怎样求点到平面的距离 学法指导 不分版本
《点到平面的距离》 讲义
《点到平面的距离》讲义在空间几何中，点到平面的距离是一个非常重要的概念。
它不仅在数学理论研究中有着关键的地位，还在实际的工程、物理等领域有着广泛的应用。
我们先来理解一下什么是点到平面的距离。
想象有一个平面，就好像是一张无限延展的平坦的纸，然后有一个点，这个点在空间中独立存在。
点到平面的距离，简单来说，就是这个点到平面的最短长度。
那如何去求得这个距离呢？这就需要用到一些数学知识和方法。
一种常见的方法是利用向量。
假设平面的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋D ＝ 0 ，点的坐标为（x₀, y₀, z₀) 。
首先，我们要找到平面的一个法向量 n ＝（A, B, C) 。
然后，从这个点到平面上任意一点（x, y, z) 构成一个向量 m ＝（x x₀, y y₀, z z₀) 。
点到平面的距离 d 就可以通过向量的点积和法向量的模长来计算。
具体公式为：d ＝｜（Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D) ／√（A²＋ B²＋ C²)｜为了更好地理解这个公式，我们来举个例子。
假设有平面 2x ＋ 3y z ＋ 1 ＝ 0 ，点的坐标为（1, 2, 3) 。
首先，平面的法向量 n ＝（2, 3, －1) 。
然后，将点的坐标代入 Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D 中，得到 2×1 ＋3×2 3 ＋ 1 ＝ 6 。
法向量的模长√（2²＋ 3²＋（－1)²) ＝√14 。
所以，点到平面的距离 d ＝｜6 ／√14| ＝ 6 ／√14 。
除了利用向量，我们还可以通过体积的方法来求点到平面的距离。
假设有一个四面体，其中一个顶点就是我们要研究的点，另外三个顶点是平面上的三个不共线的点。
通过这个四面体的体积以及平面上三个顶点所构成的三角形的面积，就可以求出点到平面的距离。
具体来说，四面体的体积 V 可以通过海伦公式或者其他方法求出。
三角形的面积 S 也有相应的计算公式。
点到平面的距离PPT课件
17
解：(1)以 D 为原点，建立如图所示的坐标系， 则 P(0,0,2)，F(1,0,0)、 B(2,2,0)，E(0,1,1)． FP ＝(－1,0,2)， FB＝(1,2,0)， DE ＝(0,1,1)， ∴ DE ＝12FP ＋12FB， ∴ DE ∥平面 PFB. 又∵D∉平面 PFB，∴DE∥平面 PFB.
＝| F|Dn|·n|＝
2＝ 6
6 3.
∴点
E
到平面
PFB
的距离为
6 3.
19
u A1B = 0,
D1
E
C1
A1B1 = 0,1,0,
A1
B1
B1到面A1BE的距离为 d = A1B1 n = 2 n3
D
Ax
C
y
B 7
例 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1的中点，求B1到面A1BE的距离.
解2 等体积法
V V B1 A1BE
E A1BB1
18
(2)∵DE∥平面 PFB，∴点 E 到平面 PFB 的距离等于点 D 到平 面 PFB 的距离． 设平面 PFB 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
则n·FB＝0， n·FP ＝0
⇒x－＋x2＋y＝2z＝0，0.
令 x＝2，得 y＝－1，z＝1.
∴n＝(2，－1,1)，FD＝(－1,0,0)，∴点 D 到平面 PFB 的距离 d
立体几何中的向量方法
3.2.4 利用向量解决 点到面的距离
.
1
线面夹角问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
建系法求点到平面的距离
建系法求点到平面的距离
在三维空间中，点到平面的距离是一个常见的问题。
可以采用建系法求解。
首先，需要确定平面的一般式方程 Ax+By+Cz+D=0，其中 A、B、C、D为常数。
然后，设点 P(x0,y0,z0) 为待求点，将它代入平面方程中，得到：
Ax0+By0+Cz0+D=0
因为点 P 在平面上，所以点 P 到平面的距离就等于点 P 到平面的垂线段的长度。
设垂线段的底点为 Q，则向量 PQ 垂直于平面。
因此，可以通过 PQ 向量和平面法向量 N 的点积来求解 PQ 的长度： PQ = |PQ| = |PQ·N| / |N|
其中，N=(A,B,C) 为平面的法向量，PQ·N 表示 PQ 向量在 N 方向上的投影长度。
最终，点 P 到平面的距离就是 PQ 的长度。
- 1 -。
“向量法求空间点到平面的距离”教案讲义
2、向量数量积公式a•b abcos(a与b的夹角）二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离
向量法求空间点到平面的距离
（Excellent handout training template）
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF(2,2,0),EG(2,4,2), F
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
练习1
Thank you.
