
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
最 小 A1 元 A2 素 法 A3
需求量
B1 5 2 3
9
B2 1 4 6
10
B3 6 0 7
11
产量 12 14 4 30
求 初
A1
始 A2
解
A3
需求量
B1
2
5
3
2
4
3
6029
B2 10 1
4 6 10 0
B3 6
11 0 7
011
产量 1022 3104 04 30
运输问题的一般模式
min cij xij
s.t.
n
xij si
j 1
m
xij d j
i 1
xij 0
目标函数
供给约束 需求约束 非负约束
一般运输问题的基本原则
最小化所有运输费用之和 供给=需求 产品是离散计量的 要求运输量是整数个单位产品 线性约束
运输问题的求解方法
20 20
9 + 7 1122 - 66 40
10
0
3
6
5
88
40
50 - 0 +
30 40 60 20
1111 90 20 170
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 B5 产量
7 110
8
66
44 40
20 20
5 30
9
7
10
1122
66 40
0
3
6
5
88
40 50
0
1111 90
30 40 60 20 20 170
A1 A2 A3 需求量
B1
2
5
3
2
4
3
9
B2 10 1
4 6 10
B3 6
11 0 7
11
产量 12 14 4 30
x11 2, x12 10, x21 3, x23 11, x31 4
其余为0。
总运费=2*5+10*1+3*2+11*0+4*3=38
运输问题的提出
某公司现将产品从三个工厂A1、A2、A3运往四个分销中心B1、 B2、B3、B4。三个工厂的生产能力、四个分销中心的预测需求以及 从三个工厂运往四个分销中心单位运输成本见下表。现在的问题是， 决定使用哪些路线，并且每条路线分别运送多少货物可以使总运输 成本达到最小。
平衡运输问题的最优解
B1
B2
B3
产量
最
A1
7
1
2
6
7
优 解
A2
3
0
49 2
12
A3
3 10 1 1 5
11
需求量
10
10
10
30
因所以空格的检验数大于等于零，故此解为最优解。
x11 7, x21 3, x23 9, x33 1, x32 10
其它为0。总成本为40。
闭回路具有如下特征：
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
A1 A2 A3 需求量
B1
2
5
3
2
4
3
6029
B2
10
1
4
6
10 0
B3 6
0
11
7
011
产量 1022 3104 04 30
求平衡运输问题初始解方法—最小元素法
最
B1
B2
B3
产量
小 元
A1
2
5
10 1
6 12
素 A2
3
2
4 11 0 14
法 A3
4
3
6
74
B1 B2 B3 B4 B5 产量
7 110
8 - 66 + 44 40
20 20
5 30
9 +7
10
1122
66 40
0-
3
6
5
40
50 -
30 40 60
88
+
20
1111 90 20 170
8-5+7-6+4-6=2
A1 A2 A3 销量
B1 B2 B3 B4 B5 产量
7
5 30
110
8 - 66 + 44 40
0
14
A3 销量
3
6
7
4
9
10
11 30
A1 A2 A3 需求量