异面直线的距离

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计算长方体中的异面直线距离的几种方法

计算长方体中的异面直线距离的几种方法
1.有关定理
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。

定理二：两条异面直线的公垂线段长（异面直线的距离）是分别连结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。

2. 常用计算方法
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。

（2）转化为求线面间的距离。

过其中一条直线b上的任一点作另一条直线a的平行线c，b和c所决定的平面α与a之间的距离就是异面直线的距离。

（3）转化为求平行平面间的距离。

过两条异面直线作两个互相平行的平面，这两个平面间的距离就是异面直线的距离。

（4）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上任意两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

（5）若两条异面直线在某一平面上的射影互相平行（或为一点和一直线），则可以求平行线的距离（或点到直线的距离），该距离就是异面直线的距离。

（6）几何公式法：设有两条异面直线a, b，a, b的公垂线AB长为d。

在a上找另一点C，b上找另一点D，AC=m，BD=n，CD=l，异面直线AC和BD所成角为θ。

第二公式：设异面直线a、b分别位于二面角α-l-β的半平面上，a与l交点为M，b与l交点为N，且MN=t。

a与l的夹角为θ1，b与l 夹角为θ2，二面角大小为θ3，a、b所成角为θ，则a、b之间距离为。

（7）向量公式法：设两条异面直线的方向向量为S1和S2，MN是两条直线上任意一点的连线的方向向量，则异面直线的距离。

异面直线的距离向量法

异面直线的距离向量法异面直线的距离向量法是一种通过向量运算来求解异面直线之间距离的方法。

以下是具体的步骤：首先，设两条异面直线分别由向量a和b确定，且这两条异面直线的公垂线的一个方向向量为n。

公垂线与两直线分别交于点A和B。

为了找到点A和B，我们可以在两条直线上分别任取一点P和Q。

然后，通过向量运算，我们可以得到向量PQ。

接下来，我们需要计算向量PQ在公垂线方向向量n上的投影。

这个投影的长度就是异面直线之间的距离，记作d。

具体地，投影长度d可以通过以下公式计算：d=∣n∣∣PQ⋅n∣其中，PQ⋅n表示向量PQ和n的点积，∣n∣表示向量n的模长。

然而，需要注意的是，上述公式中的n应该是单位向量，即模长为1的向量。

如果n不是单位向量，我们需要先将其单位化。

单位化向量的公式为：n unit=∣n∣n然后，将单位化后的n unit代入上述公式中计算距离d。

但这里有一个问题：上述解释中提到的公式实际上并不适用于计算异面直线之间的距离。

正确的做法应该是找到两条异面直线的公垂线，并计算这条公垂线的长度。

然而，直接通过向量运算找到公垂线并计算其长度是比较复杂的。

一种更实用的方法是使用以下公式：d=∣a×b∣∣(a×b)⋅c∣其中，a和b是两条异面直线上的两个方向向量（可以通过直线上的两点相减得到），c是连接两条异面直线上任意两点的向量（即上述的PQ），而a×b表示a和b的叉积，其结果是一个与a和b都垂直的向量，也就是公垂线的方向向量。

