高二数学异面直线距离
高二数学异面直线所成角及距离人教版知识精讲
高二数学异面直线所成角及距离人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：异面直线所成角及距离二. 重点、难点：1. 异面直线所成角定义。
异面直线a 、b ，过空间一点O 作a a //'、b b //'，直线a '，b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。
2. 异面直线所成角的计算。
（1）平移其中一条或两条使其相交。
（2）连接端点，使角在一个三角形中。
（3）计算三条边长，用余弦定理计算余弦值。
（4）若余弦值为负，则取其相反数。
3. 公垂线。
与两条异面直线均垂直、相交的直线叫两条异面直线的公垂线，两条异面直线的公垂线有且只有一条。
4. 两条直线垂直。
（1）相交垂直 （2）异面垂直5. l b l a b a ⊥⇒⎭⎬⎫⊥// 6. 两条异面直线的公垂线段的长度，叫两条异面直线的距离。
【典型例题】异面直线所成的角与距离：[例1] 正方体1111D C B A ABCD -棱长为a ，对角线C A 1长为a 3。
① 异面直线1BA 与1CC 所成的角。
② 异面直线BC 与1AA 的距离。
③ 异面直线B A 1与C B 1所成的角。
④ 异面直线B A 1与1AC 所成的角。
⑤ M 、N 为11C D 、11B C 中点，MN 与AC 所成角。
⑥ H 为BC 中点，H C 1与B D 1所成角。
解：① 11//CC BB ∴ 1BA 与1BB 所成锐角即为两条异面直线所成的角︒=∠4511BB A 。
② AB 为两条异面直线的公垂线 ∴ 距离为a③ D A C B 11// BD A 1∆为等边三角形 ∴ 成角为︒60④ 延长DC 至E 使CE=CD E C C D B A 111////1AEC ∆中，a AC 31=，a E C 21=，AEF Rt ∆中，DE=a 2，AD=a∴ AE a 5=，由余弦定理︒=∠901E AC⑤ MN//BD ∴ 所成角为︒90⑥ F 为AD 中点，F D H C 11//，F BD 1∆中，a B D 31=，a F D 251= a BF 25=，a a a a a B D F D BF B D F D B FD 2532454532cos 22211221211⨯⨯-+=⋅-+=∠ 515153== ∴ 515arccos 1=∠B FD ∴ 所成角为515arccos[例2] 四面体ABCD ，棱长均为a （正四面体）① 求异面直线AD 、BC 的距离。
10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册
【学生版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离． 【提示】； 【答案】例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离． 【提示】【答案】 【解析】【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______.5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【教师版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）22a ； 【解析】（1）连接EC ，ED ，因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△， 又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ， 因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，同理，可得EF ⊥AB ，又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以22EF a =，所以异面直线AB 与CD 的距离为22a .例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ， 再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解； 【答案】22a b -【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥， 因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥， 又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DCBC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥， 则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线， 在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>， 所以22BD a b =-； 【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【答案】22【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF =BF =32，于是得EF ⊥AB ， 同理可得EF ⊥CD ，即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝2231()()22-＝22， 即AB 、CD 之间的距离为22. