专题4.5 函数的增长率-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版2019必修第一册)(解析版)
专题4.5 函数的增长率姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年(x∈N*)，该产品的产量y满足()A．y＝a(1＋5%x)B．y＝a＋5%C．y＝a(1＋5%)x－1D．y＝a(1＋5%)x【答案】D【解析】经过1年，y＝a(1＋5%)，经过2年，y＝a(1＋5%)2，…，经过x年，y＝a(1＋5%)x.2．据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似满足关系式：y＝a log3(x ＋2)，观测发现2018年冬(作为第1年)有越冬白鹤3 000只，估计到2024年冬越冬白鹤有()A．4 000只B．5 000只C．6 000只D．7 000只【答案】C【解析】当x＝1时，由3 000＝a log3(1＋2)得a＝3 000，所以到2024年冬，即第7年，y＝3 000×log3(7＋2)＝6 000.故选C.3．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r 的三次方成正比，若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为()A．60安B．240安C．75安D．135安【答案】D【解析】由已知，设比例常数为k ，则I ＝k ·r 3.由题意，当r ＝4时，I ＝320，故有320＝k ×43，解得k ＝5，所以I ＝5r 3. 故当r ＝3时，I ＝5×33＝135(安)．故选D.4.(多选)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法正确的是( ) A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2,3m 2,6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 【答案】ABD【解析】图象过(1,2)点，∴2＝a 1，即a ＝2，∴y ＝2t .∵12)12(22221=-=-+tt t t t ，∴每月的增长率为1，A 正确． 当t ＝5时，y ＝25＝32＞30，∴B 正确．∵第二个月比第一个月增加y 2－y 1＝22－2＝2(m 2)，第三个月比第二个月增加y 3－y 2＝23－22＝4(m 2)≠y 2－y 1，∴C 不正确． ∵2＝12t，3＝22t，6＝32t， ∴t 1＝log 22，t 2＝log 23，t 3＝log 26，∴t 1＋t 2＝log 22＋log 23＝log 26＝t 3，D 正确．故选A 、B 、D.5．（2020·临泉县第二中学高三月考（理））我们处在一个有声世界里,不同场合,人们对声音的音量会有不同要求．音量大小的单位是分贝()dB ,对于一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算： 010lgII η=⋅(其中0I 是人耳能听到的声音的最低声波强度)，设170dB η=的声音强度为1I ，260dB η=的声音强度为2I ，则1I 是2I 的（ ）A ．76倍 B ．10倍C ．7610倍D ．7ln 6倍【答案】B【解析】因为010lgII η=⋅，代入170dB η=，260dB η=， 得10207010lg 6010lg I I I I ⎧=⋅⎪⎪⎨⎪=⋅⎪⎩，两式相减，得12001010lg lg I I I I ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭得到12lg 1I I =，即1210I I =，故选：B.6．衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt.已知新丸经过50天后，体积变为94a .若一个新丸体积变为278a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50 【答案】C【解析】由已知，得94a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝501)94(.设经过t 1天后，一个新丸体积变为278a ， 则278a ＝a ·e －kt 1， ∴278＝(e －k)t 1＝501)94(t，∴23501=t ，t 1＝75.7．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是T 1(℃)，空气的温度是T 0(℃)，经过t 分钟后物体的温度T (℃)可由公式T ＝T 0＋(T 1－T 0)e－0.25t求得．把温度是90 ℃的物体，放在10 ℃的空气中冷却t 分钟后，物体的温度是50 ℃，那么t 的值约等于(参考数据：ln 3≈1.099，ln 2≈0.693)( )A ．1.78B ．2.77C ．2.89D ．4.40 【答案】B【解析】由题意可知50＝10＋(90－10)·e －0.25t，整理得e－0.25t＝21，即－0.25t ＝ln 21＝－ln 2＝－0.693，解得t ≈2.77.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）8．某市的房价(均价)经过6年时间从1 200元/m 2增加到了4 800元/m 2，则这6年间平均每年的增长率是________． 【答案】32－1【解析】设6年间平均年增长率为x ，则有1 200(1＋x )6＝4 800，解得 x ＝32－1.9．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v m/s 和燃料的质量M kg ，火箭(除燃料外)的质量m kg 的函数关系式是v ＝2 000·ln )1(mM+.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12 km/s. 【答案】e 6－1【解析】当v ＝12 000 m/s 时，2 000·ln )1(m M +＝12 000，所以ln )1(m M +＝6，所以mM＝e 6－1. 10．某种细菌经30分钟数量变为原来的2倍，且该种细菌的繁殖规律为y ＝e kt ，其中k 为常数，t 表示时间(单位：小时)，y 表示繁殖后细菌总个数，则k ＝________，经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为________． 【答案】2ln 2 1 024【解析】由题意知，当t ＝21时，y ＝2，即2＝21e k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e 2t ln 2. 当t ＝5时，y ＝e 2×5×ln 2＝210＝1 024.即经过5小时，1个细菌通过繁殖个数变为1 024.11．放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系变化．常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为21T 现测得某种放射性元素的剩余质量A 随时间t 变化的6次数据如下：A (t )＝________．【答案】4 320·2－4t(t ≥0) 【解析】从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为A 0＝320，则经过时间t 的剩余质量为A (t )＝A 0·21)21(T t ＝320·2－4t(t ≥0)． 三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12．某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过8万元时，若超过A 万元，则超过部分按log 5(2A ＋1)进行奖励．记奖金为y (单位：万元)，销售利润为x (单位：万元)． (1)写出奖金y 关于销售利润x 的关系式；(2)如果业务员小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？ 【解析】(1)由题意知当0≤x ≤8时，y ＝0.15x ；当x >8时，y ＝8×0.15＋log 5(2x －15)＝1.2＋log 5(2x －15)，所以⎩⎨⎧>-+≤≤=8).152(log 2.180,15.05x x x x y(2)当0≤x ≤8时，y max ＝0.15×8＝1.2＜3.2，故小江销售利润x ＞8. 由题意知1.2＋log 5(2x －15)＝3.2，解得x ＝20.所以小江的销售利润是20万元．13．．（2019·江西上高二中高一月考（文））一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，使森林面积每年比上一年减少p %，10年后森林面积变为3a ． （1）求p %的值；（2）到今年为止该森林已砍伐了多少年？【解析】（1）设砍伐n 年后的森林面积为f （n ），则f （n ）＝a （1﹣P %）n ． 由题意可得f （10）3a =，即a （1﹣P %）103a=，解得：p %＝1（2）由（1）可得f （n ）＝a •（n ＝a •1013n（），令f （n ）=可得，110211 33n==（）（）， ∴1102n =，即n ＝5． 故到今年为止，该森林已砍伐5年14．（2019·四川省绵阳南山中学高一月考）近年来，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P （单位：mg/L ）与过滤时间t （单位：h ）间的关系为()0ktP t Pe -=（0P ，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数），其中0P 为0t =时的污染物数量.若经过5h 过滤后还剩余90%的污染物. （1）求常数k 的值；（2）试计算污染物减少到40%至少需要多长时间.（精确到1h ，参考数据：ln0.2 1.61≈-，ln0.3 1.20≈-，ln0.40.92≈-，ln0.50.69≈-，ln0.90.11≈-）【解析】（1）由已知得，当0t =时，0P P =；当5t =时，090%P P =.于是有50090%kP P e -=，解得1ln 0.95k =-（或0.022k ≈）.（2）由（1）知1ln 0.950t P P e⎛⎫ ⎪⎝⎭=，当040%P P =时，有1ln0.95000.4t P P e⎛⎫⎪⎝⎭=，解得()ln 0.40.92 4.6042110.11ln 0.90.1155t -=≈=≈⨯-. 故污染物减少到40%至少需要42h.15．（2020·湖北荆州中学高一期末）某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商品一种小物品的销售情况的调查发现：该小物品在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格()P x （单位：元）与时间x （单位：天）的函数关系近似满足()1kP x x=+（k 为正常数），日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的部分数据如下表所示：已知第10天的日销售收入为121元. （1）求k 的值；（2）给出以下四种函数模型：①()Q x ax b =+，②()|25|Q x a x b =-+，③()x Q x a b =⋅，④()log b Q x a x =⋅.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量()Q x （单位：件）与时间x （单位：天）的变化关系，并求出该函数的解析式. （3）求该小物品的日销售收入()f x （单位：元）的最小值.【解析】（1）依题意知第10天的日销售收入为(10)(10)111012110k P Q ⎛⎫⋅=+⨯= ⎪⎝⎭，得1k =； （2）由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②，()|25|Q x a x b ∴=-+，从表中任意取两组值代入可得，30251202025120a b a b ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得1125a b =-⎧⎨=⎩，()*()125|25|130,Q x x x x N ∴=--≤≤∈；（3）由（2）知))**100(125,()150(2530,x x x N Q x x x x N⎧+≤<∈⎪=⎨-≤≤∈⎪⎩，所以))**100101(125,()()()150149(2530,x x x N xf x P x Q x x x x N x⎧++≤<∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤∈⎪⎩， 当125x ≤<时，100y x x=+在[]1,10上是减函数，在[10,25)是增函数， 所以min ()(10)121f x f ==.当2530x ≤≤时，150y x x=-为减函数， 所以min ()(30)124f x f ==.综上所述，当10x =时，()f x 取得最小值，min ()121=f x。
人教A版高中数学必修一几类不同增长的函数模型同步测试含解析,含尖子生题库新
2014年高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型同步测试（含解析，含尖子生题库）新人教A 版必修1(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．用长度为24 m 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3 mB ．4 mC ．5 mD ．6 m解析： 设隔墙的长为x m ，矩形面积为S ，则S ＝x ·24－4x 2＝x (12－2x )＝－2x 2＋12x ＝－2(x －3)2＋18，所以当x ＝3时，S 有最大值为18.答案： A2．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过( )A ．12 hB ．4 hC ．3 hD ．2 h解析： 设需经过x 次分裂，则4 096＝2x ，解得x ＝12，所以所需时间t ＝12×1560＝3(h)．故选C.答案： C3则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析： 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.答案： C4．如图所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法中，正确的是( )(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活费收入增长最快的一年是2009年；(3)生活费价格指数上涨速度最快的一年是2010年；(4)虽然2011年生活费收入增长是缓慢的，但由于生活费价格指数也略有降低，因而人民生活有较大的改善．A ．1项B ．2项C ．3项D ．4项解析： 由题意，“生活费收入指数”减去“生活费价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活费收入指数”在2009～2010年最陡，故(2)正确；“生活费价格指数”在2010～2011年最平缓，故(3)不正确；由于“生活费价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确，故选C.答案： C二、填空题(每小题5分，共10分)5．生产某机器的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝x 2－75x ，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为________台．解析： 设该厂获利润为g (x )，则g (x )＝25x －y＝25x －(x 2－75x )＝－x 2＋100x ＝－(x －50)2＋2 500，当x ＝50时，g (x )有最大值2 500万元．答案： 506．如图所示，折线是某电信局规定打长途电话所需要付的电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系图象，根据图象填空：(1)通话2分钟，需付电话费________元；(2)通话5分钟，需付电话费________元；(3)如果t ≥3，则电话费y (元)与通话时间t (分钟)之间的函数关系式为____________． 解析： (1)由图象可知，当t ≤3时，电话费都是3.6元．(2)由图象可知，当t ＝5时，y ＝6，需付电话费6元．(3)当t ≥3时，y 关于t 的图象是一条直线，且经过(3,3.6)和(5,6)两点，故设函数关系式为y ＝kt ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝3.6，5k ＋b ＝6， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1.2，b ＝0. 