点面距离的几种求法
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法求点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们经常需要计算一个点到一个平面的距离，这个距离可以用来判断点是否在平面上，或者用来计算点到平面的投影等。
下面介绍几种常用的求点到面距离的方法：1. 点到平面的投影点到平面的投影是求点到面距离的一种常用方法。
它的基本思想是将点沿着法向量投影到平面上，然后计算投影点到原点的距离。
具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
2. 点到平面的距离公式点到平面的距离公式是另一种常用的求点到面距离的方法。
它的基本思想是将点到平面的距离分解为点到平面法向量的投影和平面法向量的长度两部分，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
3. 点到三角形的距离点到三角形的距离是求点到面距离的一种特殊情况。
它的基本思想是将点到三角形所在平面的距离和点到三角形的距离两部分相加，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是三角形所在平面上的任意一点，n是三角形所在平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
求点到面距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来求解点到面的距离，以满足不同的需求。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。
求点面距离的几种常用方法
求点面距离的几种常用方法
陈浩
【期刊名称】《中学理科园地》
【年(卷),期】2005()1
【摘要】点面距离是高中立几中的一个重点内容，也是高考的热点之一。
从平面
外一点引平面的垂线段,垂足的位置不好确定，解决垂线段的位置问题是求点面距
离的关键所在。
转化思想是一种极其重要的数学思想,尤其在立几当中更是体现得
淋漓尽致，例如把空间问题转化为平面问题，把证“线面垂直”转化为证“线线垂直”，把证“线面平行”转化为证“线线平行”，把点面距离转化为点线距离等等。
下面根据我多年的教学体会，从转化的角度把求点面距离的方法大致归结为三类。
【总页数】2页(P44-45)
【关键词】距离;常用方法;转化思想;数学思想;平面问题;问题转化;教学体会;平面外【作者】陈浩
【作者单位】晋江市季延中学
【正文语种】中文
【中图分类】O157.5
【相关文献】
1.求两条异面直线间距离的几种方法 [J], 巩有良
2.求两条异面直线距离的常用方法 [J], 蒋雪英
3.求异面直线间距离的几种常用方法 [J], 王斌
4.求“点面距离”常用的几种基本方法 [J], 潘继军
5.求异面直线距离的几种常用方法 [J], 王成君
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求平面上两点的距离
求平面上两点的距离平面上两点的距离是数学中一个基本的概念，也是计算几何中一个重要的问题。
在平面上，任意两个点之间的距离可以使用距离公式来计算。
本文将详细介绍平面上两点的距离的计算方法及其应用。
平面上任意两点的距离可以用直线距离来表示。
假设平面上有两点A(x1, y1)和B(x2, y2)，那么可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。
根据勾股定理，即斜边平方等于两直角边平方和，我们有以下公式：d = √(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2其中，d表示两点之间的距离。
在计算平面上两点的距离时，我们需要知道两点的坐标。
通过这个公式，我们可以得到两点之间的直线距离。
除了使用勾股定理，我们还可以使用其他方法来计算两点之间的距离。
例如，我们可以将平面上的两点A和B连接起来，将得到的线段分割成若干小段，然后使用勾股定理计算每个小段的长度之和。
这种方法被称为分段近似，可以更精确地计算两点之间的距离。
当我们需要计算非常长的直线距离时，分段近似可以提供更准确的结果。
在实际应用中，计算平面上两点之间的距离具有广泛的用途。
例如，在地理信息系统中，我们可以使用距离计算来测量两个地点之间的实际距离。
这对于规划路线、测量土地面积和监测地理数据非常重要。
在建筑设计中，计算两点之间的距离可以帮助我们确定建筑物的尺寸和形状，确保在有限的土地上合理安排空间。
在计算机图形学中，我们可以使用距离计算来确定图形的位置和大小，从而实现图像的渲染和变换。
另外，我们还可以通过两点间的距离来解决几何中的一些问题。
例如，在平面上给定三个点A、B和C，如果我们知道点A到点C的距离和点B到点C的距离，我们可以使用这些信息来确定点C的位置。
同样地，如果我们知道一个点和几个已知点的距离，我们可以使用这些距离关系来确定这个点的位置。
这在地理定位、航行和三角测量中都有应用。
最后，在现实生活中，计算平面上两点之间的距离还可以根据需要扩展到三维空间。
我们可以将上述公式和方法应用于空间中的点之间的距离计算。
线面.点面距离
P
n
A
O
例3、如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别 是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且 GC＝2，求点B到平面EFG的距离。
G
D E A B
C
F
如图，以D为原点，以DA,DC所在直线为X轴，Y轴垂直 解： 于平面ABCD的直线为Z轴,建立空间直角坐标系， 则 E（2，0，0） ,F（4，2，0），B（4，4，0） G（0，4，2） GF (4， 2， 2） FB (0， 2， 0） GE ( 2,4,2) , 设平面的法向量 n ( x，y，z） 则GE n 0， GF n 0 G 2x 4 y 2z 0 z
HA HB HC ,
即H是△ABC的外心 在Rt △OBH中，
2
A B
2 2 2
BH 2 3
H C
OH OB BH 4 (2 3) 2 (cm) ,
即点O到三角形所在平面的距离为2 cm.
