9.利用向量求点到平面的距离
用空间向量求点到面的距离
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
uur
用空间向量求点到面的距离
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
n
| AP n |
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
向量法求空间点到平面的距离课件
a•b abcos(为a与b的夹角）
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2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
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3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
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1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
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y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
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4
练习1
空间向量点到平面距离求法
空间向量点到平面距离求法在三维空间中，我们经常需要计算一个给定点到一个给定平面的距离。
这个问题可以被称为”空间向量点到平面的距离求法”。
本文将详细介绍该求解方法。
1. 定义首先，我们需要明确一些基本的几何概念。
一个平面可以由一个点和一个法向量来唯一确定。
记平面上的一点为P，平面的法向量为n。
对于空间中的任意一点Q，我们定义点Q到平面的距离为点Q到平面的垂直距离，记作d(Q,Pn)。
2. 求解方法为了求解点Q到平面的距离，我们需要以下步骤：2.1 平面的方程首先，我们需要确定平面的方程。
一个平面P可以表示为Ax + By + Cz + D = 0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
2.2 平面法向量的求解平面的法向量可以通过两个非平行的向量的叉乘来求解。
假设平面上的两个向量为v1和v2，则平面的法向量n可以通过n = v1 × v2来计算。
2.3 点到平面的距离公式根据点到平面的距离定义，点Q到平面P的距离可以表示为：d(Q,Pn) = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|x|表示x的绝对值。
2.4 距离求解算法根据上述公式，我们可以编写一个求解点到平面距离的函数，输入为点Q的坐标，平面的法向量和常数项，输出为点Q到平面的距离。
function distance_to_plane(Q, n, D) {let [x, y, z] = Q;let [A, B, C] = n;let distance = Math.abs(A * x + B * y + C * z + D) / Math.sqrt(A**2 + B**2+ C**2);return distance;}3. 示例下面我们通过一个示例来演示如何使用上述方法计算点到平面的距离。
假设有一个平面P，其方程为2x + 3y - z + 4 = 0。
点Q的坐标为(1, -2, 3)。
空间向量求点到平面距离公式
空间向量求点到平面距离公式好的，以下是为您生成的文章：在咱们的数学世界里，空间向量可是个超级厉害的工具，就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开很多难题的大门。
今天咱就来好好唠唠空间向量求点到平面距离公式这个事儿。
先来说说为啥要学这个公式。
想象一下，你站在一个大大的房间里，想知道你离对面的那堵墙到底有多远，这时候空间向量求点到平面距离公式就派上用场啦！咱们来具体瞅瞅这个公式到底长啥样。
假设平面的法向量为 n ，平面上任意一点为 A ，要求距离的点为 P ，那么点 P 到平面的距离 d 就等于 |向量 PA·n| 除以 |n| 。
是不是看起来有点复杂？别担心，咱们来通过一个具体例子感受感受。
就说有个平面方程是 2x + 3y - z = 5 ，平面上有个点 A(1, 2, 3)，要算点 P(5, 6, 7)到这个平面的距离。
首先得找出这个平面的法向量 n ，它就是 (2, 3, -1) 。
然后算出向量 PA = (-4, -4, -4) 。
接下来算向量 PA·n ，也就是 -4×2 + (-4)×3 + (-4)×(-1) = -20 。
再算|n| = √(2² + 3² + (-1)²) =√14。
最后把 |向量 PA·n| 除以 |n| ，也就是20÷√14 ，化简一下就得到10√14 / 7 ，这就是点 P 到平面的距离啦！我记得之前给学生们讲这部分内容的时候，有个小家伙怎么都搞不明白。
我就跟他说：“你就把这个平面想象成一块大大的平板，法向量就是一根直直的杆子，点到平面的距离就是你从这个点沿着杆子的方向走到平板的长度。
”这孩子听了之后，眼睛一下子亮了，后来做练习题的时候可积极了。
其实啊，空间向量求点到平面距离公式在生活中也有不少用武之地呢。
比如说建筑师在设计大楼的时候，要计算某个点到墙面的距离，确保结构的合理性；或者工程师在规划桥梁的时候，得知道某个支撑点到桥面的准确距离。
空间向量求点到平面的距离
空间向量求点到平面的距离空间向量求点到平面的距离是在几何学中一项重要的概念，它用于表达物理世界里的位置关系。
它的概念可以应用于许多不同的情况，如人们在分析受力时，可以利用这个概念来求解力的位置和大小，在建筑设计时，可以确定结构的外形，以及检验结构的稳定性等等。
在计算空间向量求点到平面的距离时，首先需要了解的是，平面的定义，它是由三点组成的，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，其中za=zb=zc。
