点到平面距离的若干典型求法
“点面距离”的常用解法(文科)
“点面距离”常见求法（文科）------南安新营中学李志参背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。
教学目标：掌握点面距离常见求法教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用教学过程：一：复习求点面距离常见求法1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求）2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法二：典例分析已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求（1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面EFG 的距离.（3）点B 到平面EFG 的距离.（4）点A 到平面EFG 的距离.解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2（2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF.又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC.所以EF ⊥平面GHO.在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ，得即点O 到平面EFG 的距离为（3）解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ，∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点.C G AB D E F H O又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，记点B 到平面EFG 的距离为h故点B 到平面EFG 的距离为：（4）（比例法）∵AH=HO ，∴点A 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离 三：课堂小结: 求点面距离的方法大致有如下几种：1．直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示距离的线段；再证明它就是所要求的距离；然后再计算，特别要注意第二步的证明。
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。
而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。
求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。
下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。
例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。
解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。
过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面C C BB 11,PM ⊂面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。
AB 1C B ⋂=B ，1C 1D 1A PMD ABC 1B ，∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵0!45=∠BCC ，43!=P C ,在PM C R t !∆中，82343224510=⨯=⇒=PM P C PM Sin .2、 转化成其它点到面的距离：2C AA、向量法：例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。
∥⊥解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法向量 =(x,y,z),则：AB →→∙，yn →)1,21,0(),0,21,1(=→-=→DFDE∵解得=（1,2，-1）∴=4、利用三棱锥等体积法：点P到平面BQD的距离。
解：设点Ｐ与点Ａ到平面ＢＤＱ距离为h。
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法1. 什么是点到面的距离在计算机图形学中，点到面的距离是指一个点到一个平面的最短距离。
点到面的距离是一个重要的计算问题，它在很多应用中都有广泛的应用，比如碰撞检测、物体投影等。
2. 求点到平面的距离的方法求点到平面的距离有多种方法，下面将介绍其中的几种常见方法。
2.1. 点到平面的法向量距离点到平面的法向量距离是一种常见的求解方法。
法向量是垂直于平面的一个向量，可以通过平面的法向量和点到平面的向量的点积来计算距离。
具体计算公式如下：distance = abs((P - A) · N) / ||N||其中，P为点的坐标，A为平面上的点的坐标，N为平面的法向量，||N||表示法向量的模。
2.2. 点到平面的投影距离点到平面的投影距离是另一种常见的求解方法。
它通过将点投影到平面上，然后计算点到投影点的距离来求解。
具体计算公式如下：distance = ||P - P_proj||其中，P为点的坐标，P_proj为点在平面上的投影点的坐标，||P - P_proj||表示点到投影点的距离。
2.3. 点到平面的有向距离点到平面的有向距离是一种考虑点在平面的哪一侧的求解方法。
它通过计算点到平面的距离，并根据点在平面的哪一侧来确定距离的正负。
具体计算公式如下：distance = (P - A) · N / ||N||其中，P为点的坐标，A为平面上的点的坐标，N为平面的法向量，||N||表示法向量的模。
3. 比较不同方法的优缺点不同的求解方法有各自的优缺点，下面将对比它们的优缺点。
3.1. 点到平面的法向量距离优点： - 计算简单，只需进行点积和模运算。
- 结果为非负数，可以直接表示距离。
缺点： - 不考虑点在平面的哪一侧。
3.2. 点到平面的投影距离优点： - 考虑了点在平面的投影位置。
缺点： - 需要额外计算点的投影点。
3.3. 点到平面的有向距离优点： - 考虑了点在平面的哪一侧。
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法目录1.引言 (1)2.预备知识 (1)3.求点到平面距离的若干求法 (3)3.1定义法求点到平面距离 (3)3.2转化法求点到平面距离 (5)3.3等体积法求点到平面距离 (7)3.4利用二面角求点到平面距离 (8)3.5向量法求点到平面距离 (9)3.6最值法求点到平面距离 (11)3.7公式法求点到平面距离 (13)1．引言求点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。