故y 关于t 的函数关系式为y ＝1.2t (t ≥3)．答案： (1)3.6 (2)6 (3)y ＝1.2t (t ≥3)三、解答题(每小题10分，共20分)7．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本为25元，因为在生产过程中，平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，所以工厂设计两个方案进行污水处理，并准备实施．方案1：工厂污水先净化后再排出，每处理1立方米污水所耗原料费2元，并且每月排污设备损耗费为30 000元；方案2：工厂污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元排污费．(1)若工厂每月生产3 000件产品，你作为厂长在不污染环境，又节约资金的前提下，应选择哪个处理污水的方案，请通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6 000件时，你作为厂长又该如何决策呢？解析： 设工厂生产x 件产品时，依方案1的利润为y 1，依方案2的利润为y 2，则 y 1＝(50－25)x －2×0.5x －30 000＝24x －30 000，y 2＝(50－25)x －14×0.5x ＝18x .(1)当x ＝3 000时，y 1＝42 000，y 2＝54 000.∵y 1<y 2，故应选择第1个方案处理污水．(2)当x ＝6 000时，y 1＝114 000元，y 2＝108 000元．∵y 1>y 2，故应选择第2个方案处理污水．8．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别为40 cm 与60 cm ，现将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角．问：怎样剪，才能使剩下的残料最少？解析： 如图，剪出的矩形为CDEF ，设CD ＝x cm ，CF ＝y cm ，则AF ＝(40－y ) cm.∵△AFE ∽△ACB ， ∴AF AC ＝FE BC ，即40－y 40＝x 60. ∴y ＝40－23x .剩下的残料面积为 S ＝12×60×40－x ·y ＝23x 2－40x ＋1 200 ＝23(x －30)2＋600. ∵0<x <60，∴当x ＝30时，S 取得最小值为600，这时y ＝20.∴在边长为60 cm 的直角边CB 上截CD ＝30 cm ，在边长为40 cm 的直角边AC 上截CF ＝20 cm 时，能使所剩残料最少．尖子生题库☆☆☆9．(10分)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，右面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润S (万元)与销售时间t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系)．根据图象提供的信息解答下列问题：(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润S (万元)与时间t (月)之间的函数关系式；(2)求截止到第几月末公司累积利润可达到30万元；(3)求第八个月公司所获利润是多少万元．解析： (1)由二次函数图象可知，设S 与t 的函数关系式为S ＝at 2＋bt ＋c .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，25a ＋5b ＋c ＝2.5或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，4a ＋2b ＋c ＝－2，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝－1.5，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝0.无论哪个均可解得a ＝12，b ＝－2，c ＝0， ∴所求函数关系式为S ＝12t 2－2t . (2)把S ＝30代入，得30＝12t 2－2t ， 解得t 1＝10，t 2＝－6(舍去)，∴截止到第10个月末公司累积利润可达到30万元．(3)把t ＝7代入，得S ＝12×72－2×7＝212＝10.5(万元)， 把t ＝8代入，得S ＝12×82－2×8＝16(万元)， 则第八个月获得的利润为16－10.5＝5.5(万元)，∴第八个月公司所获利润为5.5万元．。
不同函数增长的差异 同步检测(含解析)—2024-2025学年高一上学期数学必修第一册
4.4.3 不同函数增长的差异（同步检测）一、选择题1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A.y ＝6x B.y ＝log 6x C.y ＝x 6D.y ＝6x2.若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是( )A.2x ＞＞lg x B.2x ＞lg x ＞C.＞2x ＞lg xD.lg x ＞＞2x3.某小型贸易公司为了实现年终10万元利润的目标，特制定了销售人员年终绩效奖励方案：当销售利润为x(单位：万元)(4≤x ≤10)时，奖金y(单位：万元)随销售利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过2万元，同时奖金不超过销售利润的12，则下列函数中，符合该公司奖励方案的函数模型是( )A.y ＝0.4xB.y ＝lg x ＋1C.y ＝D.y ＝1.125x4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为x 小时，跑过的路程分别满足关系式：f 1(x)＝x 2，f 2(x)＝4x ，f 3(x)＝log 3(x ＋1)，f 4(x)＝2x －1，则5个小时以后跑在最前面的为( )A.甲 B.乙C.丙D.丁5.下列函数中随x 的增大而增长速度最快的是( )A.y ＝1100e xB.y ＝100ln xC.y ＝x 100D.y ＝100×2x6.如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为( )x 45678910y15171921232527A.一次函数模型B.二次函数模型C.指数函数模型D.对数函数模型7.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x 倍，需经过y 年，则函数y ＝f(x)的图象大致是( )12x 12x12x 12x 12x8.下面对函数f(x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x 在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是( )A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快9.(多选)在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示，下列说法中正确的有( )A.前5 min 温度增加越来越快B.前5 min 温度增加越来越慢C.5 min 后温度保持匀速增加D.5 min 后温度保持不变二、填空题10.函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________11.下列各项是四种生意预期的收益y 关于时间x 的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________①y ＝10×1.05x ；②y ＝20＋x 1.5；③y ＝30＋lg(x －1)；④y ＝50．12.某商场2023年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型：①f (x)＝p·q x (q>0，q ≠1)；②f (x)＝log p x ＋q(p>0，p ≠1)；③f (x)＝x 2＋px ＋q ．(1)能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号)；(2)若所选函数满足f (1)＝10，f (3)＝2，则f (x)＝___________A B C D12log x x1()213.生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________.(填序号)A B三、解答题14.某人对某种松树的生长进行了研究，搜集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据如下表所示，选择h＝mt＋b与h＝log a(t＋1)来刻画h与t的关系，你认为哪个符合，并预测第八年的松树的高度．t/年123456h/米0.61 1.3 1.5 1.6 1.715.画出函数f(x)＝x与函数g(x)＝14x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关系．16.假设有一套住房的房价从2013年的20万元上涨到2023年的40万元．下表给出了两种价格增长方式，其中P1是按直线上升的房价，P2是按指数增长的房价，t是2013年以来经过的年数．t05101520P1/万元2040P2/万元2040(1)求函数P1＝f(t)的解析式；(2)求函数P2＝g(t)的解析式；(3)完成上表空格中的数据，并在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，然后比较两种价格增长方式的差异．参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：D 中一次函数的增长速度不变，A ，C 中函数的增长速度越来越快，只有B 中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．2.A 解析：结合y ＝2x ，y ＝及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈(0，1)时，2x ＞＞lg x ．3.B 解析：在选项B 中，y ＝lg x ＋1在区间[4，10]上单调递增．当x ＝10时，y max ＝2.作出y ＝lg x ＋1与y ＝x 2的图象，如图所示，由图知lg x ＋1＜x2在x ∈[4，10]上恒成立．故B 正确．4.D 解析：由于4个函数均为增函数，且f 1(5)＝52＝25，f 2(5)＝20，f 3(5)＝log 3(5＋1)＝1＋log 32，f 4(5)＝25－1＝31，f 4(5)最大，所以5个小时后丁车在最前面．故选D.5.A 解析：指数函数y ＝ax ，在a ＞1时呈爆炸式增长，并且a 的值越大，增长速度越快．故选A ．6.A 解析：随着自变量每增加1，函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A ．7.D 解析：设该林区的森林原有蓄积量为a ，由题意，ax ＝a(1＋0.104)y ，故y ＝log 1.104x(x ≥1)，所以y ＝f(x)的图象大致为D 中图象．8.C 解析：观察函数f(x)＝，g(x)＝与h(x)＝－2x 在区间(0，＋∞)上的图象(如图)，函数f(x)的图象在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h(x)的图象递减速度不变．12x 12x 12log x x1()29.BC 解析：前5 min温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加，所以B，C正确．故选BC.二、填空题10.答案：y＝x2 解析：当x变大时，x比ln x增长要快，所以x2比x ln x增长要快．11.答案：① 解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①．12.答案：(1)③ (2)x2－8x＋17 解析：(1)①②均单调，③先减后增，故能较准确反映商场月销售额f (x)与月份x关系的函数模型为③．(2)由f (1)＝10，f (3)＝2，得Error!解得p＝－8，q＝17，所以f (x)＝x2－8x＋17．13.答案：(4)，(1)解析：A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应．三、解答题14.解：由表可以看出增长速度越来越慢，用对数函数模型合理．把(2，1)代入h＝log a(t＋1)中，得a＝3．故h＝log3(t＋1)．当t＝8时，h＝2．故可预测第8年松树高2米．15.解：函数f(x)与g(x)的图象如图所示．根据图象易得，当0≤x ＜4时，f(x)＞g(x)；当x ＝4时，f(x)＝g(x)；当x ＞4时，f(x)＜g(x).16.解：(1)设f(t)＝kt ＋b(k ≠0)，则Error!解得Error!∴P 1＝f(t)＝2t ＋20.(2)设g(t)＝ma t (a ＞0，且a ≠1)，则Error!解得Error!∴P 2＝g(t)＝20×(102)t ＝20×.(3)表格中的数据如下表所示：t 05101520P 1/万元2030405060P 2/万元202024040280画出两个函数的图象如图所示．由图象可以看出，在前10年，按P 1增长的价格始终高于按P 2增长的价格，但10年后，P 2价格增长速度很快，远远超出P 1的价格并且时间越长，差别越大．t 102。
2021年中考数学培优提升专项训练《函数》(附答案)
2021年九年级数学中考一轮复习《函数》培优提升专项训练（附答案）1．如图，点A是直线y＝﹣x上的动点，点B是x轴上的动点，若AB＝2，则△AOB面积的最大值为（）A．2 B ．C ．D ．2．如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣3＜m ＜﹣B．﹣5＜m ＜﹣C．﹣5＜m＜﹣3 D．﹣3＜m ＜﹣3．已知二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的方程x2+x+c ＝0的两实数根分别是（）A．1和﹣1 B．1和﹣2 C．1和2 D．1和34．如图，▱ABCD的顶点A 的坐标为（﹣），顶点B在y轴上，顶点C、D在双曲线y ＝（x＞0）上，AD交y轴于点E（0，2），且四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，则▱ABCD面积为（）A．8 B．10C．12 D．165．如图，直线y＝kx+b交x轴于点A（﹣2，0），直线y＝mx+n交x轴于点B（5，0），这两条直线相交于点C（1，p），则不等式组的解集为（）A．x＜5 B．x＜﹣2 C．﹣2＜x＜5 D．﹣2＜x＜16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（）A．﹣B．﹣C．﹣1 D．07．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是y轴正半轴上的一点，当∠CAO＝2∠BAO时，则点C的纵坐标是（）A．2 B．C．D．8．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A、点C在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上．若直线BC的解析式为y＝x﹣2，则k的值为（）A．24 B．12 C．6 D．49．若反比例函数y ＝（a＞b，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2）设m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），则y＝mx﹣m不经过第（）象限．A．一B．二C．三D．四10．如图，正方形ABCD的顶点C、D在函数y ＝（k≠0）的图象上，已知点A的坐标为（﹣，3），点C的横坐标为4，则k的值为（）A．5 B．6C．7 D．811．如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），..P n（x n，y n）在函数y＝（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n﹣1A n…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…A n﹣1A n，都在x轴上，则y1+y2+…+y n＝．12．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，与x轴平行的直线l交抛物线于A、B，交y轴于M，若AB＝6，则OM的长为．13．抛物线y＝a（x+m）2+b与x轴的两交点为（﹣2，0），（1，0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解为．14．