定义垂直空间向量的模式是：u=(x1-x2，y1-y2，0)，v=(x3-x2，y3-y2，0)，w=(x4-x2，y4-y2，z4-z2)，其中x4，y4和z4是待测点的坐标。
根据向量数学的定义，平面的法向量可以用下式表示：N=(u×v)，法向量的模为|N|=(u^2+v^2+w^2)^(1/2)。
距离就是点到平面的距离，可以用点P到平面的距离的点的坐标w=(x4，y4，z4)和法向量N的点积来求解，公式为：d=|N w|/|N|。
在实际应用中，需要注意的是，当法向量N为零向量时，表示平面不存在，此时距离d无法求解。
对于求解点到平面的距离，除了以上介绍的公式之外，还可以用另一种方法，即直接解三角形的方法，它把问题分解成若干个三角形，求解各个三角形边长，再利用余弦定理求解距离。
空间向量求点到平面的距离的计算方法有很多，如向量计算法、直接解三角形法等，但它们都有同样的一般性，即把空间作为一个整体，针对具体的问题使用相应的算法，以此来求解点到平面的距离。
此外，距离的结果也及其重要，因为它是一个客观量，它往往会影响最终的结果，比如分析受力时，结果会对受力结构的稳定性有很大的影响。
针对空间向量求点到平面的距离，在实际应用中，有几个重要的问题需要注意，首先需要明确平面的定义，以及垂直空间向量的模式；其次，根据向量数学的定义，可以得出平面的法向量，得出法向量的模；最后，根据点的坐标和法向量的模，即可求出点到平面的距离。
立体几何中的向量方法求距离
点B到平面GEF的距离。
解：如图所示建立空间直角坐标系,则
z
G
B (0 ,4 ,0);E (2 ,4 ,0);F (4 ,2 ,0);G (0 ,0 ,2)
u u u r
u u u r
u u u r
B E(2 ,0 ,0),E F(2 , 2 ,0)， E G ( 2 , 4 ,2);
r
设 平 面 E F G 的 法 向 量 为 n ( x ,y , z )x
解：如图建立空间直角u u u 坐u r标系,则
z
u A u 1 u ( r 1 ,0 ,1 ) ,C ( 0 ,1 ,0 u ) u ,u D rA 1 ( 1 ,0 ,1 ) D1
A C ( 1 ,1 ,0 ) ,D A ( 1 ,0 ,0 ) ,A1
u u u u ru u u r
设 rD A 1 与 A C 的 公 垂 向 量 为
立体几何中的向量正射影 的距离叫做点到平面的距离。即这个点 到平面垂线段的长度。
P
几何法：利用定义先
作出点P到平面的垂线
段PO，再归结到某三 角形中计算PO的长度
O
或用等体积法。
点到平面的距离公式
如图，设P是平面α外一点，
点P到α的距离为d,作PO⊥α
解：如图所示建立空间直uuu 角r坐标系,则C(1,1,0),
D(0,2,0),S(0,0,1),AD(0,2,0),
uuu r
uuur
z
SC(1,1,1), SD(0r,1,1),
S
设平面SCD的法向量为n∠ (x, y,z)
则2xyyzzr 00xz2yy, 取 y 1 ,则 n (1 ,1 ,2 )，
★和两条异面直线都垂直相交的直线，叫做 两条异面直线的公垂线。 ★两条异面直线的公垂线夹在异面直线间的 部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。 ★两条异面直线的公垂线的 长度，叫做两条异面直线的
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D1
C1
答案：d 3 3
A1 D
B1
C y
A
B
x
练习.如图，已知 ABC是等腰三角形，
AB=BC=2a,∠ABC=120°,且SA⊥平
面ABC, SA= 3a, 求点A 到平面SBC的
距离．
z
S
A x
Cy B
是与
0
n
同方向的单位法向量)
说明：
利用法向量求点到平面的距离，常
常不必作出垂线段，利用平面的法向量，
把点A到平面 的距离 看成点A与平面 内
的任意一点B所构成的向量 在法向量 方
向上的射影的长度，此种方. 如图，已知正方形ABCD的边
长为4，E、F分别是AB、AD的中点，
利用法向量求 点到平面的距离
求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
探索新知
已知平面 ,点A , 设 n 是平面 的
法向量，则点 A到 的距离AO的长如 何表示呢 ?
A
AB n0 n
o
B
归纳小结
用法向量求点到平面距离的一般过程是:
A'Q (4,0,2)
PQ (0,2,2)
A'C' (4,4,0) n ' (8,8,16 )
取 n (1,1,2)
距离 | PQ•n| 6 6
| n|
6
你能探究线面距离，面面距离求法吗？
线面距离，面面距离都可以转化 为点到面的距离
你能探究异面直线间距离的求法吗？
异面直线间距离的求法：
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作
向量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面 直线a、b间的距离为
AB • n d
n
B
b
n
a
A
例2：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
求异面直线DA1与AC的距离。z
GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到
平面EFG的距离．
G
答 案 ：2 1 1
11
D
F
A E
C B
z
D'
例：棱长为4的正方体ABCD
A' B'C' D'中，P,Q分别是CD, A'
DD'的中点，求点P到平面
Q
C' B'
A'QC'的距离 简解：
D
P
y
C
A'(4,0,4), Q(0,0,2)
A
B
x
C '(0,4,4), P(0,2,0)
(1)建立适当的空间直角坐标系,求出需要的点 的坐标; (2)求出平面的法向量 n ;
(3)作向量 A B (点A为平面外一定点,点B为平面内任一点);
(4)求向量 A B 在法向量 n 上的射影的长度
d |A B||cosA B , n ||A Bn|
|
AB |
n n|
||
ABn0
|.
|n|
( 其中n