平行四边形和多边形

平行四边形与多边形基础过关1. (2017北京)若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是()A. 6B. 12C. 16D. 182. (2017乌鲁木齐)如果正n边形每一个内角等于与它相邻外角的2倍，则n的值是()A. 4B. 5C. 6D. 73. (2017 湘西州)如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是()A. OA＝OCB. ∠ABC＝ADCC. AB＝CDD. AC＝BD第3题图第4题图第5题图4. (2018原创)如图，点E，F是▱ABCD对角线上两点，在条件①DE＝BF；②∠ADE ＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，添加一个条件，使四边形DEBF 是平行四边形，可添加的条件是()A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④5. (2017苏州)如图，在正五边形ABCDE中，连接BE，则∠ABE的度数为()A. 30°B. 36°C. 54°D. 72°6. (2017宜昌)如图，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是()A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④7. (2017重庆九龙坡区适应性考试)如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠AED ＝26°，则∠C 的度数为( ) A. 26° B. 42° C. 52° D. 56°第7题图 第8题图8. (2017丽水)如图，在▱ABCD 中，连接AC ，∠ABC ＝∠CAD ＝45°，AB ＝2，则BC 的长是( )A. 2B. 2C. 2 2D. 49. (2017青岛)如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为( )A. 32B. 32C. 217D. 2217第9题图 第10题图10. (2017眉山)如图，EF 过▱ABCD 对角线的交点O ，交AD 于E ，交BC 于F ，若▱ABCD 的周长为18，OE ＝1.5，则四边形EFCD 的周长为( ) A. 14 B. 13 C . 12 D. 10 11．(2017大连)五边形的内角和为________．12．(2017扬州)在▱ABCD 中，若∠B ＋∠D ＝200°，则∠A ＝________°. 13. (2017怀化)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是AB 的中点，OE ＝5 cm ，则AD 的长为________cm .第13题图 第14题图14．(2017武汉)如图，在▱ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E，连接BE，若AE＝AB，则∠EBC的度数为________．15. (2017连云港)如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若∠EAF ＝56°，则∠B＝________.第15题图16. (2017山西)如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE ＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.第16题图17. (2017乌鲁木齐)如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线BD上的两点，且BF＝ED，求证：AE∥CF.第17题图18. (2017咸宁)如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DF，AC＝DE，BE＝FC.(1)求证：△ABC≌△DFE；(2)连接AF，BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．第18题图19. (2017西宁)如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；(2)若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．第19题图20. (2017攀枝花)如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC ，CF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，AE 、CF 分别与BD 交于点G 和H ，且AB ＝2 5. (1)若tan ∠ABE ＝2，求CF 的长； (2)求证：BG ＝DH .第20题图满分冲关1. (2018原创)在平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4两部分，则平行四边形ABCD 周长是( )A. 22B. 20C. 22或20D. 182. (2017临沂)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O .