§4_4 多边形与平行四边形

则AG= 1 AC= 1 ×2 3 = 3 ,∠ABG= 1 ∠ABC=60°.
22
2
∴在Rt△ABG中,由sin 60°= AG 可得AB= AG = 3 × 2 =2.
AB
sin 60
3
故选D.
思路分析 根据正六边形的性质得∠ABC=120°,AB=BC,过点B作BG⊥AC于点G,从而得到∠ABG=60°,利用
又EB=4,∴OE= EB2 OB2 =2 3 ,∴EF=2OE=4 3 . (6分) 由EB·ON=OE·OB,得ON= 3 ,∴FM=2 3 . (7分) ∵∠FHM=∠GEH,∴tan∠FHM=tan∠GEH=2 3 , 即 FM =2 3 ,∴HM=1. (8分)
HM
在Rt△FMH中,FH= FM 2 HM 2 = 13 . 在Rt△EFM中,EM= EF 2 FM 2 =6,∴EH=6-1=5. (9分) 由(1)知四边形EHFG是平行四边形, ∴四边形EHFG的周长是2(EH+FH)=10+2 13 . (10分) 解法二:过点F作FM⊥EH交EH的延长线于点M.
3.(2018玉林,8,3分)在四边形ABCD中:①AB∥CD;②AD∥BC;③AB=CD;④AD=BC,从以上条件中选择两个 使四边形ABCD为平行四边形的选法共有 ( ) A.3种 B.4种 C.5种 D.6种 答案 B 根据平行四边形的判定,符合条件的选法共有4种,分别是①②,①③,②④,③④.
4.(2017河池,11,3分)如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是 ()
A.6 B.8 C.10 D.12
答案 B 连接EG,设AG与DE交于点O.
由题意知AD=AE,∠1=∠2,
∴AG⊥DE,OD= 1 DE=3,
2
∵四边形ABCD是平行四边形,
2.(2019河池,7,3分)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,点F在DE延长线上,添加一个条件使四边形 ADFC为平行四边形,则这个条件是 ( )
A.∠B=∠F B.∠B=∠BCF C.AC=CF D.AD=CF
答案 B ∵D、E分别为AB、BC的中点, ∴DE∥AC且DE= 1 AC.
∴CD∥AB,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AD=DG.
∵AG⊥DE,∴OA=
1 2
AG.
在Rt△AOD中,OA= AD2 OD2 = 52 32 =4,
∴AG=2AO=8.
故选B.
5.(2016河池,8,3分)如图,在▱ABCD中,∠ABC的平分线交AD于点E,∠BED=150°,则∠A的大小为 ( )
答案 D ∵四边形ABCD是平行四边形,∠ABC=60°, ∴∠ADC=∠ABC=60°,∠BCD=120°. ∵CE平分∠BCD交AB于点E, ∴∠DCE=∠BCE=60°. ∴△CBE是等边三角形. ∴BE=BC=CE. ∵AB=2BC,∴AE=BC=CE. ∴∠ACB=90°. ∴∠ACD=∠CAB=30°,即①正确. ∵AC⊥BC,∴S▱ABCD=AC·BC,即②正确. 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠CAB=30°, ∴AC= 3 BC.
解析 (1)证明:连接BD,与EF交于点O, 则BD⊥EF,即∠DOF=∠BOE=90°,OB=OD.由EH∥GF,
得∠BEO=∠DFO, ∴△EOB≌△FOD, (2分) ∴EB=FD.又已知BH=DG, ∴EB+BH=FD+DG,即EH=GF, ∴四边形EHFG是平行四边形. (4分) (2)解法一:过点F作FM⊥EH交EH的延长线于点M,过点O作ON⊥EM于点N. 由(1)知OE=OF,∴ON是△EFM的中位线. 在正方形ABCD中,∵AB=2 2 ,∴OB=2.
即 FM =2 3 ,∴HM=1. (8分)
HM
∴EH=EM-HM=5. 在Rt△FMH中,FH= FM 2 HM 2 = 13 . 由(1)知四边形EHFG是平行四边形, ∴四边形EHFG的周长是2(EH+FH)=10+2 13 . (10分)
11.(2016百色,22,8分)已知平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD且交AD于点E,AF∥CE,且交BC于点F. (1)求证:△ABF≌△CDE; (2)如图,若∠1=65°,求∠B的大小.
∵AO=OC,AE=BE,∴OE= 1 BC.
2
∴OE∶AC=

