用空间向量求距离
用向量法求空间距离
G
x
F
A
D
C
E
果断地用坐标法处理.
y
B
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GCቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ平面 ABCD，且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), D C
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
D N C B
M
A
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz a ,0),C(0, a ,0),P(0,0, a) 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a ,
距离
用向量法求空间距离
教学目标：
借助空间向量来解决立体几何中的两种距离 1、两点间的距离 2、点到平面间距离
一、如何用向量法求解两点间的距离呢？
B(x2，y2，z2) A(x1，y1，z1)
AB ( x2 x1 ) ( y2 y1 ) ( z2 z1 )
2 2
2
例1、已知A(-1,2，-6), B(5,-2，3)，求A,B两点之间的距离。
∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题
(1,1,
1), CC1
(0, 0,
1).
D1
A1
x
E
C1 y
B1
设平面AEC1的一个法向量为n ( x, y, z) ,则
∴
1 2
y
z
0
, 取y 2,则z 1, x 1.
点C到平面AEC1
的距离为
|
CC1 |n
|
n
|
6 .
6
x y z 0 ∴平面AEC1的一个法向量为n (1, 2,1).
如图示，已知平面α的法向量为n ，A是平面α内的定点，P是平面α外一点. 过点P
作平面α的垂线l，交平面α于点Q，则 n是直线l的方向向量，且点P到平面α的距离d
就是AP在直线l上的投影向量 PQ 的长度. 因此
l
d PQ |AP||cos AP, n| |AP| |AP n| |AP n| . |AP||n| |n|
的距离PQ.
A
Ql
设 AP a ，则向量AP在直线l上的投影向量AQ | a | cosa, uu (a u)u. 在Rt△APQ中，由勾股定理，得 PQ | AP |2 | AQ |2 a 2 (a u)2 .
若直线l的法向量为 n，则点P到直线l的距离为d PQ |AP||cos AP, n| |AP n| .
P• β
d
n Q
αA
例6 如图示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段AB的中点，F为线段
AB的中点.
z
(1) 求点B到直线AC1的距离;
D
C
(2) 求直线FC到平面AEC1的距离.
解 : (1) 如图示,以D1为原点建立空间直角坐标系, 则有
用空间向量求距离
计算点到直线距离
利用向量数量积的性质，有$vec{PQ} cdot vec{n} = 0$，进而求得点
$P$到直线的距离$d = frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{sqrt{A^2 + B^2}}$。
公式在实际问题中应用场景
几何问题
01
在平面几何中，点到直线的距离公式可用于求解点到直线的最
计算向量$vec{AB}$
$vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 z_1)$。
计算向量$vec{AB}$的模
得出两点间距离公式
$|vec{AB}| = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
$d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$。
公式在实际问题中应用场景
1 2 3
空间几何问题
在解决涉及三维空间中点、线、面等几何元素的 问题时，两点间距离公式可用于计算两点之间的 距离。
物理问题
在物理学中，两点间距离公式可用于计算质点之 间的距离，进而解决与距离相关的物理问题，如 万有引力、电场强度等。
工程测量
在土木工程、水利工程等领域，两点间距离公式 可用于测量地面上两点之间的水平距离或空间中 两点之间的直线距离。
短距离、判断点与直线的位置关系等问题。
物理问题
02
在物理学中，点到直线的距离公式可用于计算电场强度、磁场
强度等物理量在空间中的分布情况。
工程问题
03
在工程领域中，点到直线的距离公式可用于计算建筑物之间的
空间向量点到平面距离求法
空间向量点到平面距离求法在三维空间中，我们经常需要计算一个给定点到一个给定平面的距离。
这个问题可以被称为”空间向量点到平面的距离求法”。
本文将详细介绍该求解方法。
1. 定义首先，我们需要明确一些基本的几何概念。
一个平面可以由一个点和一个法向量来唯一确定。
记平面上的一点为P，平面的法向量为n。
对于空间中的任意一点Q，我们定义点Q到平面的距离为点Q到平面的垂直距离，记作d(Q,Pn)。
2. 求解方法为了求解点Q到平面的距离，我们需要以下步骤：2.1 平面的方程首先，我们需要确定平面的方程。
