天津市天津一中2021届高三(上)第一次月考数学试题
【分析】
（1）本题首先可根据正弦定理得出 ，然后根据两角和的正弦公式以及诱导公式得出 ，最后根据 以及 即可得出结果；
（2）①首先可根据余弦定理得出 ，然后通过计算即可得出结果；
②本题可利用解三角形面积公式求出结果.
【详解】
（1）因为 ，
所以由正弦定理可得： ，
即 ， ，
天津市天津一中2021届高三（上）第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集 ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
18．如图，在四棱锥 中， 平面 ，四边形 是矩形， ， ， 是 的中点， ，垂足为 .
（1）证明： 平面 ；
（2）求点 到平面 的距离；
（3）求二面角 的正弦值.
19．已知函数 .
（1）若曲线 存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；
（2）求 的单调区间；
（3）设函数 ，求证：当 时， 在 上存在极小值.
（3）建立空间直角坐标系，求出各相关点的坐标，得到平面 及平面 的法向量，利用向量公式即可得解.
【详解】
解：（1）证明：连接 交 于点 ，连接 ，易知 为 中点，
在 中， ， 分别为 ， 中点，
∴ 为 的一条中位线，
∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
（2）过点 作 交 于点 ，则点 到平面 的距离，即点 到平面 的距离，
， ，
∴ 的分布列为
0
1
2
3
4
数学期望 .
【点睛】
本题考查二项分布、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题.
18．（1）证明见解析；（2） ；（3）1.
【分析】
（1）连接 交 于点 ，连接 ，易知 为 中点，利用中位线的性质可得 ，进而得证；
（2）过点 作 交 于点 ，则转化为求点 到平面 的距离，解三角形易得 ，进而得解；
【详解】
画出函数 的图象如图所示．
不妨令 ，则 ，则 ．
结合图象可得 ，故 ．
∴ ．
故选：B．
【点睛】
数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中熟记茎叶图的众数、中位数的概念和计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
12．
【解析】
试题分析：根据命题的否定可知“ ， ”为真命题，所以有 或 ，解得 或 .
考点：1、命题；2、一元二次不等式.
【方法点晴】全称命题“ ， ”的否定为“ ， ”，当全称命题为假命题时，根据命题的否定可知，它的否定即存在性命题一定为真命题，从而将问题进行转化，转化为易于求解的问题，化归转化思想、分类讨论思想在解决这类问题中有着十分重要的作用.
【详解】
的二项展开式的通项公式为 ，
r=0，1，2，3，4，5，
令 ，
所以 的二项展开式中x项的系数为 .
故答案为：-40.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用，解题关键是灵活掌握二项式展开式通项的公式，属于基础题.
15．
【分析】
根据分段函数的解析式画出图像,再根据存在唯一的整数 使得 数形结合列出临界条件满足的关系式求解即可.
A．264种B．224种C．250种D．236种
7．已知函数 ，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
8．设函数 ，若互不相等的实数 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 内有且仅有两个不同的零点，则实数 的取值范围是
A． B．
C． D．
二、填空题
10．设复数 满足 ，则 _______.
9．A
【分析】
试题分析：令 ，分别作出 与 的图像如下，
由图像知 是过定点 的一条直线，当直线绕着定点转动时，与 图像产生不同的交点.当直线 在 轴和直线 及切线和直线 之间时，与 图像产生两个交点，此时 或
故答案选 .
考点：1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用.
10．
【分析】
把已知等式变形，根据复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的计算公式求 .
【详解】
因为 ， ， ，
， ， ，
， ，
故选：D.
【点睛】
本题考查运用正弦、余弦的二倍角公式，正弦、余弦的和差角公式进行化简求值，关键在于熟练记忆三角恒等变换所需的公式，属于基础题.
6．A
【分析】
分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解.
【详解】
当选取的是1名医生2名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案；
【详解】
（1）随机抽取1人，平均每月进行训练的天数不少于20天的概率为 ，
设随机抽取4个人，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 ，则 ，
∴ .
（2）从这100个人中抽取20个人中，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为 人，
随机变量 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
， ， ，
13．
【分析】
由已知利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可求解.
【详解】
∵ ，
∴ .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.
14．-40
【分析】
由题意，可先由公式得出二项展开式的通项 ，再令10-3r=1，得r=3即可得出x项的系数
4．B
【分析】
先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.
【详解】பைடு நூலகம்
由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C，
函数的导数f′（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=[x2+（t+2）x+t]ex，
当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D，
当选取的是2名医生1名护士，共有 种选法，分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，共有 种，即一共 种方案.
综上所述：分配方案共有264种.
故选：A
【点睛】
此题考查分类计数原理和分步计数原理综合应用，涉及排列组合相关知识，综合性强.
7．C
【分析】
根据条件先判断函数是偶函数，然后求函数的导数，判断函数在 ， 上的单调性，结合函数的奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
平均每月进行训练的天数
人数
10
60
30
（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个， 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求 的分布列及数学期望 .
11．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若甲的众数与乙的中位数相等，则图中 ________．
12．命题“ 恒成立”是假命题，则实数 的取值范围是．
13．已知 ，则 _______.
14．在 的二项展开式中，x的系数为________．（用数值作答）
15．设函数 ， ，其中 ．若存在唯一的整数 使得 ，则实数 的取值范围是_____．
2．B
【解析】
当 ”时，则 或
此时 可能无意义，故 不一定成立，
而当 时，则 或 ，“ ”成立
故“ ”是 的一个必要不充分条件．
故答案选
3．B
【分析】
利用对数函数和指数函数单调性与特殊值比较大小，再比较 的大小.
【详解】
∵ ， ， ，
∴ .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用利用对数函数和指数函数单调性比较大小，先判断正负，再看具体情况与特殊值比较，考查运算求解能力，是基础题.
【详解】
解：∵ ，∴ ，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.
11．4.
【分析】
根据茎叶图，求得甲组数据的众数是 ，乙组数据的中位数为 ，列出方程，即可求解．
【详解】
由题意，根据茎叶图可得，甲组数据的众数是 ，乙组数据的中位数为 ，
因为甲的众数与乙的中位数相等，所以 ，解得 ．
【详解】
解： ，
则 是偶函数，
，
当 时， ，即函数在 ， 上为增函数，
则不等式 得 ，即 ，
则 ，得 ，得 ，
即不等式的解集为 ，
故选： ．
【点睛】
本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
8．B
天津市杨村第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题
天津市杨村第一中学2021届高三数学上学期第一次月考试题一、选择题（本题共8题，每小题5分，共40分）1. 已知集合{}{}12,1≥=<=x x N x x M ，则=⋂N M （ ）A ．()1,0B ．[)1,0C ．[]1,0D ．(]1,0 2．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1234563,6a a a a a a ++=++=，则12S =（ ）A ．15B ．30C ．45D ．60 3. 设函数()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，,6x a π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域是1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则实数a 的取值范围是（ ） A ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,6ππ B ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ C ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,6ππ D ． ⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,4ππ 4．函数()ln 11x f x x -=-的图象大致为 ( ) A B C ．D ．5. 已知 10274sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα , 2572cos =α, 则=αsin （ ） A ．53 B ． 53- C ． 54 D ． 54- 6．已知函数()f x 在区间[)0+∞，上是增函数，且()()g x f x =-.若()()lg 1g x g >，则x 的取值范围是（ ） A ．[)110， B. 110⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．11010⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．()111010⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦，， 7．将函数2sin sin 36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位，所得图象对应的函数 恰为偶函数，则ϕ的最小值为（ ）A ．6πB ． 12πC ． 4πD ．3π 8. 设ABC ∆是边长为1的等边三角形，M 为ABC ∆所在平面内一点，且CA MC MB MA =++λ2,则当•取最小值时，λ的值为（ ）A ．31 B. 21 C.2 D.3 二、填空题（本题共6题，每小题5分，共30分） 9．61⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中含2x 项的系数是________. 10.ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若ABC ∆的面积为4222c b a -+，则=C ________. 11. 某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有________种.12．如图，在等边三角形ABC 中，2=AB ，点N 为AC 的中点，点M 是边CB （包括端点）上的一个动点，则•的最小值是________.13.若函数()x x x x f ωωπω2cos 24sin sin 42+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅= ()0>ω在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,2ππ上是增函数，则ω的取值范围是________.14.已知R a ∈,函数()⎩⎨⎧>-+-≤-++=0,220,2222x a x x x a x x x f ，若对任意[)+∞-∈,3x ，()x x f ≤恒成立，则a 的取值范围________.三、解答题（本题共6题，共80分）15．（13分）已知函数()()22sin cos 2sin f x x x x =+-.(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 的单调增区间；(3)若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 求函数的值域.16．（13分）随着共享单车的成功运营，更多的共享产品逐步走入大家的世界，共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.天津某景点设有共享电动车租车点，共享电动车的收费标准是每小时2元(不足1小时的部分按1小时计算).甲、乙两人各租一辆电动车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24；两人租车时间都不会超过三小时． (1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．17．（13分）已知函数()1x f x e x =--.（1）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；（2）若存在041,ln3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x -++<成立，求a 的取值范围．18．（13分）在锐角ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足()()()C b c B A b a sin sin sin -=+-,3=a .（1）求角A 的值；（2）求ABC △周长的取值范围.19．（14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21n n S a n N +=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T ;（3）记32(1)(0)n n n n c a λλ=-⋅-≠.是否存在实数λ，使得对任意的*n N ∈，恒有1n n c c +>？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由.20．（14分）已知函数()ln f x x x =，2()2g x x ax =-+-.（1）判断曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线与曲线()y g x =的公共点个数；（2）若函数()()y f x g x =-有且仅有一个零点，求a 的值；（3）若函数()()yf xg x 有两个极值点12,x x ，且21ln 2x x ->，求a 的取值范围.2021届高三年级第一学期第一次月考数学答案1-8 BCBD ACBA9. 15 10. 4π11. 12012. -3 13. ⎥⎦⎤⎝⎛43,0π 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,8115（1）由题得1cos2()1sin 22sin 2cos2)24xf x x x x x π-=+-⋅=+=+，---2 所以函数的最小正周期为2=2ππ.