轴对称变换(含答案)-

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轴对称变换(有难度)(有答案)

轴对称变换1、在ABC ∆中，由A 点向BC 边引高线，垂足D 落在BC 上，如果2C B ∠=∠，求证：AC CD BD +=.2、如图所示，在四边形ABCD 中，BC CD =，60BCA ACD ∠-∠=︒，求证：AD CD AB +≥.3、如图所示，在ABC ∆中，AB AC >，BE 、CF 为ABC ∆的两条高，求证：AB CF AC BE +>+.4、如图所示，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，40CD =，90ABD BDC ∠+∠=，求四边形ABCD 的面积.48401430AB CD AB CD D C B A EF CB A5、在凸四边形ABCD 中，105ADB ABC ∠=∠=,75CBD ∠=.如果15AB CD ==厘米，求四边形ABCD的面积.6、(1993年圣彼得堡数学奥林匹克竞赛试题) 已知点M 是四边形ABCD 的BC 边的中点，且120AMD ∠=,证明：12AB BC CD AD ++≥.7、设M 是凸四边形ABCD 的边BC 的中点，135AMD ∠=︒，求证：AB CD AD +≥.8、如图所示，在ABC ∆中，A ∠的平分线交BC 于点D ，已知2BD DC AD ⋅=，且45ADB ∠=︒，求ABC∆的各个内角.AB CDM A BCDM DCB A45︒D C B A9、如图所示，已知在ABC ∆中，6AB =，3AC =，120BAC ∠=，BAC ∠的平分线交BC 于D ，求AD之长.10、如图所示，在ABC ∆中，2ACB ABC ∠=∠，P 为三角形内一点，AP AC =，PB PC =，求证：3BAC BAP ∠=∠.11、如图所示，在ABC ∆中，60B ∠=，100A ∠=，E 为AC 的中点，80DEC ∠=，D 是BC 边上的点，1BC =，求ABC ∆的面积与CDE ∆的面积的两倍的和.12、如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，AD 是BC 边上的高，点P在ABD ∆内部，求证： APB APC ∠>∠.CBA DPC B AED C B A P D C B A14、在ABC ∆中，AB AC =，60120A ︒<∠<︒，P 为ABC ∆内部一点，PC AC =，120PCA A ∠=︒-∠，求CBP ∠的度数.15. 如图所示，P 为ABC ∆边BC 上的一点，且2PC PB =，已知45ABC ∠=，60APC ∠=，试求ACB∠的度数.PCBACP B A参考答案 1题【解法1】如图所示，以AD 为对称轴翻折ADC ∆到1ADC ∆的位置，则1C 在BD 上，1A C A C =，1C D CD =，12AC D ACD B ∠=∠=∠.在1ABC ∆中，根据外角定理可知11ABC BAC ∠=∠，所以11AC BC =，故1111AC CD AC C D BC C D BD +=+=+=.【解法2】以AD 为对称轴翻折ABD ∆到AED ∆的位置，则12AED ABD ACB ∠=∠=∠，从而CA CE =.进而AC CD CE CD DE +=+=，而DE BD =(由“翻折”的特点决定)，故AC CD BD +=.【解法3】回顾一下我们在第10讲中所学的知识，可知2()c b a b =+，即22c b ab -=.注意到2222222()2c b BD CD a x x a ax -=-=--=-，故22a ax ab -=，即2a x b -=，亦即a x b x -=+，故BD AC CD =+.2题【解析】注意到60BCA ACD ∠-∠=︒，这提示我们可以进行对称变换以“创造”出60︒角.以AC 为对称轴将DAC ∆翻折到'D AC ∆的位置，连接'BD . 则'CD CD BC ==，''60BCD BCA ACD BCA ACD ∠=∠-∠=∠-∠=︒，故'D BC ∆为等边三角形.