点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了几何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2．预备知识(1)正射影的定义:(如图1所示)从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
图1(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
(3) 四面体的体积公式13V Sh = 其中V 表示四面体体积，S 、h 分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线l 把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面α与平面β所成的二面角，记作二面角l αβ--，其中l 为二面角的棱。
如图在棱l 上任取一点O ，过点O 分别在平面α及平面β上作l 的垂线OA 、OB ，则把平面角AOB ∠叫作二面角l αβ--的平面角，AOB ∠的大小称为二面角l αβ--的大小。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括岀求点到平面的距离的几种基本方法.例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AE、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.一、直接通过该点求点到平面的距离1 •直接作岀所求之距离，求其长.解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作BN丄BC，交GM于N，则有BN//CG，BN丄平面ABCD .作BPXEM，交EM于P，易证平面BPN丄平面EFG .作BQXPN，垂足为Q,则BQ丄平面EFG .于是BQ是点B到平面EFGr- 4BP2 BN2 =—的距离•易知BN=2 / 3，BP=.l，PN= 二，由BQ・PN=PB・BN，得BQ= ….图1 图22 •不直接作岀所求之距离，间接求之.（1）利用二面角的平面角.课本P. 42第4题，P. 46第2题、第4题给岀了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系”.如图2,二面角M - CD - N的大小为a，A€M,AB丄CD，AB=a，点A到平面N的距离AO=d, 则有d=asin a. ①①中的a也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB的二面角的平面角.解法2.如图3,过B作BP丄EF，交FE的延长线于P,易知BP= 亞，这就是点B到二面角C - EF-G的棱EF的距离.连结AC交EF于H,连结GH,易证ZGHC就是二面角C -EF - G的平面角.T GC=2,A求点到平面的距离是立体几何教学中不可忽视的一个基本问题，是近几年高考的一个热点.本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》（必修本）中的概念、习题，概括岀求点到平面的距离的几种基本方法.例已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在平面，且GC=2，求点B到平面EFG的距离.一、直接通过该点求点到平面的距离1 •直接作岀所求之距离，求其长.解法1.如图1,为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交CB的延长线于M, 连结GM,作BN丄BC，交GM于N,则有BN//CG,BN丄平面ABCD .作BP丄EM，交EM于P,易证平是EQ 是点E 到平面EFGPNDO①中的 这就是点E 到二面角C解法 角AH GHD F A)利用二面角的平面角图2图1面EPN 丄平面EFG .作EQ 丄PN ，垂足为Q,则EQ 丄平面EFG 易得平面EER 丄平面EFG,ER 为它们的交线，所以ZREB 就是EE 与平面EFG 所成的角04a 也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过AB 的二面角的平面角 2 •不直接作岀所求之距离，间接求之9 .②9 •由CH=3 a 上的射影B,连结OB 得 9 .解法3.如图5,设M 为FE 与CB 的延长线的交点，作BR±GM，R 为垂足.又GMXEBEF - G 的平面2.如图 3,过B 作BP 丄EF ，交FE 的延长线于P,易知BPGC=2， AC=4 课本P.42第4题，P.46第2题、第 另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系OP 与a 所成的角为9 ,A 到平面a EF -G 的棱EF 的距离.连结AC 交EF 于H,连结GH,易证ZGHC 就是二面角C(2)利用斜线和平面所成的角.如图4, OP 为平面 a 的一条斜线，A€OP,OA4题给岀了 二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到 ”.如图2，二面角M - CD -N 的大小为 a, AEM, ABAB = a ，点A 到平面N 的距离AO于是由①得所求之距离d = BP-sinZGHC则有d = asin a. ①经过OP 与a 垂直的平面与a 相交，交线与OP 所成的锐角就是②中的9，这里并不强求要作出点A 在22二 ，由BQ ・PN=PB ・BN的距离•易知BN=2 /3,BP 得 BQ=[J .的距离为d,则由斜线和平面所成的角的定义可知，有d=lsin2 加L ： = u •解略△ MRB^^MCG ，可得BR= j ；，在Rt^REB 中，/E=90所以sin 0 =BR / ER=，于是由②得所求之距离d=i. I(3)利用三棱锥的体积公式.解法4.如图6,设点B 到平面EFG 的距离为d,则三棱锥B - EFG 的体积V= ( 1 / 3 ) S AE FG •d.另一方面又可得这个三棱锥的体积V= ( 1 / 3 ) S AFEB •CG，可求得S △ FEB = ( 1 / 4 ) S ADAB =2,2你S AEFG = J - i ,所以有1 / 3 •二-1 ・d=1 / 3・2・2，得d= IJ .二、不经过该点间接确定点到平面的距离1•利用直线到平面的距离确定解法5.如图7,易证BD//平面EFG ，所以BD 上任意一点到平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离.