-----------------------------------------------------------------------3（2）令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈, 所以3,88k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数的单调增区间为3[],88k k k Z ππππ-+∈，.==========================8（3）50,02,2,2444x x x πππππ≤≤∴≤≤∴≤+≤sin(2)1,1)244x x ππ≤+≤∴-≤+≤所以函数的值域为[-.------------------------------------------------------------------------------------------------------1316(Ⅰ)甲、乙两人所付费用相同，即为2，4，6元，都付2元的概率为1111 428p=⨯=，-------------------------------------------------------------------1都付4元的概率为2111 248p=⨯=，-------------------------------------------------------------------2都付6元的概率为3111 4416p=⨯=，------------------------------------------------------------------3 ∴甲、乙两人所付租车费用相同的概率：1231115 881616p p p p=++=++=．-----------------------------------------------------------------4(Ⅱ)依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12，----------------------------------------------------5 ()148Pξ==，()111156442216Pξ==⨯+⨯=()1111115844242416Pξ==⨯+⨯+⨯=，，-()1111310442416Pξ==⨯+⨯=，()111124416Pξ==⨯=，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------11ξ∴的分布列为：-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1317.（1）()1x f x e '=-，()12f e =------------------------------------------------------------------2()f x ∴在()()1,1f 处的切线方程为：()()211y e e x -+=--，即()11y e x =--；------5（2）1x a e x <--，即()a f x <，令()10x f x e '=-=，得0x =.0x 时， ()0f x '>，0x <时，()0f x '<.()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,∞+上增，------------------------------------=-----------9 又041,ln 3x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x ∴的最大值在区间端点处取到.()11111f e e --=-+= 444ln 1ln 333f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()41441141ln 1ln ln 033333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭，-------------------------------12()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭，()f x ∴在41,ln 3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上最大值为1e ，故a 的取值范围是：1a e<.-------------------------------------------------13 18(1) ()c b c b a ⋅-=-22bc c b a -=-222bc c b a -+=22221cos =∴A 3π=∴A ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------5 (2) (](]33,3332,31,216sin 26232020)6sin(32sin 2)3sin(2sin 2sin 22sin 2+∈∴∈+∴⎥⎦⎤ ⎝⎛∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴<<∴⎪⎩⎪⎨⎧<-<<<+=++=+=+==l c b C C C C C C C CB c b Aa R ππππππππ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------1319（Ⅰ）当1n =时，1121a a =-，即11a =---------------------------------------1当2n 时，1121n n S a --=------------------------------------------------------------2 1122n n n n n a S S a a ，即12nn a a -=∴数列{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列-故12n n a ------------------------------------------------------------------------------3 （Ⅱ）由（Ⅰ）12-⋅==n n n n na b 可得12102......232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n Tn n n T 2......2322212321⋅++⋅+⋅+⋅=两式相减得n n n n T 22 (222121)0⋅-++++=--=()121+⋅-=n n n T -------------------------------------------------------------------8 （Ⅲ）32(1)3(1=)2n n nn nn n c a λλ=-⋅---⋅01>-+n n c c即()()0232311>-+---++λλn n n n()()()022232>-+-⋅--⋅λλn n n即()2321⋅->--n n λ----------------------------------------------------10当n 为偶数时，2321⋅->-n n λ， 则*-∈∀⎪⎭⎫ ⎝⎛->N n n ,231λ32λ∴>--------------------------------------------------------------------------12 当n 为奇数时，2321⋅->--n n λ*-∈∀⎪⎭⎫⎝⎛<N n n ,231λ1<∴λ- 综上：312λ-<<--------------------------------------------------------------------------1420（I ）由()=ln f x x x ，得()1f x lnx '=+，f ∴'（1）1=，又f （1）0=，∴曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为1y x =-，代入22y x ax =-+-，得2(1)10x a x +-+=，∴当1a <-或3a >时，△2(1)40a =-->，有两个公共点；当1a =-或3a =时，△2(1)40a =--=，有一个公共点；当13a 时，△2(1)40a =--<，没有公共点．-----------------------------------4 （II ）2()()2y f x g x x ax xlnx =-=-++，由0y =，得2a x lnx x =++， 令2()h x x lnx x =++，⇒2(1)(2)()x x h x x -+'=，11 ()h x ∴在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，因此，()min h x h =（1）33a =⇒=．---------------------------------------------------------5 （III ）2()()2y f x g x x ax xlnx =+=-+-+， 令2()2t x x ax xlnx =-+-+， ()21t x x a lnx ∴'=-+++，即21a x lnx =--有两个不同的根1x ，2x ， 令21()21()x x x lnx x xλλ-=--⇒='⇒1()()22min x ln λλ==， 且当2a ln >时，21()x x -随a 的增大而增大；当212x x ln -=时，11212221421a x lnx x x a x lnx =--⎧⇒=⎨=--⎩， ∴12242,33ln ln x x ==， 此时2221()33ln ln a ln =--． 即212x x ln ->时，2221()33ln ln a ln >--．---------------------------------------------------------------------------------14。
天津市经济技术开发区第一中学2021届高三上学期10月月考数学试题 Word版含解析 (1)
天津开发区第一中学2020-2021学年度第一学期高三年级数学测试（10月）一.选择题（本大题共10小题，共50.0分）1. 已知全集U=R，集合{}1,2,3,4,5A=，(){}lg3B x R y x=∈=-，则如图中阴影部分表示的集合为（）A. {}1,2,3,4,5 B. {}1,2,3 C. {}1,2 D. {}3,4,5【★答案★】B【解析】【分析】先求函数定义域得集合B，再求B的补集，最后求B的补集与A 的交集得结果.【详解】因为(){}{}lg330(3,)B x R y x x R x=∈=-=∈->=+∞所以(,3]UB=-∞因此图中阴影部分表示的集合为{1,2,3}UA B=故选：B【点睛】本题考查函数定义域、集合补集与交集，考查基本分析求解能力，属基础题.2. 设x∈R，则“|1|2x-<“是“2x x<”的（）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必条件【★答案★】B【解析】【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题★答案★.【详解】由|1|2x-<，得13x，又由2x x<，得01x<<，因为集合{|01}{|13}x x x x<<⊂-<<，所以“|1|2x -<”是“2x x <”的必要不充分条件. 故选：B【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法. 3. 函数21x y e -=（11x -≤≤）的大致图象为（ ）A. B. C. D.【★答案★】C 【解析】 【分析】判断奇偶性，排除两个选项，再根据单调性排除一个选项，得出正确★答案★． 【详解】由已知21x y e -=是偶函数，排除B ，D ，又0x >时，21u x =-是减函数，∴21x y e -=是减函数，排除A ． 故选：C ．【点睛】本题考查由函数解析式选择图象，可通过研究的性质如奇偶性、单调性等，研究函数的特殊值，函数值的正负、函数值的变化趋势等利用排除法排除错误选项，得出结论． 4. 若1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（ ） A. 78-B.78C. 18-D.18【★答案★】A 【解析】 【分析】根据1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，将sin 2α，利用诱导公式和二倍角的余弦公式转化为2sin 22cos 14παα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭求解.【详解】因为1cos 44πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以27sin 2cos 22cos 1448ππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.5. 设0.34()5a =，0.254b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，125log 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. b a c >>B. c a b >>C. c b a >>D. b c a >>【★答案★】A 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的 性质结合中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得0.34015⎛⎫<< ⎪⎝⎭，0.2514⎛⎫> ⎪⎝⎭，由对数函数性质得125log 04<， ∴b a c >>． 故选：A ．【点睛】本题考查比较幂与对数的，掌握指数函数与对数函数的性质是解题关键．解题方法是借助中间值比较大小．6. 当[,]33x ππ∈-时，函数26()2sin cos 6cos 4442x x x f x =+-的最小值为（ ） A. 2- B.22C. 1D. 2【★答案★】B 【解析】 【分析】由二倍角公式降幂，然后由两角和的正弦公式化简函数为一个角一个三角函数形式，再利用正弦函数性质可得最小值． 【详解】262613()2sin cos 6cos sin cos 2sin cos 2sin 44422222222223x x x x x x x x f x π⎛⎫⎛⎫=+-=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,2362x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以236x ππ+=，即3x π=-时，min 2()2f x =． 故选：B ．【点睛】本题考查求正弦型函数的最值，解题关键是利用二倍角公式，两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式． 7. 下列说法正确的是（ ）A . “a b >”是“22a b >”的充分不必要条件B. 命题“200,10x R x ∃∈+<”的否定是：“2,10x x ∀∈+>R ”C. ,x R ∀∈则44x x+≥ D. 若(1)f x +为R 上的偶函数，则()f x 的图象关于直线1x =对称 【★答案★】D 【解析】 【分析】分别根据充分不必要条件的定义，命题的否定，举反例，函数的奇偶性与对称性判断各选项． 【详解】A ．0a b >>时，22a b <，不充分，反之22a b >时也不能得出a b >，只能有a b >，不必要，A 错；B ．命题“200,10x R x ∃∈+<”的否定是：“2,10x R x ∀∈+≥”，B 错；C ．0x <时．40x x+<，C 错； D ．(1)f x +偶函数，即它的图象关于y 轴对称，把它的图象向右平移1个单位得()y f x =的图象，关于直线1x =对称，D 正确． 故选：D ．【点睛】本题考查命题的真假判断，考查了充分不必要条件的定义，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性与对称性等知识，属于中档题．8. 将函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，再把所得图象上的所有点向右平移4π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在3x π=处取得最大值，则函数()f x 的图象（ ） A 关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B. 关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线512x π=-对称 D. 关于直线6x π=对称【★答案★】C 【解析】 【分析】根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，得到sin 2)2(x g x πϕ⎛⎫-+ ⎝=⎪⎭，函数()g x 在3x π=处取得最大值，求得3πϕ=，再求函数()f x 的对称轴和对称中心即可．