求两条异面直线之间距离的两个公式
10.5 异面直线间的距离-讲义-2021-2022学年高二下学期数学沪教版（2020）必修第三册
【学生版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离． 【提示】； 【答案】例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离． 【提示】【答案】 【解析】【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______．4、设a b 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______.5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【教师版】*10.5异面直线间的距离【知识梳理与拓展】 1、定理：对于任意给定的两条异面直线，存在唯一的一条直线与这两条直线都垂直并且相交； 2、两条异面直线之间的距离我们将与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线的两个垂足之间的线段称为异面直线的公垂线段；两条异面直线的公垂线段的长度就叫做两条异面直线的距离；我们还可以证明：两条异面直线的公垂线段，是连接两条异面直线所有线段中的最短线段求两条异面直线之间的距离问题，除了可转化为求直线与平面间的距离，还可以转化为求两个平行平面之间的距离；即：构造分别含两条异面直线的两平行平面，则两平行平面之间的距离就是两条异面直线的距离； 【典例注解】例1、已知A 是边长为a 的正△BCD 所在平面外一点，AB ＝AC ＝AD ＝a ， E ，F 分别是AB ，CD 的中点；（1）求证：EF 为异面直线AB 与CD 的公垂线段； （2）求异面直线AB 与CD 的距离．【提示】（1）连接EC ，ED ，可以证得EF ⊥CD ，同理可得EF ⊥AB ； （2）根据勾股定理即可求解； 【答案】（1）证明见解析；（2）22a ； 【解析】（1）连接EC ，ED ，因为AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝CD =a ，所以ABC ABD △≌△， 又E 为AB 的中点，所以EC ＝ED ， 因为F 为CD 的中点，所以EF ⊥CD ，同理，可得EF ⊥AB ，又AB EF E ⋂= ，CD EF F ⋂= ，所以EF 即为异面直线AB 与CD 的公垂线段；（2）在Rt CEF △中，∠CFE ＝90°，12CF a =，32CE a =，所以22EF a =，所以异面直线AB 与CD 的距离为22a .例2、在矩形ABCD 中，AB a ，()AD b b a =>，沿对角线AC 将ADC 折起， 使AD 与BC 垂直，求异面直线AD 与BC 间的距离．【提示】由线面垂直的判断定理可得BC ⊥平面ABD ，AD ⊥平面BCD ， 再由线面垂直的性质定理可得BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线，即可求解； 【答案】22a b -【解析】由于原平面四边形ABCD 是矩形，则AB BC ⊥， 因为AD BC ⊥，AD AB A ⋂=，AD 、AB 平面ABD ，所以BC ⊥平面ABD ，即BC BD ⊥， 又AD DC ⊥，AD BC ⊥，DCBC C =，DC 、BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，得BD AD ⊥， 则BD 是异面直线AD 与BC 的公垂线， 在直角三角形ABD 中，AB a ，()AD b b a =>， 所以22BD a b =-； 【精炼实践】1、有如下命题，其中错误的命题是（ ）A ．若直线a α⊂，且αβ∥，则直线a 与平面β的距离等于平面α、β间的距离；B ．若平面α∥平面β，点A α∈，则点A 到平面β的距离等于平面α、β间的距离；C ．两条平行直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离；D ．两条异面直线分别在两个平行平面内，则这两条直线间的距离等于这两个平行平面间的距离1．C 【提示】根据异面直线间距离的概念以及两平行平面间距离的概念即可得出答案 【答案】C【解析】点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度；两条异面直线间的距离指的是两条异面直线的公垂线与这两条异面直线间的线段的长度；两平行平面间的距离指的是其中一个平面内一点到另外一个平面的最短距离，两个平行平面的公垂线段都相等，其长度等于两个平行平面的距离，所以ABD 都正确，两条平行直线间距离不一定是两个平行平面的公垂线段，所以C 错误 2、棱长为1的正四面体ABCD 中，对棱AB 、CD 之间的距离为_________．【提示】作出并证明表示棱AB 、CD 之间的距离的线段，再借助直角三角形计算即得.【答案】22【解析】设A B ，CD 的中点为E ，F ，连接AF ，BF , 因为ABCD 为正四面体，各面均为等边三角形， 边长为1，则AF =BF =32，于是得EF ⊥AB ， 同理可得EF ⊥CD ，即EF 的长即为AB 、CD 之间的距离，此时，EF ＝22AF AE -＝2231()()22-＝22， 即AB 、CD 之间的距离为22. 3、（1）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1B B 与AD 公垂线是______． （2）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A A 与11B C 距离是______． （3）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A B 与11D C 公垂线是______． （4）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则异面直线1A C 与11B C 距离是______． 