已知抛物线y＝x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣1与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a2+b2＝7，则k＝．15．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（2，﹣2），C（6，﹣2），则过A、B、C 三点的圆的圆心坐标为．16．实数x，y满足2x2﹣6x+y2＝0，设w＝x2+y2﹣8x，则w的最大值是．17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（﹣2，0），直线y＝x与过点A的直线y＝kx+b（0＜k＜）交于点P，以AP为直径画圆，过P作PQ⊥OP交圆于点Q，则PQ的长为．18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），D为抛物线的顶点，∠DAB＝45°，过A作AC⊥AD交抛物线于点C，动直线l过点A，与线段CD交于点P，设点C，D到直线l的距离分别为d1、d2，则d1+d2的最大值为．19．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（0，1），形状相同的抛物线∁n （n＝1，2，3，4，…）的顶点在直线AB上，其对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，那么这些抛物线称为“美丽抛物线”，根据上述规律，抛物线C2的顶点坐标为；若这些“美丽抛物线”与抛物线y＝x2+1形状相同，试写出抛物线C10的解析式．21．如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点P（n，2），与x交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，PB⊥x轴于点B，且AC＝BC．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）点D为反比例函数图象上使得四边形BCPD为菱形的一点，点E为y轴上的一动点，当|DE﹣PE|最大时，求点E的坐标．22．如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A（﹣3，0），点B在x轴正半轴上，连接AC、BC．点D从点A出发，沿AC向点C移动；同时点E从点O出发，沿x轴向点B移动，它们移动的速度都是每秒1个单位长度，当其中一点到达终点时，另一点随之停止移动，连接DE，设移动时间为t秒．（1）若t＝3时，△ADE与△ABC相似，求这个二次函数的表达式；（2）若△ADE可以为直角三角形，求a的取值范围．23．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（3，0），并且OA＝OC＝3OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上，（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底的等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，以线段EF的中点G为圆心，以EF为直径作⊙G，求⊙G最小面积．24．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（﹣3，0），以点A 为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B，C的横坐标分别为﹣2，﹣5，连接AB，AC，并且满足AB⊥AC．（1）求该二次函数的关系式；（2）经过点B作直线BD⊥AB，与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，连接AE，请判断△ADE的形状，并说明理由；（3）若直线y＝kx+1与圆A相切，请直接写出k的值．25．如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F 的横坐标为，四边形BDEF为平行四边形．（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．参考答案1．解：如图所示，作△AOB的外接圆⊙C，连接CB，CA，CO，过C作CD⊥AB于D，则CA＝CB，由题可得∠AOB＝45°，∴∠ACB＝90°，∴CD ＝AB＝1，AC＝BC ＝＝CO，连接OD，则OD≤OC+CD，∴当O，C，D在同一直线上时，OD的最大值为OC+CD ＝，此时OD⊥AB，∴△AOB 的面积最大值为AB×OD ＝×2（+1）＝，当点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上时，同理可得，△AOB 面积的最大值为，当点A在第二象限内，点B在x轴正半轴上时，同理可得，△AOB 面积的最大值为，故选：B．2．解：令：y＝﹣x2+4x﹣3＝0，可以得到：A（1，0），B（3，0），∴AB＝2，∵AB＝BD，∴BD＝2，∴OD＝5，则：D（5，0），则：右侧抛物线方程为：y＝﹣（x﹣3）（x﹣5），直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，正好处于l1、l2之间的区域，其中：l1与抛物线上方相切，l2过点B，将l1方程和右侧抛物线方程联立得：x+m＝﹣（x﹣3）（x﹣5），△＝b2﹣4ac＝0，解得：m＝﹣；点B（3.0）代入y＝x+m中，则：m＝﹣3，∴﹣3＜m＜﹣，故选：D．3．解：y＝x2+x+c，﹣＝﹣，即二次函数图象的对称轴是直线x＝﹣，设二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的另一个交点的横坐标是a，∵二次函数y＝x2+x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），∴1﹣（﹣）＝﹣﹣a，解得：a＝﹣2，∴关于x的方程x2+x+c＝0的两实数根分别是1和﹣2，故选：B．4．解：过点D作DF⊥x轴，垂足为F，过C、B作x、y轴的垂线相交于点G，连接BD，∵A（﹣），E（0，2），∴OA＝，OE＝2，AE＝＝，∵▱ABCD，∴S△ABD＝S△BCD，又∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，∴S△ABE＝S△BDE，∴AE＝ED＝2.5，∵△AEO∽△ADF，∴，∴DF＝2•EO＝4，∴D（，4）∴反比例函数的关系式为：y＝，在Rt△ADF中，AF＝，易证△ADF≌△BCG，∴BG＝AF＝3，CG＝DF＝4，当x＝BG＝3时，y＝2，∴C（3，2）∴OB＝CG﹣CH＝4﹣2＝2，∴S△ABE＝×4×＝3，又∵四边形BCDE的面积是△ABE面积的3倍，∴▱ABCD的面积＝4S△ABE＝4×3＝12，故选：C．5．解：y＝kx+b＜0，则x＜﹣2，y＝mx+n＞0，则x＜5，不等式组的解集即为：x＜﹣2，故选：B．6．解：连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，又∵MN⊥MC，∴∠CMN＝90°，∴∠AMC＝∠MNB，∴△AMC∽△NBM，∴，设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，∴，即：y＝x2+x∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）当BN最大，此时ON最小，点N（0，b）越往上，b的值最大，∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，此时，N（0，）b的最大值为．故选：A．7．解：设点C的坐标为（0，c），作BD⊥AC于点D，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别交于点A、B，∴点A（﹣2，0），点B（0，1），∴OA＝2，OB＝1，∵∠CAO＝2∠BAO，∴AB平分∠OAC，∴BD＝OB＝1，∵S△ABC＝，∴，解得，c＝，即点C的纵坐标是，故选：D．8．解：分别过点A、B作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则∠BMA＝∠CNB＝90°，∵正方形ABCD，∴∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠MBA+∠BAM＝90°，∠MBA+∠CBN＝90°，∴∠BAM＝∠CBN．在△ABM和△BCN中，，∴△ABM≌△BCN（AAS），∴BN＝AM，BM＝CN，由直线y＝x﹣2可知B（4，0），E（0，﹣2），∵∠OBE＝∠NBC，∠BOE＝∠BNC＝90°，∴△BOE∽△BNC，∴＝＝＝2，∴BN＝2CN，∴设C（4+2a，a），则B（4﹣a，2a），∵A\C都在y＝y＝（k＞0，x＞0）上，∴k＝（4+2a）•a＝（4﹣a）•2a，解得a＝1．∴C（6，1），∴k＝6×1＝6，故选：C．9．解：∵点C（x1，y1）和点D（x2，y2）在反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上，m＝（x1﹣x2）（y1﹣y2），∴m＝（x1﹣x2）（﹣）＝﹣•（a﹣b），∵反比例函数y＝（a＞1，x＜0）图象上有两个点（x1，y1），（x2，y2），∴（x1﹣x2）2＞0，x1x2＞0，a﹣b＞0，∴m＜0∴y＝mx﹣m不经过第三象限，故选：C．10．解：连接AC，BD交于点J．设C（4，m）．∵四边形ABCD是正方形，∴AJ＝JC，∵A（﹣，3），C（4，m），∴J（，），∵点D是由点A绕点J顺时针旋转90°得到D，可得D（，），∵C，D都在y＝的图象上，∴4m＝•，解得m＝或﹣，∴C（4，），∴k＝6，补充方法：（可以利用构造全等三角形的方法求出C，D坐标，再利用待定系数法解决问题）故选：B．11．解：如图，过P1，P2，P3…P n，分别作x轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…Q n，∵△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n﹣1A n…都是等腰直角三角形，∴OQ1＝P1Q1＝Q1A1＝y1，A1Q2＝P2Q2＝Q2A2＝y2，A2Q3＝P3Q3＝Q3A3＝y3，……A n﹣1Q n＝P n Q n＝Q n A n＝y n，于是P1（y1，y1），P2（2y1+y2，y2），P3（2y1+2y2+y3，y3），……P n（2y i+2y2+2y3+…+2y ny n，y n），﹣1+将P1（y1，y1）代入反比例函数y＝得，y1•y1＝9，解得y1＝3，因此P2（6+y2，y2），将P2（2y1+y2，y2），y1＝3，代入反比例函数y＝得，（6+y2）•y2＝9，解得y2＝3﹣3，同理将P3（2y1+2y2+y3，y3），P4（2y1+2y2+2y3+y4，y4），……代入反比例函数关系式可求得，y3＝3﹣3，y4＝3﹣3＝6﹣3，y5＝3﹣3＝3﹣6，……所以y1+y2+…+y n＝3+3﹣3+3﹣3+…+3﹣3＝3，故答案为：3．12．解：抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个交点，则b2﹣4c＝0，设OM＝h，A、B点的横坐标分别为m、n，则：A（m，h）、B（n，h），由题意得：x2+bx+（c﹣h）＝0，则：m+n＝﹣b，mn＝c﹣h，AB＝6＝n﹣m＝＝＝，解得：h＝9，故答案为9；附注：其它解法：将抛物线平移，顶点至原点，此时y＝x2，则点B点横坐标为3，故y＝9．13．解：∵抛物线y＝a（x+m）2+b与x轴的两交点为（﹣2，0），（1，0），∴方程a（x+m）2+b＝0的解为x1＝﹣2，x2＝1，∴方程a（x+m+2）2+b＝0中，x+2＝﹣2或x+2＝1，∴方程a（x+m+2）2+b＝0的解为x1＝﹣4，x2＝﹣1．故答案为：x1＝﹣4，x2＝﹣1．14．解：当y＝0时，x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣1＝0，由题意可得，a、b是方程x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣1＝0的两个根，∴a+b＝k﹣1，ab＝﹣3k﹣1，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（k﹣1）2﹣2（﹣3k﹣1）＝7，化简，得k2+4k﹣4＝0，解得x1＝﹣2+，x1＝﹣2﹣（不符合题意，舍去），故答案为．15．解：已知A（2，4），B（2，﹣2），C（6，﹣2），AB的垂直平分线是y＝1，BC的垂直平分线是x＝4，∴过A、B、C三点的圆的圆心坐标为（4，1）．故本题答案为：（4，1）．16．解：由2x2﹣6x+y2＝0，得2x2+y2＝6x知x≥0，又y2＝﹣2x2+6x，w＝x2﹣2x2+6x﹣8x＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，由此可见，当x≥﹣1时，w随着x的增大而减小，又因为x≥0＞﹣1，故当x＝0时，w的最大值是0．故答案为：0．17．解：如图，延长PO交圆于点M，连接AM，AQ∵AP为直径∴∠Q＝∠M＝90°又∵PQ⊥OP∴∠QPM＝90°∴四边形AMPQ为矩形∴PQ＝MA∵OP所在直线为y＝x∴∠AOM＝60°∴∠MAO＝30°∵A（﹣2，0），∴OA＝∴OM＝∴AM＝＝故答案为：．18．解：点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）；∵A、B关于抛物线对称轴对称，∴△DAB是等腰三角形，而∠DAB＝45°，∴△DAB是等腰直角三角形，得D（1，﹣2）；∵CA⊥AD，∠DAC＝90°，又∵∠DAB＝45°，∴∠CAB＝45°；令点C的坐标为（m，n），而点A（﹣1，0），故有m+1＝n，∵点C在抛物线上，∴n＝（m﹣1）2﹣2；化简得m2﹣4m﹣5＝0，解得m＝5，m＝﹣1（舍去），故点C的坐标为（5，6），由点A、C、D的坐标知，AC＝6，而AD＝2，∴DC＝＝4；过A作AM⊥CD，又∵S△ACD＝×AC×AD＝×DC×AM，∴AM＝＝，又∵S△ADC＝S△APD+S△APC，∴×AC×AD＝×AP×d1+×AP×d2，d1+d2＝≤＝24×＝4；即此时d1+d2的最大值为4．19．解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵AC＝CB，∴OD＝OE，设A（﹣a，），则B（a，），故S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3，故答案为：3．20．解：设直线AB的解析式为y＝kx+b则，解得：故直线AB的解析式为y＝x+1，∵抛物线C2的顶点坐标的横坐标为3，且顶点在直线AB上∴抛物线C2的顶点坐标为（3，2）∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为：2，3，5，8，13，21，34，55，89，144…∴每个数都是前两个数的和，∴抛物线C10的顶点坐标的横坐标为：144，则纵坐标为：×144+1＝49，∴抛物线C10的顶点坐标为（144，49），故抛物线C10的解析式为：y＝﹣（x﹣144）2+49．故答案为：（3，2），y＝﹣（x﹣144）2+49．21．解：（1）∵AC＝BC，∴OA＝OB．∵点A的坐标为（﹣4，0），∴点B的坐标为（4，0），∴点P的坐标为（4，2）．将A（﹣4，0），P（4，2）代入y＝kx+b，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x+1．∵点P（4，2）在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴2＝，∴m＝4×2＝8，∴反比例函数的解析式为y＝．（2）当x＝0时，y＝x+1＝1，∴点C的坐标为（0，1）．∵四边形BCPD为菱形，B（4，0），C（0，1），P（4，2），∴点D的坐标为（4+4﹣0，0+2﹣1），即（8，1）．在△DPE1中，∵DP＞|DE1﹣PE1|，∴当点D，P，E三点共线时，|DE﹣PE|取得最大值，最大值为DP．∵DP∥BC，BP∥CE，∴四边形BCEP为平行四边形，∴CE＝BP＝2，又∵点C的坐标为（0，1），∴点E的坐标为（0，3）．∴当|DE﹣PE|最大时，点E的坐标为（0，3）．22．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象与y轴交于点C，∴C（0，4），∴OC＝4，∵A（﹣3，0），∴OA＝3，∴AC＝＝＝5，∵t＝3，∴AD＝OE＝3，AE＝6，当△ADE∽△ACB时，∴，即，∴AB＝10，∴B（7，0），∵二次函数y＝ax2+bx+4的图象过点A（﹣3，0），点B（7，0），∴解得：∴抛物线解析式为：，当△ADE∽△ABC时，，即，∴（舍去），综上，二次函数的表达式为：；（2）若△ADE可以为直角三角形，显然∠ADE＝90°，∴△ADE∽△AOC，∴，∴，解得：．设B（x，0），则，设抛物线对称轴为直线，∵A（﹣3，0），∴①．