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A22a （22a ） 【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线， 所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ， 由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ， 又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112222MO MG AB a ===，所以异面直线1A C 与11B C 距离为22a ； 故答案为：AB ；a ；11A D ；22a ； 4、设ab 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离； 【答案】3【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,90BDC ∠=︒所以62BC = 因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯ 代入可得()22186182cos 2232x x x ADM x +--+∠==⨯⨯ 所以222sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭而MN AD ⊥所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离 则2sin 3232MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）63；（2）322；（3）存在，63BP =. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图， 又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2， 2EG A B =''=，2221216EF =++=，6cos 3EG FEG EF ∴∠==， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63．（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离，连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离.因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以322BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 32. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο∠==332=，所以6x =， 故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο；。
高二数学异面直线
D
C
O
A B
课堂小结：
求异面直线的距离的常用方法：
（1） 找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2） 转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3） 转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α）3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
C1
(1)A到面A1B1CD (2)A到平面BB1D1
D
A B
C
棱长为1的正四面体P——ABC中， 求点P到平面ABC的距离？
P
A B O C
已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA=PB=PC 试判断点P在底面ABC的射影的位置？ 外心 已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂 直,试判断点P在底面ABC的射影的位置？垂心
1
直线AB就是异面 直线a,b的公垂线
唯一性：
b 假如还有直线A1B1也是a,b的公垂线，则
A1B1⊥a A1B1⊥b a1//a A1B1⊥a1 所以 A1B1⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A1B1 则 a,b共面 矛盾！
a1
B
B1
例 已知两条异面直线所成的角为 ，在直线 段 AA 的长度 d 。
D A' B' C'
D E A B
C
5.两个平行平面的距离
⑴和两个平面同时垂直的直线，叫做这两个平 面的公垂线。公垂线夹在平行平面之间的部分， 叫做这两个平面的公垂线段。 ⑵两个平行平面 的公垂线段的长 度，叫做两个平 行平面的距离。
A
A
A
A1
l
A
高中数学2空间向量在立体几何中的应用5空间中的距离第1课时两点间的距离点到直线的距离异面直线间的距