【提示】根据正方体的性质找出异面直线的公垂线，即可求出异面直线的距离； 【答案】AB （BA ） a 11A D ##11D A22a （22a ） 【解析】由正方体的性质可知，1AB BB ⊥，AB AD ⊥AB ∴是异面直线AD 与1BB 的公垂线，因为111AA A B ⊥，1111A B B C ⊥，所以11A B 是异面直线1A A 与11B C 的公垂线， 所以异面直线1A A 与11B C 的距离等于11A B a =；1111A D D C ⊥，11A D ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂面11ABB A ，111A D A B ∴⊥，11A D ∴是异面直线1A B 与11D C 的公垂线，如图取AD 的中点G ，11B C 的中点M ，BC 的中点N ，11A D 的中点H ，连接GM 交1A C 于点O ，连接GN 、GH 、MH 、MN 、OM 、ON 、MC 、1A M ， 由正方体的性质可知O 是正方体的中心，即O 为MG 的中点，且11B C ⊥平面MNGH ， 又OM ⊂平面MNGH ，所以11B C MN ⊥，又1A M CM =，所以1MO A C ⊥，所以MO 为异面直线1A C 与11B C 的公垂线，1112222MO MG AB a ===，所以异面直线1A C 与11B C 距离为22a ； 故答案为：AB ；a ；11A D ；22a ； 4、设ab 、为异面直线,在直线a 上有三点、、A B C ,且AB BC =,过、、A B C 分别作直线b 的垂线 AD BE CF 、、,垂足分别为D E F 、、.已知715,102AD BE CF ===、； 则异面直线a 与b 之间的距离为______. 【答案】6；【解析】设异面直线a b 、之间的距离为x ,作直线a b 、的公垂线段,MN N a ∈,过点M 作直线'a a ,且直线b 与直线'a 确定平面a .由题设,知MN x =,且AB BC =,则2222222BE x AD x CF x -=-+-.解得6x =；5、四面体ABCD 中，BCD ∆为等腰直角三角形，90BDC ∠=︒，6BD =，且60ADB ADC ∠=∠=︒， 求异面直线AD 与BC 的距离；【提示】画出空间几何体,取BC 中点M,先根据余弦定理求得ADM ∠;连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,则MN 即为异面直线AD 与BC 的距离； 【答案】3【解析】根据题意, 取BC 中点M, 连接AM DM 、,作MN AD ⊥交AD 于N,空间几何图形如下图所示:6BD CD ==,90BDC ∠=︒所以62BC = 因为M 为BC 中点所以,AM BC DM BC ⊥⊥,且DM AM M ⋂= 则BC ⊥平面ADM ,所以BC MN ⊥且32BM DM CM === ,设AD x = 因为60ADB ADC ∠=∠=︒所以由余弦定理可得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯⨯∠ 2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⨯⨯⨯∠代入可解得222636AB AC x x ==-+在Rt AMB ∆中,可得2222618AM AB BM x x =-=-+在ADM ∆中,由余弦定理可得222cos 2AD DM AM ADM AD DM--∠=⨯⨯ 代入可得()22186182cos 2232x x x ADM x +--+∠==⨯⨯ 所以222sin 122ADM ⎛⎫∠=-= ⎪ ⎪⎝⎭而MN AD ⊥所以MN 即为异面直线AD 与BC 的距离 则2sin 3232MN DM ADM =⨯∠=⨯= 故答案为: 3【说明】本题考查了异面直线的距离问题,找出异面直线的公垂线是解决问题的关键,综合性较强,； 6、如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点；求： （1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值； （2）求异面直线EF 与AB 之间的距离；（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P -AC -B 的大小为30°?若存在， 求出BP 的长，若不存在，请说明理由.【提示】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P -AC -B 的大小为30求解即可. 【答案】（1）63；（2）322；（3）存在，63BP =. 【解析】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图， 又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2， 2EG A B =''=，2221216EF =++=，6cos 3EG FEG EF ∴∠==， ∴异面直线EF 与AB 所成角的余弦值为63．（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离，连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EG FG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离.因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以322BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 32. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BP BOP BO ο∠==332=，所以6x =， 故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο；。
