(例题)运筹学-运输问题
运筹学运输问题案例
运筹学运输问题案例
以下是一个简单的运筹学运输问题的案例：
假设有一个公司需要将产品从三个工厂运输到四个销售点。
工厂和销售点的位置以及它们之间的运输成本如下：
工厂A到销售点1：10元
工厂A到销售点2：20元
工厂A到销售点3：30元
工厂A到销售点4：40元
工厂B到销售点1：20元
工厂B到销售点2：30元
工厂B到销售点3：10元
工厂B到销售点4：40元
工厂C到销售点1：30元
工厂C到销售点2：10元
工厂C到销售点3：20元
工厂C到销售点4：20元
公司希望找到一种运输策略，使得总运输成本最低。
可以使用运筹学中的运输模型来解决这个问题。
首先，我们需要确定每个工厂向每个销售点运输的货物数量。
为了最小化总成本，可以使用线性规划来求解这个问题。
在Excel或其他电子表格软件中，可以使用“Solver”插件来找到最优解。
根据最优解，我们可以计算出最低总运输成本。
例如，如果最优解是工厂A 向销售点1运输3个单位，向销售点2运输2个单位，向销售点3运输1
个单位，向销售点4运输0个单位；工厂B向销售点1运输2个单位，向
销售点2运输3个单位，向销售点3运输0个单位，向销售点4运输1个
单位；工厂C向销售点1运输1个单位，向销售点2运输0个单位，向销
售点3运输3个单位，向销售点4运输2个单位，那么最低总运输成本为150元。
运筹学运输问题
运间分派的价问分m题配i称关n为系z=运，输3达x问到11题最+。小4费x1用2 +的问2x题13也+运3筹x2学1 最+重5x要2的2 +问3题x之23一。我们把这种 在运筹学中，x1运1 +输问x1题2 +是一x1个3 广义的“运=输”10，即许多其它问题也可以通
过学习适约 条内当束件容的s之手t.一段。，把x1它1 们转化+为运x2输1x问21题+加x以22=解+3决x。23这=部4分也是我们这学期主要
3
9
1 1 14
6
10 22
销量
8
14
12
14
48
运价：456
有没有搞错！！！
例三
最
小
A1
元 素
A2
法
A3
销量
B1
4
82 8
B2
8 1 0 14 5
8
14
B3
5 0 23 1 1
12
B4
4 0 9
6
14
产量 16 10 22 48
问题就在这里 ！！！
沃格尔提出一种新的解决问题的方法 思 路
例三
B1 B2 B3 B4 产量
12
B4 911-1=1-产+1146量-3
-1 9 10 6 22
14
48
我们可以通过找出所有回路的方法来确定怎样调整运输计划，逐步使总运价降
低。这种逐步调整运输计划直至达到最优解为止的方法称为闭合回路法。它的
难点是每次找这些回路非常复杂。有更好的办法吗？
2）运输问题系数矩阵非常特殊
3）运输问题约束都是等式约束 4）一般运输问题约束有一个多余的约束
运筹学中的运输问题例题
在运筹学中，运输问题是一类经典的线性规划问题，涉及将有限数量的货物从多个供应点运输到多个需求点，并且对应的成本最小化或者利润最大化。
以下是一个运输问题的例题：
假设有三个供应点A、B和C，和四个需求点X、Y、Z和W。
每个供应点都有一定数量的货物可供运输，每个需求点需要一定数量的货物。
给定的成本矩阵代表从每个供应点到每个需求点的运输成本。
供应点的供应量和需求点的需求量以及成本矩阵如下：
供应量：
A: 80单位
B: 70单位
C: 60单位
需求量：
X: 50单位
Y: 40单位
Z: 30单位
W: 70单位
成本矩阵：
X Y Z W
A 4 6 8 9
B 5 7 10 12
C 6 8 11 14
问题是如何将货物从供应点运输到需求点，以使总运输成本最小化。
在这个例题中，可以使用线性规划方法来解决运输问题，通过确定每个供应点向每个需求点运输的数量来最小化总成本。
解决该问题的线性规划模型可以表示为：
最小化ΣΣ(cost(i, j) * x(i, j))
i j
满足以下约束条件：
1. 每个供应点的供应量不能超过其可供应的数量：Σx(i, j) ≤供应点i的供应量, for each i
2. 每个需求点的需求量必须得到满足：Σx(i, j) ≥需求点j的需求量, for each j
3. x(i, j) ≥0, for each i, j
其中，x(i, j) 表示从供应点i到需求点j运输的货物数量，cost(i, j) 表示从供应点i到需求点j的运输成本。