【详解】由题意得，12sin 2sin (4)222x x x g ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=， 由函数()g x 在3x π=处取得最大值，得max sin 2sin 13326()g x g ππππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴262k ππϕπ+=+，k Z ∈，23k πϕπ=+，k Z ∈，∵0ϕπ<<，∴3πϕ=，∴2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由23x k ππ+=，k Z ∈，得26k x ππ=-，k Z ∈， ∴函数()f x 的图象关于,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k Z ∈对称， 故A ，B 选项错误；由232x k πππ+=+，k Z ∈，得212k x ππ=+，k Z ∈，∴函数()f x 的图象的对称轴方程为212k x ππ=+，k Z ∈， 显然当1k =-时，函数()f x 的图象的对称轴为直线512x π=-，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，三角函数的最值，三角函数图象的对称性等，考查的数学核心素养是数学运算、直观想象．9. 在R 上定义运算():x y=x 1y ⊗⊗-，若对任意x 2>，不等式()x a x a 2-⊗≤+都成立，则实数a 的取值范围是（ ） A. (],7-∞ B. []1,7-C. (],3-∞D. (][),17,-∞-⋃+∞【★答案★】A 【解析】 【分析】通过定义运算可将问题变为()222a x x x -≤-+对任意2x >恒成立，进而将问题变为222x x a x -+≤-，通过求解222x x x -+-的最小值得到a 的范围. 【详解】由题意可得：()()()12x a x x a x a -⊗=--≤+ 即：()222a x x x -≤-+对任意2x >恒成立2x > 20x ∴-> 222x x a x -+∴≤- 设()()()()2223242423222x x x x f x x x x x -+-+-+===-++--- 则()()422372f x x x ≥-⋅+=-（当且仅当422x x -=-，即4x =时取等号） 即()min 7f x = 7a ∴≤，即(],7a ∈-∞ 本题正确选项：A【点睛】本题考查根据恒成立求解参数范围的问题，关键是能够通过新定义运算得到函数表达式，进而通过分离变量的方式将问题变为参数与函数最值的关系.10. 函数()22,0,0x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩，若函数()()()g x f f x =恰有8个零点，则a 的取值范围为（ ）A. 8a ≥或0a <B. 8a >或0a <C. 8a ≥D. 8a >【★答案★】D 【解析】 【分析】分0a <、0a =、0a >三种情况讨论，换元()u f x =，通过函数()()()g x f f x =的零点个数转化为方程()()0ff x =的根的个数，结合换元法以及函数()u f x =的图象，数形结合可得出关于实数a 的不等式，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】令()u f x =，令()0g x =，可得()0f u =.①当0a <时，若0u <，由()0f u =，可得20u a +=，解得20u a =->，不合乎题意； 若0u ≥，由()0f u =，可得20u au -=，解得0u =或0u a =<（舍去）. 下面解方程()0f x =.（i ）当0x <时，由()0f x =，得20x a +=，解得20x a =->，不合乎题意； （ii ）当0x ≥时，由()0f x =，得20x ax -=，解得0x =或0x a =<（舍去）. 所以，当0a <时，函数()()()g x f f x =有且只有一个零点；②当0a =时，则()2,0,0x x f x x x <⎧=⎨≥⎩. 若0u <，则()0f u u =<，此时方程()0f u =无解； 若0u ≥，由()0f u =，可得0u =.由上可知，方程()0f x =只有一解，不合乎题意；③当0a >时，若0u <，若()0f u =可得20u a +=，解得120u a =-<，合乎题意； 若0u ≥，由()0f u =可得20u au -=，解得20u =，30u a =>. 如下图所示：当0x ≥时，()2222244a a a f x x ax x ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭， 由图象可知，直线u a =与曲线()u f x =有2个交点，直线0u =与曲线()u f x =有3个交点， 要使得函数()()()g x ff x =恰有8个零点，则直线2u a =-与曲线()u f x =有3个交点，所以，224a a ->-，即280a a ->，0a >，解得8a >.因此，实数a 的取值范围是8a >. 故选：D.【点睛】本题考查利用复合函数的零点个数求参数的取值范围，考查数形结合思想的应用，属于难题.二.填空题：（本大题共8小题，共40.0分）11. 函数cos y x x =在2x π=处的导数值是________.【★答案★】2π-． 【解析】 【分析】求出导函数y '，令2x π=代入即得．【详解】由已知cos sin y x x x '=-，2x π=时，cossin2222y ππππ'=-=-．故★答案★为：2π-．【点睛】本题考查导数的运算，解题关键是函数的导数．属于基础题，12. 设集合11xA xx⎧⎫-=<⎨⎬+⎩⎭，{}2,xB y y x A==∈，则A B=__________.【★答案★】(1,2)-【解析】【分析】解分式不等式得集合A，由指数函数性质得集合B，再由并集的定义求并集．【详解】由已知10{|11}(1,1)1xA x x xx⎧⎫-=<=-<<=-⎨⎬+⎩⎭，{}112,|2,222xB y y x A y y⎧⎫⎛⎫==∈=<<=⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭，∴(1,2)A B-=，故★答案★为：(1,2)-【点睛】本题考查集合的并集运算，考查解分式不等式、指数函数的性质，属于基础题．13. 正弦型函数()sin()f x A xωϕ=+（0A>，0>ω，2πϕ<）的图象如图所示，则()f x的解析式为_______________.【★答案★】()2sin(2)3f x xπ=+【解析】【分析】由最值求得A，由周期求得ω，由最高点或零点横坐标及ϕ的范围求得ϕ，得解析式．【详解】由题意1A=，4312Tπππ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，∴22πωπ==，由正弦函数性质得，22122kππϕπ⨯+=+，k Z∈，∵2πϕ<，∴3πϕ=．∴()2sin(2)3f x x π=+．故★答案★为：()2sin(2)3f x x π=+【点睛】本题考查求三角函数的解析式，掌握“五点法”作正弦函数的图象是解题关键． 14. 在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos sin a B b A c A +=，则ABC 的形状为_____________. 【★答案★】直角三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化思想求得sin A 的值，可求得角A 的值，进而可判断出ABC 的形状. 【详解】cos cos sin a B b A c A +=，由正弦定理得sin cos cos sin sin sin A B A B A C +=，即()()sin sin sin sin sin A C A B C C π=+=-=，0C π<<，则sin 0C >，sin 1A ∴=，0A π<<，2A π∴=.因此，ABC 为直角三角形. 故★答案★为：直角三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想判断三角形的形状，考查计算能力，属于基础题. 15. 不等式2x e kx >在()0,∞+上恒成立，则实数k 的取值范围是_____________.【★答案★】2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】不等式变形为2x e k x <（(0,)x ∈+∞），然后求出函数2()xe f x x =的最小值即可得．【详解】∵(0,)x ∈+∞，∴不等式2xe kx >可化为2xe k x<，设2()xe f x x =，243(2)(2)()x x e x x e x f x x x--'==， 当02x <<时，()0f x '<，()f x 递减，2x >时，()0f x '>，()f x 递增，∴2min ()(2)4e f x f ==， 不等式2x e k x<在(0,)+∞上恒成立，则24e k <． 故★答案★为：2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题方法是分离参数法，转化为求函数的最值． 16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，满足()()10f x f x ++=，且当01x <<时，()13x f x +=，则()()3log 184f f +=__________．【★答案★】6【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数,对任意的x ∈R ,满足f (x +1)+f (x )=0，∴f (x +1)=−f (x )，则f (x +2)=−f (x +1)=f (x )，则函数f (x )是周期为2的周期函数，据此可得：()()()()()()()()3log 2133333log 18log 18log 9log 236,44400,log 184 6.f f f f f f f f +=-====-==∴+= 17. 给出下列四个命题正确的是______________：①函数()ln 2f x x x =-+在区间(1,)e 上存在零点； ②将函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12倍得到函数cos(2)3y x π=-； ③若1m ≥-，则函数22log (2)y x x m =--的值域为R ；④“1a =”是“函数()1xx a e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件； 【★答案★】①③④【解析】【分析】根据零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义判断各选项．【详解】①()ln 2f x x x =-+，(1)10f =-<，()10f e e =->，由零点存在定理得()f x 在(1,)e 上有零点，①正确；②函数cos()6y x π=-的图象的横坐标变为原来的12得到函数cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②错误； ③1m ≥-时，440m ∆=+≥，故函数值域为R ，③正确； ④()1x x a e f x ae -=+是奇函数，则1()11x x x x x x a e ae a e f x ae e a ae------===-+++，22(1)(1)0x a e --=，1a =±，因此“1a =”是“函数()1xx a e f x ae-=+在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，④正确．故★答案★为：①③④【点睛】本题考查命题的真假判断，掌握零点存在定理，三角函数图象变换，对数函数的性质，充分不必要条件的定义是解题基础．18. 设0b >，21a b -=，则242a a b +的最小值为_________. 【★答案★】4【解析】【分析】 两次应用基本不等式，2244222a a a b a b+≥⋅，12b b +≥，验证等号能同时成立即得． 【详解】由题意211a b =+≥，222441112222222222422a a a b b b a b a b b b b b++≥⋅=⋅=⋅=⋅+≥⋅⨯=， 当且仅当2142b b aa b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立． 故★答案★为：4．【点睛】本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．三.解答题（本大题共4小题，共60.0分）19. 已知函数2()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-（x ∈R ）.（1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调区间； （2）若06()5f x =，0[,]42x ππ∈，求0cos2x 的值. 【★答案★】（1）最小正周期是π，增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）34310-． 【解析】 【分析】 （1）应用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数性质求解； （2）由（1）求得0sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求出0cos 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，然后用两角差的余弦公式求解． 【详解】（1）21()3sin 2cos 22sin 2cos 22sin 2326f x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以最小正周期为22T ππ==， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由2662x πππ≤+≤，得06x π≤≤， 由72266x πππ≤+≤得62x ππ≤≤， 所以()f x 的增区间是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，减区间是,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦； （2）由（1）得062sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即03sin 265x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0,43x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以0252,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以04cos 265x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以0000cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4331343525210-=-⨯+⨯= 【点睛】本题考查求三角函数的周期与单调区间，考查两角和与差的正弦、余弦公式，二倍角公式，同角间的三角函数关系．解题关键是把三角函数化为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求解．20. 已知ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1cos 2a c B b =+. （1）求cos C ；（2）若3c =，求+a b 的取值范围.【★答案★】（1）12；（2）3,23【解析】【分析】 （1）利用余弦定理将角转化为边，再利用余弦定理求得结果；（2）由已知结合正弦定理将边转化角，再利用三角形内角和定理、辅助角公式转化为求23sin 6a b A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭的取值范围. 【详解】（1）由1cos 2a c Bb =+，可得222222cos a ab ac B a c b -==+-， 整理得222a b c ab +-=， 所以222cos 122a b c C ab +-==. （2）由（1）得1cos 2C =，0C π<<,3C π=，, 3sin 2C =，3c =， 由正弦定理得2sin sin sin a b c A B C===， ∴22sin 2sin 2sin 2sin 3a b A B A A π⎛⎫+=+=+- ⎪⎝⎭ 3sin 3cos 23sin 6A A A π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， ∵3C π=,∴203A π<<，5666A πππ<+<， 1sin 126A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，∴323sin 236A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭ ∴+a b 的取值范围是3,23.