例2.点P为平面 外一点，点A为平面 内任一点， PO为平面 的垂线，其中 n为平面 的法向量， 的距离 求证：点P到平面 d=
AB 3 2
A0
BPO 3
3
2
(3 2 ) 2
3
6
2.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥平面⊙O， C为圆周上一点，若AB＝5，AC＝2，求 B到平面PAC的距离。
BC 21
小结： 什么叫点到平面的距离？直线到平面的距离?
空间距离多可转化为点面距离
求点面距离的常用方法有有那几种？ 1、用空间向量方法求解 2、利用有关结论，确定垂足的位置
点面距离的几种求法
点面距离的几种求法距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。
而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。
求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。
下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法：1、利用定义作垂线，解三角形。
例1，在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点P 在棱1CC 上，且1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。
解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。
过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面C C BB 11,PM 面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。
AB1C B =B ，1C 1D 1A PM D AB C1B ，∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵0!45BCC ，43!P C ,在PM C R t !中，82343224510PM P C PM Sin . 2、转化成其它点到面的距离：2B DCB C BC A AA.a 433、向量法：（其中，为平面α的法向量）例3、在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD 中,点E, F 分别是11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。
∥⊥解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法向量=(x,y,z),则：A CD 1A 1D EFn n n ABd ，B xyz1B 1C n )1,21,0(),0,21,1(DF DE∵解得=（1,2，-1）∴= 4、利用三棱锥等体积法：点P 到平面BQD 的距离。
点面距离的求法
★点面距离的求法：线面→点面距离←面面距离⒈直接作垂线法：即直接由点作垂线，求垂线段的长。
这种方法通常要考虑垂足的位置⒉分点转化法：如果平面的一条斜线段被这个平面平分，那么由全等三角形知识可知，这条斜线段的两个端点到这个平面的距离相等。
（推广）如果平面的一条斜线段上各分点到斜足的距离对应成比例，那么由相似可知，这些分点到该平面的距离也对应成比例。
利用这个结论可以快速地将点面距离转化为求斜线上的另一个分点到这个平面的距离。
⒊转化为求平面的平行直线与平面之间的距离⒋体积法：※利用三棱锥的体积公式求点到平面的距离，大致分为以下几步：①把点到平面的距离看作一个三棱锥的高； ②求与此高对应的底面的面积； ③转换顶点或用割补法求此三棱锥的体积；④利用三棱锥体积的自等性，列出方程求高；⒌转化为两平行平面之间的距离⒍向量法※设是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则点B 到平面α的距离为||n d =1.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，O 是底面A 1B 1C 1D 1的中心，则点O 到平面ABC1D 1的距离为( )A.12B.24C.22D.322．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，G 为AA 1的中点，则直线BD 与平面GB 1D 1的距离为( ) A.33 B.263 C.63 D.233 3.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为a ，侧棱长为22a ，D 是棱A 1C 1的中(1)求证：BC 1∥平面AB 1D ；(2)求二面角A 1－AB 1－D 的大小；(3)求点C 1到平面AB 1D 的距离．4. 5.6.已知四棱锥E ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=o ，2,AB EC ==AE BE ==O 为AB 的中点．（Ⅰ）求证：EO ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求点D 到面AEC 的距离．。