求两条异面直线之间距离的两个公式
求两条异面直线之间距离的两个公式作者: 日期:求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中江西344000 ）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.1・公式一如图1 , /| S厶是异面直线/ 'u平面◎ , /]Ca = A ,厶在a内的射影为/ ,设Icl =B ,且厶仏与/所成的角分别为％q , AB = ni，贝叽与厶之间的距离为(1)d = ____ _______ _____JcSC，q + CSC' E -1证明：设厶与厶的公垂线为MN ,如图1所示.过M作丄/于H ,由于厶在平面a内的射影为/，故MH丄平面a ,NM在a内的射影为册•由MN丄人知■在RZNH中BN = BH cos G = {AB - AH) cos 比=(///- AM cos q) cos a同理AM = (/// - BN cos E) cosq联立①②解得2/H cos sin GBN = ------- ------1-COS" q cost从而MH = AM sin q = "5? sin甲q* I-cos'q cost 'NH = BN tan G =恥呼 s亦？比■ l-cospcost ":.MN-=MH- + NH-=--------------- ------- (cos-(9, sin' 0, sin' 0^ + cos' 0, sin' tan' 0,)(1-cos" q cos" a)H I-(sin" q sin"纵 cos" q +sin'* q sin"Q)iny sin" q sin" Q (cos" q sin" Q + sin'q) (1-cos" q cos" q)nrT*sin" q sin" 0 (sin" q +sin' Q - sin，qsin'q) (sin' q +sin' Q -sin" q sin' Ojnr_ tjr sin" q sin' Q _sin" +sin" - sin" sin' esc? 8、+csc" -1即有公式(1 )成立运用公式(1 )求厶与4之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式(L1)和公式(1.2 )分别计算出AM和BN的值,进而确定公垂线2・公式二如图2 厶是异面直线,A7 , AH岛于H，与〃与厶所成的角分别为久& , AH=m ,贝叽与厶之间的距离为宀尽!⑵证明：过A作"仏,设由/与厶确定的平面为5 , MN为厶与4公垂线，如图2所HM作MK丄/于K ,连KN ,易知NK丄/ , AHNK为矩形.在 RfMfNH 中,MN’ =MH- - NH? = AH- + AM，- 2AH • AM cos a - AK"=nr + AK- + MK? - 2m• AM cos a - AK"=/tr + MK~ - 2m • AM cos <z=“2篇•cos a由于MN丄h，MN丄!,故MV丄平面AMK ,从而ZNMK=9（AMK- = NK-- MN- = nr - MN-,代入上式并解出MN就是公式(2).另外，AM =驾=曲三理，将（2 ）代入得sin& sin0必竺晋(2.1sin" 0又HN = AK = AM cos 0 /将上式代入得 m cos cos a z r c 、 HN =———r-— ( 2.2 ) sin' 0 公式（1 ）（ 2 ）可以帮助我们定量地确定公垂线MN 的位置. 3・公式的应用 【例1】四棱锥S-ABCD 中■底面是边长为1的正方形，SD 丄底面AC , 5D = 2 . £F分别是SABC 的中点,求异面直线EF 与BD 的距离,并确定 【解】取AD 的中点G ,连EG. GF ,设 GF C BD = O ,因SD 丄底面AC ,易知EG 丄 面AC , EF 在底面内的射影为GF ,线的述6= ZEFG = 45°. q = ZBOF = 45° , ! 7)- -? ” ... 2 C d A R 代入公式⑴可得EF 与的距离¥设EF 与3D 的公垂线为MN ,其中M wEF 、NwBD , 将q 同与山的值代入公式（1.1 ）和（1.2 ）可分别求得, ON=g 0 o B 1 1EF = 41.03 = —,故有FM =-EFQN = -OB ,由此不难作出公垂线MN. 2 6 3 【例2】如图4, ABC - AQC 是直三棱柱，其中ZACB = 120° , AC = ^/3 , CB = 2冬, 硝=2。
空间直线异面直线间距离的一个简明公式
异面直线间距离的一个简明公式本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用.定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθy x y x l +++证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG .则∠DEF =θ，且（DG ）min =d .设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ.在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x .∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x .