利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离
用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
1.4空间向量的应用-1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
用空间向量研究距离、夹角问题
第1课时
距离问题
核心素养
能用向量方法解决点到
直线、点到平面、互相
平行的直线、互相平行
的平面的距离问题.(直
观想象、数学运算)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
某人在一片丘陵上开垦了一块田地,在丘陵的上方架有一条直的水
渠,此人想从水渠上选择一个点,通过一条管道把水引到田地中的
·1 = 0,
取 z=1,则 x=y=2,所以 n=(2,2,1).
|·1 1 |
所以点 B1 到平面 AD1C 的距离 d=
||
8
= 3.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
利用空间向量求点线距
例1已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求
点B到直线A1C1的距离.
)
3
A.
2
2
B.
2
C. 3
D.3 2
答案:B
解析:∵两平行平面 α,β 分别经过坐标原点 O 和点 A(2,1,1),
=(2,1,1),且两平面的一个法向量 n=(-1,0,1),
|· |
∴两平面间的距离 d=
||
=
|-2+0+1|
2
=
2
2
.故选 B.
探究一
探究二
素养形成
当堂检测
2.若三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直,且满足PA=PB=PC=1,则点
所以点 B 到直线 A1C1 的距离
1 1
2
d= |1 | - 1 ·|
= 8-
-1+3+0
2025年高考数学一轮复习-8.7-利用空间向量研究距离问题【课件】
·
·
·e= ·e,故其模为
·
3.点到平面的距离公式
如图,点P为平面α外一点,点A为平面α内的定点,过点P作平面α的垂线l,交平面α于
点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是在直线l上的投影向量
· |·|
的长度,则PQ=|· |=|
|=
.
||
第八章
立体几何初步、空间向量与立体几何
第七节
利用空间向量研究距离问题
必备知识·逐点夯实
核心考点·分类突破
【课标解读】
【课程标准】
能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的
距离问题,并能描述解决这一类问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的
作用.
【核心素养】
直观想象、数学运算、逻辑推理.
2
2
.
【解析】依题意,平行平面α,β间的距离即为点O到平面β的距离,而=(2,1,1),所
|·| |−1×2+0×1+1×1| 1 2
以平行平面α,β间的距离d=
=
= = .
2 2
||
(−1)2 +02 +12
核心考点·分类突破
考点一点线距及其应用
[例1](1)空间中有三点P(1,-2,-2),M(2,-3,1),N(3,-2,2),则点P到直线MN的距离
则=(-2,1( 2) 2 = 3.
·
=
|−2×1+1×0+0×(−1)|
2
= 2,所以点P(-1,2,1)到
4.(不能正确使用公式)若两平行平面α,β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两
向量法求空间距离
向量法求空间距离（教师用）淄博五中 孙爱梅一．重点：掌握空间各种距离概念，并能进行他们之间的转化，能通过向量计算求出这些距离.二．难点：异面直线及点面距离求法.三．知识点及例题【知识点一】 两点的距离公式应用空间中两点的距离公式：A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，x 2），则｜AB →｜＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（z 1－z 2）2.〖例1〗如图，在正方体OABC －O ′A ′B ′C ′中，棱长为1，｜AN ｜＝2｜CN ｜， ｜BM ｜＝2｜MC ′｜，求MN 的长.解：由题意得A （1，0，0），B （1，1，0），C （0，1，0），C ′（0，1，1）∵｜AN ｜＝2｜CN ｜，∴N （13，23，0），又∵｜BM ｜＝2｜MC ′｜，∴M （13，1，23） ∴｜MN ｜＝（13－13）2＋（1－23）2＋（23－0）2＝53，即MN 的长为53. 注：此类题目直接套用公式，准确、迅速找到空间两点坐标是解题关键.【知识点二】通过向量求空间线段的长.｜a →｜＝a →2〖例2〗如图，在60°的二面角的棱上，有A 、B 两点，线段AC 、BD 分别在二面角的两个面内，且都垂直于AB ，已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，求CD 的长度.