点到平面的距离的几种求法_人教版
点到平面的距离的几种求法2 基本概念从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离.这点和垂足间的线段叫做这点到平面的垂线段.其实点到平面的距离就是这点到平面的垂线段长.例：（如图1）若PA ⊥α于A ，则P 点到平面α的距离就是线段PA 的长． 点到平面的距离有如下三条性质：(1)存在性 对于任意一个平面和这个平面外任意一点 都存在着距离.(2)唯一性 一个平面和平面外一点间的距离是唯一的. (3)最小性 平面外一点的距离是这点到这个平面内任意一点的连接线段长度的最小值. 3 例题求解已知ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B 到平面ＥＦＧ的距离. 3.1 直接用定义求点到平面的距离 3.1.1 直接作出所求距离求其长解法一：（如图2）为了作出点B 到平面EFG 的距离，延长FE 交CB 的延长线于Ｍ， 连 结GM ，作ＢＮ⊥ＢＣ，交ＧＭ于Ｎ，则有ＢＮ∥ＣＧ ∴ＢＮ⊥平面ABCD ∴ＢＮ⊥ＥＭ作ＢＰ⊥ＥＭ，交EM 于P ∴平面ＢＰＮ⊥平面EFG 作ＢＱ⊥ＰＮ，垂足为Ｑ ∴ＢＱ⊥平面ＥＦＧ∴ＢＱ是点Ｂ到平面EFG 的距离 易求出ＢＮ＝２/３，ＢＰ＝2，32222=+=BN BP PN 在PBN Rt ∆中BN PB BQ PN ⋅=⋅11112=∴BQ图13.1.2 不直接作出所求距离间接求之 (1) 利用二面角的平面角引理1：（如图3）若二面角N CD M --的大小为α，M A ∈，CD AB ⊥，a AB =点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ， 则有αsin a d = （1）其中的α也就是二面角的大小，而并不强 求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角. 解法二：（如图4）过点Ｂ作EF BP ⊥，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知2=BP ，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ 易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角． ∵ ＧＣ＝２，ＡＣ＝24，ＡＨ＝2，∴ ＣＨ＝23，ＧＨ＝22∴222sin =∠GHC ，于是由（1）得所求之距离111122222sin =⋅=∠⋅=GHC BP d(2) 利用斜线和平面所成的角引理2 （如图5）OP 为平面α的一条斜线，OP A ∈，l OA =，OP 与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，则有θsin l d = （2）注：经过OP 与α垂直的平面与α相交，交线与OP 所成的锐角就是θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结OB 得θ．解法三：（如图6），设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作GM BR ⊥，Ｒ为垂足．图3图4图5又EB GM ⊥∵平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ 又ＥＲ为它们的交线∴∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ 由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得102=⋅=⇒=MG CG MB RB MG MB CG RB ，在Ｒｔ△ＲＥＢ中1111sin sin ==∠=ER BR BER θ 于是由（2）得所求之距离11112sin sin ⨯=∠⋅=⋅=BER EB l d θ（3）利用三棱锥的体积公式解法四：（如图7）设点B 到平面EFG 的距离为d,连结BF ，则有体积关系：BEFG EFG B V V --=连结BF ，则GH EF ⊥，于是有GCBE AF