这个公式的几何意义是计算向量c在公垂线方向上的投影长度，即异面直线之间的距离。

但请注意，这个公式中的分母∣a×b∣实际上是公垂线的方向向量的模长，而不是公垂线本身的长度。

因此，这个公式实际上并不直接给出异面直线之间的距离。

正确的做法应该是先通过其他方法（如几何方法或优化方法）找到公垂线与两条异面直线的交点，然后计算这两点之间的距离。

但在实际应用中，由于很难找到公垂线与两条异面直线的确切交点位置，因此通常使用近似方法或数值方法来估计异面直线之间的距离。

异面直线间距离公式

异面直线间距离公式异面直线是三维几何中一个重要的概念，指的是两条不在同一个平面上的直线。

在三维空间中，两条异面直线之间存在唯一的距离，这个距离是非常重要的，因为它可以帮助我们解决很多实际问题。

那么什么是异面直线之间的距离公式呢？下面让我们来详细介绍。

首先，我们需要明确一点：异面直线之间的距离不能直接通过计算两个直线的距离得出。

这是因为两条直线之间的距离并不一定是两个直线之间最近点的距离，因为它们可能会在某一个角度上相交。

因此，我们需要找到一条垂直于两条直线的直线，才能求出它们之间的距离。

具体来说，设两条直线为L1和L2，我们需要找到一条直线L3，它既垂直于L1，又垂直于L2。

这样，我们就可以通过求取L1和L2在L3上的投影长度来计算它们之间的距离。

如何求出直线L3呢？下面是一个简单的方法：首先，我们可以选择一个点P1，它在L1上。

然后，我们再选择一个点P2，它在L2上。

利用向量的知识，我们可以求出向量v1，它从点P1到点P2的矢量。

接下来，我们可以选择一个点P3，它在L2上，并且位于向量v1所在的平面上。

这样，我们就可以求出向量v2，它从点P1到点P3的矢量。

最后，我们就可以通过向量叉乘的方法，求出L3所在的方向向量，然后与L1上的任意一点连接，就可以得到直线L3了。

有了L3之后，我们就可以求出L1和L2在L3上的投影长度了。

具体来说，我们可以选择L1上的一个点P4和L2上的一个点P5，然后分别求出它们到直线L3的距离，这两个距离的和就是L1和L2之间的距离了。

至此，我们就得到了异面直线之间的距离公式：d = |P4P5|其中d表示L1和L2之间的距离，P4表示L1上距离L3最近的点，P5表示L2上距离L3最近的点。

需要注意的是，求出L3的方法不止一种，也可以利用解方程的方法来求出它的参数方程。

不过无论采用哪种方法，异面直线之间的距离公式都是一样的。

总之，异面直线之间的距离公式是三维几何中非常重要的一个公式，它在实际问题中有广泛的应用，比如计算两条高速公路的最短距离、求取物体间的最短距离等等。

异面直线间的距离公式

异面直线间的距离公式假设有两条异面直线L1和L2，我们需要找到一个平面P1与L1垂直，并且找到一个平面P2与L2垂直。

然后可以求得P1与P2之间的距离，再分别求取L1与P1、L2与P2之间的距离，最后将这三段距离相加就得到了异面直线L1和L2之间的距离。

首先，我们需要找到与直线L1垂直的平面P1、直线与平面垂直的条件是直线方向向量与平面的法向量垂直。

假设直线L1的方向向量为a，平面P1的法向量为n1，那么这两个向量的点积为零：a·n1=0将方程a·n1=0展开，可以得到一个方程组。

通过求解这个方程组，我们可以得到平面P1的方程。

具体求解的方法可以参考数学线性代数的相关知识。

同样地，我们也需要找到与直线L2垂直的平面P2、直线L2的方向向量为b，平面P2的法向量为n2，那么这两个向量的点积为零：b·n2=0通过求解方程组b·n2=0，我们可以得到平面P2的方程。

现在，我们已经找到了与直线L1和L2垂直的平面P1和P2的方程。

接下来，我们需要计算P1和P2之间的距离。

对于平面P1的方程a·n1=0，我们可以将平面P1的点P(x1,y1,z1)带入方程中，得到：a·(x1,y1,z1)=0将方向向量a展开，得到：(a1,a2,a3)·(x1,y1,z1)=0根据点积的定义，可以得到以下方程：a1*x1+a2*y1+a3*z1=0类似地，我们可以得到平面P2的方程：b1*x2+b2*y2+b3*z2=0现在，我们需要找到平面P1和P2之间的最短距离。

设平面P1上的一点为Q(x,y,z)，平面P2上的一点为R(u,v,w)。

则Q到平面P1的距离，即点Q到平面P1的法向量n1的投影与平面P1的法向量n1的模的商，可以表示为：d1=，n1·(Q-P1)，/，n1同样地，R到平面P2的距离d2可以表示为：d2=，n2·(R-P2)，/，n2接下来，我们需要计算两个平面P1和P2之间的距离d3、假设平面P1和P2的法向量分别为n1=(n11,n12,n13)和n2=(n21,n22,n23)，则P1和P2之间的距离可以表示为：d3=，(P2-P1)·(n1×n2)，/，n1×n2其中×表示向量的叉乘，·表示向量的点积。