从而''AD CD AD D B AB +=+≥，等号成立时AC 平分BAD ∠.ABCDC 1AB C D Ea-x x cbD CB AD'DCB A3题【解法1】将AB CF AC BE +>+改写为AB AC BE CF ->-，可形成下面的思路：BAC ∠的平分线记为l ，作点C 关于l 的对称点'C ，作点F 关于l 的对称点'F ，过点'C 作BE 的垂线'C D ，因为'A B A C B C -=，''BE CF BE C F BD -=-=，而'BC BD >，故AB CF AC BE +>+.【解法2】我们用“分析法”寻求思路：AB CF AC BE +>+22()()AB CF AC BE ⇔+>+222222AB CF AB CF AC BE AC BE ⇔++⋅>++⋅.注意到224ABC AB CF AC BE S ∆⋅=⋅=，222AB AE BE =+，222AC AF CF =+，故22AB CF AC BE AE AF AE AF +>+⇔>⇔>. 而由ABE ACF ∆∆∽、AB AC AE AF >⇒>.4题：【解析】直接计算四边形ABCD 的面积有困难，注意到90ABD BDC ∠+∠=，我们以BD 的垂直平分线l 为对称轴，作ABD ∆的关于l 的轴对称图形'A DB ∆，从而可以将角度集中.1ABD A DBS S ∆∆=，'30A D AB ==，'48A B AD ==，'A DB ABD ∠=∠，所以''A DC A DB BDC ∠=∠+∠90ABD BDC =∠+∠=，因此，'A DC ∆是直角三角形.由勾股定理求得'50A C .在'A BC ∆中，'50A C =，'48A B =，14BC =.而2222'1448BC A B +=+1962304=+2500=2250'A C ==. 由勾股定理的逆定理可知'90A BC ∠=. 'ABCD A BCD S S =''A BC A DC S S ∆∆=+11''22A B BC A D CD =⋅+⋅ 114814304022=⨯⨯+⨯⨯ 336600936=+=.lDC'F'EFCBA48401430A'ABCDl【解析】如图所示，以BD 边上的中垂线为对称轴作DBC ∆的轴对称图形1BDC ∆，则1DBC BDC S S ∆∆=，175C DB CBD ∠=∠=︒，110575180ADB C DB ∠+∠=︒+︒=︒，故A 、D 、1C 共线.又因为1057530ABD ABC CBD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，由ABD ∆可知1801053045A ∠=︒-︒-︒=︒，而115C B CD AB ===，故145C A ∠=∠=︒.因此190ABC ∠=︒，1ABC ∆是等腰直角三角形.故111515112.52ABCD ABC S S ∆==⨯⨯=6题：【解析】显然，要证题设的不等式，应当把AB ，12BC ，CD 三条线段首尾连接成一条折线，然后再与线段AD 比较.要实现这一构想，折线之首端应与A 点重合，尾端应与D 点重合，这可由轴对称来实现.以AM 为对称轴，作点B 关于AM 的对称点1B ，连接1AB 、1MB ，则1AB AB =，1MB MB =，即1AB M ∆≌ABM ∆，由此1B MA BMA ∠=∠. 再以DM 为对称轴，作点C 关于DM 的对称点1C ，连接1DC 、1MC ，则1DC DC =，1MC MC =，即1DC M ∆≌DCM ∆，由此1C MD CMD ∠=∠. 而120AMD ∠=，所以180********BMA CMD AMD ∠+∠=-∠=-=. 注意到1160B MA C MD BMA CMD ∠+∠=∠+∠=，因此1111120()B MC B MA C MD ∠=-∠+∠1206060=-=，而1112MB MC BC ==，所以11B MC ∆是等边三角形，1112B C BC =. 由于两点之间以直线段为最短，所以1111AB B C C D AD ++≥，即12AB BC CD AD ++≥.A BCDC 1B 1AB CDM C 1【解析】作点B关于AM的对称点'B，作点C关于DM的对称点'C，连接'AB、''B C、'C D，则''MB MB MC MC===，且'AB AB=，'C D CD=.