d GH EF ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅)21(31)21(31 2221==BD EF ，2===GC BE AF22)43(22222=⋅+=+=AC CH GC GH111122222222=⨯⨯⨯=⋅⋅⋅=∴GH EF GC BE AF d3.1.3 利用点到平面的距离公式引理3 (如图8)PO 为平面α的垂线段，PA 为斜线段，→n 是平面的法向量，则有：→→→→→→→=><=nn APn AP AP PO ,cos图6图7证明：α⊥→n,//→→∴PO n →→⊥OA n又→→→+=OA PO PA→→→→→→+⋅=⋅∴n OA n PO n PA →→→→⋅=⋅∴n PO n PA><=⋅∴→→→→→→n PO n PO n PA ,cos→→PO n //→→→→=⋅∴nPO n PA即： →→→→=nn APPO解法五：（如图9）以C 为原点，CB 所在直线为X 轴，DC 所在直线为Y 轴，CG 所在直线为Z 轴建立空间直角坐标系xyz C -.设B （4，0，0），则E （4，-2，0），F （2，-4，0），G （0，0，2），从而有=→BE （0，-2，0），=→GE （4，-2，-2） =→GF （2，-4，-2）设→n =（X ，Y ，Z ）为平面EFG 的法向量，则由→→⊥n GF ，有0=⋅→→n GF ，即2X-4Y-2Z=0 →→⊥n GE ，有0=⋅→→n GE ，即4X-2Y-2Z=0图8图9得X=-Y 而Z Y 31-=，故得→n =（Z Z Z ,31,31-）.故点B 到平面DEF 的距离 11112)0,32,0(311)0,32,0(====→→→ZZ n n BE d3.2 不经过该点间接确定点到平面的距离 (1) 利用直线到平面的距离确定解法六（如图10）连结BD ，AC ，EF.BD 分别交EF 于H,O.因为ABCD 是正方形. E,F 分别为AB 和AD 的中点,故EF//BD,H 为AO 的中点 BD EF // ∴BD//平面EFGBD 和平面EFG 的距离就是点B 到平面EFG 的距离AC BD ⊥ HC EF ⊥∴⊥GC 平面ABCD GC EF ⊥∴ ⊥∴EF 平面HCG∴面EFG ⊥面HCG,HGS 是这两个垂直平面的交线作OK ⊥HG 交HG 于点K,由两平面垂直的性质定理知OK ⊥平面EFG ∴线段OK 的长就是点B 到平面EFG 的距离正方形ABCD 的边长为4,GC=2 AC=24,HO=2,HC=23∴在HCG Rt ∆中222)23(22=+=HG HCG HKO ∆∆~∴111122222=⨯=⋅=HG GC HO OK(2) 利用平行平面的距离确定图10解法七(如图11)把平面EFG 补成一个正四棱柱的截面所在的平面.则面GMT 是正四棱柱ABCD —A1B1C1D1经过F 、E 、G 的截面所在的平面.MG 交BB1于N ，TG 交DD1于Q.作BP//MG ，交CG 于P ，连结DP.则有 平面GTM//平面PDB它们之间的距离就是所求之距离.于是可以把点B 平移到平面PDB 上任何一个位置. 而这两个平行平面的距离d 又同三棱柱GQN —PDB 的体积有关，所以可以利用三棱柱的体积确定所求之距离.则有三棱柱GQN —PDB 的体积V 的关系式：BNS d S V CDB PDB ⋅=⋅=∆∆ （3）易求出BN=2/3，CP=4/3，PB=PD=3/104BD=24，3/118=∆PBD S ，8=∆CDB S由关系式（3）可得3283118⨯=⨯d 于是平行平面间的距离11112=d即点B 到面EFG 的距离为11/1124 方法总结求点到平面的距离的常用方法有：(1) 定义法 过平面外一点作平面的垂线，直接求出这点到垂足的距离.（2）射影定位法 根据已知条件，确定平面外一点在平面内射影的位置.再求这两点的距离.(3) 转化法 通常情况下求点到平面的距离可转化为下面三种形式10 点线距离 在平面内找出（或作出）一条直线使平面外的点和这条直线所确定的新平面和原平面垂直，则这点到这条直线的距离.即为点到平面的距离.20 线面距离 若能够找出过一点的一条直线与平面平行，则这条直线到平面的距离等于点到平面的距离.30 面面距离 过平面外一点作出一个平面和已知平面平行，则这两平行平面的距离等于点到平面的距离.(4) 等体积法 将点到平面的距离视为一个几何体的高，又能够容易求出这个几何体的图11体积及高所对的底面面积.则可求出点到平面的距离.（5）公式法建立恰当的坐标系，能够确定平面的方程及点的坐标.运用点到平面的距离公式即可求出距离.参考文献[1] 聂文喜,周家山.点到平面距离的求解策略[J].数学通讯,2004.6:12~13[2] 优奋强.点到平面的距离[J].数学通讯,1996.10:1~3.[3] 李惠珠.从点到平面的距离谈发散性思维[J].高等数学研究,2004.7:11~13.[4] 朱宏志.点面距离两面观[J].新疆石油教育学院学报,2003.10:12~13.[5] 乐敬英.用向量求距离的统一解法[J].数学教学,2003.10:34~36.[6]. 吕林根,许子道.解析几何[M].成都:高等教育出版社,1992:131~142.[7] 刘增利.高中数学教材知识资料包[M].北京:北京教育出版社,2004:256~271.[8] 刘伯虎.立体几何中点面距离的求法[J].数学教学研究,2003.3:30~31.。