第1课时 两点间的距离、点到直线的距离、异面直线间的距离基础达标练1.（2020福建宁德一中高二月考）已知空间直角坐标系中,点A (1,2,3)关于AAA 平面的对称点为点A ,关于原点的对称点为点A ,则A ,A 间的距离为( ) A.√5 B.√14 C.2√5 D.2√14 答案：C2.（2021天津武清第三中学高二月考）在棱长为1的正方体AAAA −A 1A 1A 1A 1中,A 为A 1A 1的中点,则点A 1到直线AA 的距离为( )A.13 B.√33 C.√53 D.√63 答案：A3.（2020天津第五十五中学高二月考）在单位正方体AAAA −A 1A 1A 1A 1中,直线AA 与AA 1之间的距离是( )A.√22B.√33C.12 D.13答案：A4.如图,AA =AA =AA =1,AA ⊂平面A ,AA ⊥平面A ,AA ⊥AA ,AA 与平面A 成30∘角,则A ,A 间的距离为 .答案：2解析：|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+1+1+0+0+2×1×1×cos 120∘=2 ,∴|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2 .即A ,A 间的距离为√2 .5.已知正方体AAAA −A 1A 1A 1A 1的棱长为A ,则直线AA 1与A 1A 的距离A 为 . 答案：√66A解析：建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),A (A ,0,0),A 1(0,A ,A ),A 1(A ,A ,A ),A (0,A ,0) ,∴AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−A ,A ,A ),A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−A ,0,−A ),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,A ,A ),设AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的公垂线的一个方向向量为A =(A ,A ,A ), 由{A ⋅AA 1→=0,A ⋅A 1A →=0,得{−AA +AA +AA =0,−AA −AA =0, 令A =1 ,则A =−1,A =2,∴A =(1,2,−1) . ∴A =|A ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A |=√6=√66A .6.四棱锥A −AAAA 中,底面AAAA 为矩形,AA ⊥平面AAAA ,AA =2AA =4 ,且AA 与底面AAAA 所成的角为45∘ ,求点A 到直线AA 的距离.答案：∵AA ⊥平面AAAA ,∴∠AAA 即为AA 与平面AAAA 所成的角, ∴∠AAA =45∘,∴AA =AA =4 .以A 为原点,AA ,AA ,AA 所在直线分别为A 轴,A 轴,A 轴建立空间直角坐标系,如图所示.∴A (0,0,0),A (2,0,0),A (0,0,4),A (0,4,0),∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−4,4) . 设存在点A ,使AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AA ⊥AA ,设A (A ,A ,A ),∴AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A ,A −4,A )=A (0,−4,4),∴A =0,A =4−4A ,A =4A ,∴A(0,4−4A,4A),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,4−4A,4A) .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−4(4−4A)+4×4A=0 ,解得A=1∵AA⊥AA,∴AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA.2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+4+4=2√3 ,故点B到直线AA的距离为2√3 .⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2,2),∴|AA∴AA素养提升练7.（2021山东滕州第一中学新校高二月考）在四棱柱AAAA−A1A1A1A1中,底面AAAA是正方形,侧棱AA1⊥底面AAAA .已知AA=1,AA1=√3,A为线段AA上的一个动点,则|A1A|+|AA|的最小值为( )A.2√2B.√10C.√5+1D.2+√2答案：A解析：建立如图所示的空间直角坐标系AAAA ,则A(0,0,0),A1(0,1,√3),A(1,1,0).∵A为线段AA上的一个动点,∴设A(A,0,0)(0≤A≤1) ,则|A1A|=√A2+1+3=√A2+4,|AA|=√(A−1)2+1,故问题转化为求|A1A|+|AA|=√A2+4+√(A−1)2+1的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系AAA中的一个动点A(A,0)到两定点A(0,−2),A(1,1)的距离之和的最小值的问题,如图所示.由图可知,当A,A,A三点共线时,(|A1A|+|AA|)min=[√A2+4+√(A−1)2+1]min= |AA|=√1+9=√10 ,故选B.8.已知正方体AAAA−A1A1A1A1的棱长为1,动点A在线段AA1上,动点A在平面A1A1A1A1上,且AA⊥平面AAA1,则线段AA长度的取值范围为( )A.[1,√2]B.[1,√3]C.[√32,√2] D.