福建省泉州市晋江市2017-2018学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)

2017-2018学年福建省泉州市晋江市九年级（上）期中数学试卷一、选择题（请细心选择，你一定能选准！每小题3分，共21分）1．（3分）下列运算成立的是（）A．B．C ．D．2．（3分）已知一元二次方程x2+4x﹣3=0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7 3．（3分）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）A．相似变换B．平移变换C．对称变换D．旋转变换4．（3分）下列说法是不正确的是（）A．所有等腰三角形都相似B．方程x2﹣x﹣1=0有两个实数解C．若a=2cm，b=4cm，c=1.5cm，d=3cm，则a、b、c、d成比例线段D．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半5．（3分）已知x=﹣1是方程x2+ax﹣2=0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．1 B．2 C．3 D．46．（3分）已知一斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角α的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．无法确定7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有（）对．A．0对B．1对C．2对D．3对二、填空题：（成功从这里开始，相信自己的能力，每小题4分，共40分）8．（4分）计算：=．9．（4分）函数的自变量x的取值范围是．10．（4分）方程3x2﹣x=0的解为．11．（4分）在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2cm，则两地的实际距离是m．12．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它斜边上的中线的长为．13．（4分）已知，则=．14．（4分）梯形的上底长为6cm，下底长为12cm，则它的中位线长为cm．15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=30，∠A=60°，则a=．16．（4分）某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为．17．（4分）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出+++…+=．三、解答题：（请冷静思考，从容作答，你一定会取得好成绩！共89分）18．（9分）计算：（1）（2）|﹣︳+sin45°+（）0．19．（9分）解方程：（1）x2﹣4x+3=0 （2）2x2﹣5x+2=0．20．（9分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．求证：△ADE∽△BEF．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）若CD=6cm，BD=9cm，求AD的长．22．（9分）如图，△ABC在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；（3）计算△A′B′C′的面积S．23．（9分）小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A﹣中国馆、B﹣日本馆、C﹣美国馆中任意选择一处参观，下午从D﹣韩国馆、E﹣英国馆、F﹣德国馆中任意选择一处参观．（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率．24．（8分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．（1）求灯塔C到航线AB的距离；（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：，）25．（8分）某大型商场家用电器专柜的某种电冰箱，每台买进价为2500元，当销售价定为3500元时，平均每天能售出8台；且电冰箱的销售单价每降低100元，平均每天就能多售出2台．（1）请写出进价、销售价、销售量、利润四者的关系（2）若销售价定为3200元时，则每天销售这些电冰箱可获利多少元？（3）如果从经营者的角度考虑，那么为了销售电冰箱，使利润增加12.5%，则每台优惠价应定为多少元较为合适？26．（9分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，以O点为原点，CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内．（1）请直接写出点C的坐标；（2）若，求AB与BC的长；（3）在（2）的条件下，现有一动点P从点B出发，沿路径BA→AD以秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，是否存在某一个t值，使PQ⊥AC，若存在，试求t的值；若不存在，请说明理由．附加题（每小题5分、共10分）27．（5分）=．28．（5分）计算：sin60°=．参考答案与试题解析一、选择题（请细心选择，你一定能选准！每小题3分，共21分）1．（3分）下列运算成立的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、=1，算式A运算不正确；B、=×=2×3=6，算式B运算不正确；C、+＞，算式C运算不正确；D、===，算式D运算正确．故选：D．2．（3分）已知一元二次方程x2+4x﹣3=0，下列配方正确的是（）A．（x+2）2=3 B．（x﹣2）2=3 C．（x+2）2=7 D．（x﹣2）2=7【解答】解：方程移项得：x2+4x=3，配方得：x2+4x+4=7，即（x+2）2=7，故选：C．3．（3分）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（）A．相似变换 B．平移变换 C．