解析点面距的求法
以任 务作 为 驱动 。 学 生通 过 自己的 操 作 。 书上 的理 论 变成 现 让 把 实 的应 用 。教 师的 引导 、 点拨 更 多 的是 把知 识 加 以引 申 。 使学 生 能够 触类 旁通 ， 面结 合 、 点 以点 带面 、 『带新 。这种 教 学模 式较 以Ｅ ｌ
Ｂ 面 Ｐ Ｃ， Ｐ Ｃ上面 Ｐ Ｄ， Ａ作 Ｐ ＤＪ ＿ Ａ 面 Ａ Ｂ 过 Ｃ垂 线 交 于 Ｍ 则
ＡＭ 上面 Ｐ Ｄ。 Ｂ
即 Ａ 为所 求 ，易知 Ａ 、 ａ Ｒ ＡＰ Ｃ 中由等面 积 Ｍ Ｃ＝ ／ 。 ｔ Ｂ 用 不同 的底面 积和 高 的乘积 的 倍 相等 （ 为三 棱锥 体 积 ） 均 。
【 声】 ｌ 学 新 心 教法 法 探ｌ
解 析 点 面距 的求 法
● 张 国 新
求点 到面 的距离 是立体 几何 中最 常见 的 问题 ，在高 考 中 作 为重要 的知识 点 ， 几乎每 年必 有。而 且其 他如 线面 距离 、 面
面 距离均 可转化 为点 面距 离 ，因而学 好这 一 内容 是 立体 几何 中重要 的一环 。 下面就 几种 常见 的方 法加 以总结供 同仁参 考 。
一
解 ： 知 Ｅ ／Ｂ 则 Ｂｂ／ Ｅ Ｇ。 Ａ 交 Ｂ 易 Ｆ／ Ｄ， ｉ 面 Ｆ 设 Ｃ ／ Ｄ于 Ｏ， 故
Ｂ到 Ｅ Ｇ距 离等 于 Ｏ 到面 Ｅ Ｇ 距离 。 Ｆ Ｆ 容 易证 面 ＭＧＣ上面 Ｅ Ｇ。作 ＯＰ上ＭＧ， ＯＰ为所 求 ， Ｆ 则 ＡＧＣ 中可 求 ＯＰ Ｍ ：
ｌ ｌ
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点面距离的几种求法
距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。
而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。
求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。
下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。
例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且
1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。
解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。
过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面
C C BB 11,PM ⊂面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。
AB 1C B ⋂=B ，
1
C 1
D 1
A P
M
D A
B
C 1
B ，
∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵
0!45=∠BCC ，4
3!=
P C ,在PM C R t !∆中，
8
2
343224510=
⨯=⇒=
PM P C PM Sin .
2、 转化成其它点到面的距离：
2
C A
A
、向量法：
例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是
11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。
∥⊥
解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法
向量 =(x,y,z),则：
AB →
→∙，
y
n →
)1,2
1,0(),0,2
1,1(=→-=→DF
DE
∵
解得=（1,2，-1）∴
=
4、利用三棱锥等体积法：
点P到平面BQD的距离。
解：设点Ｐ与点Ａ到平面ＢＤＱ距离为h。
B
,0=
→
∙
→
=
→
∙
→
n
DF
n
DE
n→
n
n
A
d
→
→
→
=
∙
D
3
6
A
C
P
PBC
A
ABC
P
V
V
-
-
=。