[√62,√2]答案：A解析：以A为原点,AA,AA,AA1所在直线分别为A轴,A轴,A轴建立空间直角坐标系,如图所示.则A (1,0,0),A (1,1,0),A 1(0,0,1),设A (0,1,A ),A ∈[0,1],A (A ,A ,1),A ,A ∈[0,1]. 则AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(A −1,A ,1),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,1),AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,A ), 由AA ⊥平面AAA 1,知AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以1−A +A =0 ,且1−A −A +1=0 ,得A =A +1,A =1−A . 所以|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(A −1)2+A 2+1=√2(A 2−A +1)=√2(A −12)2+32, 当A =12时,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√62,当A =0或A =1时,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |max =√2,所以√62≤|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2 .9.△AAA 的顶点分别为A (1,−1,2),A (3,0,−5),A (1,3,−1) ,则AA 边上的高AA 的长为 . 答案：√29解析：由题意得AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−7) ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,−3) ,∴AA 边上的高AA =|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅√1−(cos ＜AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＞)2=√54×√1−(√54×√25)2=√29 .创新拓展练10.如图所示的正方体是一个三阶魔方（由27个全等的棱长为1的小正方体构成）,正方形AAAA 是上底面正中间的一个正方形,正方形A 1A 1A 1A 1是下底面最大的正方形,已知点A 是线段AA 上的动点,点A 是线段A 1A 上的动点,求线段AA 长度的最小值.解析：命题分析本题以具体的几何体——三阶魔方为载体,考查空间中两点间的距离公式的应用,同时考查学生利用已有知识分析问题、解决问题的能力以及数学建模的核心素养. 答题要领建立空间直角坐标系,写出点的坐标,求出|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2的表达式,从而可得AA长度的最小值.答案：详细解析以A1为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图.则A1(0,0,0),A(1,2,3),A(2,1,3),A(2,2,3),所以A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,3),AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0),A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = (1,2,3) ,设A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A,A∈[0,1]则A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2A,2A,3A),A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AAA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+A,2−A,3) . 则AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A1A⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1+A−2A,2−A−2A,3−3A),|AA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(1+A−2A)2+(2−A−2A)2+(3−3A)2=17A2−30A+2A2−2A+14=17(A−1517)2+2(A−12)2+934,当A =1517且A =12时,|AA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2取到最小值934 ,所以线段AA 长度的最小值为3√3434. 方法感悟本题主要考查空间向量的应用,利用空间向量求解距离的最值问题时,一般是把目标式表示出来,结合目标式的特征,选择合适的方法求解最值.。
人教版数学高二数学选修2-1 3.2《空间向量》的应用空间