解：∵＜AC →，BD →＞＝60°，∴＜CA →，BD →＞＝120°，又∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →， 故有｜CD →｜2＝CD →2＝（CA →＋AB →＋BD →）·（CA →＋AB →＋BD →）＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD →∵CA ⊥AB ，BD ⊥AB ，则CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0，∴｜CD →｜2＝62＋42＋82－2×6×8×12＝68，∴｜CD →｜＝217.注：使用向量法对此题计算时，由于考虑到未知条件CD ，故应用已知的AB →，AC →，BD→三个向量将未知向时CD →表示出来，再利用｜CD →｜2＝CD →2这一知识解题.【知识点三】求点到平面距离｜AB →｜＝｜OA →｜｜c os ＜OA →，n →＞｜＝｜OA →·n →｜｜n →｜＝｜OA →，e →｜（其中n →为α的一→.〖例3〗正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、CD 的中点，求点F 到平面A 1D 1E的距离.解：以D 1为坐标原点，D 1A 1，D 1C 1，D 1D 所在直线分别x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D 1－xyz . F （0，1，2），D 1（0，0，0），A 1（2，0，0），E （2，2，1），D 1A →＝（2，0，0），D 1E →＝（2，2，1）.设n →＝（x ，y ，z ）为平面A 1D 1E 的一个法向量，则n →·D 1A →＝0，且n →·D 1E →＝0， ⎩⎨⎧2x ＝0 2x ＋2y ＋z ＝0，则x ＝0，令z ＝2，y ＝－1，即n →＝（0，－1，2）， 又D 1F →＝（0，1，2），∴点F 到平面A 1D 1E 的距离.【思考】若G 、H 分别为D 1D ，AA 1中点，如何求平面A 1D 1与平面HGB 距离？ 思路：易证平面A 1D 1E ∥平面HGB ，只须求B 到平面AD 1E 的距离就可.d ＝｜D 1F →·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜12＋22＝35＝355，即F 到面A 1D 1E 的距离为355. 注：①用向量求点面距离可避免了过点向面作距离的麻烦.②注意面面距离与点面距离的转化.l 1，l 2为异面直线，AB 为l 1，l 2公垂线估，C 、D 分别为l 1，l 2上任意两点，则异面直线l 1，l 2的距离d ＝｜AB →｜＝｜CD →｜·｜c os ＜CD →·n →＞｜＝｜CD →·n →｜ ｜n →｜＝｜CD →·e →｜（其中n →为公垂线AB 的一个方向向量，e →为公垂线AB 的一个单位方向向量）. 〖例4〗在直三棱柱ABD －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝BB 1＝1，直线B 1C 与平面ABC 所成的角为30°，试求异面直线A 1C 1与B 1C 距离.解：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示空间直角坐标系.∵B 1B ⊥平面ABC ，∴∠B 1CB 为B 1C 与平面ABC 所成角，∴∠B 1CB ＝30°， Rt △B 1BC 中，BB 1＝1，∴BC ＝3，又AB ＝1，Rt △BAC 中，ACA 1（0，0，1），C 1（0，1，1），A 1C 1→＝（0，1，0），B 1（1，0，1），C （0，1，0），B 1C →（－1，1，－1），且A 1B 1→＝（1，0，0），设n →＝（x ，y ，z ）为异面直线A 1C 1与B 1C 公垂线的一个方向向量，则n →·A 1C 1→＝0，n →·B1C →＝0⎩⎨⎧y ＝0 －x ＋y －z ＝0，∴y ＝0，令x ＝1，则z ＝－1，∴n →＝（1，0，－1）， 则两异面直线A 1C 1与B 1C 是距离d ＝｜A 1B 1→·n →｜ ｜n →｜＝｜（0，1，2）·（0，－1，2）｜2＝22. 注：用向量求异面直线距离可避免做异面直线的公垂线段麻烦.课堂测试1、在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，F 是BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，E 为C 1G 的中点，则EF 的长为（ ） A ．58 B ．12 C ．23 D ．418，∠＝A ．62 B ．6 C ．12 D ．1443、在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线AC 与BC 1间距离.4、正四棱柱ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，求点D1到BDE 的距离.1、如图，建立空间直角坐标系D－xyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上.①当2｜C1Q｜＝｜QC｜时，求｜PQ｜.②当点Q在棱CC1上移动时，探究｜PQ｜的最小值.2、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，⑴求证：平面A1BC1∥平面ACD1；⑵求⑴中两个平面距离.。
