高二数学线面距离和面面距离的求法
立体几何中空间距离的求法
立体几何中空间距离的求法
立体几何中空间距离的求法
443711 湖北省兴山一中 万忠国
空间中的距离基本可以分为点点距、点线线、点面距、线线距、线面距、面面距几种。
这些距离的一般求法为：（1）根据定义作出距离进行求解，(2)进行各种距离之间的转化，并通过做辅助图形，应用解三角形或其他知识求解。
关于各种距离可以初略的进行以下转化。
下面通过例题讲解如何求距离
已知正方体 的棱长为 求异面直线BD 与B 1C 的距离.
解：方法一：作公垂线。
(因为AC 1垂直于两异面直线，所以将AC 1平行
1 A
B 1
B
D 1
C
D A 1
C 1
E
O
M F。
例谈空间距离——点到平面的距离求法
出或作 出有 关距离 的图形 ； 证 明它符 ②
合 定 义 ； 在 同一 平 面 内计 算 。 ③ 点 到 平 面 的 距 离 求 法 有 下 列 三 种 【 路 方 法 一 Ｉ 接 法 ： 解 的关 键 思 直 求 是 正确 作 出 图形 ， 确定 垂 足位 置 最 重 要 。 充 分 利 用 面 面 垂 直 要
【 路 方 法 二 】 体 积 法 ： 所 求 距 离 转 化 为 求 锥 体 的高 。 思 等 把 （ｉ 当０ａ２ ，（）０ｆ ） （ ，）（， ） ｉ） ＜＜ 时 ｆ ｘ＞ ，ｘ在 一 １ ，１＋ 为增 函数 。 ， （
（当２０ｄ１ ＝ 得一／ ， ｉ ａ ， ，（０ ｘ、Ｏｘ ｉ ＞ ＜ 令ｘ， ’ ｉ 时 导＜ ）解 ＝ ） 譬 －
解 析 ： １ ｆ ｘ ＝ ｘ＋ ａ ＋ 由题 意 知Ｐ（ ，） （ ） ，．＋ ＋ （ ） （ ） ３ ＇２ ｘ ｂ， ， １４ 在ｆｘ 上 ．１ ａ ‘
ｃ ， 孚 ，一 — 一 √ ｔ
ｆ（ ） ｘ
．
（
， ：４ ） ｂ－且 Ｉ Ｉ－ ＋４ ｛ ） ，ｏ ｏ ｃ ，
ｆ Ｘ （）
ｘ 化 时ｆ（）ｆｘ 的变 化 情 况 如 下 表 变 ｘ ，（）
ｆ） （ ，／ ２ ，／兰，，， ）增 数 （在一 一 ａ一 （！ １（＋ 为 函 ， ｘ ， － ）、 ￣ ）１
Ｔ ａ Ｖ ａ
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图１
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Ｊ
下 面 通 过 几 个 实 例 来 说 明点 到 平 面 的 距 离 求 法 。以 及 线 面 距 离 或 面 面
高二数学线面距离和面面距离的求法
C
13
例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、 N分别是线段BB1、B1C1的中点，求直线MN到平 面ACD1的距离。
D1 一、转化为点面距离 二、利用法向量法求 点到面的距离 A1 B1
M
C1
N
3 d 2
D A B
C
二.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公 垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面的公垂 线段都相等。 ⑶两个平行平面的公垂 线段的长度，叫做两个 平行平面的距离。
B O D
技 ①求点面距离困难时，可利用线面平行，将其转化为另一点到 巧 此面的距离；②利用面面垂直，作交线的垂线，得线面垂直。
小结
方法总结：（空间距离转化为点面距离） 解题步骤： 1、找出或直接(间接)作出线面垂直；
2、证明其符合定义； 3、归结为几何计算或解三角形。
技巧
①求点面距离困难时，可利用线面平行，将其转化 为另一点到此面的距离； ②利用面面垂直，作交线的垂线，得线面垂直。 课本P55. 1~4
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行 的平面的距离，叫做这条直线到平 面的距离。
l
l∥ α
求线面距离
此点为线上的 一任意(特殊)点
求点面距离
D A' B' C'