而''90C MB∠=︒，则'''B C==，故''''AB CD AB B C C D AD++=++≥.8题：【解析】AD是角平分线提示我们可以进行“翻折”.将点C翻折到'C的位置，且'C在AB的延长线上，且'AC AC=，'DC DC⊥，'DC DC=.延长CB至点E，使ED DC=，则2BD ED AD⋅=，故E BAD DAC∠=∠=∠，从而222AC ED DC DC=⋅=，则'AC CC==，故'AC C∆为等边三角形.故60BAC∠=︒，15ACB∠=︒.9题：由于AD平分BAC∠，因此这就提供了以AD为轴进行对称变换的可能性.取AB的中点C'，连接CC'，交AD于O，易知AOC∆与AOC'∆关于AD对称，且AO CC'⊥.由于30ACO∠=，3AC=，所以32AO=.延长AC至B'，使6AB'=，连接BB'交AD的延长线于点E.显然ABE∆和AB E'∆关于AE对称，且AE BB'⊥.由于OC是AEB'∆的中位线，所以32AO OE==，1122OC EB BE'==.因为OC ODBE DE=，所以12ODDE=.所以332OD=，12OD=.于是31222AD AO OD=+=+=.C'B'MDCBAEC'45︒D CBAC'CBAOEDB'【解析】由已知条件PB PC =，考虑作直线PM BC ⊥于M ，并以PM 为对称轴将APC ∆翻折至A PB'∆的位置，连接AA '.由轴对称的性质有//AA BC '，2A BC ACB ABC '∠=∠=∠. 因为A AB ABC A BA ''∠=∠=∠，于是AA A B AC AP A P '''====，即A AP '∆是正三角形，从而可得60ABC A AB BAP '∠=∠=-∠，21202ACB ABC BAP ∠=∠=-∠. 再由ABC ∆三内角之和为180，即(60)(1202)180BAP BAP BAC -∠+-∠+∠=，整理后得3BAC BAP ∠=∠.11题：【解析】将ABC ∆补成一个等边三角形，并作ABC ∆的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于24ABC CDE S S ∆∆+.作60BCF ∠=，其中点F 在BA 的延长线上，则BFC ∆为等边三角形.作CH BF ⊥于点H ，并取点A 关于点H 的对称点G ，则有18080CGH CAH BAC ∠=∠=-∠=.而80DEC ∠=，18080EDC DEC ACB ∠=-∠-∠=，故CGA CED ∆∆∽，且相似比为2. 则4CAG CDE S S ∆∆=.而ABC GFC S S ∆∆=(ABC GFC ∆∆≌)，故2ABC CDE S S ∆∆+12FBC S ∆==12题：【解析】作点P 关于AD 的对称点'P ，连接'AP 并延长交PC 于点Q ，连接'P C .因为AB AC =，AD 是BC 边上的高，易得'AP C APB ∠=∠.因为''AP C P QC ∠>∠，'P QC APC ∠>∠，故APB APC ∠>∠.PCBAMA'G H F EDCBADQ P'PCBA【解析】容易求得1302PAC A ∠=∠+︒，1302BAP BCP A ∠=∠=∠-︒.ABC ∆的对称轴为AD ，作点P 关于AD 的对称点'P ，则'60PAP ∠=︒，故'APP ∆为等边三角形，则'P C 平分ACP ∠，1'602PCP A ∠=︒-∠.故11'(30)(60)3022CBP BCP A A ∠=∠=∠-︒+︒-∠=︒.15题：【解析】作出点C 关于直线AP 的对称点1C ，连接1BC 、1PC 、1AC ，则12C P CP BP ==，如图所示.11180C PB APC APC ∠=-∠-∠180606060=--=.取1C P 的中点M ，连接BM ，则BM P ∆为等边三角形，1BM MP MC ==，故111302C BM BC M BMP ∠=∠=∠=，190C BC ∠=.又因为45ABC ∠=，故1ABC ABC ∠=∠，故AB 平分1C BC ∠，故A 点到直线CP 、1PC 、1BC 等距，从而1AC 是1BC P ∠的外角平分线，所以11(18030)752ACB AC P ∠=∠=-=DP'PCBACP B AC 1M。