【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.21. 已知函数()ln (2)f x x a x =+-.（1）若在1x =处取得极值，求a 的值；（2）求()f x 的极大值；（3）当()f x 有极大值，且极大值大于32a -时，求a 的取值范围.【★答案★】（1）1a =；（2）21ln a a --；（3）01a <<．【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，由()01f '=求得a ，并验证1是极值点；（2）由导函数确定函数的单调性，得极值；（3）由（2）得极大值，从而得关于a 的不等式，引入新函数，说明新函数是单调函数，有唯一零点，从而得a 的范围．【详解】（1）1()f x a x '=-，由题意(1)10f a '=-=，1a =， 此时11()1x f x x x -='-=，当01x <<时，()0f x '>，当1x >时，()0f x '<，1x =是极大值点．∴1a =；（2）1()f x a x'=-，0x >， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 单调递增，无极值；当0a >时，10x a <<时，()0f x '>，当1x a>时，()0f x '<，1x a =是极大值点． ∴()f x 极大值111ln 221ln f a a a a a a ⎛⎫⎛⎫==+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （3）由（2）知0a >时，()f x 的极大值为21ln a a --，∴21ln 32a a a -->-，即ln 10a a +-<，设()ln 1g x x x =+-，易知函数()ln 1g x x x =+-在(0,)+∞上是增函数，而(1)0g =， ∴由()0g a <得01a <<．【点睛】本题考查用导数研究函数的极值，掌握导数与极值的关系是解题关键．本题属于中档题．22. 已知函数2()ln 2f x x kx x =-+（1）若4k =，求函数()f x 在1x =处的切线方程；（2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若关于x 的不等式()0f x ≤恒成立，且k 的最小值是m ，求证：2029m <<. 【★答案★】（1）530x y +-=；（2）★答案★见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数()'f x ，计算切线斜率后可得切线方程；（2）求出导函数()'f x ，由()'f x 0>确定增区间，()0f x '<确定减区间； （3）分离参数为2ln 2x x k x +≥，引入新函数2ln 2()x x g x x+=，求出最大值得出k 最小值m ，求最大值时需确定最大值点0x 的性质及范围，由此证明2029m <<． 【详解】（1）4k =时，1()82f x x x'=-+，(1)5f '=-，又(1)2f =-， 所以切线方程为25(1)y x +=--，即530x y +-=；（2）函数定义域是(0,)+∞，21221()22kx x f x kx x x-++'=-+=， 0k ≤时，在0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上是增函数；0k >时，480k ∆=+>，由22210kx x -++=得1122k x k ±+=，其中11202k k -+<舍去，11202k k++>， 当11202k x k ++<<时，()0f x '>，1122k x k++>时，()0f x '<，()f x 的增区间是1120,2k k ⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间是112,2k k ⎛⎫+++∞ ⎪ ⎪⎝⎭．（3）由2()ln 2f x x kx x =-+，又0x >，得2ln 2x x k x +≥，设2ln 2()x x g x x +=， ()g x '=3122ln x x x --， 设()122ln h x x x =--，1()2h x x '=--，在0x >时，()0h x '<，()h x 单调递减， 3334114125612ln 2ln 4ln 1ln 104243283881h ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-=-> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1)10h =-<， 所以存在03,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0()0h x =，且当00x x <<时，()0h x >，即()0g x '>，()g x 递增，当0x x >时，()0h x <，即()0g x '<，()g x 递减， 所以00max 020ln 2()()x x g x g x x +==，其中0x 满足000()122ln 0h x x x =--=， 所以0020ln 2x x k x +≥，0020ln 2x x m x +=， 由0()0h x =得0012ln 2x x -=，202000111122x m x x x +⎛⎫==⋅+ ⎪⎝⎭20111122x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 当0314x <<时，01413x <<，所以201112021229x ⎛⎫<+-< ⎪⎝⎭，即2029m <<． 【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数确定单调性，证明不等式问题，不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值进行讨论，如果最值点（极值点、零点）不易求出，需要虚设零点，整体计算，本题属于难题．感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
天津市南开中学2021届高三(上)第一次月考数学试题(wd无答案)
天津市南开中学2021届高三（上）第一次月考数学试题(wd无答案)一、单选题(★★) 1. 已知集合，，则（）A．B．或C．D．(★★★) 2. 对于实数，“ ”是“ ”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★) 3. 函数的零点一定位于区间（）A．B．C．D．(★★) 4. 函数 y= sin2 x的图象可能是A．B．C．D．(★★★) 5. 如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是（）A ．2﹣B ．1C ．D ．2(★★★) 6. 已知函数，若在区间 上有个零点，则（）A ．4042B ．4041C ．4040D ．4039二、未知(★★★) 7. 设 ，，，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 8. 定义在 上的奇函数满足，当时，，则（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 9. 若曲线 与曲线 存在公切线，则实数 的取值范围（）A ．B ．C ．D ．(★★★) 10. 已知函数 ，若，则实数 的取值范围是__． (★★★) 11. 已知函数，当， 时，则函数的最大值与最小值之和是__．(★★★) 12. 已知函数的最小值为，则实数的值为__．(★★★) 13. 已知函数的周期为．（1）求的值及函数的单调递增区间；（2）若，且，求的值．(★★★) 14. 已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）解不等式；（3）若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围．(★★★) 15. 已知函数．（1）若曲线在点，（1）处的切线与直线垂直，求的值．（2）若对于任意都有成立，试求的取值范围；（3）记．当时，函数在区间，上有两个零点，求实数的取值范围．三、填空题(★) 16. 已知复数（为虚数单位），则__________．(★★) 17. 二项式的展开式中的常数项是__________．(用数字作答)(★★★★★) 18. 已知，函数，，若函数有4个零点，则实数的取值范围是______.四、解答题(★★★) 19. 如图，平面，，点分别为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求线段的长. (★★★★★) 20. 已知函数，其中.（1）求的单调区间；（2）当时，斜率为的直线与函数的图象交于两点，，其中，证明：；（3）是否存在，使得对任意恒成立？若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由.。
天津市第一中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题(解析版)
2023届天津市第一中学高三上学期第一次月考数学试题一、单选题1．设全集R U =，集合{}{}22802345A x x x B =--<=∣，，，，，则()U A B =ð（ ） A ．{}2 B ．{}23，C ．{}45，D ．{}345，， 【答案】C【分析】解不等式后由补集与交集的概念求解 【详解】由题意得(2,4)A =-，则(){4,5}U A B ⋂=ð， 故选：C2．已知,a b ∈R ，则“2a b >>”是“22a b ->-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质以及充分不必要条件的判断，即可求解. 【详解】若2a b >>时，则20,20a b ->->,因此22=2a b b ->--， 若22a b ->-时，比如5,1a b ==，但不满足2a b >>， 因此“2a b >>”是“22a b ->-”的充分不必要条件. 故选：A 3．函数2sin ()||2xf x x =+的部分图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据奇偶性及函数值的正负判断即可.【详解】因为2sin ()2xf x x =+，定义域为R 所以2sin()2sin ()()22x xf x f x x x --==-=--++所以()f x 为奇函数，且(0)0f =，排除CD 当()0,x π∈时，sin 0x >，即()0f x >，排除A 故选：B.4．已知函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数，则m 的值是（ ） A ．2- B ．1-C ．1D ．2【答案】A【分析】先求出函数的定义域，然后根据偶函数的定义取特殊值求解 【详解】函数的定义域为{}0x x ≠，因为函数()11e xm f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭是偶函数， 所以(1)(1)f f -=，所以11111e 1e m m -⎛⎫⎛⎫-+=⨯+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， e 11e 11em m--=+--，所以(e 1)21e m -=-， 得2m =-， 故选：A5．已知函数()f x 是(),-∞+∞上的偶函数，且()()11f x f x -=+，当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，则()()20212022f f +的值为（ ）A ．1B ．2C ．1-D ．0【答案】A【分析】由偶函数可得()()f x f x -=，由()()11f x f x -=+可得对称性，再化简整理可得周期2T =，进而根据性质转换()()20212022f f +到[]0,1x ∈，再代入解析式求解即可.【详解】由题，因为偶函数，所以()()f x f x -=，又()()11f x f x -=+，所以()()()111f x f x f x -+=-=+,即()()2f x f x =+，所以()f x 是周期函数，2T =，故()()()()10202120221021211f f f f +=+=-+-= 故选：A6．已知函数()()||0.542π()2,log 3,log 5,cos 3x f x a f b f c f ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B【分析】直接由指数、对数的运算以及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】0.52|log 3|log 3223a ===，4|log 5|log 22b ==2π1cos3222c ==a b c >>.故选：B ． 7．已知35a b =且211a b+=，则a 的值为（ ） A ．3log 15 B ．5log 15C ．3log 45D ．5log 45【答案】C【分析】令350a b k ==>，利用指对数互化，换底公式及对数的运算法则可得45k =，即得.【详解】令350a b k ==>， 则35log ,log a k b k ==，351111log 3,log 5log log k k a k b k ====，又211a b+=， ∴2log 3log 5log 451k k k +==，即45k =， ∴3log 45a =. 故选：C.8．设函数e e ()sin 2x x f x x --=+，不等式()e (ln 1)0xf a x f x x -+++≤对0x >恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 1- B ．1C ．e 2-D ．0【答案】D【分析】先由定义证()f x 为奇函数，结合均值不等式可证()1cos 0f x x '≥+≥，得()f x 在R 上单调递增，故结合奇偶性与单调性，恒成立转化为e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立．令()e ln 1x g x x x x =---，用导数法求()g x 最小值，即有()min a g x ≤.【详解】因为e e ()sin 2x xf x x ---=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 为R 上的奇函数．因为e e ()cos cos 1cos 02x x f x x x x -+'=+≥=+≥，所以()f x 在R 上单调递增．不等式()e (ln 1)0x f a x f x x -+++≤可转化为()(ln 1)e xf x x f x a ++≤-，所以ln 1e x x x x a ++≤-，即e ln 1x a x x x ≤---对0x >恒成立． 令()e ln 1x g x x x x =---，则ln ln ()e e ln 1e (ln )1x x x x g x x x x x +=---=-+-， 令()e 1x h x x =--，则()e 1x h x '=-．当0x >时，()0h x '>，()h x 在(0,)+∞上单调递增；当0x <时，()0h x '<，()h x 在(,0)-∞上单调递减．所以0min ()(0)e 010h x h ==--=，即()0h x ≥，所以()0g x ≥，且当ln 0x x +=时，()g x 取最小值0， 故0a ≤，即实数a 的最大值为0． 故选：D.【点睛】1.通常函数不等式恒成立问题涉及奇偶性与单调性可先进行转化； 2.含参不等式恒成立问题，一般通过构造函数解决.一般将参数分离出来，构造函数用导数法讨论不含参数部分的最值；或者包含参数一起构造函数，用导数法对参数分类讨论.当参数不能分离出来时，也可尝试将不等式左右变形成一致形式，即可将该形式构造成函数，通过导数法分析单调性，将问题等价成对应自变量的不等式.9．已知函数()()212f x x mx x =++∈R ，且()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，若函数()()2g x f x ax =-有四个不同的零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．()0,1C ．1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由()y f x =在[]0,2x ∈上的最大值为12，讨论可求出2m =-，从而()2122f x x x =-+，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出图象，结合图象求解即可【详解】若0m ≥，则函数()212f x x mx =++在[]0,2上单调递增， 所以()212f x x mx =++的最小值为12，不合题意，则0m <， 要使函数()212f x x mx =++在[]0,2x ∈上的最大值为12． 