图1 图2在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ-在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-=所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=∆中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ⋅-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得)4/()4()(2min 2a b ac GD -=])cos ctg csc sin ctg (1[4)]cos ctg csc sin ctg (sin 2[])cos ctg csc sin ctg (1[4sin ])cos ctg csc sin ctg (1[4222222y y x y y x y l y y x y l y y x θ+θ+θ+θ-θ+θ+θ+θ+.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin .cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin ]cos ctg ctg 2cos ctg ctg )ctg 1(/[sin sin )cos ctg ctg (sin sin 1sin )cos ctg csc sin ctg (1sin 22222222222222222222222θθθθθθθθθθθθθy x y x l d y x y x l y x y x y l y x y y l y y y x y l +++=+++=++++=++=++=故例 2.已知正方形ABCD 和正方形ADD 1A 1所在平面互相垂直，AB =a ，求异面直线DB 与AD 1的距离.解：由已知及定理得,,90,451a l BDA AD D y x =︒=θ︒=∠=∠==.3/345ctg 45ctg 90sin 90sin 222a a d =︒+︒+︒︒=所以图3例3.已知圆锥的轴截面为等边△AVB ，AC 为∠VAB 的平分线，点D 在底面圆周上，且∠ABD =30°，底面圆的直径AB =2R .求异面直线AC 与BD 的距离.解：由已知得x =y =30°，θ=90°，l =2R .由定理可得d =.77230ctg 2190sin 22R R =︒+︒两条异面直线的距离问题，之所以一直被人们所关注，是因为其公垂线段不易作出，其长更不易求出.由于任意两条异面直线，均可视为某个二面角的两个平面内的二直线，这就使定理具有广阔的应用范围，而定理的本身，结构整齐、 图4简明，因此它成为解决两条异面直线间距离问题的有力武器.。
异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)
异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略： 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法（转化为线面距）3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
异面直线间的距离(全部方法详细例题)e
异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。
常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。
常用方法有： 1、 定义法2、 垂直平面法〔转化为线面距〕3、 转化为面面距4、 代数求极值法5、 公式法6、 射影法7、 向量法8、 等积法1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。
例1 ：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。
思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。
在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2a 。
即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。
2 垂直平面法：转化为线面距离，假设a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。
从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。
例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。
思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。
空间异面直线的距离公式推导
空间异面直线的距离公式推导在空间几何中，距离是最重要的几何概念之一，它经常用于衡量不同物体之间的距离。
在空间几何中，平面和直线提供了一种特殊的几何概念，即异面直线。
这种形式的几何图形在工程应用中非常常见，因此，计算异面直线之间的距离也被要求经常实施。
要计算不同平面上两个异面直线之间的距离，需要首先确定以下几个变量：直线间距（l），投影长度（h）和距离（d）。
直线间距（l）表示异面直线之间的距离，而投影长度（h）表示异面直线之间的距离，也就是其在任意一个平面上的投影长度。
距离（d）表示另外一维度上的距离，即两个平面之间的距离。
了解这些变量之后，就可以推导出不同平面异面直线之间的距离公式了，公式如下：d = sqrt(l^2 - h^2)根据此公式，如果已知直线间距（l）和投影长度（h），就可以使用平方根算式来计算距离（d）。