《空间向量》的应用空间湖南 高明生空间向量的应用空间：1．三种空间角的向量法计算公式：⑴异面直线,a b 所成的角θ：cos cos ,a b θ=<>；⑵直线a 与平面α(法向量n )所成的角θ：sin cos ,a n θ=<>； ⑶锐二面角θ：cos cos ,m n θ=<>，其中,m n 为两个面的法向量。
2.用向量法求距离的公式：⑴异面直线,a b 之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,,,n a n b A a B b ⊥⊥∈∈。
⑵直线a 与平面α之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A a B α∈∈。
n 是平面α的法向量。
⑶两平行平面,αβ之间的距离：||AB n d n ⋅=，其中,A B αβ∈∈。
n 是平面α的法向量。
⑷点A 到平面α的距离：||AB n d n ⋅=，其中B α∈，n 是平面α的法向量。
⑸点A 到直线a 的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中B a ∈，a 是直线a 的方向向量。
⑹两平行直线,a b 之间的距离：2|||AB d AB a ⎛=- ⎪⎭，其中,A a B b ∈∈，a 是a 的方向向量。
3.用向量法证明 例题讲解：类型一：利用空间向量求异面直线所成的角例1． 如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是( ) A ．515arccosB ．4πC ．510arccosD ．2π解：以D 为原点建立坐标系)1,1,1(),1,0,1(1-=--=GF E A 01=⋅GF E A异面直线A 1E 与GF 所成的角是2π 类型二：利用空间向量求直线与平面 (法向量n )所成的角例2 在正四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，求直线CE 与平面BCD 成的角．解：如图建立以三角形BCD 的中心O 为原点，,OD,OA 依次为y 轴，z 轴X 轴平行于BC设正四面体ABCD 的棱长为a ， 则336,,,23a a a a OF FC OD OA ==== ∴ 336(,,0),(0,,0),(0,0,),2a a a a C D A -∵E 为AD 的中点，∴36(0,,)a aE ∴ 36(,,)236a a aCE =-又因为平面BCD 的法向量为(0,0,1)n =， ∴即CE 与平面BCD 成的角θ满足： 2sin cos ,3||||CE n CE n CE n θ⋅=<>==类型三：利用空间向量求锐二面角例3 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝BB 1＝1，E 为D 1C 1的中点，求二面角E —BD —C 的正切值．解：如图，建立坐标系，则D(0,0,0),B(1,2,0),E(0,1,1)设平面DBE 的方程为：0Ax By Cz ++=（过原点D=0）则202,0A B A B C B B C +=⎧⇒=-=-⎨+=⎩ ABCDEF HoxzyABCDA 1B 1C 1D 1EFMzy∴平面DBE 的一个法向量为(2,1,1)n =- 又因为平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)m = 二面角E —BD —C 的余弦值为：6cos cos ,6m n θ=<>=∴tan θ=类型四：利用空间向量求异面直线之间的距离例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1），则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD BC BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =， 则由0BD n x y ⋅=+= 和10,BC n x z ⋅=-=1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=- ∴异面直线BD 与B 1C 的距离：111|||cos ,|33BB n d BB BB n n ⋅=<>=== 类型五：利用空间向量求点到平面的距离例5 设A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），求D 到平面ABC的距离解法一：∵A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７），D （－５,－4,8），∴(7,7,7)AD =--设平面ABC 的法向量n =（x ，y ，z ）， 则n ·AB =0，n ·AC =0，∴⎩⎨⎧=⋅=-⋅,0)6,0,4(),,(,0)1,2,2(),,(z y x z y x即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧=+=+-.,23064022z y z x z x z y x令z =－2，则n =（3，2，－2）∴由点到平面的距离公式：GFEABCDA 1B 1C 1D 1||AD n d n ⋅===1749∴点D 到平面ABC解法二：设平面ABC 的方程为：Ax By Cz D +++=将A （2,3,1），B （4,1,2），C （6,3,７）的坐标代入，得3230242063705A B A B C D A B C D C B A B C D D B ⎧=⎪+++=⎧⎪⎪+++=⇒=-⎨⎨⎪⎪+++==-⎩⎪⎩， 取B ＝2，则平面ABC 的法向量n =(A,B,C)=（3，2，－2）又因为 (7,7,7)AD =-- ∴由点到平面的距离公式：||AD