把x＝﹣3，y＝0代入y＝ax2+bx+4，得②，把②代入①，∵a＜0，解得：．23．解：（1）∵点A的坐标是（3，0），∴OA＝3，∵OA＝OC＝3OB，∴OC＝3，OB＝1，∴点C（0，3），点B（﹣1，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣3），∴3＝﹣3a，∴a＝﹣1，∴抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）∵△ACP是以AC为底的等腰三角形，∴AP＝CP，又∵OA＝OC，∴OP是AC的垂直平分线，∵OA＝OC，∠AOC＝90°，OP是AC的垂直平分线，∴OP平分∠AOC，∴直线OP解析式为y＝x，联立方程组可得：，∴或，∴点P坐标为（，）或（，）；（3）如图，∵点A的坐标是（3，0），点C坐标为（0，3），∴直线AC解析式为：y＝﹣x+3，设点D坐标为（m，﹣m+3），∴DE＝|m|，DF＝|﹣m+3|，∴EF2＝DE2+DF2＝m2+（﹣m+3）2，∵⊙G的面积＝×EF2＝×[m2+（﹣m+3）2]＝×[2（m﹣）2+]，∴当m＝时，⊙G最小面积为．24．解：（1）如图1，过点B作BM⊥x轴于M，过点C作CN⊥x轴于N，∴∠ANC＝∠BMA＝90°，∴∠ABM+∠BAM＝90°，∵AC⊥AB，∴∠CAN+∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠CAN，∵⊙A过点B，C，∴AC＝AB，∴△ACN≌△BAM（AAS），∴CN＝AM＝﹣2﹣（﹣3）＝1，BM＝AN＝﹣3﹣（﹣5）＝2，∴B（﹣2，﹣2），C（﹣5，﹣1），∵点B，C在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x﹣11，（2）△ADE是等腰三角形，理由如下：如图1，∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，∴∠ABM+∠DBM＝90°，过点B作BM⊥x轴于M，∴∠BMD＝∠AMB＝90°，∴∠BDM+∠DBM＝90°，∴∠ABM＝∠BDM，∴△ABM∽△BDM，∴，∴，∴DM＝4，∴D（2，0），∴AD＝5，∵B（﹣2，﹣2），∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，联立，，∴（舍）或，∴E（﹣6，﹣4），∴AE＝＝5，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（3）如图2，∵点B（﹣2，﹣2）在⊙A上，∴AB＝，记直线y＝kx+1与y轴相交于F，令x＝0，则y＝1，∴F（0，1），∴OF＝1，Ⅰ、当直线y＝kx+1与⊙A的切点在x轴上方时，记切点为G，则AG＝AB＝，∠AGF＝90°，连接AF，在Rt△AOF中，OA＝3，OF＝1，∴AF＝，在Rt△AGF中，根据勾股定理得，FG＝＝＝AG，过点G作GP⊥y轴于P，过点G作GQ⊥x轴于Q，∴∠AQG＝∠FPG＝90°＝∠POQ，∴四边形POQG是矩形，∴∠PGQ＝90°，∵FG是⊙A的切线，∴∠AGQ＝∠FGP，∴△AQG≌△FPG（AAS），∴AQ＝PF，GQ＝PG，设点G（m，km+1），∴AQ＝m+3，PF＝km，PG＝﹣m，GQ＝km+1，∴m+3＝km①，km+1＝﹣m②，联立①②解得，，Ⅱ、当切点在x轴下方时，同Ⅰ的方法得，k＝2，即：直线y＝kx+1与圆A相切，k的值为﹣或2．25．解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），∵A（0，1），B（，0），设直线AB的解析式为y＝kx+m，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，∵点F的横坐标为，∴F点纵坐标为﹣+1＝﹣，∴F点的坐标为（，﹣），又∵点A在抛物线上，∴c＝1，对称轴为：x＝﹣，∴b＝﹣2a，∴解析式化为：y＝ax2﹣2ax+1，∵四边形DBFE为平行四边形．∴BD＝EF，∴﹣3a+1＝a﹣8a+1﹣（﹣），解得a＝﹣1，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+1；（2）设P（n，﹣n2+2n+1），作PP'⊥x轴交AC于点P'，则P'（n，﹣n+1），∴PP'＝﹣n2+n，S△ABP＝OB•PP'＝﹣n＝﹣+，∴当n＝时，△ABP的面积最大为，此时P（，）．（3）∵，∴x＝0或x＝，∴C（，﹣），设Q（，m），①当AQ为对角线时，∴R（﹣），∵R在抛物线y＝+4上，∴m+＝﹣+4，解得m＝﹣，∴Q，R；②当AR为对角线时，∴R（），∵R在抛物线y＝+4上，∴m﹣+4，解得m＝﹣10，∴Q（，﹣10），R（）．综上所述，Q，R；或Q（，﹣10），R（）。
函数的性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优(人教A版必修第一册)
专题3.2 函数的基本性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝|x ＋2|在[－3,0]上( )A ．单调递减B ．单调递增C ．先减后增D ．先增后减2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定3．函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥1,21,12x x x x 的最大值为( )A ．1B ．2 C.21 D.31 4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．25．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B．f(－π)>f(－2)>f(3)C．f(3)>f(－2)>f(－π)D．f(3)>f(－π)>f(－2)6．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常数)，且f(－3)＝5，则f(3)＝()A．21B．－21C．26D．－267.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数8.(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是() A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9.已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________.10.若函数f(x)＝8x2－2kx－7在[1,5]上为单调函数，则实数k的取值范围是________．11.若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的排列是____________．12.(一题两空)已知函数f(x)＝x2＋ax＋2(a>0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a＝________；函数y ＝f(x)在区间[－2,1]上的值域为________．三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21()1x f x x -=+ （1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值14．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求函数f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．15．(12分)已知函数())1f x a =≠. （1）若0a >，求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.16．(12分)已知函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值； （2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f （x ）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．专题3.2 函数的基本性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x )＝|x ＋2|在[－3,0]上( )A ．单调递减B ．单调递增C ．先减后增D ．先增后减【答案】C【解析】作出f (x )＝|x ＋2|在(－∞，＋∞)上的图象，如图所示，易知f (x )在[－3,0]上先减后增．2．设(a ，b )，(c ，d )都是f (x )的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)<f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)＝f (x 2)D ．不能确定【答案】D【解析】作由函数单调性的定义，知所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x 1，x 2不在同一单调区间内，所以f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定．故选D. 3．函数f (x )＝⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥1,21,12x x x x 的最大值为( )A ．1B ．2 C.21 D.31 【答案】B【解析】作当x ≥1时，函数f (x )＝x1为减函数，此时f (x )在x ＝1处取得最大值，最大值为f (1)＝1；当x <1时，函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，最大值为f (0)＝2.综上可得，f (x )的最大值为2，故选B.4．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 【答案】C【解析】作因为f (x )＝－(x 2－4x ＋4)＋a ＋4＝－(x －2)2＋4＋a ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.所以f (x )在[0,1]上单调递增．又因为f (x )min ＝－2，所以f (0)＝－2，即a ＝－2.所以f (x )max ＝f (1)＝－1＋4－2＝1.5．设f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f (－2)，f (－π)，f (3)的大小顺序是( )A ．f (－π)>f (3)>f (－2)B ．f (－π)>f (－2)>f (3)C ．f (3)>f (－2)>f (－π)D ．f (3)>f (－π)>f (－2)【答案】A【解析】作∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (－2)＝f (2)，f (－π)＝f (π)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，∴f (π)>f (3)>f (2)，即f (－π)>f (3)>f (－2)．6．已知f (x )＝x 5＋ax 3＋bx －8(a ，b 是常数)，且f (－3)＝5，则f (3)＝( )A ．21B ．－21C ．26D ．－26【答案】B【解析】作设g (x )＝x 5＋ax 3＋bx ，则g (x )为奇函数．由题设可得f (－3)＝g (－3)－8＝5，得g (－3)＝13.又g(x)为奇函数，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.7.(多选)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的有()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|＋g(x)是偶函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数【答案】BC【解析】作∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∴|f(x)|是偶函数，|g(x)|是偶函数．根据一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f(x)g(x)为奇函数，f(x)|g(x)|为奇函数，所以|f(x)g(x)|为偶函数，故选项A、D错误，选项C正确；由两个偶函数的和还是偶函数得选项B正确．故选B、C.8.(多选)已知函数f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])，g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])，下列结论正确的是() A．∀x∈[－2,2]，f(x)>a恒成立，则实数a的取值范围是a<－3B．∃x∈[－2,2]，f(x)>a，则实数a的取值范围是a<－3C．∃x∈[0,3]，g(x)＝a，则实数a的取值范围是－1≤a≤3D．∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)【答案】AC【解析】作在A中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x＝2时，函数的最小值为－3，因此a<－3，A正确；在B中，因为f(x)＝－2x＋1(x∈[－2,2])是单调递减函数，所以当x ＝－2时，函数的最大值为5，因此a<5，B错误；在C中，函数g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，所以当x＝1时，函数g(x)取得最小值－1，当x＝3时，函数g(x)取得最大值3，故函数的值域为[－1,3]，由g(x)＝a有解，知a∈g(x)的值域，即－1≤a≤3，C正确；在D中，∀x∈[－2,2]，∃t∈[0,3]，f(x)＝g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值域的子集，而f(x)的值域是[－3,5]，g(t)的值域是[－1,3]，D错误．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9.已知函数f (x )为偶函数，且当x <0时，f (x )＝x ＋1，则x >0时，f (x )＝________.【答案】－x ＋1【解析】作当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－x ＋1，又f (x )为偶函数，∴f (x )＝－x ＋1.10.若函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，则实数k 的取值范围是________．【答案】(－∞，8]∪[40，＋∞)【解析】作由题意知函数f (x )＝8x 2－2kx －7的图象的对称轴为x ＝8k ，因为函数f (x )＝8x 2－2kx －7在[1,5]上为单调函数，所以8k ≤1或8k ≥5，解得k ≤8或k ≥40，所以实数k 的取值范围是(－∞，8]∪[40，＋∞)． 11.若f (x )＝(m －1)x 2＋6mx ＋2是偶函数，则f (0)，f (1)，f (－2)从小到大的排列是____________．【答案】f (－2)<f (1)<f (0)【解析】作∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )恒成立，即(m －1)x 2－6mx ＋2＝(m －1)x 2＋6mx ＋2恒成立，∴m ＝0，即f (x )＝－x 2＋2.∵f (x )的图象开口向下，对称轴为y 轴，在[0，＋∞)上单调递减， ∴f (2)<f (1)<f (0)，又∵f (x )＝－x 2＋2为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．即f (－2)<f (1)<f (0)．12.(一题两空)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋2(a >0)在区间[0,2]上的最大值等于8，则a ＝________；函数y ＝f (x )在区间[－2,1]上的值域为________．【答案】1 ]4,47[【解析】作由题知函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a 2<0，故f (x )max ＝f (2)＝6＋2a ＝8，所以a ＝1，则f (x )＝x 2＋x ＋2＝2)21(+x ＋47.因为f (x )的对称轴为直线x ＝－21∈[－2,1]且f )21(-＝47，f (－2)＝4，f (1)＝4，所以所求值域为]4,47[三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13．