练 如图，已知在长方体ABCD －A’B’C’D’中，棱AA’=5， AB=12，则直线B’C’到平面 60 。 A’BCD’的距离
例3 如图所示, 已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形, ∠BAD=120°, PA⊥面ABCD, 点E是棱PC的中点, 且AB=PA=a, 求点E到面PAB P 的距离。 解：连结AC、BD交于O，连结OE，作 OM⊥AB于M； .E A D 易证：OE∥AP，从而得OE∥面APB， M ∴点E到面PAB的距离等于点O到面PAB O 的距离， 又易证：OM⊥面PAB， B A C ∴点O到面PAB的距离就是OM的长， M 即点E到面PAB的距离等于OM。 在菱形ABCD中，AB=a，∠BAC=60°， C 3 3 a a ∴OA=0.5a，OM= ∴点 E 到面 PAB 的距离等于 4 4
两个面的距离公式
两个面的距离公式
一、空间中两个平行平面的距离公式。
（一）定义。
1. 在空间中，如果两个平面α∥β，那么这两个平面间的距离就是在其中一个平面α上任取一点P，点P到另一个平面β的距离。
（二）公式推导。
1. 设平面α的法向量为→n=(A,B,C)，P(x_0,y_0,z_0)是平面α上一点，平面β的方程为Ax + By+ Cz+D = 0。
- 根据点到平面的距离公式d=frac{|
Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{√(A^2)+B^{2+C^2}}。
- 因为P(x_0,y_0,z_0)在平面α上，设平面α的方程为Ax + By + Cz+D_1=0，则Ax_0+By_0+Cz_0+D_1 = 0，即Ax_0+By_0+Cz_0=-D_1。
- 那么平面α与平面β（Ax + By+ Cz+D = 0）的距离d=frac{| D -
D_1|}{√(A^2)+B^{2+C^2}}。
二、空间中异面直线间的距离公式。
（一）定义。
1. 异面直线a，b的公垂线段的长度称为异面直线a，b的距离。
（二）公式推导（向量法）
1. 设异面直线a，b的方向向量分别为→m，→n，A，B分别是直线a，b上的点。
- 向量→AB，则异面直线a，b的距离
d=frac{|(→m×→n)·→AB|}{|→m×→n|}。
- 这里→m×→n是→m和→n的向量积，其模|→m×→n|=|→m||→n|sinθ（θ为→m与→n的夹角），(→m×→n)·→AB是向量(→m×→n)与→AB的数量积。
高中数学线面距离方法汇总
高中数学线面距离方法汇总全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：高中数学中，线面距离是一个重要的概念，涉及到线和平面之间的最短距离。
在解决数学问题时，线面距离方法可以帮助我们快速准确地求解各种题目。
今天我们就来总结一下高中数学中常见的线面距离方法。
一、直线和平面的距离1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax+By+Cz+D=0，点P(x0,y0,z0)在平面上，则点P到平面的距离为：d = |Ax0+By0+Cz0+D| / √(A²+B²+C²)其中(a,b,c)为直线上的一点。
3. 平行线面距离如果直线l平行于平面Π，直线和平面之间的距离为两者所含向量的点积模的比值，也就是直线上的一点到平面的距离就是这一点到平面上任意一点的距离。
二、两平面之间的距离如果两个平面Π1和Π2的法向量分别为n1和n2，平面到平面的距离为：d = |d|sinθd是两平面之间的距离，θ是n1和n2的夹角。
如果两个平行的平面Π1: Ax+By+Cz+D1=0和Π2:Ax+By+Cz+D2=0，它们的距离为：三、点到线的距离设线段两端点为A和B，点P到线段的距离为点P到直线AB的距离，如果点P在直线AB的延长线上，则点P到线段的距离等于点P到端点A或B的距离。
设两条线段AB和CD，线段到线段的最短距离取决于它们的垂直距离，并且有可能在端点处取得最小值。
我们可以通过求解两线段组成的四边形的四边长度来求解线段到线段的最短距离。