向量法求异面直线的距离公式

向量法求异面直线的距离公式
异面直线之间的距离公式可以通过向量法来求解。

假设有两条异面直线，它们的方向向量分别为a和a，直线上的一点分别为a和a。

则异面直线的距离可以通过以下步骤来计算：
1.首先，我们计算两条直线上的一点，记为aa和aa，它们为两条直线的最近点。

2.然后，我们计算直线上的向量，记为a=aa−aa，它表示从一条直线上的点到另一条直线上的点的向量。

3.最后，我们计算异面直线的距离，记为a，它等于向量a在两条直线的法向量上的投影长度。

根据以上步骤，异面直线的距离公式可以表示为：
a=|a⋅(a×a)|/|a×a|
其中，⋅表示向量的内积，×表示向量的叉积，|a⋅(a×a)|表示向量a在向量(a×a)上的投影长度，|a×a|表示向量(a×a)的模长。

需要注意的是，如果向量a和a不垂直，则上述公式给出的结果为两条直线之间的最短距离。

如果向量a和a垂直，则它们之间的夹角为a/2，此时两条直线之间的距离为0。

这就是使用向量法求解异面直线的距离公式。

通过计算两条直线之间的最短距离，我们可以更好地理解两条异面直线之间的关系。

求异面直线的方法

七种求异面直线距离的方法陶双喜湖南省长沙县一中数学组异面直线的距离是空间距离的一种重要类型，也是高考经久不衰的热点问题。

求这种距离的方法多种多样，本文通过一个例题的多种解法来谈其求解方略，以供大家参考例：正方体ABCD - AB^I C J U 的棱长为a ，求异面直线AC 和BG 的距离. 解法1 （直接法）：如图1，取BC 的中点E ，连接DE 、BE ，分别交AC 、 BG 于M 、N 两点，连接MN 、B 1D ，则可证空 ENMD NB 1.MN // B 1D ,由三垂线定理可得 B 1D _ AC , RD —BG , . MN_AC,MN_BG 。

故 MN 的长即为异面直线AC 和BC 1的距离。

显然，MN =1 3D 3a . 3 3 MB C图1D 1B 1即异面直线 AC 和BG 的距离为 a . 3 评注：此法叫定义法，即根据定义作出异面直线的公垂线段，但难度较大解法2 （线线距=线面距）： V AC // AC 1 -AC 与BC 1的距离等于AC 与平面ABG 的距离。

如图2，过AC 的中点0作0E -BO 1于E ，易证平面BDD 1B 1 -平面ABG , OE —平面A 1BC 1 o OE 的长即为AC 与BG 的距离。

图272 46 在 Rt BOO 中，BO aQO^i =a,BO 1 a ,2 2 B !■ OE 二B0 0013a .即异面直线AC 和BC 1的距离为3BO 1、3a .3评注：此法是将线线距离转化为线面距离来求，这是求线线距离的一种常用方法解法3 （线线距=•线面距=•点面距）T AC // A1C1. AC与BG的距离等于AC与平面ABG 的距离,即点C到平面ABG的距离，记为h，则由V C^B C I二V~CC1二V A」B I C I得1•氾C、.2a）2.h ，h -a。

即AC 和BC1的距离为—a.3 4 3 2 3 3评注：此法是将线线距离转化为线面距离，然后转化为点面距离来求。

异面直线距离求法

异面直线距离求法异面直线指的是在三维空间中，不在同一个平面上的两条直线。

计算异面直线之间的距离是很有实际意义的，比如在计算机图形学中，可以用来确定两条直线之间的最短距离，以便进行图像渲染和碰撞检测等操作。

我们需要明确两条异面直线的定义和特点。

异面直线可以由它们的方程表示，一般形式为：L1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0L2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中，A1、B1、C1和D1是L1的系数，A2、B2、C2和D2是L2的系数。

对于异面直线，它们的方向向量不平行，这意味着它们在三维空间中不会相交或重合。

接下来，我们介绍一种常用的方法来计算异面直线之间的距离，即利用点到直线的距离公式。

假设我们要计算L1上的一点P1到L2的距离，可以通过以下步骤进行计算：步骤1：首先，我们需要找到L2上离P1最近的点P2。

我们可以利用向量和点的关系来求解。

将L2的方程代入P1的坐标，得到方程组：A2x + B2y + C2z + D2 = 0x = x1y = y1z = z1通过求解这个方程组，我们可以得到P2的坐标。

步骤2：计算P1和P2之间的距离。

我们可以利用点到直线的距离公式来计算，即：d = |(P2 - P1)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n是L2的方向向量。