对称变换 D．旋转变换【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．故选A．4．（3分）下列说法是不正确的是（）A．所有等腰三角形都相似B．方程x2﹣x﹣1=0有两个实数解C．若a=2cm，b=4cm，c=1.5cm，d=3cm，则a、b、c、d成比例线段D．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半【解答】解：A、等边三角形与等腰直角三角形不相似，所以A选项的说法不正确；B、△=1﹣4×（﹣1）＞0，则方程x2﹣x﹣1=0有两个实数解，所以B选项的说法正确；C、由a=2cm，b=4cm，c=1.5cm，d=3cm得a：b=c：d，则a、b、c、d成比例线段，所以C 选项的说法正确；D、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以D选项的说法正确．故选：A．5．（3分）已知x=﹣1是方程x2+ax﹣2=0的一个根，则此方程的另一个根是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：设方程另一个根为t，根据题意得﹣1•t=﹣2，解得t=2．故选：B．6．（3分）已知一斜坡的坡度i=1：，那么该斜坡的坡角α的度数为（）A．60°B．45°C．30°D．无法确定【解答】解：∵tanα=1：=，∴坡角α=30°，故选：C．7．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD延长线上一点，连结BF交DC于点E，则图中的相似三角形共有（）对．A．0对B．1对C．2对D．3对【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△FDE∽△F AB，△F AB∽△BCE，△FDE∽△BCE，故选：D．二、填空题：（成功从这里开始，相信自己的能力，每小题4分，共40分）8．（4分）计算：=．【解答】解：原式==．故答案为：．9．（4分）函数的自变量x的取值范围是x≥3．【解答】解：根据题意得，x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．10．（4分）方程3x2﹣x=0的解为x1=0，x2=．【解答】解：3x2﹣x=0，x（3x﹣1）=0，x1=0，x2=，故答案为：x1=0，x2=．11．（4分）在比例尺为1：50 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是2cm，则两地的实际距离是1000m．【解答】解：设两地的实际距离为xcm，根据题意得：1：50 000=2：x，解得：x=100 000，∵100 000cm=1 000m，∴两地的实际距离为1000m．故答案为：1000．12．（4分）已知一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则它斜边上的中线的长为5．【解答】解：∵直角三角形两条直角边分别是6、8，∴斜边长为10，∴斜边上的中线长为5．13．（4分）已知，则=．【解答】解：∵已知，∴=+2=+2=．故答案是：．14．（4分）梯形的上底长为6cm，下底长为12cm，则它的中位线长为9cm．【解答】解：∵梯形的上底长为6cm，下底长为12cm，∴它的中位线长为：（6+12）=9（cm）．故答案为9．15．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=30，∠A=60°，则a=15．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，c=30，∠A=60°，∴∠B=30°，∴b=c=15，∴a==15．故答案为15．16．（4分）某印刷厂1月份印刷了书籍50万册，第一季度共印175万册，设2月份、3月份平均增长率为x，根据题意方程可列为50+50（1+x）+50（1+x）2=175．【解答】解：设2月份、3月份平均增长率为x，那么2，3月份的印刷书籍分别是50（1+x）、50（1+x）2，根据题意，可得50+50（1+x）+50（1+x）2=175．故答案为：50+50（1+x）+50（1+x）2=175．17．（4分）如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB1的面积为，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A3、B3，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出+++…+=1﹣．【解答】解：∵A1、B1分别是AC、BC两边的中点，且△ABC的面积为1，∴△A1B1C的面积为1×．∴四边形A1ABB1的面积=△ABC的面积﹣△A1B1C的面积==1﹣；∴四边形A2A1B1B2的面积=△A1B1C的面积﹣△A2B2C的面积=﹣=．…，∴第n个四边形的面积==．故+++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（）=1﹣．故答案为：，1﹣．三、解答题：（请冷静思考，从容作答，你一定会取得好成绩！共89分）18．（9分）计算：（1）（2）|﹣︳+sin45°+（）0．【解答】解：（1）=3﹣×3﹣2=﹣；（2）|﹣︳+sin45°+（）0=++1=+1．19．（9分）解方程：（1）x2﹣4x+3=0（2）2x2﹣5x+2=0．【解答】解：（1）∵x2﹣4x+3=0，∴（x﹣1）（x﹣3）=0，∴x﹣1=0或x﹣3=0，∴x=1或x=3，（2）∵2x2﹣5x+2=0，∴（x﹣2）（2x﹣1）=0，∴x﹣2=0或2x﹣1=0，∴x1=2或x2=，20．（9分）如图，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．求证：△ADE∽△BEF．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠B=90°；又∵EF⊥DE，∴∠ADE+∠AED=∠AED+∠BEF，∴∠ADE=∠BEF，而∠A=∠B，∴△ADE∽△BEF．21．（9分）如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高．