如果22m-≥，即4m ≤-，则()912222f m =+≤，解得522m -≤≤-，不合题意；若22m -<，即40m -<<，则2912,2211,242m m ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩解得52,22,m m ⎧-≤≤-⎪⎨⎪≥-⎩即2m =-， 则()2122f x x x =-+． 如图所示，若()()2g x f x ax =-有4个零点，则函数()y f x =与2y ax =有4个交点，只有函数2y ax =的图象开口向上，即0a >．当2y ax =与(2y x =-122x -+）有一个交点时，方程221202ax x x +-+=有一个根，0∆=得1a =，此时函数()()2g x f x ax =-有二个不同的零点，要使函数()g x =()2f x ax -有四个不同的零点，2y ax =与2122y x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭有两个交点，则抛物线2y ax =的图象开口要比2y x =的图象开口大，可得1a <， 所以01a <<，即实数a 的取值范围为()0,1． 故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查二次函数的性质的应用，考查数形结合的思想，解题的关键是由已知条件求出m 的值，然后将问题转化为函数()y f x =与2y ax =有4个交点，画出函数图象，结合图象求解即可，属于较难题二、填空题 10．复数i2i=+_________. 【答案】12i 55+【分析】根据复数的除法运算直接求解.【详解】解：()()()i 2i i 12i 2i 2i 2i 55-==+++-. 故答案为:12i 55+.11．已知函数()f x 的导函数，满足()()321f x xf x '=+，则()1f 等于_______________.【答案】5-【分析】求导，令1x =，可解得()1f '，进而可得()1f .【详解】由()()321f x xf x '=+，得()()2213f x f x ''=+，令1x =，得()()1213f f ''=+，解得()13f '=-，所以()()()312112315f f '=+=⨯-+=-，故答案为：5-.12．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________. 【答案】320m 20立方米【分析】根据题设条件可得水费与水价的关系式，根据该关系式可求用水量. 【详解】设用水量为x 立方米，水价为y 元，则()3,01236612,1218729(18),18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=+-<≤⎨⎪+->⎩，整理得到：3,012636,1218990,18x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩，当012x ≤≤时，036y ≤≤；1218x <≤时，3672y <≤；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米， 令99090x -=，则20x =（立方米）， 故答案为：320m .13．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则23()2f =_______． 【答案】14-【分析】根据题意，分析可得(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数，由此可得231()()22f f =-，结合函数的解析式计算可得答案． 【详解】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，满足(2)()f x f x +=-， 则(2)()()f x f x f x +=-=-，则有(4)(2)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是周期为4的周期函数， 则23111()(12)()()2222f f f f =-+=-=-， 又由当[0x ∈，1)时，2()f x x =，则2111()()224f ==，则2311()()224f f =-=-，故答案为：14-．14．已知函数()212-,02=1+1,>02xx f x x x ≤⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎪⎩，则不等式()313xf ->的解集为___________.【答案】()1,+∞【分析】分别在条件31>0x -，310x -≤下化简不等式，再求其解，由此可得不等式()31>3x f -的解集.【详解】当310x -≤时，即0x ≤时，()31131=22x x f ---⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以不等式()31>3xf -可化为3112>32x --⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0x ≤且3111>2x --⎛⎫⎪⎝⎭，所以满足条件的x 不存在，即当0x ≤时，不等式无解，当31>0x -时，即>0x 时，()()2131=31+12xxf --，此时不等式()31>3x f -可化为()2131+1>32x-，得31>2x -或31<2x --，解得>1x ， 所以不等式()31>3xf -的解集为()1,+∞，故答案为：()1,+∞.15．已知正数,a b 满足1,a b c +=∈R ，则222312a c bc b abc ab++++的最小值为__________．【答案】2【分析】把1a b +=平方得到2221,0,0a ab b a b ++=>>，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.【详解】解：由1a b +=，得2221,0,0a ab b a b ++=>>， 则222312a c bc b abc ab++++ 222213221a a ab b c c b ab ⎛⎫++=++ ⎪+⎝⎭2214221a b c c b a ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭221221c c ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭≥+()226212221c c =++-≥=+， 当且仅当4a bb a =，即2b a =，()226211c c =++，即()2213c +=时取“等号”，所以当212,,133a b c ==时，222312a c bc b abc ab++++的最小值为2．故答案为：2三、解答题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.(1)若cos A =cos(2)A C +的值；(2)若c =ABC a ，b 的值.【答案】(1)(2)2a =，3b =或3a =，2b =【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出C ，由同角三角函数的基本关系求出sin A ，即可求出sin 2A 、cos 2A ，最后利用两角和的余弦公式计算可得； （2）由面积公式及余弦定理得到方程组，解得即可.【详解】(1)解：因为2cos (cos cos )C a B b A c +=， 由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， 即2cos sin()2cos sin sin C A B C C C +==， 因为(0,)C π∈，sin 0C >，所以1cos 2C =， 由C 为三角形内角得3C π=；由cos A =，则sin A =所以sin 22sin cos 2A A A ===， 261cos 22cos 121164A A =-=⨯-=-，()cos 2cos 2cos sin 2sin A C A C A C +=-=1142-⨯=(2)解：因为ABC 的面积1sin 2S ab C ==6ab =①， 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-得227a b ab =+-，则2213a b +=②， 由①②解得2a =，3b =或3a =，2b =17．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 满足AD BC ∥，且12AB AD AA ===，BD DC ==(1)求证：BD ∥平面11B CD .(2)求直线AB 与平面11B CD 所成角的正弦值. (3)求二面角111B CD C --的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(3)正弦值为1【分析】(1)由四棱柱的性质证明11//BD B D ，根据线面平行判定定理证明BD 平面11B CD ；(2)建立空间直角坐标系，求直线AB 的方向向量和平面11B CD 的法向量利用空间向量求解线面角；(3)求平面11C CD 的法向量，利用向量夹角公式求二面角111B CD C --的夹角的余弦值，再由同角关系求其正弦值.【详解】(1)在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11BB DD ，11BB DD =，故四边形11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11B CD ，11B D ⊂平面11B CD ， 所以BD ∥平面11B CD ；(2)因为1AA ⊥平面ABCD ，AB ，AD ⊂平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥，因为2AB AD ==，BD =所以222AB AD BD +=，=ABD ADB ∠∠，所以AB AD ⊥，=45ADB ∠，因为AD BC ∥，所以=45DBC ∠，又BD CD ==所以BDC △为等腰直角三角形，所以=4BC ，因为AB ，AD ，1AA 两两垂直，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，1AA 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()12,0,2B ，()10,2,2D 所以()2,0,0AB =，()1=0,4,2B C -，()11=2,2,0B D - 设平面11B CD 的法向量为(),,n x y z =∴111=0=0n B C n B D ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即42=02+2=0y z x y --⎧⎨⎩，令=1x ，则=1y ，=2z ，∴()1,1,2n =设直线AB 与平面11B CD 所成角为θ，∴2sin =cos ,==2?6AB n AB nAB n⋅θ⋅所以直线AB 与平面11B CD .(3)平面11B CD 的法向量为()1,1,2n =，因为1AA ⊥平面ABCD ，11//AA DD ，所以1DD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1DD BD ⊥，又B D D C ⊥，1=DD DC D ⋂，1,DD DC ⊂平面11CD C ，所以BD ⊥平面11CD C ，所以BD 为平面11CD C 的法向量，所以平面11CD C 的法向量为()=2,2,0m BD -= ∴cos ,==0m nm n m n⋅，∴sin ,1m n = 所以，二面角111B CD C --的正弦值为1.18．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当],(0x ∈-∞时，()93x xm f x -=-． (1)求()f x 在(0,)+∞上的解析式；(2)当[1,2]x ∈时，1()23x x f x a +⋅+…恒成立，求实数a 的取值范围；(3)关于x 的方程1()3160x f x n -++⋅+=在[2,1]--上有两个不相等的实根，求实数n 的取值范围．【答案】(1)()93x xf x =-+(2)15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ (3)227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】(1)根据函数的奇偶性求出m 的值，进而求出函数的解析式即可；(2)利用分离参数法将原不等式转化为932()22x xa g x ⎛⎫⎛⎫≥--⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[]1,2上恒成立，结合函数的单调性求出()max g x 即可；(3)令[]33,9xt -=∈，将原方程转化为直线13y n =-与函数()16h t t t=+的图象有两个交点．利用数形结合的思想即可求解.【详解】(1)依题意得()010f m =-=，解得1m =， 经检验1m =，符合题意.当()0,x ∈+∞时，(),0x -∈-∞，则()93x xf x -=-，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()93x xf x f x =--=-+，即当()0,x ∈+∞时，()93x xf x =-+；(2)当[]1,2x ∈时，19323xxxx a +-+≤⋅+恒成立，即93222x xa ⎛⎫⎛⎫≥--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立．设()93222x xg x ⎛⎫⎛⎫=--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，易知()g x 在[]1,2上是减函数，()()max 1512g x g ==-，所以152a ≥-，即实数a 的取值范围为15,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭； (3)方程()13160x f x n -++⋅+=在[]2,1--上有两个不相等的实根， 即函数()()931316x xF x n --=+-⋅+在[]2,1--上有两个零点，令[]33,9xt -=∈，则关于t 的方程()231160t n t +-+=在[]3,9上有两个不相等的实根，由于2161613t n t t t+-==+，则直线13y n =-与()16h t t t=+的图象有两个交点．如图，因为()16h t t =+在[]3,4上单调递减，在[]4,9上单调递增， 且()48h =，()2533h =，()9799h =，所以258133n <-≤， 解得22793n -≤<-，即实数n 的取值范围为227,93⎡⎫--⎪⎢⎣⎭．19．设函数()222ln f x ax a x =--，()1eex g x x =-，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数． (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：当1x >时，()0g x >；(3)若不等式()()f x g x >在()1,x ∈+∞时恒成立，求a 的取值范围． 【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 (3)1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）求导后分0a ≤与0a >两种情况讨论即可； （2）构造函数()1e-=-x s x x ，求导分析单调性与最值，证明当1x >时，1e x x ->即可；（3）结合（1）（2）讨论()(),f x g x 1的大小关系，构造函数()()()h x f x g x =-，求导放缩判断单调性，进而证明即可. 【详解】(1)()f x 定义域为()0,∞+，()241ax f x x-'=． 当0a ≤时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，由()0f x '=，得x =x ⎛∈ ⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增．综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+内单调递减；当0a >时，()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增． (2)令()1e-=-x s x x ，则()1e 1x s x -=-．