演讲结速，谢谢观赏！
线 B段 的 O 长度。
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法点到平面的距离是空间几何中一个重要的概念，它对于解决一些实际问题以及理论研究都有着重要的意义。
在本文中，我将介绍点到平面距离的基本方法，包括数学公式的推导、几何解法、向量法和线代法等。
首先，我们考虑三维空间中的一个平面，假设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A，B，C和D为常数，并且平面上有一点P(x0,y0,z0)。
我们的目标是求点P到平面的距离。
一、数学公式的推导为了推导出点到平面距离的公式，我们可以利用向量的知识。
首先，设平面上任意一点Q(x,y,z)，则该点到平面的距离为点PQ的长度。
由于平面上的点Q一定满足平面方程，将Q的坐标代入平面方程可得：Ax+By+Cz+D=0然后，我们用向量表示点P到点Q的向量为向量v=PQ=(x-x0,y-y0,z-z0)。
由向量的点积定义可知，点积v·(A, B, C) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ，其中，v，表示向量v的长度，(A, B, C)，表示向量(A, B, C)的长度，θ表示二者之间的夹角。
将向量v和(A,B,C)的定义代入点积公式可得：(A, B, C)·(x - x0, y - y0, z - z0) = ，v， * ，(A, B, C)，* cosθ化简上式得：Ax - Ax0 + By - By0 + Cz - Cz0 = ，v， * (A^2 + B^2 + C^2) * cosθ由于点P和点Q都在平面上，点P到平面的距离与平面的法向量垂直，即θ = 90°，cosθ = 0。
因此，上式最后一项为0。
进一步得到点P到平面的距离公式为：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这就是点到平面的距离的数学公式。
二、几何解法除了数学公式，我们还可以利用几何的方法来求点到平面的距离。
首先，我们可以将平面方程转化为点法式方程，即n·(P-P0)=0，其中n为平面的法向量，P为平面上任意一点的坐标，P0为平面上已知的一点的坐标。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
点到平面的距离坐标法
点到平面的距离坐标法
点到平面的距离是计算三维空间中点与平面之间的距离，其应用广泛，例如在计算机图形学中，确定一个点是否在平面的上方或下方；在机器人技术中，计算机器人的位置与平面的距离等。
点到平面的距离可以使用向量的方法进行计算，也可以使用坐标的方法进行计算。
其中，坐标的方法是比较直观和简单的一种方法。
点到平面的距离坐标法的计算公式如下：
设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P的坐标为(x0, y0, z0)，则点P到平面的距离为：
d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)
其中，“| |”表示取绝对值的运算符，“√”表示平方根，A、B、C、D分别为平面方程Ax+By+Cz+D=0中的系数。
从上述公式可以看出，点到平面的距离与平面的法向量有关，也就是说，如果平面的法向量不变，那么点到平面的距离也不变。
在使用点到平面的距离坐标法时，需要注意以下几点：
1. 确定平面方程的系数，即确定A、B、C、D的值。
2. 确定点P的坐标。
3. 计算平面法向量的模长，即√(A^2 + B^2 + C^2)。
4. 根据计算公式求出点到平面的距离。
综上所述，点到平面的距离坐标法是一种比较简单和直观的计算方法，可以方便地应用于实际问题中。
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高中数学立体几何中点到平面距离的求法
例谈点到平面距离的求法某某省洪泽中学 花鹤波邮编 223100立体几何的空间距离是历年高考考查的重点和热点。
由于线面距离、面面距离以及两异面直线间的距离都可以转化为点到平面的距离来解决，因此点到平面的距离更值得我们关注。
点到平面的距离的求法可分为三大类：一、由点向平面引垂线，且垂足位置可确定转化到在某平面内，求出点和垂足间的线段的长。
1、 用定义直接构造法例1、如图，三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是等腰三角形，2AB BC a ==，0120ABC ∠=,且SA ⊥面ABC ，SA=3a 。
求点A 到平面SBC 的距离。
解：作AD BC ⊥交BC 于D,连结SD.SA ⊥平面ABC,根据三垂线定理有SD BC ⊥又SD AD D ⋂=,BC ∴⊥平面SAD 。
又BC ⊂平面SBC ， ∴平面SBC ⊥平面ADS ，且平面SBC ⋂平面ADS=SD∴过点A 作AH SD ⊥于H ，那么AH ⊥平面SBC 。
在Rt SAD ∆中，SA=3a,0sin 60AD AB ==，2232SA AD a AH AD ∴==+ 故点A 到平面SBC 的距离为32a 。
[点评]利用构造法关键是定位点在面内的射影。
常常要寻找过点且与所给面垂直的面，再过点作两垂面交线的垂线。
2、转移构造法〔1〕利用平行线转换点例2、在直三棱柱111ABC A B C -中，11AB BC ⊥,1,AB CC a BC b ===〔b >a 〕 〔1〕求证：11A C AB ⊥ (2)求点1B 到平面1ABC 的距离.解：(1)连结1A B ,那么11AB A B ⊥，又11AB BC ⊥，故111AB A BC ⊥面。
知111AC AB ⊥，得1111A C ABB A ⊥面,知11A C AB ⊥。