为了更加清楚地理解该公式推导的结果，我们可以先来看一个例子：假设一个平面上有两条异面直线，他们之间的直线间距（l）为100米，投影长度（h）为90米，那么两条异面直线之间的距离（d）就可以用公式推导出来：d = sqrt(100^2-90^2) = 10m此公式实际上是由勾股定理导出来的，例如，如果需要计算三维空间中两条异面直线之间的距离，我们可以将这两条直线投影到同一平面上，并假设平面的距离为0。
在这种情况下，异面直线之间的距离就可以用勾股定理来推导出来。
综上所述，不同平面异面直线之间的距离可以用公式推导出来，并用勾股定理计算出来。
这种距离的计算方法也被应用于三维空间中，用来计算两条空间异面直线之间的距离。
由此可见，这种距离计算方法非常实用，并在工程应用中经常使用。
两异面直线的最短距离
两异面直线的最短距离引言在三维空间中，存在着无数的直线。
当两条直线不在同一个平面上时，它们被称为异面直线。
本文将探讨如何计算两异面直线的最短距离，为读者提供一个深入了解该问题的指南。
什么是异面直线？异面直线是空间中两条直线，它们位于不同的平面上，因此永远不会相交。
直观地理解，可以将两条异面直线想象为两个平行于彼此的铁轨。
无论如何，它们都不会交叉或相交。
因此，计算两异面直线的最短距离成为一个值得探究的问题。
两异面直线的最短距离的计算方法计算两异面直线的最短距离需要使用向量和向量的点积公式。
下面将分步介绍具体计算方法。
步骤一：确定两直线的方向向量首先，我们需要确定两条直线的方向向量。
方向向量是指直线上的两个点之间的差值向量。
假设我们有两条直线分别为直线1和直线2，它们的方向向量分别为?1和?2。
步骤二：计算两直线的垂直向量接下来，计算两条直线的垂直向量。
垂直向量是直线的方向向量的叉积。
即，? = ?1 × ?2。
步骤三：确定两直线上的一点从直线1上选择一个点?1，可以是直线上的任意一点。
这个点将被用来计算两直线间的垂直距离。
步骤四：计算两直线间的垂直距离（即最短距离）最后，使用以下公式来计算两直线之间的垂直距离： ? = |(? − ?1) · ? |其中，点积表示两个向量之间的乘积。
计算得到的垂直距离即为两异面直线的最短距离。
示例问题：计算两异面直线的最短距离为了更好地理解计算过程，我们举一个实际的示例问题。
问题描述：已知直线1过点A(1, 2, 3)和点B(4, 5, 6)，直线2过点C(-2, 0, 1)和点D(3, 1, 13)，计算两异面直线的最短距离。
步骤一：确定两直线的方向向量直线1的方向向量?1 = ?? = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3) 直线2的方向向量?2 = ?? = (3-(-2), 1-0, 13-1) = (5, 1, 12)步骤二：计算两直线的垂直向量直接计算两个方向向量的叉积：? = ?1 × ?2 = ( 3×12 - 1×5, 5×3 - 5×12, 3×5 - 3×1) = (36, -51, 12)步骤三：确定两直线上的一点我们可以选择直线1上的点A(1, 2, 3)。
异面直线上两点间的距离公式的应用
异面直线上两点间的距离公式的应用异面直线上两点间的距离公式在传统教材中以例题出现，仅用于求异面直线上两点的距离或异面直线的距离，在新课标教材中，这部分内容近一步加强，但仍只以例题的形式分散于多个地方，一般不会引起学生和老师的重视，本文总结、介绍这个知识点在“空间计算”中的应用。
一、异面直线上两点间的距离公式：如图1，a 、b 是两条异面直线，夹角为θ，MN 是公垂线，P 、Q 分别是a 、b 上的点，则由向量知识得：><+++=++=NQ PM NQ PM NQ MN PM NQ MN PM PQ ,cos 2222（1）其中θπθ-,或>=<NQ PM ，若MN=d,MP ＝ｍ，NQ=n,PQ=ｌ则ｌ=θcos 2222mn n m d ±++ (2)，公式（1）、（2）分别是异面直线上两点间的向量公式，数量公式，基本构图为两条异面直线及公垂线，符合上述基本构图即数量关系，即可用公式来解决问题，下面介绍几种常见用法二、公式的应用1.求异面直线上两点间的距离例1，如图2:600的二面角的棱上有A,B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于A,B ，已知AB=4，AC=6，BD=8，求CD 的长？分析：AC ，BD 是两异面直线，AB 是公垂线，AC 与BD 的夹角即是二面角的平面角，θ=60,0符合基本构图即数量关系，代公式即得CD=172 2.求异面直线的距离由公式（2）变形得d=θcos 2222mn n m c --3.求异面直线的夹角由公式（2）变形得cos θ=mn c n m d 22222-++4.求二面角在直角坐标系xoy 中A （-2,3），B （3，-2），沿x 轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后112=AB ，求θ的大小？分析：分别过A 、B 作AA ˊ⊥x 轴于A ˊ，BB ˊ⊥x 轴于B ˊ，翻折后，AA ˊ与BB ˊ为异面直线，A ˊB ˊ为公垂线，而><B B A A ','=θ，AA ˊ=3，A ˊB ˊ=5，B ˊB=2则==∴cos ><B B AA ','=21∴><B B AA ','=600∴θ=1200 5.求直线与平面所成的角如图4，线段AB 在平面α内，线段AC ⊥面α，BD ⊥AB ，且AB=7，AC=BD=24，CD=25，求线段BD 与平面α所成的角分析：图中AC ，BD 是两条异面直线，AB 是公垂线段，符合基本构图，又直线BD 与平面α所成的角θ与异面直线AC ，BD 所成的角满足关系：sin θ=><BD AC ,cos 利用上述关系及公式即可得出θ=300。
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求两条异面直线之间距离的两个公式
王文彬
（抚州一中 江西 344000）
本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法.