通过求解该线性规划模型，我们可以获得最优的货物运输方案，以最小化总运输成本。
运筹学运输问题-图文
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
(典型例题)《运筹学》运输问题
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学中的运输问题例题
运筹学中的运输问题例题运筹学中的运输问题例题在运筹学领域中，运输问题一直是研究的焦点之一。
它是一种经典的线性规划问题，旨在寻找最佳的物流运输方案，以最小化运输成本或最大化利润。
下面将给出几个运输问题的例题，以便更好地理解运筹学中的运输问题。
例题一：某物流公司需要将货物从A、B、C三个仓库分别运输到D、E、F 三个地点。
已知各仓库的存货数和各地点的需求量如下：仓库存货数地点需求量A 50 D 30B 70 E 40C 80 F 20已知运输成本矩阵如下：D E FA 5 7 9B 6 8 10C 4 6 8要求给出最佳的物流运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题二：某公司有两个工厂，分别位于城市X和城市Y，需要向三个销售点分别运输产品。
已知两个工厂的产能和三个销售点的需求量如下：工厂产能销售点需求量X 60 P 18Y 80 Q 30R 22已知运输成本矩阵如下：P Q RX 6 5 9Y 8 7 6要求确定最佳的运输方案，并计算出最小的运输成本。
例题三：某电子产品制造商面临着将产品从几个工厂运输到多个供应商的问题。
已知各工厂的产能和各供应商的需求量如下：工厂产能供应商需求量F1 80 S1 30F2 60 S2 50F3 70 S3 20已知运输成本矩阵如下：S1 S2 S3F1 4 7 6F2 6 3 8F3 5 7 9寻找最优的运输方案，以满足供应商的需求，并计算出最小的运输成本。
以上是几个常见的运输问题例题，这些例题涵盖了不同规模和不同约束条件的情况，帮助我们了解运筹学中的运输问题的解决方法。
通过运用线性规划等方法，可以得出最佳的运输方案，实现物流运输的优化，减少成本，并提高效率。
运输问题不仅在物流行业中有广泛应用，也可在其他领域中找到类似的应用场景，例如生产调度、供应链管理等。
因此，掌握运输问题的解决方法对于提高运营效率和降低成本是非常重要的。
综上所述，通过解决运输问题例题，我们可以更深入地理解运筹学中的运输问题，并通过适当的模型和算法，找到最佳的运输方案，实现资源的合理配置和优化。
管理运筹学之第七章 运输问题
2、判断是否最优；——闭回路法、位势法
3、若不是最优，进行调整，直到找到最优解。
例：某公司有三个生产厂商和四个销售公司，运价，产量， 销量如下表： 运
销 地
B1
3 1 7 3
B2
11 9 4 6
B3
3 2 10 5
B4
10 8 5 6
产量
7 4 9 20|20
产
费
地
A1 A2 A3
销量
1、确定初始基本可行解——西北角法 运
目标函数：
min f
c
i 1 j 1
m
n
ij
x ij
约束条件：
j 1 n
x ij s i ( i 1, 2 ,..., m ) x ij d j ( j 1, 2 ,..., n )
i 1
m
x ij 0
注意：
运输问题可能的一些变化：
1、目标函数是求最大值。如运输公司要求营业额最大化。
销 地
B1 2 10 7 2
B2 11 3 8 3
B3 3 5 1 4
B4 4 9 2 6
D 0 0 0 4
产量 7 5 7 19
A1 A2 A3 销量
例：有三个地方B1、B2、B3 分别需要煤3000、1000、2000吨， 由A1,A2两个地方来供应，其供应量分别为4000，1500吨，其 运价如下表：
1 广州
2 大连
解：Xij表示从I到j的运输量。
min f 2 x13 3 x14 3 x 23 x 24 2 x 35 6 x 36 4 x 45 3 x 37 6 x 38 4 x 46 6 x 47 5 x 48 4 x 28
运筹学运输问题建模例题
运筹学运输问题建模例题运筹学是一门研究如何最优地利用有限资源以满足特定目标的学科。
在运筹学中，运输问题是一个常见的问题，涉及到如何在限定条件下有效地分配物品从一个地点到另一个地点。
运输问题可以简单地描述为如何将一组物品从一组起点运送到一组终点，以最小化总的运输成本。