通过这种方法，我们可以计算出异面直线L1和L2之间的距离。

需要注意的是，如果两条直线平行或重合，它们之间的距离是不存在的。

除了上述方法，还有其他一些求解异面直线距离的方法，比如利用向量的投影和参数方程等。

这些方法各有特点，可以根据具体的情况选择使用。

总结起来，异面直线距离的计算是一项基础的几何计算，对于三维空间中的各种问题都有着重要的应用价值。

通过合适的方法，我们可以准确地计算出异面直线之间的距离，从而解决实际问题。

希望本文可以对读者理解异面直线距离的计算方法有所帮助。

空间异面直线距离公式

空间异面直线距离公式一、引言在数学中，空间异面直线距离公式是一个重要的概念。

它可以帮助我们计算两条异面直线之间的距离，是解决空间几何问题的重要工具。

本文将详细介绍空间异面直线距离公式的定义、推导和应用。

二、定义空间异面直线是指不在同一个平面内的两条直线。

它们的交点称为异面直线的垂足。

空间异面直线距离公式是指计算两条异面直线之间距离的公式。

三、推导假设有两条异面直线L1和L2，它们的方程分别为：L1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0L2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0其中，A1、B1、C1、D1、A2、B2、C2、D2均为常数。

我们可以通过以下步骤推导出空间异面直线距离公式：1. 求出两条直线的方向向量L1的方向向量为(a1, b1, c1)，L2的方向向量为(a2, b2, c2)。

2. 求出两条直线的法向量L1的法向量为(A1, B1, C1)，L2的法向量为(A2, B2, C2)。

3. 求出两条直线的垂足设两条直线的垂足为P，P点坐标为(x0, y0, z0)。

由于P点在L1上，所以有：A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 = 0同理，由于P点在L2上，所以有：A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2 = 0解得：x0 = (B1C2D2 - B2C1D1) / (A1B2 - A2B1)y0 = (A2C1D1 - A1C2D2) / (A1B2 - A2B1)z0 = (A1B2D2 - A2B1D1) / (A1B2 - A2B1)4. 求出两条直线之间的距离两条直线之间的距离为P点到L1和L2的距离之和。

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F b n a
d
EF n n
E
例 2：
如图，已知空间四边形OABC各边及对角线长都是1，D,E分别是OA,BC 的中点，连结DE。（1）求证：DE是OA和BC的公垂线。
D O
（2）求OA和BC间的距离。
A E B C
例3：
正方体ABCD——A1B1C1D1中，P为AB中点，Q为 BC中点，AA1=a, O为正方形ABCD的中心，求PQ 与C1O间的距离。
D1 A1 面角α -l-β 的大小是1200，A,C l , B , D
且AB⊥l,CD⊥l，AB=CD=a, AC=2a, 求（1）BD的长；（2）BD和AC所成角的余弦值；（3）BD和AC的距离。
B A l α C D β
作业：课本P51
距离（二）
异面直线的距离
已知异面直线AA1和BC，直线AB与异面直线AA1，BC都垂直相交。
A1
和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线夹在异面直线间的部分，叫做这两条异面直线的公垂线段。
C A B
思考：任意两条异面直线都有公垂线吗？
有多少条公垂线？
定理一：任意两条异面直线有且只有一条公垂线。
结两条异面直线上两点的线段中最短的一条。
A 练习：证明定理二 B D b C a
两条异面直线的公垂线段的长度，叫做两条异面直线的距离
例1：课本P50 例2
A’ d m l
E
a
a’ θ
A n
F
b
d l m n 2mncos
2 2 2
求异面直线的距离的常用方法：
（1）找出（或作出）公垂线，计算公垂线段的长度。
a
（2）转化为求线面间的距离。
a//平面α
b
α
b
（3）转化为求平行平面间的距离。
a//平面β , b//平面α
α
β b
a
a
b
（2），（3）可进一步转化为点到平面的距离。
（4）用模型公式
d l m n 2mncos
2 2 2
（5）向量方法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长
存在性：直线AB就是异面直线a,b的公垂线
A’
A β a c
Q B
M
a’
B’ b
唯一性：
α
P
假如还有直线A’B’也是a,b的公垂线，则
A’B’⊥a A’B’⊥b a’//a A’B’⊥a’ 所以 A’B’⊥平面α 又AB ⊥平面α AB//A’B’ 则 a,b共面矛盾！
定理二：两条异面直线的公垂线段长是分别连
3,4,5,8