(10分)（2019·陕西高一期中）已知函数21()1x f x x -=+ （1）试判断函数在（-1，+∞）上的单调性，并给予证明；（2）试判断函数在[3,5]x ∈的最大值和最小值【解析】（1）∵()213211x y f x x x -===-++， ∴函数()f x 在()1，-+∞上是增函数， 证明：任取1x ，()21x ∈-+∞，，且12x x <， 则()()1212213333221111f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()()()1212311x x x x -=++， ∵121x x -<<，∴120x x -<，()()12110x x ++>，∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，∴()f x 在()1，-+∞上是增函数. （2）∵()f x 在()1，-+∞上是增函数， ∴()f x 在[3]5，上单调递增， 它的最大值是()25135512f ⨯-==+， 最小值是()23153314f ⨯-==+． 14．(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2.(1)求函数f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域．【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2，∴－3和2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根，∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0.② ①－②得b ＝a ＋8.③将③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0.∵a ≠0，∴a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋21)2＋43＋18.图像的对称轴是直线x ＝－21.∵0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18，∴此时函数f (x )的值域是[12,18]．15．(12分)已知函数())1f x a =≠. （1）若0a >，求()f x 的定义域；（2）若()f x 在区间(]0,1上是减函数，求实数a 的取值范围.【解析】(1)当0a >且1a ≠时，由30ax -≥得3x a ≤，即函数()f x 的定义域是3,a ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. (2)当10a ->即1a >时，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1上为减函数，即0a -<，并且且310a -⨯≥，解得13a ；当10a -<即1a <时 ，令3t ax =-要使()f x 在(]0,1上是减函数，则函数3t ax =-在(]0,1为增函数，即0a ->并且310a -⨯≥，解得0a <综上可知，所求实数a 的取值范围是()(],01,3-∞.16．(12分)已知函数f （x ）＝x m x+，且此函数图象过点（1，2）． （1）求实数m 的值； （2）判断函数f （x ）的奇偶性并证明；（3）讨论函数f（x）在（0，1）上的单调性，并证明你的结论．【解析】（1）∵函数f（x）＝xmx+，且此函数图象过点（1，2），∴2＝1+m，∴m＝1；（2）f（x）＝x1x+，定义域为：()()00-∞⋃+∞，，，又f（﹣x）＝﹣x1x+=--f（x），∴函数f（x）是奇函数；（3）函数f（x）在（0，1）上单调递减，设0＜x1＜x2＜1，则()()()()2112 12121212121212111x x x xf x f x x x x x x xx x x x x x---=+--=-+=-⋅⋅⋅，∵0＜x1＜x2＜1，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，∴()()()121212121x xf x f x x xx x--=-⋅＞，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上的单调递减．。
2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典2(人教A版)(解析版)
2020-2021 学年高一数学尖子生同步培优题典
D
、当
x
3
时，函数
f
(x)
2 sin(2 x
6
)
，
x
R
，
f
3
2
sin
2
3
6
2
所以 x 为 f (x) 图象的一条对称轴，正确． 3
2 sin(2 x
6
)
，
x
R
，
则 A 、 2 f (x) 2 正确，
B 、当 2x k ，k Z ，即 x k ，k Z ，f (x) 在区间 (0, ) 上只有 2 个零点，则 f (x)
6
2 12
在区间 (0, ) 上只有 1 个零点错误，
C 、 f (x) 的最小正周期为 ，正确
【解析】
cos(
2
)
cos[(
4
)
( 4
2
)]
cos(
4
)
cos
4
2
sin( 4
) sin( 4
2
)
，
而
(
,
3
)
，
(
,
)
，因此
sin(
)
2
2
，
sin(
)
6，
4
4 4 4 2 42
4
3
42 3
则 cos( ) 1 3 2 2 6 5 3 ．故选：C 2 33 3 3 9
4 5
，
故
cos
3
2
2
cos
2
3
2
1
2
16 1 25
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2021秋高一数学(人教A版必修1)尖子生同步培优题典《3.2函数模型及其应用》(原卷版)
专题3.2 函数模型及其应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020·辽宁沈阳高一期末）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP （即人均纯收入）在0.5~8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等地区的年人均销售量最大，然后向两边递减．下列几个模拟函数中用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？（x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L ）（ ）A ．()20y ax bx a =+<B ．()0y kx b k =+≠C ．(0a y log x b a =+>且1)a ≠D ．(0x y a b a =+>且1)a ≠ 2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（）A ．甲比乙先出发B ．乙比甲跑的路程多C ．甲、乙两人的速度相同D ．甲比乙先到达终点3．（2020·河北唐山高一期末）地震学家里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测振仪衡量地震能量等级，其计算公式0lg lg M A A =-，M 表示里氏震级，A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测振仪距实际震中的距离造成的偏差)，计算7.8级地震的最大振幅是4.5级地震的最大振幅的倍数( ) (答案精确到个位，参考数据：lg398 2.6，lg1995 3.3，lg 7.80.89，lg30.48≈)A ．1995B ．398C ．89D ．484．（2020·吉林吉林高一期末）某食品加工厂2018年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品.计划从2019=，年开始每年比上一年获利增加20%，问从哪一年开始这家加工厂年获利超过60万元（已知lg20.3010 =）.（）lg30.4771A．2023年B．2024年C．2025年D．2026年5．（2020·山东临朐高三月考）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（）A．6升B．8升C．10升D．12升6．（2020·湖南宁乡一中高一月考）某品牌电脑投放市场的第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销售量y与投放市场月数x之间的关系的是A．y=100x B．y=50x2–50x+100C．y=50×2x D．y=100log2x+1007．（2020·山东聊城高一期末）为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，计费方法如下：若某户居民本月交纳的电费为380元，则此户居民本月用电量为（）A．475度B．575度C．595.25度D．603.75度8．（2020·全国高一课时练习）如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD＝DC＝2，CB，动点P从点A出发，由A→D→C→B沿边运动，点P在AB上的射影为Q.设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，则y＝f(x)的图象大致是（）A ．B ．C ．D ． 9．某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x 年后，若人均一年占有y 千克粮食，则y 关于x 的解析式为（ ）A ． 1.0436011.012x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．360 1.04x y =⨯C ．360 1.041.012xy ⨯= D ． 1.04360 1.012x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭10．（2020·莆田第六中学高一期中）某商场对顾客实行购物优惠活动规定，一次购物付款总额．．．．．．．．： （1）如果标价总额．．．．不超过200元，则不给予优惠； （2）如果标价总额．．．．超过200元但不超过500元，则按标价总额．．．．给予9折优惠； （3）如果标价总额．．．．超过500元，其500元内的按第（2）条给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠. 某人两次去购物，分别付款180元和423元，假设他一次性购买上述两次同样的商品，则应付款（ ）A ．550元B ．560元C ．570元D ．580元11．（2020·四川自贡）某商场经营一批进价为30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x （单位：元）与日销售量y （单位：件）之间有如下表所示的关系．销售单价为x 元时，才能获得最大日销售利润p ，则x 、p 分别为（ ）A ．35，225B ．40，300C ．45，350D ．45，40012．如图，某池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间1（单位：月）的关系为t y a =.关于下列说法：①浮萍每月的增长率为1；②第5个月时，浮萍面积就会超过230m ；③浮萍每月增加的面积都相等；④若浮萍蔓延到2222,3,6m m m 所经过的时间分别是123,,t t t ，则123t t t +=，其中正确的说法是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 13．（2020·西藏城关拉萨中学高一期中）表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km 的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h ，晚到1 h ；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h 后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h 后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．14．（2020·衡水市第十三中学高一月考）某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量(y 毫克)与时间(t 小时)之间的函数关系式为0.11000.1=1>0.116t t t y t -≤≤⎧⎪⎨⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎩，，据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习.那么从药物释放开始，至少需要经过____________小时后，学生才能回到教室.15．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过600元，则不享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过600元，则超过600元部分享受一定的折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为30元，则他实际所付金额为____元．16．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3/mg mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09/mg mL ，那么这个人至少经过________小时才能开车.（精确到1小时，参考数据：lg30.48,lg 40.60≈≈）三、解答题（本大题共4小题，每题9分，共36分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2020·上海高一课时练习）为鼓励居民节约用水，某市自来水公司对全市用户采用分段计费的方式计算水费，收费标准如下：不超过10t 的部分为2.20元/t ；超过10t 不超过18t 的部分为2.80元/t ；超过18t 部分为3.20元/t .（1）试求居民月水费y （元）关于用水量(t)x 的函数关系式；（2）某户居民4月份用水16t ，应交水费多少元？（3）若有一户居民5月份水费为57.20元，请问该户居民5月份用水多少？（4）若某户居民6月份、7月份共用水36t ，且6月份水费比7月份水费少12元，则该户居民6、7月份各用水多少？18．（2020·浙江高一单元测试）甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示. （1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =.（2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。
2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算（含答案）