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
高中数学空间向量求距离教案人教新课标
教学目标：
知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算。
过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。
情感态度与价值观：掌握空间向量的应用。
教学环节
教师活动
学生活动
一、复习引入
二、新课导入
三、例题讲解
四、练习
五、小结
课后反思
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0, ），B1（0,1, ），C1（0,0, ）
∴ =（－1,1,－ ）， =（－1,0,－ ） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为 ，则
即
所以，点B1到平面A1BC的距离
解2建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0
2、向量法在求异面直线间的距离
设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的向量为 ，则两异面直线间的距离是 在 方向上的正射影向量的模。
4、向量法在求点到平面的距离中
（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为 ，平面的法向量为 ，则P到平面的距离d等于 在 方向上正射影向量的模。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。
《空间向量及其运算》距离
AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 ( z1 z2 )2
3.求点到平面的距离:如图点P为平面外一点， 点A为平面内的任一点，平面的法向量为n,过 点P作平面的垂线PO，记PA和平面所成的 角为，则点P到平面的距离 n
P
d PO PA sin
1
A
这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6倍。
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
A1 B1 D C
D1
C1Βιβλιοθήκη (3)本题的晶体中相对的两个平面之间的距离 A B 是多少? (提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求点到平 面的距离或两点间的距离）
补充作业：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
4.异面直线的距离:
①作直线a、b的方向向量a、 b，求a、b的法向量n，即此 异面直线a、b的公垂线的方 向向量； ②在直线a、b上各取一点 A、B，作向量AB； ③求向量AB在n上的射影 d，则异面直线a、b间的距 离为
1 解:∵ D1 (0, 0,1), B(1,1, 0), A1 (1, 0,1), E (0, ,1) 2 1 A1 E 1, , 0 , D1B 1,1, 1 2 设 n ( x , y , z )是与 A1 E , D1 B都垂直的向量， A1 1 则 n A E 0, 1 x y 0, y 2 x , 2 即 z 3 x, n D1 B 0, x y z 0, 取x＝1，得其中一个n (1, 2, 3) A 选A1 E与BD1的两点向量为 D1 A1 1, 0, 0 , D1 A1 n 14 得A1 E与BD1的距离 d 14 n
利用向量求点到平面的距离
利用向量求点到平面的距离点到平面的距离是计算一个点到一个平面的最短距离，可以使用向量的方法来进行计算。
在二维空间中，平面可以由一个法向量和一个过平面上一点的向量表示。
而在三维空间中，平面可以由一个法向量和平面上一点的向量表示。
首先，我们从二维空间开始讨论。
假设我们有一个平面的法向量n = (a, b)和过平面上一点的向量p = (x0, y0)。
现在我们需要计算一个点Q = (x, y)到这个平面的最短距离。
我们可以假设Q到平面的最短距离是D。
这意味着Q到平面上的任意一点M的距离都是D。
现在我们将点M表示为向量m = (x, y)。
注意，由于点M在平面上，所以点M与法向量n是垂直的。
假设向量m0是向量p = (x0, y0)指向点M的向量，即m0 = m - p。
我们可以将m0分解为两个分量：一个平行于法向量n的分量m1和一个垂直于法向量n的分量m2。
这样我们可以写出向量m0：m0 = m - p= (x, y) - (x0, y0)= (x-x0, y-y0)向量m1是m0在法向量n方向上的投影，即m1 = proj_n(m0)。
投影的计算方法是将m0与法向量n进行点积，再将结果除以法向量n的模的平方，并与法向量n相乘：m1 = proj_n(m0)= (m0 · n / |n|^2) * n我们可以计算出m0 · n = (x-x0) * a + (y-y0) * b，计算出|n|^2 = a^2 + b^2，将这些值代入上式中：m1 = ((x-x0) * a + (y-y0) * b / (a^2 + b^2)) * (a, b)因为点M位于平面上，所以向量m2与法向量n垂直。