当1x >时，()0s x '>，()s x 单调递增，()()10s x s >=， 所以1e x x ->，从而()1110e x g x x -=->． (3)由（2）得，当1x >时，()0g x >．当0a ≤时，1x >时，()()()221ln 0f x a x x g x =--<<，不符合题意．当104a <<1=>，由（1）得，当x ⎛∈ ⎝⎭时，()()()10f x f g x <=<，不符合题意． 当14a ≥时，令()()()h x f x g x =-，1x >． ()211e 4e x h x ax x x '=-+-2111x x x x >-+-()222111110x x x x x ->-+-=>()h x 在区间()1,+∞上单调递增．又因为()10h =，所以当1x >时，()()()0h x f x g x =->，即()()f x g x >恒成立． 综上，1,4a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题主要考查了求导分情况讨论函数单调性的问题，证明不等式与恒成立的问题，需要根据题意，结合极值点与区间端点的关系分情况讨论导函数的正负，求得函数的单调性，从而证明不等式的问题.属于难题.20．已知0a >，设函数()(2)ln ,()=-+'f x x a x x f x 是()f x 的导函数． (1)若2a =，求曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程；(2)若()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点()1212,x x x x <， ①求实数a 范围； ②证明：()221(e)(2e)(3)12e---'<-x f x a a a x ．注，其中e 2.71828=⋅⋅⋅⋅⋅⋅是自然对数的底数． 【答案】(1)y x =(2)①>a【分析】(1)把1x =代入原函数与导函数得到切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程； (2)①可设()()2ln ln f x xg x x a x x==+-，因为1x >，所以()g x 与()f x 零点相同，可根据()g x 的单调性与极值情况来确定a 的范围；②根据题意，巧设函数，利用放缩构造等思路结合导数，可分别求出22()x f x '与111x -的范围，然后相乘即可，详细过程见解析.【详解】(1)当2a =时，2()2(1)ln ,()2ln 3=-+=-+'f x x x x f x x x，所以(1)1,(1)1f k f '===．根据点斜式可得曲线()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为y x =．(2)①当1x >时，()0f x =等价于20ln +-=xx a x． 设()2ln =+-x g x x a x ，则22ln 1(ln 1)(2ln 1)()2ln ln '-+-=+=x x x g x x x．当1x <<()0,()g x g x '<单调递减；当x >()0,()'>g x g x 单调递增； 所以，当1x >时，min [()]==g x g a ， 因为()f x 在区间(1,)+∞上存在两个不同的零点12,x x ，所以min [()]0<g x，解得>a当>a1=∈-a ax a ，则1ln 11<-=-a a x x a ， 故()221201ln 111-=+->+-=>---a a a a a x a a a g x x a a x a a a ，又202ln 2⎛⎫=> ⎪⎝⎭a a g a ， 所以()f x在区间和2⎫⎪⎭a 上各有一个零点．综上所述：>a②设()()[(3)2](2)ln (2)(2)=--+-=-+---F x f x a x a x a x a x a ， 则2()2ln (2)2ln -=++=+'--x a aF x x a x a x x，它是[1,)+∞上的增函数． 又(1)0F '=，所以()0F x '≥，于是()F x 在[1,)+∞上递增．所以()(1)0F x F ≥=，即(2)ln (3)2-+≥-+-x a x x a x a ，当1x =时取等号． 因为11x >，所以()110(3)2=>-+-f x a x a ，解得11031<<--a x ．(1) 因为()2ln 3=-'+af x x x，所以()222222ln 3-'=+x f x x x a x ， 结合()()22222ln 0=-+=f x x a x x 知()()2222222222232222-=-+=---+-'-a x ax f x a x a x x a a x ．处理1：设函数()ln xh x x =，则2ln 1()ln -='x h x x， 所以当0x e <<时，()0,()h x h x '<递减，当x e >时，()0,()h x h x '>递增，所以()()ln =≥=xh x h e e x，所以2222ln -=≥x a x e x ．处理2：因为ln 1≤-x x ，所以ln 1⎛⎫≤- ⎪⎝⎭x xe e，即ln x x e ≤，当x e =时取等号，所以ln 022222-----⎛⎫=-+>-⋅+= ⎪⎝⎭a e a e a e a e a e f e e e ． 由①可知，()f x 在[)2,x +∞上单调递增，且()20f x =，所以22-≤a ex ，即22-≥a x e ． 因为22()2=--+a a g x t t 在[,)e ∞+上是减函数，且22-≥a x e ，且()()2222()(2)22()22--=-≤=--+='a a a e a e x f x g a x g e e e e．综上可知：()221()(2)(3) 12--'-<-x f x a e a e ax e．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
天津市天津一中2021届高三上学期零月月考数学文试题 Word版含解析
天津一中2022-2021学年高三数学（文科）零月考考试试题一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）【题文】1.设i 为虚数单位，则51ii-+等于（）A.-2-3iB.-2+3iC.2-3i D2+3i 【学问点】复数的运算. L4【答案解析】C 解析：5(5)(1)46231(1)(1)2i i i iii i i----===-++-，故选C.【思路点拨】利用复数乘法进行分母实数化.【题文】2.设变量x,y满足约束条件：3123x yx yx y+≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数23z x y=+的最小值为（）A.6B.7C.8D.23 【学问点】线性规划. E5【答案解析】B 解析：画出可行域，平移直线23y x=-，可得最优解为两直线x+y=3与2x-y=3的交点A(2,1),所以目标函数23z x y=+的最小值为22317⨯+⨯=，故选B.【思路点拨】画出可行域，利用平移法确定最优解，进而求得目标函数的最小值.【题文】3.函数sin22y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，x R∈是（）A.最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数【学问点】函数sin()y A xωϕ=+的图像与性质. C4【答案解析】C 解析：由于sin22y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭=cos2x ，此函数是最小正周期为π的偶函数，所以选C. 【思路点拨】利用诱导公式化简已知函数，从而得结论.【题文】4.阅读右面的程序框图，则输出的S=（）A.14B.30C.20D.55【学问点】程序框图. L1【答案解析】B 解析：依据程序框图得：循环过程依次为①S=1,i=2,②S=1+4=5,i=3,③S=1+4+9=14,i=4, ④S=1+4+9+16=30,i=5,此时满足i>4了,所以输出S=30，故选B.【思路点拨】依据程序框图得每次循环的结果，从而确定输出结果.【题文】5.已知()f x是定义在(),-∞+∞上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()()0.6412log7,log3,0.2a fb fc f⎛⎫===⎪⎝⎭，则,,a b c的大小关系是（）A.c<b<aB.b<c<aC.b<a<cD.a<b<c【学问点】函数的奇偶性与单调性. B3 B4【答案解析】C 解析：由()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数得：()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又()f x 在(],0-∞上是增函数，所以()f x 在[)0,+∞上是减函数，由于42122log 7log 7,log 3log 3,==-且0.622log 3log 710.2>>>>0，所以b<a<c ，故选C.【思路点拨】由奇偶性得()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，再由()f x 在(],0-∞上是增函数得()f x 在[)0,+∞上是减函数，由于42122log 7log 7,log 3log 3,==-且0.622log 3log 710.2>>>>0，所以b<a<c.【题文】6.设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率e =（ ） A.5 B.5 C.52 D. 54【学问点】双曲线的几何性质. H6【答案解析】C 解析：可设双曲线方程为()2222104x y m m m -=>，则a=2m, 2245c m m m =+=,所以5522c m e a m ==，故选C. 【思路点拨】首先设出已知焦点位置及渐近线方程的双曲线的方程，由此得双曲线中的参数a,c 的值，从而求得双曲线的离心率.【题文】7.函数()244,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩的图像和函数()2log g x x =的图像的交点个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 【学问点】函数及其表示. B1 【答案解析】C 解析：画出两函数图像得交点个数3，故选C.【思路点拨】在同一坐标系下画出两函数图像得交点个数.【题文】8.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()[)()[)2 1.5,0,10.5,x 1,2x x x x f x -⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则实数t 的取值范围是（ ） A. [)()2,00,1- B. [)[)2,01,-+∞ C. []2,1- D. (](],20,1-∞-【学问点】函数的性质及应用. B1 B3 【答案解析】D 解析：(2)2(),f(x 4)2(2)4()f x f x f x f x +=∴+=+=∴当[4,2)x ∈--时，4[0,2)x +∈，24 1.5(4)(4),4[0,1)(4)4()(0,5),4[1,2)x x x x f x f x x +-⎧+-++∈⎪∴+==⎨-+∈⎪⎩ 即()22.51712,[4,3)4()1(0.5),[3,2)4x x x x f x x +⎧++∈--⎪⎪=⎨⎪-∈--⎪⎩，可得此时()f x 的最小值为1( 2.5)4f -=-.若[)4,2x ∈--时，()142t f x t ≥-恒成立，则min 11()( 2.5)424t f x f t -≤=-=-， 解得：t ∈(](],20,1-∞-，故选D.【思路点拨】依据条件，只要求出函数f （x ）在x ∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上）【题文】9.如左下图所示，是某校高三班级文科60名同学参与谋科考试所得成果（分数均为整数）整理后得出的频率分布直方图，依据该图这次考试文科60分以上的同学的人数为 .【学问点】频率分布直方图中的数据读取. I2【答案解析】45 解析：这次考试文科60分以上的同学的人数 =（0.015+0.030+0.025+0.005106045⨯⨯=.【思路点拨】依据频率分布直方图得所求=（0.015+0.030+0.025+0.005106045⨯⨯=. 【题文】10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .【学问点】三视图的意义. G2【答案解析】108+3π 解析：该几何体的体积=2266 1.5131083ππ⨯⨯⨯+⨯⨯=+.【思路点拨】由三视图可知该几何体是由两个底面边长是6，高是1.5的正四棱柱，和一个底面半径是1，高是3的圆柱组成的几何体.【题文】11.在ABC ∆中，AB=2，AC=3，D 是边BC 的中点，则AD BC ⋅= . 【学问点】平面对量的加减运算及数量积. F1 F3【答案解析】52 解析：()1,2AD AC AB BC AC AB =+=-, ()()()221122AD BC AC AB AC AB AC AB ∴⋅=+⋅-=-()22153222=-=.【思路点拨】由向量加法、减法的三角形法则得：,AD BC 用,AC AB 表示的表达式，然后再用向量数量积公式计算.【题文】12.已知圆C 的圆心与抛物线24y x =的焦点关于直线y=x 对称，直线4x-3y-2=0与圆C 相交于A,B 两点，且6AB =，则圆C 的标准方程为: . 【学问点】抛物线的性质；直线与圆的有关学问. H4 H7【答案解析】()22110x y +-= 解析：由已知条件得圆心C(0，1),C 到直线4x-3y-2=0的距离d=()223243--=+-1，所以圆的半径为221310+=，所以圆C 的标准方程为:()22110x y +-=.【思路点拨】依据已知条件求得圆心坐标及半径.【题文】13.如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E. 已知圆O 的半径为3，PA=2，则CD= .【学问点】几何证明选讲. N1 【答案解析】245解析：连接OC 则90OCP ∠=,在OCP ∆中OC=3，OP=5从而PC=4由等面积法得：341255OC CP OC CP PO CE CE PO ⋅⨯⋅=⋅⇒===,所以CD=245. 【思路点拨】连接OC 则90OCP ∠=，在直角三角形OCP 中求得三边长后，再求斜边上的高即可. 【题文】14.函数()10,1x y a a a -=>≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0(mn>0)上，则11m n+的最小值为 . 【学问点】指数函数；基本不等式. B10 E6【答案解析】4 解析：由已知条件得A(1,1), 代入mx+ny-1=0得：m+n=1，由于m,n>0所以()111124m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当m=n=12时等号成立. 【思路点拨】由函数()10,1x y a a a -=>≠的图像恒过定点A 得A(1,1)，代入mx+ny-1=0得：m+n=1，由于m,n>0所以()111124m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当m=n=12时等号成立. 二、解答题：（本大题共6小题，共80分。
2021届天津一中高三一月考试卷及解析
列出临界条件满足的关系式求解即可. 【详解】
解：
函数
f
x
2
k
17 4
x
2
,
x
0
,且 k＞0,
x
2
,
x
0
画出 f x 的图象如下：
试卷第 6 页，总 15 页
因为
g
x
k
x
4 3
,且存在唯一的整数
x,
使得
f
x
g
x
,
故 g x 与 f x 在 x 0 时无交点,
k k 17 ,得 k 17 ；
中随机抽取 3 个， Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于 20 天”的人数，
求 Y 的分布列及数学期望 E Y
【答案】（1） 27 ；（2）分布列详见解析，数学期望 E Y 3 ．
128
4
【解析】
【分析】
（1）由题意可得 P x 20 25 ，由二项分布的概率公式即可得解；
100
加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有2A22 4 种，即一共 36 4 144种方案；
当选取的是 2 名医生 1 名护士，共有C62C41 60 种选法，分配到 A，B，C 三个地区参
加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去 A 地区，共有 A22 2 种，即一共
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a0
{
4a2
12a
0
，解得
a
0
或
a
3
.