这个问题可以用线性规划的方法进行建模和求解。
以下是一个运输问题的具体例子，用来说明如何进行建模。
假设有一家电子制造公司，它有三个工厂（A、B和C）和三个销售点（X、Y和Z）。
公司需要将某种零件从工厂运送到销售点，但在每个工厂的生产能力和每个销售点的需求量有限。
公司希望以最小的成本满足销售点的需求。
首先，我们需要确定一些变量。
假设有三个工厂和三个销售点，我们可以建立一个3x3的矩阵来表示运输量。
令变量x(i,j)表示将产品从工厂i运送到销售点j的数量，其中i表示工厂的索引（i=1, 2, 3），j表示销售点的索引（j=1, 2, 3）。
因此，x(1,1)表示将产品从工厂A运送到销售点X的数量，x(2,3)表示将产品从工厂B运送到销售点Z的数量，以此类推。
接下来，我们需要确定目标函数和约束条件。
目标函数是希望最小化的总运输成本。
在这个例子中，假设每个单位的运输成本为c(i,j)，则目标函数可以表示为：Minimize Z = c(1,1)x(1,1) + c(1,2)x(1,2) + c(1,3)x(1,3) + c(2,1)x(2,1) + c(2,2)x(2,2) + c(2,3)x(2,3) + c(3,1)x(3,1) + c(3,2)x(3,2) + c(3,3)x(3,3)其中x(i,j)表示各运输路径的数量，c(i,j)表示每个单位的运输成本。
除了最小化总运输成本外，还有一些约束条件需要满足。
首先，每个工厂的生产能力要小于等于总需求量。
我们可以通过以下约束条件来表示：x(1,1) + x(1,2) + x(1,3) ≤生产能力Ax(2,1) + x(2,2) + x(2,3) ≤生产能力Bx(3,1) + x(3,2) + x(3,3) ≤生产能力C其次，每个销售点的需求量要满足。
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检验数
华东理工大学 工商经济学院 运筹学 QSC
Page:14
初始基本可行解与检验数：
基本可行解
Boston Chicago St. Louis Lexington 供应量 Cleveland 3 2 7 6 5,000 9 7 1000 4000 Bedford 7 5 2 3 6,000 -1 2500 2000 1500 York 2 5 4 5 2,500 4 7 7 2500 6,000 4,000 2,000 1,500 需求量
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:3
网络表示
供应商
1
销售商
1 Boston
6,000
3 2 6 7 7
2 Chicago
5,000
Cleveland
4,000
2
5 2
6,000
Bedford
3 2
3 York
3
5 4 5
St. Louis
2,000
2,500
4 Lexington
1,500
5
1000
2
1000
3
1500
6,000
1500
York 需求量
2 6,000
1000 0
5 4,000
0
4
5
2,500
5000 1000 0
2,000
1000 0
运筹学
1,500
华东理工大学 工商经济学院
QSC
Page:9
最小元素法
Boston Chicago St. Louis Lexington 供应量 Cleveland 3 2 7 6 5,000
≤ 5000 ≤ 6000 ≤ 2500 = 6000 = 4000 = 2000 = 1500
x 11
x 11 x 11
+x 21
+x 21
+x 31
x ij
0 ,
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:5
运输问题线性规划的一般形式
Min z = cijxij
i 1 j1 m n
检验数：非基变量增加一个单位引起的成本变化量
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:11
闭回路方法---例
Boston Chicago St. Louis Lexington 供应量 Cleveland 3 2 7 6 5,000 Bedford York 需求量 7 2 6,000 5 5 4,000 2 4 2,000 3 5 1,500 6,000 2,500