若AB ＝4，BD ＝10，sin ∠BDC ＝35，则▱ABCD 的面积是__________．第2题图 第3题图3. (2017南充)如图，在▱ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，且CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，则S ▱AEPH ＝________．4. (2017 泰安)如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD ＝AC ，AD ⊥AC ，E 是AB 的中点，F 是AC 延长线上的一点． (1)若ED ⊥EF ，求证：ED ＝EF ；(2)在(1)的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论(请先补全图形，再解答)；(3)若ED＝EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明，若不垂直说明理由．第4题图答案基础过关1. B【解析】设多边形的边数为n，根据正多边形内角和公式可得(n－2)×180°＝n×150°，解得n＝12.2. C【解析】设该正n边形的一个外角为x，则与它相邻的内角为2x，根据题意得，2x＋x＝180°，解得x＝60°，∵多边形的外角和为360°，∴n＝360°÷60°＝6.3.D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO＝CO，∠ABC＝∠ADC，AB＝CD，∴A，B，C选项都正确，而AC与BD不一定相等．4. D【解析】由平行四边形的判定方法可知：若是四边形的对角线互相平分，可证明这个四边形是平行四边形，①不能证明对角线互相平分，只有②③④可以．5. B【解析】∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠A＝180°×（5－2）5＝108°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝12(180°－∠A)＝36°.6. B【解析】要使得两个多边形的内角和相等，则这两个多边形的边数应该相同，故①和③符合条件．7. C【解析】∵平行四边形ABCD，∴CD∥AB，∴∠AED＝∠EAB，∴∠EAB ＝26°，∵AE平分∠DAB，∴∠DAB＝52°，∴∠C＝52°.8. C【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD，又∵∠ABC＝∠CAD＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，AB＝AC，∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∴BC＝AB2＋AC2＝22＋22＝2 2.9. D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形且AC＝2，BD＝4，∴AO＝OC＝1，BO＝OD＝2，又∵AB＝3，∴AB2＋AO2＝BO2，∴∠BAO＝90°，在Rt△BAC中，BC＝AB2＋AC2＝（3）2＋22＝7，∵S△ABC ＝12AB·AC＝12BC·AE，∴AE＝AB·ACBC＝3×27＝2217.10. C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB ，在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠DAC ＝∠ACBOA ＝OC∠AOE ＝∠COF，∴△OAE ≌△OCF ， ∴CF ＝AE ，OE ＝OF ，∵OE ＝1.5，∴EF ＝2OE ＝3，∵▱ABCD 的周长为18，∴AD ＋DC ＝9，∴四边形EFCD 的周长＝DE ＋EF ＋CF ＋CD ＝DE ＋AE ＋CD ＋EF ＝AD ＋CD ＋EF ＝9＋3＝12.11. 540° 【解析】由n 边形的内角和为(n －2)×180°可知，五边形的内角和为(5－2)×180°＝3×180°＝540°.12. 80 【解析】在▱ABCD 中，∠B ＝∠D ，∵∠B ＋∠D ＝200°，∴∠B ＝100°，∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°，∴∠A ＝80°.13. 10 【解析】∵点O 和点E 分别是边BD 和BA 的中点，∴OE 是△BAD 的中位线，即OE ＝12AD ＝5 cm ，∴AD ＝10 cm .14. 30° 【解析】∵在▱ABCD 中，∠D ＝100°，AB ∥DC ，∴∠ABC ＝∠D ＝100°，∴∠AED ＝∠BAE , ∵AE 平分∠DAB ，∴∠AED ＝∠BAE ＝∠DAE ＝40°，又∵AE ＝AB ，∴∠ABE ＝70°，∴∠EBC ＝30°.15. 56° 【解析】在四边形AECF 中，有两个内角是直角，根据“四边形内角和等于360°”得∠EAF ＋∠C ＝180°，又因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠B ＋∠C ＝180°，所以∠B ＝∠EAF ＝56°. 16. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ，∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ， 即AE ＝CF .∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF ， ∴∠E ＝∠F ，∠CAB ＝∠ACD ， ∴△AOE ≌△COF (ASA )， ∴OE ＝OF .17. 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，且AD ＝BC ，∴∠ADE ＝∠CBF ， 又∵BF ＝ED ，∴△AED ≌△CFB (SAS )， ∴∠AED ＝∠CFB ， ∴AE ∥CF .18. 证明：(1)∵BE ＝FC ，∴BC ＝FE .在△ABC 和△DFE 中，⎩⎨⎧AB ＝DFAC ＝DE BC ＝FE，∴△ABC ≌△DFE (SSS )；(2)如解图，连接AF ，BD ，由(1)知△ABC ≌△DFE ，第18题解图∴∠ABC ＝∠DFE ， ∴AB ∥DF ， 又∵AB ＝DF ，∴四边形ABDF 是平行四边形． 19. (1)证明：∵O 是AC 的中点， ∴OA ＝OC ， ∵AD ∥BC ， ∴∠ADO ＝∠CBO ，在△AOD 和△COB 中，⎩⎨⎧∠ADO ＝∠CBO∠AOD ＝∠COB OA ＝OC，∴△AOD ≌△COB (AAS )， ∴OD ＝OB ，∴四边形ABCD 是平行四边形；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形，AC ⊥BD ，∴四边形ABCD是菱形，∴▱ABCD的面积是12AC·BD＝24.20. (1)解：∵AE⊥BC，CF⊥AD，AD∥BC，∴AE＝CF，∵tan∠ABE＝2＝AE BE，∴BE＝12AE，∴AB＝AE2＋BE2＝52AE，即AB∶AE＝5∶2，∵AB＝25，∴CF＝AE＝2×255＝4；(2) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD且AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，∴∠ABD＝∠BDC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠ABE＋∠BAE＝∠CDF＋∠DCF＝90°，∴∠BAE＝∠DCF,∴△ABG≌△CDH(ASA)，∴BG＝DH.满分冲关1. C【解析】如解图，在平行四边形ABCD中，AD∥BC，则∠DAE＝∠AEB.∵AE 平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，BC＝BE＋EC，①当BE＝3，EC＝4时，平行四边形ABCD的周长为：2(AB＋AD)＝2×(3＋3＋4)＝20.②当BE＝4，EC＝3时，平行四边形ABCD的周长为：2(AB＋AD)＝2×(4＋4＋3)＝22.第1题解图2. 24 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥BD 交BD 于点E ，在▱ABCD 中，AB ＝4可得CD ＝AB ＝4，再由sin ∠BDC ＝35得CE CD ＝35，即CE 4＝35，所以CE ＝125，所以S △BDC ＝12BD ·CE ＝12×10×125＝12，则S ▱ABCD ＝2S △BDC ＝12×2＝24.第2题解图3. 4 【解析】由四边形ABCD 是平行四边形，可得AB ∥CD ，AD ∥BC ，又知EF ∥BC ，GH ∥AB ，因而得到四边形BEPG 、四边形GPFC 、四边形PHDF 、四边形AEPH 都是平行四边形．∵BD 、BP 、DP 分别是平行四边形ABCD 、平行四边形BEPG 、平行四边形PHDF 的对角线，根据平行四边形的对角线将平行四边形分成两个全等的三角形．得到S △ABD ＝S △CBD ，S △PHD ＝S △PFD ，S △BPG ＝S △BPE ，从而得出S 四边形AEPH ＝S 四边形GPFC ，又∵CG ＝2BG ，∴S 四边形AEPH ＝S 四边形GPFC ＝2S 四边形BGPE ＝4S △BPG ＝4.4. (1)证明：在▱ABCD 中，∵AD ＝AC ，AD ⊥AC .∴AC ＝BC ，AC ⊥BC ，第4题解图如解图，连接CE ，∵E 为AB 中点，∴AE ＝EC .∴∠ACE ＝∠BCE ＝45°，∴∠DAE ＝∠ECF ＝135°，又∠AED ＋∠CED ＝∠CEF ＋∠CED ＝90°，∴∠AED ＝∠CEF ，∴△AED≌△CEF(ASA)，∴ED＝EF；(2)解：∵△AED≌△CEF，∴AD＝CF，∴AC＝CF，又CP∥AE，∴CP为△F AB的中位线，∴CP＝12AB＝AE，∴四边形ACPE是平行四边形；(3)解：垂直；证明：过点E作EH⊥AF于H，作EG⊥DA交DA延长线于点G，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠HCE＝45°，∴△AGE≌△CHE，∴EG＝EH，又ED＝EF，∴Rt△DEG≌Rt△FEH，∴∠ADE＝∠CFE，∴∠DEA＝∠FEC，∴∠FEC＋∠DEC＝∠DEA＋∠DEC＝90°，∴∠DEF＝90°，∴ED⊥EF.。