由对称思想可知，取BD 中点0,求点0到平面EFG 的距离较简单.AC 交EF 于H,如图8,把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗.面GMT 是正四棱柱ABCD - A 1 B 1GD 1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N,TG 交DD 1于Q,作BP//MG ，交CG 于P,连结DP,则有平面GTM/平面PDB .它们之间 的距离就是所求之距离•于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置，哪里方便就在哪里求.这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN -PDB 的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离•据此可得解法6.解法6.三棱柱GQN - PDB 的体积V=SA PDB d ，另一方面又有V=S A CDB BN ，可求得BN=2图5BR =_2_-1 ,EB = 2,2•利用平行平面间的距离确定4価迺/3,CP = 4 /3,PB = PD= 二，ED=仏匕,S = :: , S △c DB 27H=8・2 3,得d= 一一为所求之距离.8#i8,所以：；・d。
求“点面距离”常用的几种基本方法
易得 A1 E = 2． 所 以 由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法二（ 等体积法） ： 欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离， 只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法三 （ 直 接 法 ） ： 直 接 找 出 C 点 到 平 面 A1 ABB1 的 距离．
如图 4 所 示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连 接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC． 所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角． 因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ） 如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB． 所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与 底面 ABC 所成二面角的平面角． 由 AB⊥BCEO∥BC，又因
（ a）
（ b）
图1
（ 3） 如图 1 （ b） 所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ． 所以 A，B 两点到平面 α 的距 离可以相互转化．
三、等体积法
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(312221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA→→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
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点到平面距离的若干典型求法目录1.引言 (1)2.预备知识 (1)3.求点到平面距离的若干求法 (3)3. 1 定义法求点到平面距离 (3)3. 2 转化法求点到平面距离 (5)3. 3 等体积法求点到平面距离 (7)3.4 利用二面角求点到平面距离 (8)3. 5 向量法求点到平面距离 (9)3.6最值法求点到平面距离 (11)3.7公式法求点到平面距离 (13)1.引言求点到平面的距离是高考立体儿何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握难点问题之一。
点到平面的距离的求解方法是多种多样的，本讲将着重介绍了儿何方法（如体积法，二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）及常用数学思维方法（如转化法、最值法）等角度等七种较为典型的求解方法，以达到秒杀得分之功效。
2.预备知识（1）正射影的定义：（如图1所示）从平面外一点向平面。
引垂线，垂足为P,则点P'叫做点〃在平面。
上的正射影，简称为射影。
同时把线段PP'叫作点P与平面。
的垂线段。
图1(2)点到平面距离定义:一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离, 也即点与平面间垂线段的长度。
(3)四面体的体积公式V=-Sh3其中V表示四面体体积，S、/?分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
(4)直线与平面垂直的判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
(5)三垂线定理:在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
(6)二面角及二面角大小:平面内的一条直线/把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做半平面，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面。
图2所示为平面a与平面“所成的二面角，记作二面角a-1-p,其中/为二面角的棱。
如图在棱/上任取一点。
，过点。
分别在平面。
及平面”上作/的垂线。
4、OB，则把平面角匕叫作二面角a-1-p的平面角，匕4彼的大小称为二面角a-1-p的大小。
在很多时候为了简便叙述，也把匕称作a与平面“所成的二面角。
(7)空间向量内积：代数定义：设两个向量刁=(而,》1，4)，/；=(易况，全)，则将两个向量对应分量的乘积之和定义为向量。
与片的内积,记作沁，依定义有必。
二%工2 +凹)‘2 +4弓儿何定义：在欧儿里得空间中，将向量Q 与5的内积直观地定义为刁2=l 〃lBlcosv 成片> , 这里\a\. \b\分别表示向量金、5的长度，<a,B>表示两个向量之间的夹角。
向量内积的 儿何意义为一个向量的模与另一个向量在这个向量正方向上投影向量模的乘积。
当v a,b >= 90° ,即〃 方时,a^b =1 ci\\b\ cos < a.b >=l a\\b\ cos90° = 0 o下面说明这两种定义是等价的。
如图3所示，设P 、。