2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算（含答案）2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算一、选择题（本大题共10道小题）1. 化简a 2a －1－(a ＋1)的结果是( )A. 1a －1B. －1a －1C. 2a －1a －1D. －2a －1a －12. 计算a 6b 3·b 2a ，结果是( ) A ．a5b5 B ．a4b5 C ．ab5D ．a5b63. 当x ＝3时下列各式中值为0的是( )A.x －9x2－9B.1x －3C.x －3x ＋3D.x ＋3x －34. 下列分式中，最简分式是 ( ) A . B .C .D .5. 若△÷a2－1a ＝1a －1，则“△”可能是( ) A.a ＋1aB.aa －1C.a a ＋1D.a －1a6. 一辆货车送货上山，并按原路下山.上山速度为a 千米/时，下山速度为b 千米/时，则货车上、下山的平均速度为多少千米/时 ( ) A .(a+b ) B .C .D .7. 计算16－a2a2＋4a ＋4÷a －42a ＋4·a ＋2a ＋4，其结果是( )A ．－2a ＋8B ．2C ．－2a －8D ．－28. 已知=，则的值为 ( ) A .B .C .D .9. （2020·随州）xx x 214222-÷-的计算结果为（） A.2+x x B.22+x x C.22-x xD.)2(2+x x10. 若m+n -p=0，则m -+n --p +的值是 .二、填空题（本大题共10道小题）11. 当x ＝________时，分式x －22x ＋5的值为0.12. 若a ＝2b ≠0，则a 2－b 2a 2－ab 的值为________．13. （2020·昆明）要使15+x 有意义，则x 的取值范围是 .14. （2020台州）计算的结果是．15. （2020·黄冈）计算：221y x x y x y ??÷- ?-+??的结果是________．16. 分式32（x ＋1），2x －15（x －1），2x ＋1x2－1的最简公分母是________________.17. 已如m +n =-3，则分式22(2)m n m n n m m+--÷-的值是____________.18. 要使x ＋52x ＋1＝（x ＋5）（3m ＋2）（2x ＋1）（7－2m ）成立，则m ＝________．19. 已知a ≠0，S 1=-3a ，S 2=，S 3=，S 4=，…，S 2020=，则S 2020= .20. 观察下列各式:=1-=， +=1-+=，++=1-++=，…根据你发现的规律可得+++…+= .(n 为正整数)三、解答题（本大题共6道小题）21. 先化简，再求值:÷，其中x=.22. 观察下列等式：1×12＝1－12，2×23＝2－23，3×34＝3－34，…… (1)猜想并写出第n 个等式；(2)证明你写出的等式的正确性．23. （2020·黑龙江龙东）先化简，再求值：（1），其中a ＝sin 30°．24. 约分：(1)15xy225y3z ； (2)12xy2＋9xyz 3x2y ； (3)m3－m 4m ＋4； (4)9a2＋24ab ＋16b23a ＋4b .25.x2－1x2－2x＋1先化简：xx＋3÷x2＋xx2＋6x＋9＋3x－3x2－1，再求当x＋1与x＋6互为相反数时代数式的值．26. 【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如:第一次:菜价3元/千克质量金额甲1千克3元乙1千克3元第二次:菜价2元/千克质量金额甲1千克元乙千克3元(1)完成上表;(2)计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.(均价=总金额÷总质量)【数学思考】设甲每次买质量为m千克的菜，乙每次买金额为n 元的菜，两次的单价分别是a元/千克、b元/千克，用含有m，n，a，b的式子分别表示出甲、乙两次买菜的均价.比较的大小，并说明理由.【知识迁移】某船在相距为s的甲、乙两码头间往返航行一次，在没有水流时，船的速度为v，所需时间为t1;如果水流速度为p时(p<v)，船顺水航行速度为(v+p)，逆水航行速度为(v-p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由.< p=""> 2021中考数学尖子生培优训练分式及其运算-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A【解析】先通分，化成同分母分式，然后再进行减法运算，即a2a－1－(a＋1)＝a2a－1－（a＋1）（a－1）a－1＝a2－（a2－1）a－1＝1a－1.2. 【答案】A3. 【答案】C4. 【答案】B[解析] ==，=，只有选项B是最简分式.5. 【答案】A[解析] △＝a2－1a·1a－1＝（a＋1）（a－1）a·1a－1＝a＋1a.6. 【答案】D[解析]设山路全程为1，则货车上山所用时间为，下山所用时间为，货车上、下山的平均速度==，故选D.7. 【答案】D[解析]16－a2a2＋4a＋4÷a－42a＋4·a＋2a＋4＝－（a＋4）（a－4）（a＋2）2·2（a＋2）a－4·a＋2a＋4＝－2.8. 【答案】D[解析] ∵=，∴=6.∴a+=5.∴a+2=25，即a2++2=25.∴=a2++1=24.∴=.9. 【答案】B【解析】本题考查了分式的除法、因式分解，解答过程如下：x x x 214222-÷-=)2(4222x x x -?-=)2()2)(2(2-?-+x x x x =22+x x .因此本题选B ．10. 【答案】-3[解析] 原式=-+---=+-.∵m+n -p=0，∴m -p=-n ，n -p=-m ，m+n=p. ∴原式=-1-1-1=-3.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】2 【解析】根据题意得x －2＝02x ＋5≠0，解得x ＝2.12. 【答案】32 【解析】原式＝（a ＋b ）（a －b ）a （a －b ）＝a ＋b a ，∵a ＝2b≠0，∴原式＝2b ＋b 2b ＝32.13. 【答案】x ≠-1【解析】本题考查了分式有意义的条件.解答过程如下：∵15+x 有意义，∴x +1≠0，∴x 的取值范围是x ≠-1．14. 【答案】解：．故答案为：．15. 【答案】1x y-【解析】本题考查了分式的混合运算，涉及到因式分解、分式加减、分式乘除等考点．221y x x y x y ??÷- ?-+??=()()y x y x x y x y x y +-÷+-+=()()y x y x y x y y +?+-=1x y -，因此本题答案为1x y -．16. 【答案】10(x ＋1)(x －1) [解析] 因为x2－1＝(x ＋1)(x －1)，所以三个分式的最简公分母是10(x ＋1)(x －1)．17. 【答案】13【解析】222222()2()1.m n m n mnm m m m n m mn n m mm n m m m n m n +--=÷-+---=÷+=-?+=-+原式，把m +n =-3，代入，得原式=13.18. 【答案】1 [解析] 根据题意，得3m ＋2＝7－2m ，移项，得3m ＋2m ＝7－2，合并同类项，得5m ＝5，系数化为1，得m ＝1.19. 【答案】-[解析] S 1=-3a ，S 2==-，S 3==-3a ，S 4==-，…∴S 2020=-.20. 【答案】[解析]原式=1-+…+=1-=.三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】解:原式=·=. 当x=时，原式==+1.22. 【答案】思路分析：本题考查分式规律探究及分式运算，证明实质是分式的加减运算．这类问题的解题思维过程是：从特殊情况入手―→探索发现规律―→综合归纳―→猜想得出结论―→验证结论. 解题时要善于从所提供的数字信息中，寻找其共同之处．(1)解：猜想：n ×n n ＋1＝n －n n ＋1. (2)证明：右边＝n （n ＋1）－n n ＋1＝n 2n ＋1＝左边，即n ×n n ＋1＝n －nn ＋1.23. 【答案】解：当a ＝sin 30°时，所以a 原式??＝﹣124. 【答案】解：(1)15xy225y3z ＝5y2·3x 5y2·5yz ＝3x5yz.(2)12xy2＋9xyz 3x2y ＝3xy （4y ＋3z ）3xy·x ＝4y ＋3z x .(3)m3－m 4m ＋4＝m （m ＋1）（m －1）4（m ＋1）＝m （m －1）4.(4)9a2＋24ab ＋16b23a ＋4b ＝（3a ＋4b ）23a ＋4b ＝3a ＋4b.25. 【答案】解：原式＝x x ＋3·（x ＋3）2x （x ＋1）＋3（x －1）（x ＋1）（x －1）(2分)＝x ＋3x ＋1＋3x ＋1(3分) ＝x ＋6x ＋1.(4分) ∵由“x ＋1与x ＋6互为相反数”得(x ＋1)＋(x ＋6)＝0，解之得x ＝－3.5，(5分)∴原式＝－3.5＋6－3.5＋1＝2.5－2.5＝－1.(6分)26. 【答案】[解析](1)菜价2元/千克，买1千克菜的金额为2元;3元钱能买1.5千克菜. (2)根据“均价=总金额÷总质量”，甲均价=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克); 乙均价=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).【数学思考】类比(2)，甲均价=(am+bm)÷(m+m)=(元/千克);乙均价=(n+n)÷=(元/千克).再作差比较大小.【知识迁移】采用类比的方法，根据时间=路程÷速度得，t1=，t2=，t1-t2=<0.解:(1)2;1.5.(2)根据“均价=总金额÷总质量”，得=(3+2)÷(1+1)=2.5(元/千克);=(3+3)÷(1+1.5)=2.4(元/千克).【数学思考】=(am+bm)÷(m+m)=(元/千克);=(n+n)÷=(元/千克).===≥0，∴≥.【知识迁移】t1<t2，理由如下:< p="">t1=，t2=，t1-t2=-=<0，故t1<t2.< p=""> </t2.<></t2，理由如下:<></v)，船顺水航行速度为(v+p)，逆水航行速度为(v-p)，所需时间为t2.请借鉴上面的研究经验，比较t1，t2的大小，并说明理由.<>。
一次函数与正比例函数-2020-2021年八年级数学上册尖子生同步培优题典(解析版)【北师大版】
2020-2021学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【北师大版】专题4.2一次函数与正比例函数姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•浦北县期末）下列函数中是正比例函数的是（）A．y＝﹣7x B．y=−7x C．y＝2x2+1D．y＝0.6x﹣5【分析】利用正比例函数定义进行解答即可．【解析】A、y＝﹣7x是正比例函数，故此选项符合题意；B、y=−7x是反比例函数，故此选项不合题意；C、y＝2x2+1是二次函数，故此选项不合题意；D、y＝0.6x﹣5是一次函数，故此选项不合题意；故选：A．2．（2019春•虹口区期中）下列函数中，是一次函数的是（）A．y=1x+1B．y=√x+1C．y＝x2+1D．y＝2x【分析】根据一次函数的定义分别判断可得答案．【解析】A．y=1x+1中1x不是整式，不是一次函数，不符合题意；B．y=√x+1中√x不是整式，不是一次函数，不符合题意；C．y＝x2+1中x2不是一次，不是一次函数，不符合题意；D．y＝2x是一次函数，符合题意；故选：D．3．（2019秋•高台县校级期中）下列函数：（1）y＝x；（2）y＝2x+1；（3）y=1x；（4）y=x+12−x；（5）s＝12t；（6）y＝30﹣4x中，是一次函数的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．【解析】由题可得，是一次函数的有：（1）y＝x；（2）y＝2x+1；（4）y=x+12−x；（5）s＝12t；（6）y＝30﹣4x，共5个，故选：D．4．（2020春•孝感期末）若函数y＝（m+1）x+m2﹣1是关于x的正比例函数，则m的值（）A．m＝﹣1B．m＝1C．m＝±1D．m＝2【分析】直接利用正比例函数的定义进而得出答案．【解析】∵y＝（m+1）x+m2﹣1是关于x的正比例函数，∴m2﹣1＝0，m+1≠0，解得：m＝1．故选：B．5．（2020春•东丽区期末）若一次函数y＝（k﹣2）x+17，当x＝﹣3时，y＝2，则k的值为（）A．﹣4B．8C．﹣3D．7【分析】把x与y的值代入一次函数解析式求出k的值即可．【解析】把x＝﹣3，y＝2代入一次函数解析式得：2＝﹣3（k﹣2）+17，去括号得：2＝﹣3k+6+17，移项合并得：3k＝21，解得：k＝7．故选：D．6．（2020春•大兴区期末）若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，﹣1），则这个正比例函数的表达式为（）A．y＝2x B．y＝﹣2x C．y=12x D．y=−12x【分析】将函数图象经过的点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0）进行计算即可．【解析】将点（2，﹣1）代入正比例函数y＝kx（k≠0），得﹣1＝2k，∴k=−1 2，∴函数的表达式为y=−12x，故选：D．。
2.1.2指数函数及其性质-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版必修1)
专题2.1.2 指数函数及其性质姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共20题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()f x = ） A ．(2,)-+∞ B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,2)-∞-【答案】B【解析】要使函数有意义，需满足2113027x --≥，即：21333x --≥，因为3xy =为增函数，所以213x -≥-，解得：1x ≥-.2．（2020·浙江高一课时练习）函数2212x xy -⎛⎫=⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】D【解析】由二次函数的性质可知222(1)1[1,)x x x -=--∈-+∞，因此221(0,2]2x xy -⎛⎫=∈⎪⎝⎭，即函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为(0,2].3．（2020·安徽高一月考）若函数xy a b =-，（0a >，且1a ≠）的图像经过第一，第三和第四象限，则一定有（ ） A ．01a <<且1b > B ．1a >且1b > C ．01a <<且1b < D ．1a >且1b <【答案】B【解析】根据指数函数的图象和性质可知，要使函数y ＝a x ﹣（b +1）（a ＞0且a ≠1）的图象经过第一、三、四象限，则函数为增函数，∴a ＞1，且f （0）＜0，即f （0）＝1﹣b ＜0，解得b ＞1．4．（2020·上海华师大二附中高一期末）若函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A ．9,34⎛⎫⎪⎝⎭B ．9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,3D ．()2,3【答案】B【解析】函数6(3)3,7(),7x a x x f x a x ---⎧=⎨>⎩单调递增，()301373a a a a⎧->⎪∴>⎨⎪-⨯-≤⎩解得934a ≤<所以实数a 的取值范围是9,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭．5．如果1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么（ ）A ．a b a a a b <<B ．a a b a b a <<C ．b a a a a b <<D ．b a a a b a <<【答案】C【解析】根据函数()1()2x f x =在R 是减函数，且1111222b a⎛⎫⎛⎫<<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以10b a >>>，所以a ab a b a <<，故选C .6．若函数f(x)＝a |2x －4|(a>0，a≠1)满足f(1)＝19，则f(x)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，2] B ．[2，＋∞) C ．[－2，＋∞) D ．(－∞，－2]【答案】B【解析】由f(1)=得a 2=,∴a=或a=-(舍),即f(x)=(.由于y=|2x -4|在(-∞,2]上单调递减,在[2,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,2]上单调递增,在[2,+∞)上单调递减,故选B.7．函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (x ＋1)＝f (1－x )，且f (0)＝3，则f (b x )与f (c x )的大小关系是 A ．f (b x )≤f (c x ) B ．f (b x )≥f (c x ) C ．f (b x )>f (c x ) D ．与x 有关，不确定【答案】A【解析】∵f （1+x ）＝f （1﹣x ），∴f （x ）图象的对称轴为直线x ＝1，由此得b ＝2．又f （0）＝3，∴c ＝3． ∴f （x ）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x ≥0，则3x ≥2x ≥1，∴f （3x ）≥f （2x ）． 若x ＜0，则3x ＜2x ＜1，∴f （3x ）＞f （2x ）．∴f （3x ）≥f （2x ）． 8．函数2x y a a a =-+（0a >且1a ≠）的图象不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】当01a <<时，2x y a a a =-+为减函数，取0x =时，函数值202155244y a a a a ⎛⎫=-+=--+= ⎪⎝⎭，又01a <<，所以2021551244a a a a ⎛⎫<-+=--+≤ ⎪⎝⎭故C 选项符合题意，D 选项不符合题意；当1a >时，函数2xy a a a =-+为增函数，取0x =时，函数值2021524y a a a a ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，又1a >，所以20215124a a a a ⎛⎫-+=--+< ⎪⎝⎭，故A 选项符合题意，B 选项也符合题意.故选：D.9．（2020·河南高一月考）已知()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且满足()()2xg x h x -=.