《轴对称图形》：轴对称的性质(含答案)

第2章《轴对称图形》：2.2 轴对称的性质选择题1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50°（第1题）（第3题）（第4题）2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°填空题4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．（第5题）（第6题）（第7题）6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为度．8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度．9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．（第8题）（第9题）（第10题）10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=．11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．13．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．14．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OBCD为厘米．（第14题）（第15题）（第16题）15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2．16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于度．（第18题）（第19题）（第20题）19．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．20．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．21．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．（第21题）（第22题）（第23题）22．如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．23．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 度．24．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．2（第24题）（第25题）（第26题）25．如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．26．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE= cm．27．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是度．（第27题）（第28题）28．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．答案：选择题1．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1．解答：解：作图如右，∵图形对折，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3=130°，∴∠1=65°，故选A．点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．2．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠前后对应角相等可知．解答：解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．填空题4．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°-58°-58°=64°．点评：此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．5．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解答：解：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°．点评：运用了平行线的性质，还要注意折叠的题目中，重合的两个角相等，结合平角的定义即可求解．6．故填52．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．解答：解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°； ∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°-128°=52°．点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质． 7．故填55．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：利用平行线的性质和翻折变换的性质即可求得．解答：解：∵∠ABC=110°，纸条的上下对边是平行的， ∴∠ABC 的内错角=∠ABC=110°； ∵是折叠得到的∠1，∴∠1=0.5×110°=55°．故填55．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等． 8．故填65．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．解答：解：根据题意得2∠1与130°角相等，即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 9．故填110°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：如图，因为AB∥CD，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°，∠2+∠4=180°， ∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°，∴∠2=180°-70°=110°．点评：此题考查了折叠问题，注意折叠的两部分全等，即对应角与对应边相等．此题还考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．10．故填115°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．解答：解：∵四边形EFGH 是四边形EFBA 折叠而成， ∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=12 （180°-50°）=12×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-65°=115°．点评：解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答． 11．故答案为：40°．考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．解答：解：∵△ABC 沿着DE 翻折，∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°， ∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°， ∴80°+2（180°-∠B）=360°， ∴∠B=40°．故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．12．故阴影部分的面积为8cm 2．考点：轴对称的性质．专题：压轴题．分析：正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．解答：解：依题意有S阴影=12×4×4=8cm2，故阴影部分的面积为8cm2．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．13．答案为5个．考点：轴对称的性质．专题：压轴题；网格型．分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．解答：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．点评：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．14．故答案为：8．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．解答：解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm．故答案为：8．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．15．答案为18．考点：轴对称的性质．分析：根据图形的对称性，则阴影部分的面积即为正方形的面积的一半．解答：解：根据图形的对称性，知阴影部分的面积=正方形的面积的一半=12×6×6=18（cm2）．点评：此题要能够利用正方形的对称性，把阴影部分的面积集中到一起进行计算．16．答案为1：2．考点：剪纸问题．专题：压轴题．分析：本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．解答：解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．点评：本题必须以不变应万变，透过现象把握本质，才能将问题转化为熟悉的知识去解决．17．答案为120°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．解答：解：根据图示可知∠CFE=180°-3×20°=120°．故图c中的∠CFE的度数是120°．点评：本题考查图形的翻折变换．18．答案为50°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．点评：本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．19．故答案为：2．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．解答：解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．故答案为：2点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．20．答案为3cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．解答：解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E， =BC+BD+CE+AD+AE ， =BC+AB+AC ， =3cm ．点评：折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．21．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．解答：解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°-90°-30°=60°．点评：本题考查图形的轴对称．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．22．故答案为：2 33．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠性质可以得到，∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，进而得到△DFB是等腰三角形，有DF=FD ，作FG⊥BD，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合，则点G 是BD 的中点，而BD=ADsin30°=4，所以可求得FG=BGtan30°=2 33．解答：解：∵矩形纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD， ∴∠DBE=∠CDB， ∴DF=FB，∴△DFB 是等腰三角形，过点F 作FG⊥BD，则点G 是BD 的中点 ∵BD=ADsin30°=4 ∴BG=2∴FG=BGtan30°=2 33．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．23．故答案为：60．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，∠DA1E=∠A=90°；DA1=AD=2CD，易证∠CDA1=60°．再证∠EA1B=∠CDA1．解答：解：由折叠的性质知，A′D=AD=2CD，∴sin∠CA′D=CD：A′D=1：2，∴∠CA′D=30°，∴∠EA′B=180°-∠EA′D-∠CA′D=180°-90°-30°=60°．故答案为：60．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．24．答案为10 ．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先判定三角形BDE是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算．解答：解：连接BD，交EF于点G，由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，则△BDE是等腰三角形，由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，∴BG=GD，BD⊥EF，则点G是矩形ABCD的中心，所以点G也是EF的中点，由勾股定理得，BD=310 ，BG=3102，∵BD⊥EF，∴∠BGF=∠C=90°，∵∠DBC=∠DBC，∴△BGF∽△BCD，则有GF：CD=BG：CB，求得GF=102，∴EF=10 ．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．25．答案为80°．考点：翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据中位线的定义得出ED∥BC，再根据平行的性质和折叠的性质即可求．解答：解：∵D、E为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，ED∥BC，∴∠ADE=∠ABC∵∠ABC=50°，∴∠ADE=50°，由于对折前后两图形全等，故∠EDF=50°，∠BDF=180°-50°×2=80°．点评：本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．26．答案为 2 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．解答：解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，∴BD=ED，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE= 2 BD= 2 BC= 2 cm．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2等腰直角三角形的性质求解．27．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角．解答：解：根据对顶角相等，翻折得到的∠E=∠ACB可得到∠θ=∠EAC，∵△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∠BAC=150°，∴∠DAC=∠BAE=∠BAC=150°．∴∠DAE=∠DAC+∠BAE+∠BAC-360°=150°+150°+150°-360°=90°．∴∠θ=∠EAC=∠DAC-∠DAE=60°．点评：翻折前后对应角相等．28．答案为9．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB-BE=AB-BC，则△AED 的周长为AD+DE+AE=AC+AE．解答：解：DE=CD，BE=BC=7cm，∴AE=AB-BE=3cm，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