1.公式一
如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ⊂平面α，1l A α⋂=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ⋂=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为
d =
（1）
证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如
图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α，
NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知
2NH l ⊥.
在Rt BNH ∆中
22cos ()cos BN BH AB AH θθ==-
12(cos )cos m AM θθ=-……………………………① 同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得
212
22
12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221
22
12
cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2）
图1
从而
212
1122
12cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==⋅- 221
222212
cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==⋅-
()
()
2
2
2
2
2
4
22421
212122
2
2
1
2
cos sin
sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+=
+-
()
()
2
2
4242
12112
2
2212sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ=
+- ()
()2
22222
121212
2
2
1
2
sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ=
⋅+- ()
()2
2222221212122
2
2221212sin sin sin sin sin sin sin
sin sin sin m θθθθθθθθθθ=
⋅+-+-
22212
2222
1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立.
运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线MN 具体位置.
2.公式二
如图2，1l 、2l 是异面直线，1A l ∈，2AH l ⊥于H ，1l 与AH ，1l 与2l 所成的角分别为,αθ，
AH m =，则1l 与2l 之间的距离为
d = （2） 证明：过A 作2//l l ，设由l 与2l 确定的
平面为δ，MN 为1l 与2l 公垂线，如图2所 示.
过M 作MK l ⊥于K ，连KN ，易知 NK l ⊥，AHNK 为矩形.
在Rt MNH ∆中，
2222222cos MN MH NH AH AM AH AM AK α=-=+-⋅- 22222cos m AK MK m AM AK α=++-⋅- 222cos m MK m AM α=+-⋅ 222cos sin MK
m MK m αθ
=+-⋅
⋅ 由于1,MN l MN l ⊥⊥，故MN ⊥平面AMK ，从而090NMK ∠=.
22222MK NK MN m MN =-=-，代入上式并解出MN 就是公式（2）.
另外，sin MK AM θ==
2）代入得 2
cos sin m AM α
θ
=
（2.1） 又cos HN AK AM θ==，将上式代入得
2cos cos sin m HN θαθ
= （2.2）
公式（1）（2）可以帮助我们定量地确定公垂线MN 的位置. 3.公式的应用
【例1】四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，SD ⊥底面AC ，2SD =，
,E F 分别是,SA BC 的中点，求异面直线EF 与BD 的距离，并确定公垂线的位置.
【解】取AD 的中点G ，连EG 、GF ，设 GF BD O ⋂=，因SD ⊥底面AC ，易知EG ⊥ 面AC ，EF 在底面内的射影为GF ，
001245,45EFG BOF θθ=∠==∠=，
C
D S
E
12m OF ==
，代入公式（1）可得EF 与BD
. 设EF 与BD 的公垂线为MN ，其中,M EF N BD ∈∈，
将12,θθ与m 的值代入公式（1.1）和（1.2）可分别求
得6FM =
，6
ON =，
而EF OB ==
11,63FM EF ON OB ==，由此不难作出公垂线MN .
【例2】如图4，111ABC A B C -是直三棱柱，其中0120ACB ∠=
，AC
，CB =
，
1BB =，求异面直线1AB 与1CC 的距离，并确定公垂线的位置. 【
解
】
连
1
CB ，
则1
23)
C
==，22202cos12021AB AC BC AB BC =+-⋅=
，2222
11112149AB AA A B =+=+=，
AC 与1AB 所成的角是1CAB ∠，设为α，则
22
21
1
1cos 27
AB AC CB AB AC α+-=
=
⋅ 又1AB 与1CC 所成的角为11A AB ∠，设为
θ
，则111sin 7
A B AB θ=
=
. 根据公式（2），1AB 与1CC 的距离为
d AC ==
=设1AB 与1CC 的公垂线为MN ，11,M AB N CC ∈∈，易知,M N 分别在射线11,AB CC 上，且
A
B
C 1A
1
B
1
C
图4
2cos 2sin AC AM αθ⋅=
=
，2
cos cos sin AC CN θαθ==，
而117,AB CC ==，故有
1127
AM CN AB CC ==，由此不难确定公垂线MN 的位置.。