n dn ⋅===1749∴点D到平面ABC 类型六：用向量法证明例6 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC分析一：选基底，利用向量的计算来证明证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1111111111()()()222EF EB B F BB B D AA BD AA AD AB =+=+=+=+-＝(－a ＋b ＋c)/211AB AB AA =+＝a ＋b1EF AB ∴⋅＝(－a ＋b ＋c)/2•(a ＋b)＝(b 2－a 2＋c •a ＋c •b)/2＝(|b|2－|a|2＋0＋0)/2＝0，1EF AB ∴⊥，即EF ⊥AB 1，同理EF ⊥B 1C ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系， 则A(2,0,0),C(0,2,0),B 1(2,2,2),E(2,2,1),F(1,1,2),EF ∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(―1,―1,1)，1AB ＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)AC ＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)1EF AB ∴⋅＝(―1,―1,1)• (0,2,2)＝0EF AC ⋅＝(―1,―1,1)• (－2,2,0)＝0∴EF ⊥AB 1， EF ⊥AC ，又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC例7 已知空间四边形OABC 中，BC OA ⊥，AC OB ⊥．求证：AB OC ⊥证明：·OC AB ＝·()OC OB OA - ＝·OC OB －·OC OA ∵BC OA ⊥，AC OB ⊥，∴·0OA BC =，·0OB AC =， ·()0OA OC OB -=，·()0OB OC OA -= ∴··OA OC OA OB =，··OB OC OB OA = ∴·OC OB ＝·OC OA ，·OC AB ＝0 ∴AB OC ⊥。
高二数学距离的向量计算方法
2017年12月9日星期六
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1. 距离的定义 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这 一点到这个平面的距离. 当直线与平面平行时，直线上任一点到与它平 行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离. 当两平面平行时，一 个平面上任一点到另一 个平面的距离，叫做两 平行平面的距离. 以上都可以转化为： 点到平面的距离的求解问题。 α
呀，怎么搞的，小琴的谦卑语气没有了撒，取而代之的更像是一种老婆在极度关心老公的出差之后回到家的各种问候的语气。子溏帅 哥也毫不介意地回答小琴道，“嗯，顺利完成了。”自不必说，他又是很温柔的回答道。这声音真是一把利器啊，我在一旁也被寒得 一身鸡皮疙瘩，哪有女人能受得了啊。唔等一下，大少爷一起回来？但是我怎么看也就只有一个子溏愣在这里而已嘛！于是，我不自 觉得到处张望，想找一下传说中的大少爷。子溏貌似看出来我在做甚，于是就对我说道，“小兄弟，你不用再张望了，大少爷刚刚回 去了。”说罢，便指着已经远离我们但是还勉强能看到一些人影的人群方向，“最高的那个，就是我师傅！”纳尼！那个大彪悍是你 的师父？不对，我们不是在说大少爷吗？你怎么话题转得那么快啊？不对，纳尼！难道你的师父是大少爷？话说，这大少爷不应该是 和丑妇人一个德行才对的吗？应该是又肥又矮满脸狰狞样才对吧？此时，我心中正在激烈地翻滚着。小琴看我一脸惊讶状，就对一开 始她下跪的那件事向我作了解释。原来，小琴是给大少爷下跪的，而且这个大少爷不喜欢和不认识的人有什么眼神接触，难怪小琴把 头埋得这么深。但是我们跪是跪下了，貌似这个大少爷没有注意到我们俩的存在似的，直径走了过去。也许，这就是我们微不足道的 表现的最好的例子了吧。虽然知道了大少爷是那个大汉了，但是我就更好奇这个大少爷是干啥子的了。不是听说是个朝中大官吗？干 嘛穿着一副侠士衣，而且他散发出来的就是去干架的那种气息。还有，他和这位子溏兄去做任务？这是去打怪兽还是公会任务神马的 啊？真心想不明白！子溏兄见我一直在思考什么东西，打趣地问了我话，“小兄弟，你有什么不懂得地方吗？”惊！被他这么问一句 我心中愣是一惊！这怎么能说我在无国界地天马行空地歪歪中呢？于是，我就说到，“没什么，我在发呆而已。”“嗯？这样啊。” 此时子溏的声音听起来简直就是在怀疑我似的。难道，这个帅哥已经看出来了，看出来了我不是这个时代的人？！“小琴，我先走一 步了，还有事要忙。”说罢，子溏就咻的一声消失了。这个，这个子溏深不可测啊，说起话来能放倒一片女人，问起话来又直中要害， 貌似会读心术似的。这时，我转向小琴，发现她露出一脸依依不舍的样子，哎，这花痴时间还没结束吗？我带有取笑意味地对小琴说 道，“子溏兄，你是不是要继续带我去熟悉熟悉你家宅子呢？”小琴听罢，回过神了，作一脸生气状，果然是被我说到点子上去了， 只能装怒去遮掩自己的难为情。然后带着我继续参观这大少爷宅子去了。花了半天时间，总算把这位大少爷的宅子给走了一遍了。其 实，这地方除了很大之外，也没有什么特别的地方
高二数学用平面法向量求空间距离
PA n d
n
N D1 F
C1
A1
E M B1
D
Cy
A
B
x
小结：
1、怎样利用向量求距离？