（1）证明：△ACD∽△CBD；（2）若CD=6cm，BD=9cm，求AD的长．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠CDB=∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∴△ACD∽△CB D．（2）∵△ACD∽△CBD，CD=6cm，BD=9cm，∴=，∴=，∴AD=4cm．22．（9分）如图，△ABC在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A（2，3），C（6，2），并求出B点坐标；（2）以原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，画出放大后的图形△A′B′C′；（3）计算△A′B′C′的面积S．【解答】解：（1）画出原点O，x轴、y轴．（1分）B（2，1）（2分）（2）画出图形△A′B′C′．（5分）（3）S=×4×8=16．（7分）23．（9分）小刚参观上海世博会，由于仅有一天的时间，他上午从A﹣中国馆、B﹣日本馆、C﹣美国馆中任意选择一处参观，下午从D﹣韩国馆、E﹣英国馆、F﹣德国馆中任意选择一（1）请用画树状图或列表的方法，分析并写出小刚所有可能的参观方式（用字母表示即可）；（2）求小刚上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的概率．【解答】解：（1）树状图或列表：D E F下午上午A（A，D）（A，E）（A，F）B（B，D）（B，E）（B，F）C（C，D）（C，E）（C，F）（2）共有9种情况，上午和下午恰好都参观亚洲国家展馆的情况有2种，所以概率是．24．（8分）如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东30°方向，距离灯塔80海里的A处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔C的东南方向上的B处．（1）求灯塔C到航线AB的距离；（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从A处到B处所用的时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：，）【解答】解：（1）过C作CD⊥AB于D．∴∠A=30°，∠BCD=45°，在Rt△ACD中，AC=80，∠A=30°，∴tan30°=，∴AD=CD=40．∴灯塔C到AB的距离为40海里；（2）Rt△BCD中，∠BCD=45°，∴BD=CD=40（海里）．∴AB=AD+BD=40+40≈109.2（海里）．∴海轮所用的时间为：109.2÷20≈5.5（小时）．答：灯塔C到航线AB的距离为40海里；海轮从A处到B处所用的时间约为5.5小时．25．（8分）某大型商场家用电器专柜的某种电冰箱，每台买进价为2500元，当销售价定为3500元时，平均每天能售出8台；且电冰箱的销售单价每降低100元，平均每天就能多售出2台．（1）请写出进价、销售价、销售量、利润四者的关系（2）若销售价定为3200元时，则每天销售这些电冰箱可获利多少元？（3）如果从经营者的角度考虑，那么为了销售电冰箱，使利润增加12.5%，则每台优惠价应定为多少元较为合适？【解答】解：（1）利润=销售量×（销售价﹣进价）．（2）销售价定为3200元时，则每天销售这些电冰箱可获利=（8+6）×（3200﹣2500）=9800元．（3）设定价为x元，每一台的利润为（x﹣2500）元，依题意列方程得（x﹣2500）[8+（3500﹣x）]=（3500﹣2500）×8×（1+12.5%），整理得x2﹣6400x+10200000=0，解得x1=3000，x2=3400．因为是要多售电视机，所以定价为3000元．答：定价为3000元时．26．（9分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，以O点为原点，CA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．已知点A的坐标为（5，0），点B在第一象限内．（1）请直接写出点C的坐标；（2）若，求AB与BC的长；（3）在（2）的条件下，现有一动点P从点B出发，沿路径BA→AD以秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点达到终点时，另一个动点也随之停止运动．设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，是否存在某一个t值，使PQ⊥AC，若存在，试求t的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵A（5，0），∴OA=5，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=5，∴C（﹣5，0），（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AC=2OA=10，∴tan∠BCA==，设AB=3a，BC=4a，（a＞0）根据勾股定理得，AB2+BC2=AC2，即：9a2+16a2=100，∴a=﹣2（舍）或a=2，∴AB=6，BC=8，（3）存在，理由：由（2）知，AB=6，BC=8，在Rt△ABC中，sin∠ACB==，cos∠ACB==，当点P在边BA上时（0＜t≤6），如图1，∵∠BCA+∠BAC=90°，∵PQ⊥AC，∴∠APQ+∠BAC=90°，∴∠APQ=∠ACB，由运动知，BP=t，AQ=0.4t，∴AP=AB﹣BP=6﹣t，在Rt△APQ中，sin∠APQ===sin∠ACB=，∴t=3.6，当点P在AD上时（6＜t≤14），如图2，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠P AQ=∠BCA，由运动知，AP=t﹣6，AQ=0.4t，在Rt△APQ中，cos∠P AQ==cos∠BCA=，∴t=12，即：存在时间t为3.6秒或12秒时，PQ⊥A C．附加题（每小题5分、共10分）27．（5分）=2．【解答】解：==×=2．28．（5分）计算：sin60°=．【解答】解：sin60°=．故答案为：．。