为空间的三点，^a = OP, b = OQ 9 c = PQ由余弦定理 \c\2=\a\2+\b\2 —21 SlBlcosv —5>再设&=（工1，加4），人=（工2，力，彼），贝片=（工2一工1，，2一〉，而一石） 从而有（丁一工］）2 +（>2 一*）?+（金 一 4）2 =+z ； +x ； + y ； +^-2ldllblcos<d,b>x x x 2 + y\y 2 +Z ］冬日浏B I cos <d,b >这就证得了两个定义是等价的。
3求点到平面距离的若干求法3.1定义法求点到平面距离（直接法）定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线 段，进而根据平面儿何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法 求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线 段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据： Qyo(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2)如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例如图4所示，所示的正方体ABCD-A：B'C,D,棱长为“，求点4到平面的距离。
(注: 本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法)：如图5所示，连结交于点再连结AE,过点A'作垂直于AE,垂足为H ,下面证明1平面AB f U o图5平面ABCD・•・ B f D9 1乂•.•在正方形ABCD中，对角线B f I> ± A!C,且AA[}A!C = A!AA'u 平面ACu 平面44'E由线面垂直的判定定理知道_L平面M'EAH c 平面AA!E:.A!H _L BD乂由A'H的作法知道AH 1 AE ,且有ZTZy C| AE = E,B'D u平面膈"，AEu平面AB'"二由线面垂直的判定定理知道A'H _L平面ABD根据点到平面距离定义，AW的长度即为点A'到平面的距离，下面求的长度。
AAB7T 中，容易得到AB' = B'D = D'A = y!id ,从而MB'”为正三角形，£4377 = 60°。
进而在RtMB'E中，AE = AB'sin ZAB'D'=吃/sin 60°= —2由S坎怔=-AA,xA,E = -AExA,H得到 2 2”，.IJ7 AA'x — A'C' ax — \/2 RAW =心-AE = 2 _ 2 _J3AE AE扼 3~T从而4到平面仙。
的距离为3. 2转化法求点到平面距离有时候限于儿何体的形状，不易直接寻找出点在平面的射影，或者由直接法作出的射影线段在所给儿何体中不易计算其长度，此时转化法不失为一种有效的方法。
转化法即是将点到平面的距离转化为另一点到平面间的距离的方法。
转化法依据主要有以下两点：(1)若直线/ //平面a ,则直线/上所有点到平面。
的距离均相等。
(2)若直线伯与平面。
交于点则点A、B到平面a的距离之比为特别地，当M为AB中点时，A、B 到平面a的距离相等。
下面用转化法重解上面例题解法二(转化法)如图6所示，连结AC、4C、A f C\ A'B、AB', AC交BD于点、E,连结AE交AC 于点H ,延长A，C'至点G使得CG = -A,C\连结CG。
2图6C8_L 平面AA f B r B:.从而斜线4C在平面AAB'B的射影为AB•.•A'B、AB，为正方形AA f B'B对角线AB f± AB，由三垂线定理知道AB _L AC同理可以得到AD f± AC 乂AB’n A£>' = A , AZT U 平面AB'D1, AD' c=平面A!CL平面AB'"/. A f H±平面ABTT,即点H为A'在平面的射影，AH的长度为所求AC//AC即AC//EG,且EG = EC + CG = - A!C + - A!C = A!C = AC 2 2..四边形ACGE为平行四边形AE/ICG在A/TCGlIl等比性质有A!H _AE _\~Wc~~EG~3:.A!H=-A!C3而在正方体ABCD - AB'CD'中对角线A!C = y/AA~ + AB2 + BC2 = y/3aA'H = —a 3在本例中，未直接计算垂线段47/的长度，而是找出了其与正方体ABCD-AB'CD1中对角线4C的数量关系，从而转化为求正方体ABCD-AB'CD'对角线4C长度，而4C长度是极易计算的，故用这种转化方法降低了运算量。
本例运用的转化方法与依据(2)类似，都是寻求所要求的垂线段与某一已知或易求线段的数量关系，从而简化计算。
3. 3等体积法求点到平面距离用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。
先用简单的方法求出四面体的体积, 然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式v=hh求出点到平面的距离力。
在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。
特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。
下面用等体积法求解上面例子.解法三(等体积法)：如图7所示，作A f H垂直于平面AB f D r于点H，则ABD长度为所求。
对于四面体/TAB'”,易见底面ABD的高为，底面的高为对四面体 #仙'”的体积而言有：V = Vy A-A'B'/y y A1-ABD1图7即有：T x Sww = ~ 4H x S也即："=AA'fwS MB。
由AB' = B'D' = D'A = 0 ,从而为正三角形，匕4877 = 60°,进而可求得S'.w = ! AB' X A。
' sin ZABD =!(>/2«)2sin60(,=寸a2乂易计算得到RMBD的面积为Sw”).=-a2212所以A，H =m Sg =凑L = ES M BTT 0 2 3-- C l2我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用儿何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为儿何体高的意义而存在的。
3. 4利用二面角求点到平面距离如图8所示，/为二面角a-1-p的的棱，匕4。
8为二面角a-1-p的一个平面角。
下面考虑点B到平面。
的距离。
作BH ±OA,垂足为H ,下面证明平面匕408为二面角a-1-p的一个平面角OAVK OBVI乂OAC\OB = O:.1±平面AO8乂HHu 平面BH VI乂BH .OA, OAQI=O, Q4u 平面a, /u 平面 a平面Q在Rt△函7中，有BH = OB sin ZBOH .............. ①这个公式就建立点到平面距离与二面角的一个数量关系。