人教版小学数学五年级轴对称和平移(经典例题含答案)

轴对称和平移经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、轴对称再认识（一）（一）轴对称图形的认识（共4小题，每题3分，共计12分）例1.找一找,哪些是轴对称图形?请在下面的()里面打“√”。

（√）（）（√）（√）（）（√）（√）（√）例1.变式1.下面是轴对称图形的一半,猜猜这些图形是什么?（蝴蝶）（上衣）（瓶子）（树）例1.变式2.填一填。

如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合,这样的图形就叫(轴对称)图形,那条直线就是(对称轴)。

例1.变式3.画出下面图形的对称轴。

（二）对称轴（共4小题，每题3分，共计12分）例2.选择。

(1)下列图形中,对称轴最多的是(C )。

A.等边三角形B.正方形C.圆D.长方形(2)下面不是轴对称图形的是(B )。

A.长方形B.平行四边形C.圆D.半圆(3)要使大小两个圆有无数条对称轴,应采用第(B)种画法。

(4)下列选项中右边图形与左边图形成轴对称的是(B )。

AB C D例2.变式1.这些图形中哪些是轴对称图形?画出它们的对称轴。

例2.变式2.先画一画,再数一数各有几条对称轴?圆有无数条对称轴24无数136例2.变式3.用三个同样大小的正方形互相连接可以组成各种不同的轴对称图形,如图:(1)还可以怎样连接组成不同的轴对称图形?你可以试着画一画。

(2)如果用四个同样大小的小正方形怎样连接能成为轴对称图形?试着画一画。

（三）轴对称概念理解（共4小题，每题3分，共计12分）例3.在方格纸上按照图上给出的对称轴画出对称图形。

例3.变式1.在方格纸上画出轴对称图形。

例3.变式2.在方格纸上画出图形的另一半。

例3.变式3.在方格图里按给定的对称轴画出对称图形。

（四）画对称轴（共4小题，每题3分，共计12分）例4.在方格纸上画出轴对称图形。

例4.变式1.在点子图上画出轴对称图形。

例4.变式2.画出下面图形的另一半。

例4.变式3.在方格纸上画出轴对称图形。

（五）根据平移的方向和距离画平移后的图形（共4小题，每题3分，共计12分）例5.画一画。

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换(折叠问题)