因此，垂直分量m2等于向量m0减去平行分量m1：m2 = m0 - m1现在，我们可以计算垂直分量m2的模长|m2|，这个模长等于Q到平面的最短距离D。
我们有：D = |m2|这就是二维空间中点到平面的距离的计算方法。
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第五节利用空间向量求点到平面的距离及异面直线间距离 一、 点到平面的距离
设A 是平面α外一点，B 是α内一点，n
为α的一个法向量，则点A 到平面α的
距离n n
AB d ⋅=
例1、 如图，已知ABCD 是边长为4的正方形，
E 、
F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD
且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离。
例2、 在三棱锥S-ABC 中，ABC ∆是边长为4的正三角形，
平面SAC ⊥平面ABC ，SA=SC=32，M 、N 分别是
AB 、SB 的中点。
（04福建）
（1）证明AC ⊥SB ； （2）求二面角N-CM-B 的大小； （3）求点B 到平面CMN 的距离。
练习：已知ABCD 是边长为1的正方形，PD ⊥平面ABCD 且PD=1，E 、F 分别是AB 、BC 的中点.
(1) 求点D 到平面PEF 的距离；
(2) 求直线AC 到平面PEF 的距离。
二、 异面直线间距离 设n 是异面直线a 、b 的公垂向量，C 为a 上任一点，
D 为b 上任一点，则a 、b 间的距离n
n
CD d
⋅=. 例3、 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a. （1） 求异面直线BD 与B 1C 间的距离；
（2） 求异面直线AA 1与BD 1间的距离。
三、 证线面平行 若a 是平面α外一直线，所在向量为a ，n 是α的一个法向量，若a ⊥n ，则a ∥α.
例4、 在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ， AC=3，BC=4，AA 1=4，点D 是AB 的中点。
（1） 求证：AC ⊥BC 1；
（2） 求证：AC 1∥平面CDB 1；
（3） 求异面直线AC 1与B 1C 所成角的余
弦值。
（05北京文） 作业：1、如图所示，在正方体
ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a.
(1)求异面直线AA 1与B 1D 1间的距离；
（2）求异面直线A 1B 与B 1D 1间的距离。
F E
G D C B
A N M S
C
B
A P
F
E D C B A D 1
D C 1 C B 1 B
A A
1
D 1 D C 1 C
B 1
B
A 1
A
2、如图，已知三棱锥O-ABC 的侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且OA=1，OB=OC=2，E 是OC 的中点。
（1）求点O 到平面ABC 的距离； （2）求异面直线BE 与AC 所成的角； （3）求二面角E-AB-C 的大小。
(06江西)
3、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N.
（1）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值；
（2）求点B 1到平面AMN 的距离。
（06湖北文）
4、如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥
EC.已知,21
,2,2===AE CD PD 求
（Ⅰ）异面直线PD 与EC 的距离；
（Ⅱ）二面角E —PC —D 的大小.（05重庆文）
5、如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AD
上移动.
（1）证明：D 1E ⊥A 1D ；
（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —的大小为4
π
. 6、如图，直二面角D-AB-E 中，四边形ABCD
是边长为2的 正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B-AC-E 的大小；
（3）求点D 到平面ACE 的距离。
(05福建)
7、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中， 底面是等腰直角三角形，090=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G.
（1） 求A 1B 与平面ABD 所成角的大小； （2） 求点A 1到平面AED 的距离。
（03全国)
Ａ
Ｏ Ｅ
Ｃ
Ｂ
D
P E C
B A E D 1
D C 1 C
B 1
B A 1 A E G D
C 1
C
B 1
B
A
1
A
E
F
B
A
D C。