若存在[]1,1x ∈-，使得不等式()()0m g x h x ⋅+≤有解，则实数m 的最大值为（ ） A ．35B ．35C ．1D ．-1【答案】A 【解析】()g x 为偶函数，()h x 为奇函数，且()()2x g x h x -=①，()()()()2x g x h x g x h x -∴---=+=②①②两式联立可得()222x x g x -+=，()222x x h x --=.由()()0m g x h x ⋅+≤得224121224141x x x x x x x m ----≤==-+++，∵2141xy =-+在[]1,1x ∈-为增函数，∴max231415x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭，故选：A. 10．已知实数a ，b 满足等式1123ab⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，给出下列五个关系式：①0<b<a ；②a ＜b ＜0；③0＜a ＜b ；④b ＜a ＜0；⑤a ＝b.其中，不可能成立的有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】作y ＝12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与y ＝13x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象．当a ＝b ＝0时， 1123a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当a<b<0时，可以使1123a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当a>b>0时，也可以1123a b⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.故选B.11．（2020·四川西昌高一期末）已知函数()228f x x x =+-，则不等式()13516x f --≤的解集是（ ）A ．[]1,3B ．[]1,9C ．[)1,∞D ．(],3-∞【答案】A【解析】函数()228f x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且()()()222828f x x x x x f x -=-+--=+-=，该函数为偶函数，当0x ≥时，()()222819f x x x x =+-=+-，该函数在区间[)0,+∞上为增函数，由()13516x f --≤，得()()1354x f f --≤，1354x -∴-≤，即14354x --≤-≤，得1139x -≤≤，可得012x ≤-≤，解得13x ≤≤.因此，不等式()13516x f --≤的解集是[]1,3.12．（2020·广东濠江金山中学高一期末）已知函数2()33x xf x -=+，则（ ）A ．()f x 在(0,2)单调递增B ．()f x 在(0,2)单调递减C ．()y f x =的图像关于直线1x =对称D ．()y f x =的图像关于y 轴对称【答案】C【解析】930,xt y t t =>=+，根据对勾函数的图像特征，9y t t=+在(0,3)单调递减，在(3,)+∞单调递增，3x t =在R 上单调递增，根据复合函数的单调性可得，当(0,3)t ∈，即(,1)x ∈-∞，函数2()33x x f x -=+单调递减，当(3,)t ∈+∞，即(1,)x ∈+∞，函数2()33x x f x -=+单调递增，所以选项A,B 错误； 由22(2)2(2)3333()xx x x f x f x -----=+=+=，()y f x =的图像关于直线1x =对称，选项C 正确；由82(1)6,(1)3f f =-=，()y f x =的图像不关于y 轴对称，选项D ，错误.故选C. 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13．已知函数2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，则该函数的单调递增区间是__________.【答案】(,1]-∞-【解析】由题得函数的定义域为R .设2122,()2uu x x v =++=，函数222,u x x =++在∞(-,-1]单调递减，在[1,)-+∞单调递增，函数1()2u v =在其定义域内单调递减，所以2221()2x x f x ++⎛⎫= ⎪⎝⎭在∞(-,-1]单调递增，在[1,)-+∞单调递减.14．已知02x ≤≤，则函数124325x x y -=-⨯+的最大值为__________. 【答案】52【解析】设2x t =，02x ≤≤，则14t ≤≤，()12221114325353222x x y t t t -=-⨯+=-+=-+，故当1t =，即0x =时，函数有最大值为52. 15．已知函数|2|()21x f x -=-在区间[0,]m 上的值域为[0,3]，则实数m 的取值范围为__________． 【答案】[2,4] 【解析】函数()221x f x -=-的对称轴为2x =，且在(],2-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由函数()221x f x -=-在区间[]0,m 上的值域为[]0,3，知022,m ≤-≤ 即[]2,4m ∈。
4.5增长速度的比较同步习题2020-2021学年高一上学期数学人教B版(2019)必修第二册 第四
4.5 增长速度的比较知识点一函数的平均变化率1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)2．函数y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为( )A．0 B．1C．2 D．33．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )A．1B．－1C．2D．－24．函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是( )A.e3－21－eB．e3－2e－1C．e3＋2e－1D．e3＋2e＋15．函数f(x)＝2x2－1在区间(1,1＋Δx)上的平均变化率ΔyΔx等于( )A．4 B．4＋2Δx C．4＋2(Δx)2D．4x6．函数f (x )＝8x －6在[m ，n ]上的平均变化率为________．7．在对数函数y ＝log 2x 的图像上，从x ＝2到x ＝4的平均变化率是多少？此变化率的几何意义是什么？8．求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．9．函数f (x )＝x 2在[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为k 1，在[x 0－Δx ，x 0]上的平均变化率为k 2，其中Δx >0，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1<k 2B ．k 1>k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定10．已知函数f (x )＝3x，g (x )＝log 2x ，若这两个函数在区间[1,4]上的平均变化率分别为k 1，k 2，则k 1________k 2(填“>”“<”或“＝”)．11．函数y 1＝log 3x 与函数y 2＝3x ，当x 从1增加到m 时，函数的增量分别是Δy 1与Δy 2，则Δy 1________Δy 2(填“>”“<”或“＝”)．12．函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率中，在x ＝________附近的平均变化率最大．13．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x中，平均变化率最大的是________． 14．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x .计算函数f (x )及g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小．知识点三 函数平均变化率的应用15．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A 处到B 处会感觉比较轻松，而从B 处到C 处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC 段曲线的陡峭程度吗？16．已知函数f (x )＝2x ＋3，g (x )＝x 2，判断f (1)与g (1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立的Δx的取值范围．17．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证：f(x)是一个二次函数．18．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小．易错点对函数平均变化率的实质理解不透致误某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋x10＋x2100，总成本的单位是元．当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？一、单项选择题1．函数f(x)＝2x从x＝12到x＝2的平均变化率为( )A．2 B．2 3C.223D． 22．质点运动规律S(t)＝t2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A．6.3 B．36.3C．3.3 D．9.33．已知函数f(x)＝－x2＋2x，函数f(x)从2到2＋Δx的平均变化率为( ) A．2－Δx B．－2－ΔxC．2＋Δx D．(Δx)2－2Δx4．过曲线y＝f(x)＝x1－x图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx，－2＋Δy)作直线，则当Δx＝0.5时，直线的斜率为( )A.13B．23C．1 D．－5 35．已知函数y＝x3－2的图像上一点(1，－1)及邻近一点(1＋Δx，－1＋Δy)，则ΔyΔx等于( )A．3 B．3＋(Δx)2C．3＋3Δx D．3＋3Δx＋(Δx)26．函数y＝1x在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则( )A．k1<k2<k3B．k2<k1<k3C．k3<k2<k1D．k1<k3<k27．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝x，d：y＝2－xB．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝xC．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝x，d：y＝2－xD．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝x8．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)二、多项选择题9．已知函数f(x)＝－x2＋3x，A(1，f(1))，B(3，f(3))，C(5，f(5))，下列结论正确的是( )A ．f (x )在区间[1,2]上的平均变化率为0B ．f (x )在区间[2,3]上的平均变化率为－2C ．直线AB 的斜率为－12D ．直线BC 的斜率为－5 10．给出下列两个条件：①若[a ，b ]是f (x )的定义域的子集，则f (x )在区间[a ，b ]上的平均变化率为负；②f (x )在整个定义域内不是减函数．同时满足条件①②的函数f (x )的解析式可以为( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－2x ＋3C ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x <0，0，x ＝0，－x ＋1，x >0D ．f (x )＝－x11．如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i (x )(i ＝1，2,3,4)关于时间x (x ≥0)的函数关系式分别为f 1(x )＝2x －1，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x ，f 4(x )＝log 2(x ＋1)．则以下结论正确的是( )A ．当x >1时，甲走在最前面B ．当0<x <1时，丁走在最前面，当x >1时，丁走在最后面C ．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲三、填空题13．函数f(x)＝x e x在区间[1,3]上的平均变化率为________．14．过函数f(x)＝2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)的直线的斜率为________．15．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．16．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x 151015202530y1226101226401626901y2232102432768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907________．四、解答题17．某河流在x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f(x)＝3x.当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？18．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围．19．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．20．比较函数f(x)＝4x，g(x)＝34x＋1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率的相对大小．4.5 增长速度的比较知识点一函数的平均变化率1．我们常用函数y＝f(x)的函数值的改变量与自变量的改变量的比值来表示平均变化率，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数值的改变量Δy等于( ) A．f(x0＋Δx) B．f(x0)＋ΔxC．f(x0)·Δx D．f(x0＋Δx)－f(x0)答案 D解析∵自变量x由x0改变到x0＋Δx，当x＝x0时，y＝f(x0)，当x＝x0＋Δx 时，y＝f(x0＋Δx)，∴Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，故选D.2．函数y＝2x＋1在(1,2)内的平均变化率为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析当x＝1时，y＝3，当x＝2时，y＝5，故平均变化率为5－32－1＝2.故选C.3．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是( )A．1B．－1C．2D．－2答案 B解析ΔyΔx＝1－33－1＝－1.故选B.4．函数f(x)＝x3－ln x在区间[1，e]上的平均变化率是( )A.e3－21－eB．e3－2e－1C ．e 3＋2e －1D ．e 3＋2e ＋1答案 B解析 ∵f (e)－f (1)＝e 3－1－1＝e 3－2，∴函数f (x )在区间[1，e]上的平均变化率是e 3－2e －1，故选B.5．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x答案 B解析 因为Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[2(1＋Δx )2－1]－(2－1)＝2(Δx )2＋4Δx ，所以ΔyΔx＝2Δx ＋4.6．函数f (x )＝8x －6在[m ，n ]上的平均变化率为________． 答案 8 解析f n －f m n －m ＝8n －6－8m －6n －m＝8.7．在对数函数y ＝log 2x 的图像上，从x ＝2到x ＝4的平均变化率是多少？此变化率的几何意义是什么？解 从x ＝2到x ＝4的平均变化率为log 24－log 224－2＝log 222＝12.此变化率的几何意义是过对数函数y ＝log 2x 图像上两点(2,1)，(4,2)的直线的斜率．8．求函数y ＝x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率． 