备考2023年中考数学二轮复习-图形的变换_轴对称变换_翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）专训单选题：1、(2017长安.中考模拟) 如图，对△ABC纸片进行如下操作：第1次操作：将△ABC沿着过AB中点D1的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h1，然后还原纸片；第2次操作：将△AD1E1沿着过AD1中点D2的直线折叠，使点A落在D1E1边上的A1处，折痕D1E1到BC的距离记作h2，然后还原纸片；…按上述方法不断操作下去…，经过第n次操作后得到的折痕Dn En到BC的距离记作hn ，若h=1，则hn的值不可能是（）A .B .C .D .2、(2019吴兴.中考模拟) 如图，将长BC=8cm，宽AB=4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为（）A . 4cmB . cmC . cmD . c3、(2017长清.中考模拟) 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，在CD上任取一点E，连接BE，将△BCE沿BE折叠，使点C恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为（）A . 2B .C . 1D .4、(2017武汉.中考模拟) 如图，折叠矩形纸片ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，则△CEF的周长为（）A . 12B . 16C . 18D . 245、(2013百色.中考真卷) 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使DA 与对角线DB重合，点A落在点A′处，折痕为DE，则A′E的长是（）A . 1B .C .D . 26、(2015.中考真卷) 如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D的坐标是（）A . （4，8）B . （5，8）C . （，）D . （，）7、(2012遵义.中考真卷) 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A . 3B . 2C . 2D . 28、(2020南岸.中考模拟) △ABC中，∠ACB=45°，D为AC上一点，AD=5 ，连接BD，将△ABD沿BD翻折至△EBD，点A的对应点E点恰好落在边BC上.延长BC至点F，连接DF，若CF=2，tan∠ABD= ，则DF长为（）A .B .C . 5D . 79、(2020鄞州.中考模拟) 三角形纸片ABC中，∠C=90°，甲折叠纸片使点A与点B 重合，压平得到的折痕长记为m；乙折叠纸片使得CA与CB所在的直线重合，压平得到的折痕长记为n，则m，n的大小关系是（）A . m≤nB . m<nC . m≥nD . m>n10、(2020沙河.中考模拟) 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。

2020年四川省成都市中考数学 B卷培优专练(18)轴对称变换问题 PDF版含答案

2020年四川省成都市中考数学B卷培优专练（18）轴对称变换问题一、单选题1.如图，在黄金矩形ABCD中，四边形ABFG、GHED均为正方形，，现将矩形ABCD沿AE 向上翻折，得四边形AEC'B'，连接BB'，若AB＝2，则线段BB'的长度为（）A. B. C.2 D.2.如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当A落在四边形BCDE内时，则与之间有始终不变的关系是（）A.∠A=∠1+∠2B.2∠A=∠1+∠2C.3∠A=∠1+∠2D.3∠A=2（∠1+∠2）3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A. B. C. D.4.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF （E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC的度数是（）A.128°B.118°C.108°D.98°5.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论：①BD=AD2+AB2；②△ABF≌△EDF；③＝④AD=BD•cos45°．其中正确的一组是（）A.①②B.②③C.①④D.③④6.我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝4，则该矩形的面积为()A.20B.24C.D.7.如图，△ABE，△ADC是△ABC分别沿着边AB，AC翻折形成的，若∠BCA：∠ABC：∠BAC=28：5：3，BE与DC交于点F，则∠BFC的度数为（）A.15°B.20°C.30°D.36°8.如图，在正方形中，是边的中点，将沿折叠，使点落在点处，的延长线与边交于点.下列四个结论:①;②;③;④S正方形ABCD，其中正确结论的个数为（）A.个B.个C.个D.个9.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB=40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°10.如图，在四边形ABCD中，∠C=70°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、DC上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（）A.30°B.40°C.50°D.70°二、填空题11.在矩形中，，，点，分别为，上的两个动点，将沿折叠，点的对应点为，若点落在射线上，且恰为直角三角形，则线段的长为________.12.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________.13.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为________.14.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点处，当△为直角三角形时，BE的长为________.15.如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值是________.16.∠A=65º，∠B=75º，将纸片一角折叠，使点C 落在△ABC外，若∠2=20º，则∠1的度数为________.17.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P是对角线AC上的一个动点，过点P作EF⊥AC分别交AD、AB于点E、F，将△AEF沿EF折叠，点A落在A′处，当△A′BC是等腰三角形时，AP的长为________．18.如图①的长方形ABCD中，E在AD上，沿BE将A点往右折成如图②所示，再作AF⊥CD于点F，如图③所示，若AB＝2，BC＝3，∠BEA＝60°，则图③中AF的长度为________．19.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCO的边COOA分别在x轴，y轴上，点E在边BC上，将该长方形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的点F处，若OA=8，CF=4，则AE所在直线的表达式为________。