通过以上总结，我们可以看到，在高中数学中，线面距离方法应用广泛，涉及到点、线、面之间的距离。
在解决数学问题时，我们可以根据具体情况选择合适的方法，通过计算距离来求解各种问题。
希望本文对大家在学习数学时有所帮助。
【字数：583字】第二篇示例：高中数学中，线面距离方法是指计算线段与平面之间的距离的一种数学方法。
在几何学中，线段与平面之间的距离是一种重要的概念，它在实际问题中经常被用到，比如在建筑设计中确定物体之间的距离，或者在物理学中计算物体移动的距离等。
平面距离公式
平面距离公式平面距离公式是描述平面上两点之间的距离的数学公式。
在平面几何中，我们经常需要计算两点之间的距离，这在实际生活中有很多应用，比如测量距离、导航等。
下面将介绍平面距离公式及其应用。
平面距离公式的一般形式为：d = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)，其中(x1, y1)和(x2, y2)分别表示平面上的两个点的坐标，d表示两点之间的距离。
这个公式的原理是根据勾股定理，将两点之间的直线距离转化为坐标差的平方和的平方根。
通过这个公式，我们可以方便地计算平面上任意两点之间的距离。
在实际应用中，平面距离公式有很多用途。
首先，它可以用于测量平面上的实际距离。
比如在建筑工程中，我们需要测量两个建筑物之间的距离，可以通过测量它们的坐标，然后利用平面距离公式计算出实际距离。
平面距离公式也可以用于导航系统中。
在现代社会中，人们经常使用导航软件来指导驾驶或步行。
导航系统会根据起点和终点的坐标，利用平面距离公式计算出最短路径，并给出相应的导航指示。
平面距离公式还可以用于地理信息系统（GIS）中。
GIS是一种用来收集、管理、分析和展示地理信息的系统。
在GIS中，平面距离公式可以用来计算地图上两个点之间的距离，从而实现地理数据的分析和可视化。
除了上述应用外，平面距离公式还可以用于计算机图形学、物理学、经济学等领域。
在计算机图形学中，平面距离公式可以用来计算图像上两个像素点之间的距离，从而实现图像处理和计算机视觉任务。
在物理学中，平面距离公式可以用来计算物体的运动轨迹和速度。
在经济学中，平面距离公式可以用来计算两个城市之间的距离，从而分析贸易和交通网络。
平面距离公式是一种非常重要的数学工具，它可以用来计算平面上任意两点之间的距离。
通过应用平面距离公式，我们可以解决很多实际问题，包括测量距离、导航、地理信息分析等。
希望通过本文的介绍，读者对平面距离公式有更深入的了解，并能在实际应用中灵活运用。
高中数学“线面距离”典例剖析
高中数学“线面距离”典例剖析线面距离典例剖析【例1】求证：如果一个平面经过一条线段的中点，那么这条线段的两个端点到这个平面的距离相等.已知：线段AB的中点为O，O∈平面α.求证：A、B两点到平面α的距离相等.证明：(1)当线段在平面α上时，A、B两点显然到平面α的距离相等且为0.(2)当线段AB不在平面α上时，作AA1⊥α，BB1⊥α，A1和B1为垂足，则AA1、BB1分别是A、B到平面α的距离，且AA1∥BB1，AA1、BB1确定平面β，β∩α=A1B1.∵O∈AB，ABβ，∴O∈β，又O∈α.∴O∈A1B1.∴AA1&perp ;A1O，BB1⊥B1O.∵∠AOA1=∠BOB1，AO=BO，∴Rt△AA1O≌Rt△BB1O.∴AA1=BB1，即线段AB的两个端点到平面α的距离相等.点评：该题中，证明A1、O、B1三点共线是关键，离开这一点，就无法证明三角形全等.另外，第(1)步有些同学往往漏掉，使证明失掉严谨性.【例2】如图，已知AB是异面直线A、B的公垂线段，Bα，a∥α，求证：线段AB的长就是a与平面α之间的距离.证明：∵Ba，∴由直线a、点B可确定平面，设为β，则α和β相交，设=a′.∵a∥α，&the re4;a∥a′.又∵AB⊥a，∴AB⊥a′.∵a、b是异面直线，∴b∩a′=B.又b、a′α，∴AB⊥α，a∈a，A∥α.∴AB的长为a到α之间的距离.点评：由本例的结论知异面直线a、b之间的距离(公垂线段AB的长度)就是a与α之间的距离，利用这个结论，求异面直线间的距离可转化为求线面之间的距离.