一个平面P可以表示为Ax + By + Cz + D = 0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。
2.2 平面法向量的求解平面的法向量可以通过两个非平行的向量的叉乘来求解。
假设平面上的两个向量为v1和v2，则平面的法向量n可以通过n = v1 × v2来计算。
2.3 点到平面的距离公式根据点到平面的距离定义，点Q到平面P的距离可以表示为：d(Q,Pn) = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|x|表示x的绝对值。
2.4 距离求解算法根据上述公式，我们可以编写一个求解点到平面距离的函数，输入为点Q的坐标，平面的法向量和常数项，输出为点Q到平面的距离。
function distance_to_plane(Q, n, D) {let [x, y, z] = Q;let [A, B, C] = n;let distance = Math.abs(A * x + B * y + C * z + D) / Math.sqrt(A**2 + B**2+ C**2);return distance;}3. 示例下面我们通过一个示例来演示如何使用上述方法计算点到平面的距离。
假设有一个平面P，其方程为2x + 3y - z + 4 = 0。
点Q的坐标为(1, -2, 3)。
空间向量求点到平面的距离
空间向量求点到平面的距离空间向量求点到平面的距离是在几何学中一项重要的概念，它用于表达物理世界里的位置关系。
它的概念可以应用于许多不同的情况，如人们在分析受力时，可以利用这个概念来求解力的位置和大小，在建筑设计时，可以确定结构的外形，以及检验结构的稳定性等等。
在计算空间向量求点到平面的距离时，首先需要了解的是，平面的定义，它是由三点组成的，A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，其中za=zb=zc。
定义垂直空间向量的模式是：u=(x1-x2，y1-y2，0)，v=(x3-x2，y3-y2，0)，w=(x4-x2，y4-y2，z4-z2)，其中x4，y4和z4是待测点的坐标。
根据向量数学的定义，平面的法向量可以用下式表示：N=(u×v)，法向量的模为|N|=(u^2+v^2+w^2)^(1/2)。
距离就是点到平面的距离，可以用点P到平面的距离的点的坐标w=(x4，y4，z4)和法向量N的点积来求解，公式为：d=|N w|/|N|。
在实际应用中，需要注意的是，当法向量N为零向量时，表示平面不存在，此时距离d无法求解。
对于求解点到平面的距离，除了以上介绍的公式之外，还可以用另一种方法，即直接解三角形的方法，它把问题分解成若干个三角形，求解各个三角形边长，再利用余弦定理求解距离。
空间向量求点到平面的距离的计算方法有很多，如向量计算法、直接解三角形法等，但它们都有同样的一般性，即把空间作为一个整体，针对具体的问题使用相应的算法，以此来求解点到平面的距离。
此外，距离的结果也及其重要，因为它是一个客观量，它往往会影响最终的结果，比如分析受力时，结果会对受力结构的稳定性有很大的影响。
针对空间向量求点到平面的距离，在实际应用中，有几个重要的问题需要注意，首先需要明确平面的定义，以及垂直空间向量的模式；其次，根据向量数学的定义，可以得出平面的法向量，得出法向量的模；最后，根据点的坐标和法向量的模，即可求出点到平面的距离。
高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(三)——空间向量求距离
G
x D F A
C
E
y
B
例1 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分别是 :
AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2，求点 z B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． E F ( 2 , 2 , 0 ), E G ( 2 , 4 , 2 ), D C
G
x D
F A
C
E
y
B
练习3: 正方体AC1棱长为1，求BD与平面GB1D1的 距离
D1 A1 Z B1
DD
C1 d
1
n
n
G A X
D
B
C Y
三、求平面与平面间距离
例3、正方体AC1棱长为1，求平面AD1C 与平面A1BC1的距离
D1 A1 Z B1
AD
n
C1 d
n
D
A X B
C Y
| PA n | = |n |
.
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
例1、已知正方形ABCD的边长为4， CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
∴n M C 2 2 ax ay 0
a , 0, 0) N (
2 2
a,
1 2
a,
1 2
a)
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时)
2 30
.
5
4.求点到平面的距离
①等体积法(将点面距离看作三棱锥的高)
D1
P35-2(3).棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F
分别是线段DD1的中点，求点A1到平面AEB1的距离.