2018年全国各地中考数学真题汇编：轴对称变换(含答案)-数学备课大师【全免费】

中考数学真题汇编:轴对称变换一、选择题1.下列图形中是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D2.下列图形中一定是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D3.下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】B4.如图，将一个三角形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则下列结论一定正确的是（）A. B. C. D.【答案】D5.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（）A.1条B.3条C.5条D.无数条【答案】C6.如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC 等于（）A. 112°B. 110°C. 108°D. 106°【答案】D7.如图，将矩形沿对角线折叠，点落在处，交于点，已知,则的度为（）A. B. C. D.【答案】D8.如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP= ，若点M、N分别是射线OA、OB上异于点O的动点，则△PMN周长的最小值是（）A. B. C. 6 D. 3【答案】D9.如图，在正方形中，，分别为，的中点，为对角线上的一个动点，则下列线段的长等于最小值的是（）A. B. C. D.【答案】D10.将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（）A. B. C. D.【答案】A二、填空题11.已知点是直线上一点，其横坐标为.若点与点关于轴对称，则点的坐标为________.【答案】（，）12.有五张卡片(形状、大小、质地都相同)，正面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆.将卡片背面朝上洗匀，从中任取一张，其正面图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是________．【答案】13.如图，在菱形中，，分别在边上，将四边形沿翻折，使的对应线段经过顶点，当时，的值为________.【答案】14.在平面直角坐标系中，点的坐标是.作点关于轴的对称点，得到点，再将点向下平移个单位，得到点，则点的坐标是（________），（________）.【答案】；15.折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在直线AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则AD=________。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键．二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1，即A 2的横坐标为12+1=2212-，过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2，即A 3的横坐标为12+1+2=3212-，同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-，由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-，故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α，在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°，解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°，故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形，故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ．故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误；由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动．（1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下：由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形，由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-，解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ，由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒．【点睛】本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论；（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =，从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。

2025高考数学专项复习运用“对称变换”的思想方法解题含答案

运用“对称变换”的思想方法解题在中学数学中，对称的问题主要有以下4种形式:1.中心对称:①点关于点的对称；②曲线关于点的对称。

2.轴对称:①点关于直线的对称；②曲线关于直线的对称。

3.平面对称:①点关于平面的对称；②曲线关于平面的对称。

4.多项式对称:①一般轮换对称；②顺序轮换对称。

几何中的轴(面)对称和中心对称是最直观的对称，平面图形绕其内一定点旋转2πnn ∈N *的变换，也是常见的对称变换。

典型例题1定理一:函数y =f x 满足f a +x =f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于直线x =a 对称。

定理二:函数y =f x 满足f a +x -b =b -f a -x 的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，b 成中心对称。

定理三:函数y =f x 满足F x =f x +a -f a 为奇函数的充要条件是y =f x 的图像关于点a ，f a 成中心对称(注:若a 不属于x 的定义域，则f a 不存在．依次解答如下问题:(1)设函数y =f x 的图像关于直线x =1对称，若x ≤1时，y =x 2+1，求x >1时y 的解析式；(2)若函数y =x 2+mx +1x的图像关于点0，1 中心对称，求m 的值；(3)已知函数f x 在-∞，0 ∪0，+∞ 上的图像关于点0，1 中心对称，且当x ∈0，+∞ 时f x =x 2+x +1.根据定理二求出f x 在-∞，0 上的解析式；(4)设函数y =f x ，y =g x 在定义域R 上的图像都是关于点a ，b 中心对称，则对于函数y =f x +g x ，y =f x -g x ，y =f x ⋅g x 及y =f xg x ，指出其中一个函数的图像一定关于点成中心对称，再指出其中一个函数的图像可以不关于点中心对称，并分别说明理由；(5)讨论函数f x =x -23 x +53 +x -3 -2x -83的图像的对称性。