〔2〕由〔1〕得111ABC AAC ⊥面面.11111,A B AB A B ABC ∴平面CC1111A ABC ABC ∴到平面的距离等于B 到平面的距离过1A 作11A G AC ⊥于G ,11AB ACC A ⊥平面, 1AB A G ∴⊥从而11AG ABC ⊥平面. 故1A G即为所求的距离。
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怎样求点到平面的距离
在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平
面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常
用方法，供参考。
一 直接法
根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角
形求解。
例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱111CBAABC的侧面11ACCA与底面ABC垂直，
32AC,2BC,90ABC
，且CAAA,CAAA1111；（I）求侧棱AA1与底面ABC
所成角的大小；（II）求侧面11ABBA与底面ABC所成二面角的大小；（III）求顶点C到侧面
11
ABBA
的距离。
图1
简析：（I）如图1，取AC中点D，易得侧棱1AA与底面ABC所成的角为45ADA1。
（II）由于DA1底面ABC，过D作ABDE于E，连EA1，知ABEA1，则
EDA1
为所求二面角的平面角。易求得60EDA1。
（III）要求C到平面11ABBA的距离，可直接作CH面11ABBA于H，CH的长就是点到
平面的距离。关键是怎样求CH的长。注意到ABBC，连BH，则由三垂线定理得ABHB，
即HBC为二面角的平面角。由（II）知HBC60，所以360sinBCCH为所求。
注：此法的关键是要找到可解的直角三角形来求解。
二. 找垂面法
找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平
面的垂线段。
例2. 正三棱柱111CBAABC的底面边长为2，侧棱长为3，11CA的中点为D。（1）求证
//BC1平面DAB1；（2）求点B到平面DAB
1
的距离。
图2
简析：（1）连BA1与1AB相交于O，连DO。由三角形中位线定理易得OD//BC1，则
DAB//BC11面
。
（2）由于O为BA1的中点，所以点B到平面DAB1的距离等于点1A到平面DAB1的距离。
由111CADB，得111ACCADB面，又DABDB11面，所以面111ACCADAB面，
交线为AD（找到了垂面）。
过1A作ADHA1于H，则DABHA11面，所以HA1的长度就是点1A到平面DAB1的
距离。
在ADARt1中，23ADAADAHA111
所以点B到平面DAB1的距离为23。
三. 转化法
当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其
他点到平面的距离。
例3. （1991年全国高考题）已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中
点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。
简析：如图3，连AC分别与BD相交于O，与EF相交于H，由EF//BD，得BD//平面EFG。
所以O到平面EFG的距离就是B到平面EFG的距离。易证平面GCH平面GEF，交线为GH。
在GCHRt中，过O作GHOK于K，则OK长就是B到平面EFG的距离。利用相似三角形，
易得11112OK。
图3
四. 等积法
即利用三棱锥的换底法,通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功
效，减少了推理，但计算较为复杂。
例4. 同例3。
简析：设B到面EFG的距离为h，
hS31VGEFGEFB
由于112)2443(22221GHEF21S22GEF，
所以h1132VGEFB
另一方面，34S41221SGC31VVBADBEFBEFGGEFB，
所以34h1132，
得11112h即为B到平面GEF的距离。
五. 坐标向量法
通过建立空间直角坐标系，用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。
例5. （2003年江苏高考题）如图4，在直三棱柱111CBAABC中，底面是等腰直角三角形，
90ACB
，侧棱2AA1，D、E分别是1CC与BA1的中点，点E在平面ABD上的射影是
ABD
的重心G。（I）求BA1与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（II）
求点A1到平面AED的距离。
图4
简析：（I）易知GBE为BA1与平面ABD所成的角。不难求出32arcsinGBE。
（II）分别以CA、CB、1CC为x轴、y轴、z轴，建立如图4所示的空间直角坐标系。
设a2|CA|，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），1A（2a，0，2），E
（a，a，1）， )31,3a2,3a2(G，
所以)1,a2,0(BD),2,3a,3a(GE
由032a32BDGE2，
解得1a。
所以A（2，0，0），1A（2，0，2），E（1，1，1）
易证平面AED平面EAA1，交线为AE，所以点1A在平面AED内的射影H在AE上。
设AEAH，则
)2,,(AHAAHA11
由0AEHA1，即02，得
3
2
所以)34,32,32(HA1
3
62
|HA|1
故点1A到平面AED的距离为362。