B1
A1
析 : 设点A1到平面AEB1的距离hA1 .
C1
E
VA1 AEB VB1 AEA1 ,
a
2 8
4
C1
A
C
B
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量 及直线l的方向向量 )
2
d a (
②等面积法(将点线距离视为三角形的高)
a l 2
)
|l |
[变式]棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是线段DC1上的动点，
求点M到直线AD1的距离的最小值.
D1
析 : 建系Dxyz , A(a,0,0), D1 (0,0, a ), 设M (0, x, x )
AB (0,2,0), AC1 (2,2,2), AB AC1 4, | AB | 2, | AC1 | 2 3,
D
C
2
A
B
点B到直线AC1的距离为 AB (
AB AC1 2
4 2 2 6
) 4(
)
3
2 3
| AC1 |
2.求点到直线的距离
①公式法(找斜线的方向向量 及直线l的方向向量 或单位方向向量 )
D1
a a
析 : 建系Dxyz, A(a,0,0), D1 (0,0, a ), M (0, , )
2 2
a a
利用空间向量求距离
1.已知直线l过定点A(2,3,1)，且方向向量为n＝(0,1,1)，求点P(4,3,2)到l的距
离
2.已知直线AB∥平面α，平面α的法向量n＝(1,0,1)，平面α内一点C的坐标
为(0,0,1)，直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，求直线AB到平面α的距离
3.已知单位正方体ABCD-A1B1C1D1，求点A到面BDC1的距离．
4.单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，求点B1到直线AC的距离。
5.已知四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，SD⊥面ABCD，且SD＝AD＝1，求异面直线SB与AC的距离．
6.在正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别是棱AB，BC的中点，求点D′到平面B′EF的距离
7.在已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD，且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝3，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点．求A1B1与平面ABE 的距离
8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，P A＝AD＝4，AB ＝2，以AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N，求点N到平面ACM的距离．。
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四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
uuur r
直线到平面的距离：
d
|
AP n | r
平面到平面的距离：
n
异面直线的距离：
例1.如图所示,在平行四边形ABCD中, AB AC 1, ACD 900 ,将它沿对角线AC折起,使AB与CD成 600角,求B、D间的距离.
A
D
B
C
例2.已知正方形ABCD的边长为4,CG 平面ABCD, CG 2, E、F分别是AB、AD的中点,求点B到平面 GEF的距离.
z
P
A x
F Cy Q
E
B
例5.正方体ABCD A1B1C1D1的边长为4, M、N、 E、F分 别 是A1 D1、A1 B1、D1C1、B1C1的 中 点. (1)求证 : 平面AMN // 平面EFBD;
(2)求平面AMN与平面EFBD间的距离.
垂线段的长度。
O
还可以用等积法求距离.
向量法求点到平面的距离
sin uduur
d | AP | sin
P
AP
r n
uuur r | AP n |
sin uuur r
AP n
d
O
d | AP n |
A
uuur
r
n
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
注:点到平面的距离等于点和这个平面的任何一点所组成 向量与此平面法向量的数量积的绝对值除于法向量的模.
空间中的距离主要有: 点点、点线、点面、线线、线面、面面
空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式
a
a2 或
a
x2 y2 z2
(其中 a (x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
一、求点到平面的距离
P
一般方法：
利用定义先作出过
d
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
二、直线到平面的距离
uuur r
l
d
|
AP n | r
n
Pr
n d
O A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
三、平面到平面的距离
uuur r
d
|
AP r
n
|
n
A
r n
P
d O
四、异面u直uur线r的距离
d
|
AP n | r
a
n
uuur
ArP ?
b
n?是r 直线a、b上的任意两点; n 是与 a, b 都垂直的向量
zG
x
D
F
A
E
C
B
y
例3.如图,正四棱锥S ABCD的高SO 2,底边长 AB 2,求异面直线BD与SC之间的距离.
S
D
C
O
A
B
例4.如图,已知边长为4的正三角形ABC中, E、F分别为 BC和AC的中点, PA 2,且PA 平面ABC，设Q是CE 的中点. (1)求证 : AE // 平面PFQ (2)求AE与平面PFQ间的距离.