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§14．2 轴对称变换
1.轴对称变换
知识要点
1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．•成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到．
2．轴对称变换的性质：
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）•经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．
典型例题
例：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．分析：△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，•根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA•和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．
作法：如图．①作点P关于直线OA Array的对称点E；
②作点P关于直线OB的对称点F；
③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则
C、D就是所要求作的点．
证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．
在OA上任取异于点C的一点H，连
接HE、HP、HD，则HE=HP．
∵△PHD的周长
=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF
而△PCD的周长
=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF
∴△PCD的周长最短．
练习题
一、选择题
1．下列说法正确的是（）
A ．任何一个图形都有对称轴;
B ．两个全等三角形一定关于某直线对称;
C ．若△ABC 与△A ′B ′C ′成轴对称，则△ABC ≌△A ′B ′C ′;
D ．点A ，点B 在直线1两旁，且AB 与直线1交于点O ，若AO=BO ，则点A 与点B•关于直线l 对称.
2．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（） A ．①③④ B ．③④ C ．①② D ．①②③④ 二、填空题
3．由一个平面图形可以得到它关于某条直
线对称的图形，•这个图形与原图形的
_________、___________完全一样． 4．数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成
立．
①12×231=132×21;
②12×462=___________; ③18×891=__________; ④24×231=___________.
5．如图，点P 在∠AOB 的内部，点M 、N 分别是点P 关于直线OA 、OB•的对称点，线
段MN 交OA 、OB 于点E 、F ，若△PEF 的周长是20cm ，则线段MN 的长是___________．三、解答题
6．如图，C 、D 、E 、F 是一个长方形台球桌的4个顶点，A 、B•是桌面上的两个球，怎样击打A 球，才能使A 球撞击桌面边缘CF 后反弹能够撞击B 球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．
7．如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个
抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点（保留作图痕迹）
8．如图，仿照例子利用“两个圆、•两个三角形和两条平行线段”设计一个轴对称图案，并说明你所要表达的含义．
例:一辆小车
四、探究题
9．如图，已知牧马营地在P
处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．
草地
河流
营地
P
答案:
1．C 2．D 3．形状；大小
4．264×21；198×81；132×42 5．20cm
6．作点A关于直线CF对称的点G，连接BG交CF于点P，
则点P即为A•球撞击桌面边缘CF的位置
7．作点A关于直线a对称的点C，连接BC交a于点P，则点P就是抽水站的位置
8．略
9．分别作P点关于河边和草地边对称的点C、D，连接CD分别交河边和草地于A、B两点，则沿PA→AB→BP的线路，所走路程最短．
2.用坐标表示轴对称
知识要点
1．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）．
2．点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；
点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n-y）；
典型例题
例：如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=•-1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，•请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．
分析：直线m：x=-1表示直线m上任意一点的横坐标都等于-1，因此过点（-1，0）•作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，•而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．
解：（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（-1，1）、C（2，-1）
（2）如右图，过点（-1，0）作y轴的平行线m，即直线x=-1．
（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（-3，4）、B′（-1，1）、C′（-4，-1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（-1）•减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（-2-a，b）。

注意：2×（-1）中的-1即对称轴x=-1．若对称轴不是x=-1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律．
练习题
一、选择题
1．已知A、B两点的坐标分别是（-2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④若A、B之间的距离为4，其中正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．已知M（0，2）关于x轴对称的点为N，线段MN的中点坐标是（）
A．（0，-2） B．（0，0） C．（-2，0） D．（0，4）
3．平面内点A（-1，2）和点B（-1，6）的对称轴是（）
A．x轴 B．y轴 C．直线y=4 D．直线x=-1
二、填空题
4．已知A（-1，-2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称．
5．一个点的纵坐标不变，把横坐标乘以-1，•得到的点与原来的点的关系是__________．6．点M（-2，1）关于x轴对称的点N的坐标是________，直线MN与x•轴的位置关系是___________．
7．点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是___________．
三、解答题
8．已知点P（x+1，2x-1）关于x轴对称的点在第一象限，试化简：│x+2│-│1-x│.
9．已知A（-1，2）和B（-3，-1）．试在y轴上确定一点P，使其到A、B的距离和最小，求P点的坐标．
四、探究题
10．如图:①写出A、B、C三点的坐标．
②若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标都乘以-1，•请你在同一坐标系中描出对应的
点A′、B′、C′，并依次连接这三个点，所得的△A′B′C′与原△ABC•有怎样的位置关系？
③在②的基础上，纵坐标都不变，横坐标都乘以-1，•在同一坐标系中描出对应的点A″、B″、C″，并依次连接这三个点，所得的△A″B″C″与原△ABC•有怎样的位置关系？。