【例3】如图，已知梯形ABCD的一底边AB在平面α内，另一底边DC在平面α外，对角线交点O到平面α的距离为d，若AB∶CD=m∶n，求CD到平面α的距离.解：∵CD在平面α外，CD∥BA，BAα，∴CD∥平面α.作CC1⊥α，C1为垂足，则CC1就是CD和平面α的距离.作OO1⊥AC1于O1，∵CC1⊥AC1，∴OO1∥CC1.∵CC1⊥α，∴OO1⊥α.∴OO1是O到平面α的距离，即OO1=d.在梯形ABCD中，==，∴=.在平面ACC1内，==，∴CC1=d.因此，CD到平面α的距离为d.点评：求线面之间的距离，“作、证、算”三步必不可少，即找出代表距离的垂线段并证明之，然后构造平面图形(多数为三角形)来算出.归根结底求解它们都可以和直线与平面垂直建立密切的联系。
向量法求直线到面的距离公式
向量法求直线到面的距离公式
直线到面的距离是指，在几何空间中，一条直线和一个面的距离。
这里，直线和面之间的距离，可以通过向量法来求解。
首先，我们使用向量法来求解直线到面的距离，需要用到两个向量：一个是直线向量，表示直线在空间中的方向；另一个是面法向量，表示面在空间中的方向。
其次，通过以上两个向量求解直线到面的距离，我们可以使用以下公式：
距离 = |直线向量 X 面法向量| / |面法向量|
其中，| |表示向量的模，这个公式表示直线到面的距离就是直线向量和面法向量的叉乘，除以面法向量的模。
最后，向量法求解直线到面的距离在几何学中是一个重要的概念，它可以用来解决许多实际问题，如机械结构中的接触力分析等。
总之，要求解直线到面的距离，可以使用向量法，公式为：距离= |直线向量 X 面法向量| / |面法向量|。
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练习
作业 ①课本P56练6、习1及补充题。
②优化P56-57 随1，4，强7，8；做在书上。
3.(补充)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=4， BC=3，CC1=2。 求证：(1)平面A1BC1∥平面ACD1。
(2)求（1）中两个平行平面间的距 离。
A1 D1 B1 C1
D
C
A
B
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双胞胎兄弟！”耿直擦去刚才为已经过世的姥娘流下来的眼泪，和李尚武勾肩搭背坐到一把椅子上。耿英也和秀儿挤着坐到一把椅子上。 耿兰烧的水响锅了，郭氏取出茶杯和大碗小碗的各抓一小撮茶叶。水开了，耿兰用大铜勺舀了一一泡上凉着。大家继续流着高兴的眼泪说 笑着，有的随便端来茶水喝一些看着悄悄儿地坐在妻弟身边的那个十四、五岁的男娃儿和七、八岁的女娃儿，以及妻弟妹怀里抱着的小男 娃，耿老爹对妻弟和妻弟妹说：“都三个娃娃了啊！俺们走的时候，栋儿才五岁。看看，他现在已经长成半大小伙儿了哇！”妻弟拍拍大 儿子的背，高兴地说：“姐夫你的名字起得好，咱们栋儿不错，挺有出息的娃儿！”耿老爹笑着说：“哪里啊，是你们做爹娘的教育得好 哇！这女娃儿和二小子叫什么名字啊？”妻弟妹说：“姐夫你不在家，俺们就胡乱给起啦！”说着，她笑着伸手摸摸身边女儿的头，说： “这妞儿小的时候模样挺好看，俺们就叫她美妞儿！”又看看怀里抱着的小男娃，说：“二小子的名字是他哥哥给起的。栋儿说，‘姑父 不是说希望俺能成为什么栋梁嘛！俺叫郭栋，弟弟就叫郭梁哇！’”耿老爹还没有开口呢，耿英就赞赏地开始叫好了，大声说：“这两个 名字起得忒好啦！美妞儿小时候的模样俺没有见过，但现在的模样实在是太好看了啊！”说着，探身摸摸小表弟可爱的小脑袋，说：“还 有啊，光是郭（国）栋怎么行啊，郭家（国家）有栋梁才完美哪！”耿正也说：“能给弟弟起这样的名字，足以看得出来，俺们这大表弟 确实是很有思想哩！”直到这时候，当爷爷的才终于擦把老泪露出了笑容。33第百零九回 五道庙前父子见|（归心似箭七八天，故乡日近 怯怯行；苍天不负耿家人，五道庙前父子见。）耿正兄妹三人归心似箭七八天后，离家越来越近了。然而，他们急于回家见到亲人的心情， 却随着家的日益接近而变得越来越沉重起来„„近乡情更怯，不敢问来人！