①点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量 在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向， 可取其射影的绝对值）。
二、求点到平面的距离
如图点P为平面外一点，点A为平面内的任
一点，平面的法向量为n,过点P作平面a的垂
ห้องสมุดไป่ตู้
线PO，记PA和平面a所成的角为，则点P
到平面的距离 nP
d | PO |
| PA | sin
a
O A
| PA | | n PA | | n || PA |
| n PA| |n|
A
B x
D
y C
三、求直线与平面间距离
例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，
CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面
GEF的距离。
z
G
PA n
d
n
xD
C
F
A
E
B
y
四、求平行平面与平面间距离
例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、 E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求 平面AMN与平面EFDB的距离。 z
z S
B
Ay
xC
D
； 太阳能路灯
；
最后也悲伤如老汉。所谓才华、才学、才识，只有变为才能并施于生活的时候，才有用。别忘了，才和能在造词的时候是联在一起的。人们爱说一句话：行善。其实行善之小端是施舍，大端是以满腔的能耐作用社会。 书中并无黄金屋，读而有识，笃做笃行
高二数学异面直线距离.docx
二手泵车：https:///[单选]信息资源的开发利用和信息技术应用的基础是（）。
A.信息化人才队伍B.国家信息网络C.信息技术与产业D.信息化政策法规和标准规[判断题]接地装置引下线的导通检测应5年进行一次。
A.正确B.错误[单选]下列各项不属于地方行政立法主体的是（）。
A.省、自治区、直辖市的人民政府B.省、自治区、直辖市的人民代表大会C.国务院批准的较大的市的人民政府D.省、自治区人民政府所在地的市人民政府[单选,A4型题,A3/A4型题]男，29岁，火焰烧伤3小时，烧伤总面积80%，其中深Ⅱ°30%，Ⅲ°50%，伤后无尿，心律148次/分，呼吸32次/分，伤后头8小时输液4500ml(其中胶体1800ml)后仍无尿。
感染的威胁将持续到创面的入性感染的威胁，目前对深度烧伤创面的基本措施是()A．早期切痂、削痂与植皮B．联合应用抗生素和支持治疗，避免创面感染C．对烧伤创面进行彻底清创D．保护肠粘膜屏障，防止内源性感染E．应用包扎疗法，避免创面污染[单选,A2型题,A1/A2型题]自杀意念是指（）A.有寻死的愿望，但没有采取任何实际行动B.有毁灭自我的行为，但并未导致死亡C.采取有意毁灭自我的行为，并导致了死亡D.有意或故意伤害自己生命的行为E.反映死亡愿望并不强烈[单选]复治涂阴肺结核的治疗方案可写为（）A.2HRZES／4～6HRB.4HRZES／4～6HREC.2HZES／4～6HRED.2HZES／4～6HRSE.2HRZES／4～6HRE[单选,A2型题,A1/A2型题]以下哪项不适用于银屑病的治疗（）A.水疗B.中频电C.红外线D.三联疗法E.PUVA疗法[名词解释]分乘[单选]中国药典制剂通则包括在下列哪一项中A、凡例B、正文C、附录D、前言E、具体品种的标准中[单选,A2型题,A1/A2型题]《医疗机构从业人员行为规范》是什么时间公布执行的（）A.2010年1月7日B.2012年1月7日C.2012年6月26日D.2012年8月27日E.2012年10月20日[单选]关系数据库设计理论主要包括3个方面的内容，其中起核心作用的是（）A.范式B.关键码C.数据依赖D.数据完整性约束[单选]多人采用走访形式提出共同的信访事项的，应当推选代表，代表人数不得超过（）。
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[单选]企业在办理出口退（免）税资格认定时，按照规定报送有关材料后，税务机关和对资料是否齐全、是否符合法定形式，对于符合条件的（）。A、当场受理，并在1个工作日内转下一环节，由税务管理部门进行调查核实B、当场受理，并在1个工作日内将相关资料信息转下一环节按规定程序审 [单选]关于输精管的叙述，下列哪项不对？（）A.为一个肌性管道B.是构成精索的主要结构C.起自附睾尾D.管腔较细，管壁较薄E.末段膨大形成输精管壶腹 [名词解释]适熟蚕 [单选]飞机在下滑终了时所容许获得的最大速压，称为（）。A.强度限制速压B.使用限制速压C.最大使用速压D.刚度限制速压 [多选]产生深度知觉的线索有（）A．线条透视B．相对亮度C．双眼视差D．运动视差 [问答题,简答题]钳夹止血法。 [单选,A1型题]患儿，2岁。体检发现胸骨左缘第2～3肋间闻及收缩期杂音，肺动脉瓣区第二音亢进，伴固定性分裂。该患儿的诊断是（）A.动脉导管未闭B.房间隔缺损C.室间隔缺损D.法洛四联症E.肺动脉瓣狭窄 [多选]多层次监测原则的具体含义是（）。A.以仪器监测为主，辅以巡检B.以位移监测为主，兼顾其他监测项目C.形成具有一定测点覆盖率的监测网D.以电测仪器为主，以机测仪器为辅E.以几何方法为主，以电测方法为辅 [单选]下列因素中除哪项以外都是肾控制肾素释放的因素（）.A.血液中的血管紧张素ⅡB.远曲小管中钠的浓度C.肾动脉的灌注压D.肾的胆碱能受体E.肾的肾上腺素能受体 [单选]()是提高出车时间利用系数的有效途径。A.压缩商务作业时间B.提高车辆总行程C.车辆有效行程D.