st. 供应：
x
j1
n
ij
si
i = 1,2,, m
需求：
x
i 1
m
ij
dj
j = 1,2,, n
i = 1,2,, m; j = 1,, n
QSC
x ij 0,
华东理工大学 工商经济学院 运筹学
Page:6
供求平衡问题的特征
s d
i 1 i j1
m
n
j
基变量的个数=m+n-1
Boston Chicago St. Louis Lexington Cleveland 3 2 7 6 3500 1500 Bedford 7 5 2 3 2500 2000 1500 York 2 5 4 5 2500
运筹学 QSC
θ=2500
华东理工大学 工商经济学院
QSC
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
Page:4
线性规划模型
Min S. t.
Z=
3x 11 +2x 12 +7x 13 +6x 14 +7x 21 +5x 22 +2x 23 +3x 24 +2x 31 +5x 32 +4x 33 +5x 34 x 11 +x 12 +x 13 +x 14 x 21 +x 22 +x 23 +x 24 x 31 +x 32 +x 31 +x 21 x 11 +x 21 +x 31 +x 31 +x 33 +x 34
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:12
初始基本可行解：
基本可行解
Boston Chicago St. Louis Lexington 供应量 Cleveland 3 2 7 6 5,000 1000 4000 Bedford 7 5 2 3 6,000 2500 2000 1500 York 2 5 4 5 2,500 2500 6,000 4,000 2,000 1,500 需求量
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:7
初始基本可行解的构造
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:8
西北角方法
Boston Chicago St. Louis Lexington 供应量 Cleveland 3 2 7 6 5,000
5000
0
Bedford
1000
7
4000
1000
4000
1000 0
Bedford
2500
7 2
2500
5
2000
2
1500
3 5 1,500
0
4000 2500 0
6,000 2,500
York 需求量
5 4,000
0 0Biblioteka 4 2,0006,000
3500 2500
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:10
运输问题的特殊解法 ——闭回路方法
Page:1
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:2
经典运输问题
销售商 生产能力 Boston Chicago St. Louis Lexington 供应商 (吨) Cleveland 3 2 7 6 5,000 Bedford 7 5 2 3 6,000 York 2 5 4 5 2,500 4,000 2,000 1,500 需求量(吨) 6,000 每吨运输成本(＄/吨)
检验数
华东理工大学 工商经济学院 运筹学 QSC
Page:15
基本可行解的调整： Boston Chicago St. Louis Lexington Cleveland 7 6 +θ 3 -θ 2 1000 4000 +θ 5 Bedford -θ 7 2 3 -1 2500 2000 1500 York 2 5 4 5 2500
华东理工大学 工商经济学院
运筹学
QSC
Page:13
检验数的计算：
闭回路
Boston Chicago St. Louis Lexington 供应量 Cleveland -1 3 2 +1 7 6 5,000 9 1000 4000 Bedford +1 7 5 -1 2 3 6,000 2500 2000 1500 York 2 5 4 5 2,500 2500 6,000 4,000 2,000 1,500 需求量