1 2
BC

∶(
3 BC)=
3 ∶6,即③正确.
∵AO=OC,AE=BE,∴OE∥BC.
∴△OEF∽△BCF.∴ EF = OE = 1 .
CF BC 2
∴ SVOEF = EF = 1 .
SVOCF CF 2
∴S△OCF=2S△OEF,即④正确.故选D.
锐角三角函数可求得AB=2.
3.(2017柳州,8,3分)如图,这个五边形ABCDE的内角和等于 ( )
A.360° B.540° C.720° D.900° 答案 B 由多边形内角和公式得180°×(5-2)=540°. 解题关键 熟记多边形内角和公式是解题关键.
4.(2016玉林,11,3分)如图,把八个等圆按相邻两两外切摆放,其圆心连线构成一个正八边形,设正八边形内侧
∴ S1 =1 080 = 3 .故选B.
S2 1 800 5
方法技巧
S扇=
n R2 360
,当半径相等时,面积之比即为相应的圆心角度数之比.
5.(2016桂林,16,3分)正六边形的每个外角是
度.
答案 60 解析 多边形的外角和为360°,且正多边形各外角相等,则正六边形的每个外角都是360°÷6=60°.
A.150° B.130° C.120° D.100° 答案 C ∵∠BED=150°,∴∠AEB=30°.在▱ABCD中, AD∥BC,∴∠CBE=∠AEB=30°.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE=30°,∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=120°. 故选C. 思路分析 由∠BED的度数可求出∠AEB的度数,再求得∠ABE的度数,最后由三角形内角和可求∠A的度数. 评析 灵活运用平行四边形的性质是解题关键.
易得△EOB∽△EMF,∴ OB = EB = OE . (6分)
FM EF EM
∵AB=2 2 ,∴OB=2. 又EB=4,∴OE= EB2 OB2 =2 3 .
由(1)知EF=2OE=4 3 ,
∴ 2 = 4 = 2 3 ,∴FM=2 3 ,EM=6. (7分)
FM 4 3 EM
又∠FHM=∠GEH,∴tan∠FHM=tan∠GEH=2 3 ,
证明 如图,连接AC. 在△ABC和△CDA中,
AB CD, BC AD, AC CA,
∴△ABC≌△CDA(SSS). ∴∠1=∠2,∠4=∠3, ∴AB∥CD,AD∥BC, ∴四边形ABCD为平行四边形.
10.(2019玉林,25,10分)如图,在正方形ABCD中,分别过顶点B,D作BE∥DF交对角线AC所在直线于E,F点,并 分别延长EB,FD到点H,G,使BH=DG,连接EG,FH. (1)求证:四边形EHFG是平行四边形; (2)已知AB=2 2 ,EB=4,tan ∠GEH=2 3 ,求四边形EHFG的周长.
7.(2019梧州,16,3分)如图,▱ABCD中,∠ADC=119°,BE⊥DC于点E,DF⊥BC于点F,BE与DF交于点H,则∠
BHF=
度.
答案 61 解析 在▱ABCD中,AD∥BC, ∴∠C+∠ADC=180°,∴∠C=180°-119°=61°. 又∵BE⊥DC,DF⊥BC, ∴∠CBE+∠C=90°,∠CBE+∠BHF=90°, ∴∠BHF=∠C=61°(同角的余角相等).
A组 2015—2019年广西中考题组 考点一 多边形
1.(2019梧州,7,3分)正九边形的一个内角的度数是 ( ) A.108° B.120° C.135° D.140°
答案 D ∵正九边80°=1 260°, ∴每一个内角为1 260 =140°.故选D.
9
一题多解 正九边形的每一个外角均相等且为360 =40°,
9
∴每一个内角度数为180°-40°=140°.故选D.
2.(2019河池,10,3分)如图,在正六边形ABCDEF中,AC=2 3 ,则它的边长是 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2
答案 D 在正六边形ABCDEF中,AB=BC,∠ABC=120°. 如图,过B作BG⊥AC于G,
2
当∠B=∠BCF时,可得CF∥AD,又DE∥AC, ∴四边形ADFC为平行四边形,故B正确. 添加A、C、D选项中的条件均无法直接或间接得到四边形ADFC为平行四边形.故选B. 思路分析 由D,E分别为AB,BC的中点可得到DE∥AC,依次验证四个选项的条件是否满足平行四边形判定 的条件,从而作出选择. 知识归纳 平行四边形的判定方法主要有: ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形; ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形; ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形; ④两组对角分别相等的四边形是平行四边形; ⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形.
难点突破 此题的难点在于如何巧妙构造辅助线,构造特殊几何图形.通过构造平行四边形,证明等边三角 形,借助两个特殊几何图形的特殊性质将一般性的条件串联起来,从而得到一系列的相等关系,利用等量代 换可使问题得到解决.
9.(2019柳州,22,8分)平行四边形的其中一个判定定理是:两组对边分别相等的四边形是平行四边形.请你证 明这个判定定理. 已知:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC. 求证:四边形ABCD是平行四边形.
解析 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB=CD,∠B=∠D. ∵CE平分∠BCD,∴∠2=∠3. ∵AD∥BC,∴∠1=∠2.∵AF∥CE,∴∠2=∠4.∴∠1=∠4. ∴△ABF≌△CDE.