考点：1、命题；2、一元二次不等式.
【方法点晴】全称命题“ x M ， p x ”的否定为“ x M ，p x ”，当全称命题为
天津市天津一中2021届高三上学期零月月考数学理试题 Word版含解析
天津一中2022---2021高三班级月考数学试卷（理科）一、选择题：【题文】（1）i 是虚数单位，211i i -⎛⎫⎪+⎝⎭的值是 （ ）A.-1B.1C.-iD.i【学问点】复数的概念.L4【答案解析】A 解析：解：由题意可知()22111i i i -⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，所以正确选项为A. 【思路点拨】依据复数的化简可分母实数化，然后依据虚数的概念直接求解. 【题文】(2)在()61x x +的开放式中，含3x 项的系数是 （ ）A.30 B,20 C.15 D.10【学问点】二项式定理.J3【答案解析】C 解析：解：由题意可知()61x x +的开放式中，含3x 项的系数，即为()61x +的开放式中的2x项的系数，()61x +的开放式中的2x 项为44261C x ，所以它的系数为446115C =.【思路点拨】依据二项式开放式，可以求出与所求项有关的特定项的系数. 【题文】(3)如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 A.16 B.2524 C.34 D.1112【学问点】程序框图；算法.L1【答案解析】解析：解：解：当n=2时，满足进行循环的条件，执行完循环体后12S =,n=4； 当n=4时，满足进行循环的条件，执行完循环体后34S =,n=6； 当n=6时，满足进行循环的条件，执行完循环体后1112S =,n=8；当n=8时，不满足进行循环的条件， 故输出结果为：1112故选：D 【思路点拨】依据程序框图可以知道题意所蕴含的意义，依据算法可求出结果. 【题文】(4)若曲线()(),a f x x g x x ==，在点()1,1P 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，则实数a 的值为（ ） A.-2 B.2 C.12 D.12- 【学问点】导数的几何意义.B11【答案解析】A 解析：解：依据题意可知()f x 在()1,1P 处的导数为()()1211122f x x f -''=∴=，()g x 在()1,1P 处的导数为()()11a g x ax g a -''=∴=，121122l l a a ⊥∴⨯=-∴=-，所以正确选项为A.【思路点拨】依据函数的导数可以求出切线的斜率，再依据函数的几何关系可求出字母的值. 【题文】(5)数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则"1"q >是数列{}n a 为递增数列的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【学问点】充分必要条件.A2【答案解析】解析：解:若a 1＜0，q ＞1时，{a n }递减，∴数列{a n }单调递增不成立． 若数列{a n }单调递增，当a 1＜0，0＜q ＜1时，满足{a n }递增，但q ＞1不成立． ∴“公比q ＞1”是“数列{a n }单调递增”的既不充分也不必要条件． 故选：D【思路点拨】依据命题的关系可知结果. 【题文】（6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（ ） A.12 B,23 C. 34 D.35【学问点】概率,K1【答案解析】解析：解：解：甲要获得冠军共分为两个状况 一是第一场就取胜，这种状况的概率为12一是第一场失败，其次场取胜，这种状况的概率为111224⨯=则甲获得冠军的概率为113244+= 故答案为：34【思路点拨】甲队获冠军分为两种状况，概率是每种概率的和.【题文】(7)设ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，若cosC ccosB asinA b +=，则ABC 的外形为（ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定 【学问点】正弦定理；两角和与差的公式.C5,C8 【答案解析】A 解析：解：由正弦定理可知22sin ,2sin ,2sin sin sin sin a b cR a R A b R B c R C A B C===∴===，cos cos sin sin cos sinCcosB sinAsinAb Cc B a A B C ∴+=∴+=()22sin sin sin sin sin 190B C A A A A A ∴+=⇒=∴=∴∠=︒所以三角形为直角三角形，A 正确.【思路点拨】依据正弦定理把边转化成角，然后依据两角和的开放式进行化简.【题文】（8）函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意()(),1x R f x f x '∈+>，则不等式()1x x e f x e ⋅>+的解集为（ ）A.{}|0x x >B.{}|0x x <C.{}|101x x x <-<<或D.{}|11x x x ><-或【学问点】导数，导数与函数的单调性.B11,B12【答案解析】解析：解：设h （x ）=e x f （x ）-e x-1，则不等式e x f （x ）＞e x+1的解集就是 h （x ）＞0 的解集． h （0）=1×2-1-1=0，h′（x ）=e x [f （x ）+f′（x ）]-e x， ∵[f （x ）+f′（x ）]＞1， ∴对于任意 x ∈R ， e x [f （x ）+f′（x ）]＞e x，∴h'（x ）=e x [f （x ）+f'（x ）]-e x＞0 即h （x ）在实数域内单调递增． ∵h （0）=0，∴当 x ＜0 时，f （x ）＜0；当 x ＞0 时，f （x ）＞0．∴不等式e x •f（x ）＞e x+1的解集为：{x|x ＞0}． 故答案为：{x|x ＞0}．【思路点拨】构造函数，利用导数争辩分析函数的单调性.二、填空题： 【题文】（9）以Rt ABC 的直角边AB 为径作圆O,圆O 与斜边AC 交于D ，过D 作圆O 的切线与BC 交于E ，若BC=3，AB=4，则OE=【学问点】直线与圆的关系；全等三角形的判定.H4【答案解析】解析：解：由题意，连接OD ，BD ，则OD ⊥ED ，BD ⊥AD∵OB=OD ，OE=OE ∴Rt △EBO ≌Rt △EDO ∴EB=ED ，∴∠EBD=∠EDB 又∠EBD+∠C=90°，∠EDB+∠EDC=90°∴∠C=∠EDC ，∴ED=EC∴EB=EC ∵O 是AB 的中点，∴12OE AC =∵直角边BC=3，AB=4，∴AC=5,52OE =故答案为：52【思路点拨】依据已知条件可求出O 点为AB 的中点，然后依据中位线的条件求出OE 的长.【题文】(10)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为【学问点】三视图；柱体体积公式.G2【答案解析】解析：解：由题意可知几何体为底面为等腰梯形的四棱柱，依据体积公式可知它的体积为()1284105002V Sh ==+⨯⨯= 【思路点拨】依据三视图得到几何体的图形，再利用体积公式可求出体积.【题文】（11）在直角坐标系xoy 中，已知曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数与曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0有一个公式点在x 轴上，则a=【学问点】椭圆的参数方程；直线的参数方程.N3【答案解析】32a =解析：解：曲线11:()12x t C t y t =+⎧⎨=-⎩为参数化为一般方程为：230x y +-=令30,2y x ==，曲线2sin :()3cos x a C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,a>0化为一般方程为：22219x y a +=∵两曲线有一个公共点在x 轴上293412a a =∴= 【思路点拨】化参数方程为一般方程，利用两曲线有一个公共点在x 轴上，可得方程，即可求得结论.【题文】(12)某学校高一、高二、高三班级的同学人数之比为3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，则应从高二班级抽取 名同学. 【学问点】抽样方法；分层抽样的概念.I1∵用分层抽样的方法从该校高中三个班级的同学中抽取容量为50的样本，∴要从高二抽取501510⨯= 故答案为：15【思路点拨】依据分层抽样的概念，满足按比例安排的关系，可按比例求解.【题文】(13)若点O 、F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP PF ⋅的最大值为【学问点】向量的数量积；二次函数求最值问题.F3 【答案解析】解析：解：解：设则(,OP FP x y ⋅=又点P 在椭圆上，所以所以当x=2时，4OP OF ⋅的最大值为【思路点拨】设在椭圆上可把OP OF⋅ 表示为数性质可求其最大值【题文】(14)设函数()f x m=，若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是 .【学问点】函数的最大最小值.B3【答案解析】解析：解：由题意可得()00021,22x k f x k k z m mπππ+==+∈=且，即x ，再由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦可得当m 2最小时，|x 0|最小，而|x 0|最小为222113,4,24mm m m ∴>+∴>求得m>2或m<-2【思路点拨】依据导数与函数的关系，找到函数的最值，再由题意可求解. 三、解答题：【题文】（15）已知锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c,且222tan A b c a=+-（I ）求角A 的大小：（II ）求cos cos B C +的取值范围.【学问点】余弦定理；两角和与差的开放式.C5,C8 【答案解析】解析：解：(1)tan tan sin3A A A A π====(2)21cos cos cos cos cos cos 32B B BB B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=+-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12cos sin 26362B B B BC B ππππ⎛⎫==++=∴<< ⎪⎝⎭2,sin cos cos 633622B B B C ππππ⎤⎤⎡⎤⎛⎫∴+∈∴+∈∴+∈⎥⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦【思路点拨】依据余弦定理，找出角之间的关系，再利用两角和与差的公式确定三角函数值的范围.【题文】(16)盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同 (I)从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率:(II)从盒中一次随机抽出4个球，其中红球，黄球，绿球的个数分别记为123,,x x x ，随机变量X 表示123,,x x x 中的最大数，求X 的概率分布列和数学期望()E X .