这句脍炙人口的古老诗句，兄妹三人算是体会到骨子里了。当 然，他们此时此刻所体会到的，主要是前半句，因为爹爹没有和他们一起回来，他们不敢回家了，他们实在无法面对娘和妹妹„„日思夜 想的家一天比一天接近了，但兄妹三人归家的步伐却一天比一天慢下来。原本两天就可以轻松走完的路程，到后来竟然三天也走不完 了„„连着几日来，兄妹三人的话越来越少，情绪一天比一天低落；尤其是耿英，经常默默地独自掉眼泪。就这样，到兄妹三人得以归家 那日，已经楞是给磨蹭到农历的三月初三了。耿英今儿个一上车就没有坐车棚里边，而是挤坐在哥哥和弟弟的中间，默不做声地张着一双 好看而又显得异常忧郁的大眼睛向前望着„„兄妹三人就这样挤坐着，默默地踏上回家的最后一程。俗话说，三月三，柳条
2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行 的平面的距离，叫做这条直线到平 面的距离。
l
l∥ α
求线面距离
此点为线上的 一任意(特殊)点
求点面距离
D A' B' C'
练 如图，已知在长方体ABCD －A’B’C’D’中，棱AA’=5， AB=12，则直线B’C’到平面 60 。 A’BCD’的距离
例3 如图所示, 已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形, ∠BAD=120°, PA⊥面ABCD, 点E是棱PC的中点, 且AB=PA=a, 求点E到面PAB P 的距离。 解：连结AC、BD交于O，连结OE，作 OM⊥AB于M； .E A D 易证：OE∥AP，从而得OE∥面APB， M ∴点E到面PAB的距离等于点O到面PAB O 的距离， 又易证：OM⊥面PAB， B A C ∴点O到面PAB的距离就是OM的长， M 即点E到面PAB的距离等于OM。 在菱形ABCD中，AB=a，∠BAC=60°， C 3 3 a a ∴OA=0.5a，OM= ∴点 E 到面 PAB 的距离等于 4 4
D E A B
C
13
例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、 N分别是线段BB1、B1C1的中点，求直线MN到平 面ACD1的距离。
D1 一、转化为点面距离 二、利用法向量法求 点到面的距离 A1 B1
M
C1
N
3 d 2
D A B
C
二.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平面的公垂线。公 垂线夹在平行平面之间的部分，叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面的公垂 线段都相等。 ⑶两个平行平面的公垂 线段的长度，叫做两个 平行平面的距离。
A B
A
B
体现了最短，垂直。
求面面距离
求点面距离 此点为面上的一 任意(特殊)点。
例2 若正方体AC1的各棱长均为1，则面 D1 3 。 AB1C与面DA1C1之间的距离是
3
B1D1Biblioteka C1DBA1
D A
B1
A
C
C B
B
D
练习: 已知面α∥面β, 线段AB、CD夹在α、β之间, AB=13, CD=5 5, 且它们在β内的射影之差为2，则α和β之间的距离 是 5 。
B O D
技 ①求点面距离困难时，可利用线面平行，将其转化为另一点到 巧 此面的距离；②利用面面垂直，作交线的垂线，得线面垂直。
小结
方法总结：（空间距离转化为点面距离） 解题步骤： 1、找出或直接(间接)作出线面垂直；
2、证明其符合定义； 3、归结为几何计算或解三角形。
技巧
①求点面距离困难时，可利用线面平行，将其转化 为另一点到此面的距离； ②利用面面垂直，作交线的垂线，得线面垂直。 课本P55. 1~4
9.8.2空间距离的类型和求法 -----线线距离与线面距离
已学的空间距离的类型和求法 1.点到点的距离求法
2.点到直线的距离求法 3.两平行线间的距离求法
4.点到平面的距离求法
一、直线到与它平行平面的距离：
1.定义：
一条直线上的任一点到与它 平行的平面的距离叫做这条直线 到平面的距离。
体现了最短，垂直。