压缩出车时间中的停歇时间 [单选]20世纪中叶毛泽东宣告“中国人民从此站起来了”。与这一结论相符的是（）。A.抗战胜利洗雪百年国耻B.半殖民地半封建社会结束C.社会主义改造基本完成 [单选]不是Apgar评分范畴的体征是（）.A.体温B.喉反射C.心率D.呼吸E.肌张力 [单选]既能收敛化瘀止血，又能利尿的药物是（）A.栀子B.血余炭C.小蓟D.棕榈炭E.藕节 [单选,A1型题]继发性肺结核的主要播散方式是经（）A.支气管B.淋巴道C.血道D.消化道E.体腔 [单选]一孕妇产前检查胎儿双顶径12.2cm，剖宫产后胎儿经颅超声检查示胎儿脑室系统形态失常，第三脑室呈圆形，无回声区内未见光点群回声，脑组织受压变薄萎缩，脑室宽度为7mm，最可能的诊断是（）。A.脑出血B.脑积水C.脑肿瘤Dandy-Walker综合征E.HIE [单选]根据物权的发生是否基于当事人的意思为标准可将物权分为（）。A.自物权和他物权B.用益物权和担保物权C.主物权和从物权D.法定物权和意定物权 [单选]锅炉运行时，炉膛可能产生瞬时的压力波动。为了抑制由此而产生的误动作，可在炉膛压力检测时增加（）环节。A、阻尼；B、迟延；C、前馈；D、以上答案都对 [问答题,案例分析题]病例摘要：刘某，男，68岁，工人，已婚，于2013年5月8日初诊。患者于3天前，因与家人发生口角始感胸闷、憋气，经口服速效救心丸6粒后缓解，4小时前，突感心前区刺痛，牵引左肩胛及左侧背部，疼痛难忍，伴出虚汗，舌下含硝酸甘油后缓解不明显，仍胸闷、气短，来 [单选]超声检查盆腔需适度充盈膀胱，目的是：（）。①作为透声窗；②推开肠管；③作为辨认脏器的标志；④作为解剖的参照结构；⑤有助于提高子宫位置，以便充分显露脏器。A.①②B.①②③⑤C.①②③④D.①③④⑤E.①②③④⑤ [单选]患者恶寒重，发热轻，无汗，头痛，肢体疼痛，鼻塞声重，时流清涕，喉痒，舌苔薄白而润，脉浮。其治法是（）A.散寒解肌B.辛温解表C.调和营卫D.散寒止痛E.发汗解肌 [单选]义务消防队要经常开展消防安全检查，发现（）提出整改措施。A.安全隐患B.火险隐患C.设备隐患D.水灾隐患 [单选]旅客列车发生（）人以上食物中毒时，列车长应及时通知前方停车站和所在站的卫生防疫部门。A、4B、3C、1D、6 [单选]()是利用油和水的密度差使油滴上浮进行分离的。按工作方式又可分为静置分离和机械分离。A.吸附分离B.自然分离C.重力分离D.化学分离 [单选]关于换热器管程和壳程的介质，下列说法错误的是（）。A、有腐蚀性介质走管程B、有毒性的介质走管程C、压力高的介质走壳程D、不清洁的易于结垢的介质走管程 [单选,A2型题,A1/A2型题]判断骨髓外铁，需要观察（）A.中幼红细胞B.晚幼红细胞C.网织红细胞D.骨髓小粒E.红细胞 [单选]门静脉高压症的门静脉压力是（）A.小于13cmH2O（1.3kPA.B.13～24cmH2O（1.27～2.35kPA.C.30～50cmH2O（2.94～4.90kPA.D.13～30cmH2O（1.27～2.94kPA.E.25～50cmH2O（2.45～4.90kPA. [单选]下列属于解决代理问题，降低代理成本途径的是（）。A.组织机制方面的安排B.经理阶层的雄心壮志C.对公司可供支配和利用资源的控制D.协调效应 [单选]纳税人在办理增值税一般纳税人资格认定时，主管税务机关应提示纳税人（）等事项。A、申请税控系统的流程。B、办理税务登记C、领购发票D、纳税申报 [单选]期货价格具有对（）进行预期的功能。A．现货供求关系B．未来现货价格变动C．现货定价D．现货价格变化 [单选]假定甲公司本年盈余为110万元，某股东持有10000股普通股(占总股数的1%)，目前每股市价为22元。股票股利发放率为10%，假设市盈率不变，则下列表述中，不正确的是()。A、发放股票股利之后每股收益为1元B、发放股票股利之后每股价格为20元C、发放股票股利之后该股东持股比例为 [单选,A2型题,A1/A2型题]患者右面神经周围性瘫，双眼不能向右侧凝视，左侧偏瘫，左侧Babinski征阳性，病变在（）。A.左侧内囊B.右侧内囊C.左侧脑桥D.右侧脑桥E.内囊病变延及桥脑 [单选]下列哪种仲裁协议无效？（）A.限制民事行为能力人订立的仲裁协议B.甲、乙双方约定，将汽车购买合同争议提交中国国际经济贸易仲裁委员会进行仲裁C.甲、乙双方约定，将争议提交仲裁机构仲裁，同时约定仲裁规则D.甲、乙双方对仲裁委员会没有约定，在发生纠纷后，达成补充协议 [单选,A2型题]人类文化的产生与发展是世代努力的结果，这指的是文化的（）A.历史性B.现实性C.渗透性D.继承性E.社会性 [单选,A2型题,A1/A2型题]脾气虚、脾阳虚、脾气下陷、脾不统血证的共同见症是（）A.畏寒肢冷，肢体水肿B.食少便溏，少气乏力C.便血出血，月经量多D.腹部疼痛，喜温喜按E.脘腹重坠，食后益甚 [判断题]纵横等分线相交法放样，比较简便，误差也比较小。A.正确B.错误 [问答题,案例分析题]病例摘要：李某，女，50岁，已婚，公务员，于2013年2月18日初诊。患者于5年前开始出现心悸，气短，乏力，纳差，失眠健忘，面色无华。常服朱砂安神丸，艾司唑伦（舒乐安定）等药（具体用量不详）。平时精神欠佳，倦怠乏力。近1周来患者工作劳累上述症状加重伴头 [多选]预防并减少先天性髋关节脱位术后股骨头坏死的措施是A．运用抗生素B．术前有效牵引C．髋臼成形术D．缩短术后固定时间E．充分松解挛缩组织 [单选]开发合同中索赔的性质属于（）。A.经济补偿B.经济惩罚C.经济制裁D.经济补偿和经济制裁 [填空题]平面填料的典型结构是三六瓣结构，即朝向气缸的一侧由（）组成，背离气缸的一侧由（）组成，每一块平面填料外缘绕有螺旋弹簧，起（）作用。 [判断题]样品和标准溶液的颜色色调不一致时，《水质色度的测定》（GB／T11903-1989）不适用。A.正确B.错误