求异面直线间距离的几种常用方法

求异面直线间距离的几种常用方法
1 辅助平面法
(1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度．
例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离．
解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE，
∴VC⊥平面AEB
∴VC⊥AB
取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE．
∴DE是异面直线AB与VC的公垂线．
分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了．
作VF⊥BC，则有
(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离．
例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离．
解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面直线AB与A C之间的距离．
(3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离．
例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．
∴平面α与平面β的距离为AC与BD间的距离，设此距离为xcm，即AA'＝CC'＝xcm，过D点作DE＝AB且DE∥AB交平面α于E，则ABDE是一个平行四边形．
解得x1＝4，x2＝6．
故异面直线AC与BD之间的距离是4cm或6cm．
2 等积法
在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为
(1)一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离．
(2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离．
上述两种距离总是通过直线上(或平面上)一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出外，一般都要通过等积计算再求高的办法来求得的．
例4 如图4所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，求AC与BC1的距离．
解：连接A1C1，A1B，C1A，∵AC∥A1C1，∴AC∥平面A1BC1，则求AC与BC1的距离转化为求AC与其平行平面A1BC1的距离．也就是三棱锥A－A1BC1的高h．
由上可知，等积法与作辅助平面法紧密相连，它是以辅助平面为底，与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成一个三棱锥，若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积，便可利用等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高，即异面直线间的距离．
3 极值法
运用极值法求异面直线a、b的距离是先在a(或b)上取点A，过A点作AB⊥b，设某一线段为x，列出AB关于x的函数表达式AB＝f(x)，求出AB的最小值，就是所求异面直线间的距离．其理论依据是两异面直线间的距离是连接两直线中最短线段的长．
例5 如图5所示，圆锥底面半径为R，母线长为2R，AC为轴截面SAB的底角A的平分线，又BD为底面的一条弦，它和AB成30°的角，求AC与DB之间的距离．
解：在AC上任取一点E，作EF⊥AB，垂足为F，则EF⊥底面．
设EF＝x
∵△SAB是正三角形(AB＝SA＝SB＝2R)
4 定义法
用定义法的关键要会作出直线的公垂线，对于简单的(如若两异面直线互相垂直，则宜于用此法求，前面线面垂直法已介绍过)，但在一般情形下，由于不易作出两异面直线的公垂线，所以稍难一点就不用此法，而用极值法来解决．
此外，还有用射影法、公式法来求两异面直线间的距离，因不常用，故不再举例．。