【学问点】概率；离散型随机变量的分布列与数学期望.K1,K8【答案解析】解析：解：224329163153618C C P C ++++=== (2)X 的可能取值为2，3，4()()31314536449911134,312663C C C C P x P x C C +======()113991112663126P x ==--=()198********1261269E x ++===【思路点拨】由题意找出所求大事的概率，依据变量的取值求出分布列与数学期望.【题文】(17)如图，四棱锥P ABCD -中，ABCD PA ⊥底面.BC 2,4,3CD AC ACB ACD π===∠=∠=,F为PC 的中点，AF PB ⊥.(I)求PA 的长：（II ）求二面角B AF D --的正弦值.【学问点】空间坐标系；空间向量；空间距离公式；法向量.F3,G9【答案解析】解析：解：2,3BC BD ACB ACD CA BD π==∠=∠=∴⊥∴如图建立空间坐标系()())()()0,0,0,0,1,0,3,0,0,3,0,0,3,0O C BD A ∴-()0,3,,0,1,2z P z F ⎛⎫-- ⎪⎝⎭)2,00,2,3,3,060322z z AF PB AF PB z z ⎛⎫⊥∴⋅=∴⋅-=∴-=∴= ⎪⎝⎭(0,3,23P -()22323PA ∴==（2）设面AFD 的法向量()()0,,3,3,20n AD n x y z n n AF ⎧⋅==∴∴=-⎨⋅=⎩，设面ABF 的法向量()()0137,,3,3,2cos sin 80m AB m x y z m m AF θθ⎧⋅==∴∴=-∴=∴=⎨⋅=⎩【思路点拨】由题意可建立空间坐标系，再依据坐标求出距离；设定法向量，利用法向量的关系求出夹角的正弦值.【题文】(18)数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意的*n N ∈，总有2,S ,n n n a a 成等差数列(I)求数列{}n a 的通项公式：(II)设数列{}n b 前n 项和为n T ，且2ln n nxb a =，求证对任意的实数(1,]x e ∈和任意的正整数n ，总有2n T < 【学问点】数列的通项公式；特殊数列求和.D2,D3, D4 【答案解析】解析：解：(1)2,s ,n n n a a 成等差数列()222*11111112,12,122n n n n n n a a S n a a a a a S n n N ---∴+==+=∴=∴+=≥∈当时，a 且22221111121n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ------+-=∴-=+∴-={}n a ∴是等差数列11,d 1a n a n ==∴=（2）[]()222ln ln 11,1,0ln 121n n n x x b x e x n a n n n n ==∈∴<≤∴≥≤<-当时，b 11111111112212231n T n n n n n=-∴≤+-+-+-=-<-- 【思路点拨】(1)依据已知条件求出数列的通项公式；(2)依据通项之间的关系列出不等关系式，再利用裂项求和的方法求解.【题文】(19)已知椭圆()22221,0x y a b a b+=>>的离心率为22，且过点()2,2（I ）求椭圆的标准方程：（II ）四边形ABCD 的顶点在椭圆上，且对角线AC ，BD 过原点O ，若22AC BDb k k a⋅=-(i) 求OA OB ⋅的最值：(ii)求证：四边形ABCD 的面积为定值.【学问点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系.H5,H8【答案解析】解析：解：22222222222842(1)11844c aa x y ab b a bc ⎧=⎪⎪⎧=⎪+=∴∴+=⎨⎨=⎩⎪=+⎪⎪⎩(2)设()()()22112222:,,,2828AB y kx m l y kx m A x y B x y x kx m x y =+⎧=+∴++=⎨+=⎩()2222121222428124280,1212km m k x kmx m x x x x k k --+++-=∴+==++()()2222212122222848121212m km m k y y kx m kx m k km m k k k ---⎛⎫=++=++= ⎪+++⎝⎭22222212222121812842212212OA OBy y b m k m k k m b a x x k k--⋅=-∴⋅=-∴=-⋅∴=+++ 222212122222288424212121212m m k k OA OB x x y y k k k k ---⋅=+=+==-++++，22OA OB=-2k AB x OA OB ∴-≤⋅<⋅⊥，当k=0时，当不存在即轴()22max 121221OA OB =2,S 41421ABCD AOBAOBm SSk x x x x k ⋅==⋅++-+222442282ABCD k m S =-+==【思路点拨】依据已知条件可直接求出椭圆的标准方程，由直线与椭圆的位置关系进行运算，找出所求项与已知条件联系.【题文】(20)设函数()()2ln 1f x x a x =++(I)若函数()y f x =在区间[1,)+∞上是单调递增函数，求实数a 的取值范围： (II)若函数()y f x =有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()2110ln 22f x x <<-+ 【学问点】导数；利用导数证明不等式.B12【答案解析】解析：解：（1）()()2222,011a x x af x x f x x x ++''=+=≥++在[1,)+∞上恒成立2222212,4a x x a a ≥--∴≥-⋅-≥-（2）()()()22220221,1x x af xg x x x a x ++'==∴=++-+∞+令在上有解()480910102a a ⎧⎪∆=->⎪∴->⎨⎪⎪<<⎩2211121222220,1,220x x a x x x x x x a ∴++=<+=-++=且1221121121022222a a x x x --=--=-+<<()()()()()()2222222221222ln 122ln 11,0112x x x x x x x x f x x x x x x -++-++⎛⎫∴==∈- ⎪----⎝⎭令k ()()()()()222326212ln 1,4211x x x k x x k x k x x ++⎛⎫'''''=++=∴-=- ⎪⎝⎭++()()0102,002k x k x ⎛⎫''''=∴∈-= ⎪⎝⎭存在使()()1100,12ln 20-022k k k x ⎛⎫⎛⎫''=-=-<∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在，上递减()()()211100ln 222f x k k x k x ⎛⎫<<-∴<<-+ ⎪⎝⎭【思路点拨】依据条件求出函数的导数，再确定参数的取值范围；利用导数分析函数的单调性，结合条件证明不等式成立.。
《KS发布》天津一中高三上学期第一次月考数学试题含答案
5
19．设椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的右顶点为
，上顶点为
．已知椭圆的离心率为
5， 3
| AB | 13 .
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线 ：
与椭圆交于 ， 两点，且点 在第二象限. 与 延长线交于
点 ，若 的面积是
面积的 3 倍，求 的值.
20．已知函数
f
(x)
lnx ，
g(x)
天天津津一一中中2021091-290-22002高0三高年三级年一级月一考数月学考试数卷学（试理卷）
本试卷分为第 I 卷（选择题）、第 II 卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟
考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!
一、选择题：
1．已知集合 A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x| log 1 x ≥﹣1}，则 A∪B＝（ ）
18．已知函数 f (x) sin(2 x ) sin(2 x ) 2 cos2 x ，其中 0 ，且函数 f (x) 的最
3
3
小正周期为
（1）求 的值；
（2）求 f (x) 的单调增区间 （3）若函数 g(x) f (x) a 在区间 [ ， ] 上有两个零点，求实数 a 的取值范围．
7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为 x cm，铁盒的容积为 V cm3， 由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9）， V′＝12（3﹣x）（9﹣x）， 令 V′＝0，则在（0，9）内有 x＝3． 故当 x＝3 时，V 有最大值； 故选：C． 8．【解答】解：由 y＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，而当 x＝0 时，y＝f（0）﹣0＝ 0，即 x＝0 是函数的一个零点，
天津市第一中学高三数学上学期第一次月考试卷文(含解析)(最新整理)
2018-2019学年天津一中高三（上）第一次月考数学试卷(文科）一、选择题(本大题共8小题）1.已知集合，，则集合( ）A. B。
2, C. 1，D。
【答案】A【解析】【分析】先分别求出集合A和B，从而得到，由此能求出集合．【详解】集合，或，,集合．故选:A．【点睛】本题考查交集的求法,是基础题，解题时要认真审题,注意补集、交集定义的合理运用．2.执行如图所示的程序框图，则输出b的结果是A。
2 B. 2 C. D。
100【答案】B【解析】【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值,从而计算得解．【详解】模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，可得:．故选：B．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论,考查了对数的运算,是基础题．3.在等比数列中，,则“，是方程的两根”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而充分不条件C。
充要条件D。
既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先根据韦达定理得，再根据等比数列性质求，最后确定充要关系.【详解】因为，是方程的两根,所以，因此,因为<0,所以从而“,是方程的两根"是“” 充分而不必要条件，选A。
【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则"的真假．并注意和图示相结合,例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非,⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆,则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．4.对于任意，函数满足，且当时,函数,若，，则a，b，c大小关系是A. B. C。
D.【答案】A【解析】【分析】由判断函数关于点对称，根据时是单调增函数，判断在定义域上单调递增;再由自变量的大小判断函数值的大小．【详解】对于任意函数满足，∴函数关于点对称,当时，是单调增函数,∴在定义域上是单调增函数；由∴∴b＞a＞c．故选:A．【点睛】本题主要考查了与函数有关的命题真假判断问题,涉及函数的单调性与对称性问题，是中档题．5.如图是二次函数的部分图象，则函数的零点所在的区间是A。