求点到平面距离的基本方法

利用两个平面垂直，直接作出点到平面的距离.

2, A .AM为点A到平面的距

求点到平面距离的基本方法

北京农大附中闫小川

求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也

是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出

求点到平面的距离的几种基本方法.

(I )求证：AE 平面BCE ;

(n )求二面角B AC E的大小;

(m )求点D到平面ACE的距离.

(I)、( n)解略，(m)解如下:

、直接法

例 (2005年福建高考题)如图1,直二面角 D AB E中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE EB，F为CE上的点, 且BF 平面ACE.

D

B

解：如图3,过点A 作AG 峑EC ，连结DG,CG ，则平面ADG //平面BCE , •••平面BCE 平面ACE , •••平面ADG 平面ACE ,

作DH AG,垂足为H ，则DH 平面ACE.

••• DH 是点D 到平面ACE 的距离.

二、平行线法

,B 为I 上任意一点，AM , BN ,则AM BN . 点A 到平面的距离转化为平行于平面 的直线I 到平面的距离，再转化为直

线I 上任意一点B 到平面 的距离.

解：如图5,过点D 作DM 屯AE ，连结CM ，则DM //平面ACE , 点D 到平面ACE 的距离转化为直线 DM 到平面ACE 的距离，再转化为点

M 到平面ACE 的距离.

作MN CE,垂足为N ,

在 Rt ADG 中, DH

AD DG 2 迈

2/3 AG

76

3

如图 4, A 1,1 // C

B

•••平面CEM 平面ACE ,

••• MN 平面 ACE ,

••• MN 是点M 到平面ACE 的距离.

三、斜线法

利用平面的斜线及三角形相似，转化为求斜线上的点到平面的距离

.如图

AO

O , A,B l , AM , BN ,若竺 t,则 AM t BN.点 A 到

BO

平面 的距离转化为求直线I 上的点B 到平面 的距离.

解：如图8, BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面ACE Q , ••• DQ BQ ,

•••点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. •••平面BCE 平面ACE ，BF 平面ACE , • BF 是点B 到平面ACE 的距离.

在 Rt CEM 中，MN

EM CM 2 72

C E 7

6

6、7,

l

N

的一条斜线，A OP , OA l , OP 与 所成的角为

A 到平面 的距离为d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有 d Isin .

经过OP 与 垂直的平面与 相交，交线与OP 所成的锐角就是OP 与 所成 的角，这里并不强求要作出A 在 上的射影B ，连结OB 得.

解：如图10，v BF 平面ACE ， •••平面BDF 平面ACE ，

BQF 为DQ 与平面ACE 所成的角为,则点D 到平面ACE 的距离 d DQ sin

由（n ）知二面角B AC E 的正弦值为,得sin

3

••• D 到平面ACE 的距离d V2 — 酝

3

3

在 Rt BCE 中，BF

BC BE 2 迈 2^3

CE

四、线面角法

如图9, OP 为平面

屆 3

解：女口图 12, •••平面 ACD 平面 ACE AC , DQ 平面 ACD , DQ AC , 设二面角D AC E 的大小为，则点D 到平面ACE 的距离d DQsin

由（n ）知二面角B AC E 的正弦值为^6

,得sin —

3

3

2P3 ••• D 到平面ACE 的距离d 丘—

3

3

五、 二面角法 如图11, 点A

到平面的距离AO

图10

所成二面角的大小为 ，A , AB l , AB a ,

d ，则有d as in .也就是二面角的大小，而不强

求作出经过AB 的二面角的平面角.

B

图11

六、体积法

•••二面角D AB E 为直二面角, ••• E0 丄平面 ABCD.

1

-AD DC EO

• h ——

-AE EC 2

•••点D 到平面ACE 的距离为沁

3

B

设D 到平面ACE 的距离为h ,

V D ACE V

E ACD ，

h 1S

ACE h 3

S

ACD

E0.

AE 平面BCE , ••• AE

EC.

B

解：如图13,过点E 作EO

AB 交 AB 于点 0,0E 1.

1 2

2_ 1

丘46

2

2J3 3

七、向量法

解：如图14,以线段AB的中点为原点0, 0E所在直线为x轴，AB所在直

线为y轴，过0点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系AE 平面BCE，BE 平面BCE，

• •• AE BE ,

在Rt AEB中,AB 2,0为AB的中点,

••• 0E 1,

••• A(0, 1,0),E(1,0,0),C(0,1,2).

AE (1,1,0), AC (0,2,2).

设平面ACE的一个法向量为n (X, y, z)，

n0,即x y 0,

n 0, 2y 2z 0.

令X 1,得n (1, 1,1)是平面ACE的一个法向量.

练习: 0 xyz，

则

AC

解得y

z

X ,

AD z AD 2 AD (0,0,2) ACE d |AD||cos AD,n

|AD n| 2

273

3 3

如图15,已知ABCD是边长为4的正方形，E、F 分别是AB、AD的中点,

图14