解 ∵Δy ＝x 0＋Δx2＋1－x 20＋1＝x 0＋Δx 2＋1－x 20＋1x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1 ＝2x 0Δx ＋Δx 2x 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1∴Δy Δx＝2x 0＋Δxx 0＋Δx 2＋1＋x 20＋1.知识点二平均变化率的大小比较9．函数f(x)＝x2在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为k1，在[x0－Δx，x0]上的平均变化率为k2，其中Δx>0，则k1，k2的大小关系是( )A．k1<k2B．k1>k2C．k1＝k2D．无法确定答案 B解析∵ΔyΔx＝f x2－f x1x2－x1＝x2＋x1，∴k1＝2x0＋Δx，k2＝2x0－Δx.∴k1－k2＝2Δx.又∵Δx>0，∴k1－k2>0，即k1>k2.故选B.10．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝log2x，若这两个函数在区间[1,4]上的平均变化率分别为k1，k2，则k1________k2(填“>”“<”或“＝”)．答案>解析k1＝ΔfΔx＝f x2－f x1x2－x1＝3x13x2－x1－1x2－x1，所以函数f(x)＝3x在区间[1,4]上的平均变化率为3134－1－14－1＝26.k2＝ΔgΔx＝g x2－g x1x2－x1＝log2x2－log2x1x2－x1，所以函数g(x)＝log2x在区间[1,4]上的平均变化率为log24－log214－1＝2－03＝23.故k1>k2.11．函数y1＝log3x与函数y2＝3x，当x从1增加到m时，函数的增量分别是Δy1与Δy2，则Δy1________Δy2(填“>”“<”或“＝”)．答案<解析由于对数函数在x>1后的增长速度小于指数函数的增长速度，所以Δy1<Δy2.12．函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率中，在x＝________附近的平均变化率最大．答案 3解析在x＝1附近的平均变化率为k 1＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝1＋Δx 2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f 2＋Δx －f 2Δx ＝2＋Δx 2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f 3＋Δx －f 3Δx ＝3＋Δx 2－32Δx ＝6＋Δx .对任意Δx 有，k 1<k 2<k 3，∴在x ＝3附近的平均变化率最大．13．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ，②y ＝x 2，③y ＝x 3，④y ＝1x中，平均变化率最大的是________．答案 ③解析 Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx ＝－1013.∴k 3>k 2>k 1>k 4.14．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x .计算函数f (x )及g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率，并比较它们的大小．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为f －1－f －3－1－－3＝[2×－1＋1]－[2×－3＋1]2＝2.函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为g －1－g －3－1－－3＝－2.因为2>－2，所以函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率大于g (x )在[－3，－1]上的平均变化率．知识点三 函数平均变化率的应用15．巍巍泰山为我国的五岳之首，有“天下第一山”之美誉，登泰山在当地有“紧十八，慢十八，不紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受，下面是一段登山路线图．同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而从B处到C处会感觉比较吃力．想想看，为什么？你能用数学语言来量化BC段曲线的陡峭程度吗？解山路从A到B高度的平均变化率为h AB＝10－050－0＝15，山路从B到C高度的平均变化率为h BC＝15－1070－50＝14，∴h BC>h AB.∴山路从B到C比从A到B要陡峭得多．16．已知函数f(x)＝2x＋3，g(x)＝x2，判断f(1)与g(1)的相对大小，并求出使得f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立的Δx的取值范围．解f(1)＝2×1＋3＝5，g(1)＝1，故f(1)＞g(1)．函数f(x)＝2x＋3在R上的平均变化率恒为2.函数g(x)＝x2在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔgΔx＝1＋Δx2－1Δx＝Δx＋2>2.又因为当2x＋3＝x2，即x＝3(x＝－1舍去)时，f(x)＝g(x)，所以当Δx>3－1＝2时，f(1＋Δx)<g(1＋Δx)成立，所以满足条件的Δx的取值范围为(2，＋∞)．17．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)在任意区间[m，n](n>m)上的平均变化率为m＋n.求证：f(x)是一个二次函数．证明函数f(x)在区间[m，n]上的平均变化率为Δf Δx ＝f n－f mn－m＝m＋n.变形得f(n)－f(m)＝n2－m2，f(n)－n2＝f(m)－m2.令f(n)－n2＝f(m)－m2＝c，c为常数，所以有f(x)＝x2＋c.所以函数f(x)是一个二次函数．18．已知函数f(x)的定义域为R，而且f(x)在任意区间内的平均变化率均比g(x)＝3x－4在同一区间内的平均变化率大，判断f(5)－f(2)与9的相对大小．解函数g(x)＝3x－4在R上的平均变化率为3.根据题意，函数f(x)在[2,5]上的平均变化率大于3.即ΔfΔx＝f5－f25－2>3.所以f(5)－f(2)>9.易错点对函数平均变化率的实质理解不透致误某厂生产某种产品x件的总成本c(x)＝120＋x10＋x2100，总成本的单位是元．当x从200变到220时，总成本c关于产量x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？易错分析函数平均变化率的实质是曲线上两点所在直线的斜率．本题的易错之处在于不能透彻理解函数变化率的实质，从而无法准确地写出函数平均变化率的实际意义．正解当x从200变到220时，总成本c从c(200)＝540元变到c(220)＝626元．此时总成本c关于产量x的平均变化率为c220－c200220－200＝8620＝4.3(元/件)，它表示产量从200件变到220件时，每多生产1件产品，总成本平均增加4.3元．一、单项选择题1．函数f(x)＝2x从x＝12到x＝2的平均变化率为( )A．2 B．2 3C.223D ． 2答案 B解析 由题意知函数f (x )＝2x 从x ＝12到x ＝2的增量为Δf ＝f (2)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2×2－2×12＝2－1＝1，∴f (x )＝2x 从x ＝12到x ＝2的平均变化率为ΔfΔx＝12－12＝23，故选B. 2．质点运动规律S (t )＝t 2＋3，则从3到3.3内，质点运动的平均速度为( ) A ．6.3 B ．36.3 C ．3.3 D ．9.3答案 A解析 S (3)＝12，S (3.3)＝13.89，∴平均速率v －＝S 3.3－S33.3－3＝1.890.3＝6.3.故选A.3．已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋Δx D ．(Δx )2－2Δx答案 B 解析 Δf Δx ＝f 2＋Δx －f2Δx＝－2＋Δx 2＋22＋Δx －－4＋4Δx＝－4－Δx2－4Δx ＋4＋2ΔxΔx＝－Δx 2－2ΔxΔx＝－Δx －2. 故选B.4．过曲线y ＝f (x )＝x 1－x图像上一点(2，－2)及邻近一点(2＋Δx ，－2＋Δy )作直线，则当Δx＝0.5时，直线的斜率为( )A.13B．23C．1 D．－5 3答案 B解析当Δx＝0.5时，2＋Δx＝2.5，故－2＋Δy＝2.51－2.5＝－53.所求斜率即曲线f(x)从x＝2到x＝2.5的平均变化率ΔfΔx＝－53＋22.5－2＝23.故选B.5．已知函数y＝x3－2的图像上一点(1，－1)及邻近一点(1＋Δx，－1＋Δy)，则ΔyΔx等于( )A．3 B．3＋(Δx)2C．3＋3Δx D．3＋3Δx＋(Δx)2答案 D解析由题意，－1＋Δy＝(1＋Δx)3－2，∴Δy＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，∴ΔyΔx＝(Δx)2＋3Δx＋3.故选D.6．函数y＝1x在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]的平均变化率分别为k1，k2，k3，则( )A．k1<k2<k3B．k2<k1<k3 C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2答案 A解析k1＝12－1＝－12，k2＝13－12＝－16，k3＝14－13＝－112，∴k1<k2<k3，故选A.7．四个函数在第一象限中的图像如图所示，a，b，c，d所表示的函数可能是( )A．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝x，d：y＝2－xB．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝2－x，d：y＝xC．a：y＝x2，b：y＝2x，c：y＝x，d：y＝2－xD．a：y＝2x，b：y＝x2，c：y＝2－x，d：y＝x答案 C解析a，c对应的是幂函数，a的指数大于1，c的指数大于0小于1；b和d对应的函数是指数函数，且b中的底数大于1，d中的底数大于0小于1.故选C.8．f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)答案 B解析画出函数的图像，可知当x∈(4，＋∞)时，指数函数的图像位于二次函数图像的上方，二次函数的图像位于对数函数图像的上方，故g(x)>f(x)>h(x)．二、多项选择题9．已知函数f(x)＝－x2＋3x，A(1，f(1))，B(3，f(3))，C(5，f(5))，下列结论正确的是( )A．f(x)在区间[1,2]上的平均变化率为0B．f(x)在区间[2,3]上的平均变化率为－2C．直线AB的斜率为－1 2D．直线BC的斜率为－5 答案ABD解析ΔfΔx＝－x22＋3x2－－x21＋3x1x2－x1＝x 1－x 2x 1＋x 2－3x 2－x 1＝－(x 1＋x 2)＋3.对于A ，f (x )在区间[1,2]上的平均变化率为－(1＋2)＋3＝0，正确；对于B ，f (x )在区间[2,3]上的平均变化率为－(2＋3)＋3＝－2，正确；对于C ，直线AB 的斜率为－(1＋3)＋3＝－1，错误；对于D ，直线BC 的斜率为－(3＋5)＋3＝－5，正确；故选ABD.10．给出下列两个条件：①若[a ，b ]是f (x )的定义域的子集，则f (x )在区间[a ，b ]上的平均变化率为负；②f (x )在整个定义域内不是减函数．同时满足条件①②的函数f (x )的解析式可以为( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝－2x ＋3C ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x <0，0，x ＝0，－x ＋1，x >0D ．f (x )＝－x答案 AC解析 分别作出A ，B ，C ，D 中四个函数图像，易知A ，C 中函数满足条件①②，B ，D 中函数在整个定义域内都是减函数，不满足条件②，故选AC.11．如图显示物体甲、乙在时间0到t 1范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )A ．在0到t 0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 答案 BC解析在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为v－＝st，故A错误，B正确；在t0到t1范围内，甲的平均速度为s2－s0t1－t0，乙的平均速度为s1－s0t1－t0.因为s2－s0>s1－s0，t1－t0>0，所以s2－s0t1－t0>s1－s0t1－t0，故C正确，D错误．故选BC.12．甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i(x)(i ＝1，2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．则以下结论正确的是( )A．当x>1时，甲走在最前面B．当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面C．丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲答案BCD解析四个函数的大致图像如图所示，根据图像易知，B，C，D正确．三、填空题13．函数f(x)＝x e x在区间[1,3]上的平均变化率为________．答案3e3－e2解析f x＋Δx－f xΔx＝f3－f13－1＝3e3－e2，故答案为3e3－e2.14．过函数f(x)＝2x图像上两点A(0,1)，B(1,2)的直线的斜率为________．答案 1解析直线AB的斜率为函数f(x)在区间[0,1]上的平均变化率Δf Δx＝f1－f01－0＝2－11＝1.15．函数y＝x2与函数y＝x ln x在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．答案y＝x2解析当x变大时，x比ln x增长要快，∴x2比x ln x增长得要快．16．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x 151015202530y1226101226401626901y2232102432768 1.05×106 3.36×107 1.07×109y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907________．答案y2y4解析以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2随着x的增大而迅速增加，y4随着x的增大而增大，但变化缓慢，画出它们的图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化，y4关于x呈对数型函数变化．四、解答题17．某河流在x min内流过的水量为y m3，y是x的函数，y＝f(x)＝3x.当x从1变到8时，y关于x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？解当x从1变到8时，y关于x的平均变化率为f8－f18－1＝2－17＝17(m3/min)，它表示时间从1 min增加到8 min的过程中，每增加1 min，水量平均增加17m3.18．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为s(t)＝t2＋1，该质点在2到2＋Δt(Δt>0)之间的平均速度不大于5.求Δt的取值范围．解质点在2到2＋Δt之间的平均速度为v－＝[2＋Δt2＋1]－22＋1Δt＝4Δt ＋Δt2Δt＝4＋Δt，又v－≤5，即4＋Δt≤5，∴Δt≤1.又Δt>0，∴Δt的取值范围为(0,1]．19．已知函数f1(x)＝2x，f2(x)＝x2，f3(x)＝3x，f4(x)＝x3，分别计算这四个函数在区间[2,4]上的平均变化率，并比较它们的大小．解Δf1Δx＝24－222＝6，Δf2Δx＝42－222＝6，Δf3Δx＝34－322＝36.Δf4Δx＝43－232＝28.所以在区间[2,4]上的平均变化率由大到小依次为Δf3Δx >Δf4Δx>Δf2Δx＝Δf1Δx.20．比较函数f(x)＝4x，g(x)＝34x＋1在区间[a－1，a](a<0)上的平均变化率的相对大小．解因为ΔfΔx＝4a－4a－1a－a－1＝4a－1(4－1)＝3×4a－1，Δg Δx ＝34a＋1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤34a－1＋1a－a－1＝34，又因为a<0，所以ΔfΔx＝3×4a－1<3×40－1＝3×4－1＝34，所以函数f(x)在区间[a－1，a]上的平均变化率比g(x)的小.。