“点面距离”的常用解法(文科)
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法求点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们经常需要计算一个点到一个平面的距离，这个距离可以用来判断点是否在平面上，或者用来计算点到平面的投影等。
下面介绍几种常用的求点到面距离的方法：1. 点到平面的投影点到平面的投影是求点到面距离的一种常用方法。
它的基本思想是将点沿着法向量投影到平面上，然后计算投影点到原点的距离。
具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
2. 点到平面的距离公式点到平面的距离公式是另一种常用的求点到面距离的方法。
它的基本思想是将点到平面的距离分解为点到平面法向量的投影和平面法向量的长度两部分，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是平面上的任意一点，n是平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
3. 点到三角形的距离点到三角形的距离是求点到面距离的一种特殊情况。
它的基本思想是将点到三角形所在平面的距离和点到三角形的距离两部分相加，具体的计算公式如下：d = |(P - Q) · n| / |n|其中，P是点的坐标，Q是三角形所在平面上的任意一点，n是三角形所在平面的法向量，·表示点积运算，|n|表示向量n的模长。
求点到面距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到了三维空间中的点和面的计算。
在实际应用中，我们可以根据具体的情况选择不同的方法来求解点到面的距离，以满足不同的需求。
“点面距离”的常用解法(文科)
“点面距离”常见求法（文科）------南安新营中学李志参背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。
教学目标：掌握点面距离常见求法教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用教学过程：一：复习求点面距离常见求法1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求）2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法二：典例分析已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求（1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面EFG 的距离.（3）点B 到平面EFG 的距离.（4）点A 到平面EFG 的距离.解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2（2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF.又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC.所以EF ⊥平面GHO.在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ，得即点O 到平面EFG 的距离为（3）解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ，∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点.C G AB D E F H O又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，记点B 到平面EFG 的距离为h故点B 到平面EFG 的距离为：（4）（比例法）∵AH=HO ，∴点A 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离 三：课堂小结: 求点面距离的方法大致有如下几种：1．直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示距离的线段；再证明它就是所要求的距离；然后再计算，特别要注意第二步的证明。
点与平面的距离与角度计算
点与平面的距离与角度计算在数学几何学中，点与平面的距离与角度计算是一项重要的任务。
这些计算可以帮助我们理解点和平面之间的关系，并用于解决许多实际问题。
本文将介绍点与平面的距离计算以及点与平面之间的夹角计算方法。
一、点与平面的距离计算1. 点到平面的距离公式设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，点P(x0, y0, z0)为平面外一点。
点P到平面的距离公式如下：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中，|Ax0 + By0 + Cz0 + D|表示点到平面的有向距离，即考虑了点在平面的上方或下方。
2. 示例假设平面方程为2x - 3y + 4z - 5 = 0，点P(1, 2, 3)为平面外一点。
根据距离公式，我们可以计算点P到平面的距离。
代入平面方程和点P的坐标：d = |2*1 - 3*2 + 4*3 - 5| / √(2^2 + (-3)^2 + 4^2)= |2 - 6 + 12 - 5| / √(4 + 9 + 16)= 3 / √29因此，点P到平面的距离为3 / √29。
二、点与平面的角度计算1. 点与平面的夹角公式设平面法线向量为N(A, B, C)，向量OP(r, θ, φ)为由原点O指向点P 的向量。
点与平面的夹角θ计算公式如下：cosθ = |A * r + B * θ + C * φ| / √(A^2 + B^2 + C^2) * √(r^2 + θ^2 + φ^2)其中，|A * r + B * θ + C * φ|表示点向量在平面法线向量上的投影的长度，考虑了点在平面的上方或下方。
2. 示例设平面法线向量为N(1, -2, 3)，点向量OP(1, 1, 1)。
根据夹角公式，我们可以计算点P与平面的夹角。
代入法线向量和点向量的坐标：cosθ = |1 * 1 + (-2) * 1 + 3 * 1| / √(1^2 + (-2)^2 + 3^2) * √(1^2 + 1^2 + 1^2)= |1 - 2 + 3| / √(1 + 4 + 9) * √3= 2√3 / √14 * √3因此，点P与平面的夹角θ为arccos(2√3 / √14 * √3)。
点到面距离求解技巧
点到面距离求解技巧点到面的距离是计算计算机图形学中常见的问题之一，它用于确定给定点与给定平面之间的最短距离。
在本文中，我们将介绍如何计算点到平面的距离，并提供一些求解技巧。
1.点到平面的距离公式点到平面的距离可以通过向量运算来计算。
给定平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是平面的系数。
点P(x0, y0, z0)到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|是点P到平面的有向距离，√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法向量的长度。
2.点到平面距离的向量推导我们可以将点到平面的距离表示为该点到平面投影点的距离。
设点Q(x, y, z)为点P(x0, y0, z0)在平面上的投影点，那么向量PQ与平面的法向量垂直，也就是说，它们的点积为零。
根据向量点积的定义，我们可以得到：(A, B, C)·((x - x0, y - y0, z - z0)) = 0展开上述式子并整理，得到：Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0这就是点到平面的投影点的坐标。
接下来，我们可以计算点P到平面的有向距离d。
根据直线的距离公式，我们有：d = |PQ| = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)将上述公式展开并整理后，可以得到点到平面距离的公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)3.点到平面距离的应用点到平面的距离在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
例如，在三维计算机图形中，我们可以使用点到平面距离来实现碰撞检测、裁剪算法和视景体计算等。
同时，点到平面的距离也可以用于优化算法，例如最小二乘法中的参数估计和误差优化。
4.求解技巧求解点到平面距离的过程中，有一些技巧可以加速计算。
(高三文科)今日作业：求点到平面的距离常用方法2015-11-17
今日作业：求点到平面的距离常用方法2015-11-17
1.定义法：过点找到平面的垂线，从而求出距离。
2.转移法：分为平行转移和按比例转移两种方法，转化成其它点到面的距离：
3.等体积法：利用三棱锥的体积不变，换底求高。
例１．如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，
求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离
变式：在棱长为1的正方体
1
1
1
1
D
C
B
A
ABCD 中,
点P在棱
1
CC上，且
1
CC=4CP,求点P到平面
1
ABD距离。
例2．如图PA⊥正方形ABCD所在的平面,且PA=AB=4,
E、F分别是AB、PC中点，求B到平面DEF距离。
例3．已知，如图正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，
E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。
例4.如图，三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱
A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
1)求点A到平面B1BCC1的距离；
2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.
，
C
A A。
高中数学总结归纳 点面距离的几种求法
1点面距离的几种求法立体几何中的距离种类很多,最常见的也是最重要的当数点面距离.这里就对点面距离的求法进行一些探讨,供同学们参考.一、直接法:即直接由点向面作垂线,求出垂线段的长度. 例1 如图1,PA 垂直于边长为4的正方形ABCD 所在的平面求点A 到平面PBD 的距离.解析:连结AC 、BD 交于点O,连结PO,则AC ⊥BD.又PA ⊥面则PA ⊥BD,BD ⊥面PAO.过A 作AH⊥PO 于H,则BD ⊥AH,AH ⊥面即AH 就是点A 到平面PBD 的距离.在Rt △PAO 中,PA=3,AO=22,则PO=17,∴AH=1734617223=⋅=⋅PO AO PA ,即点A 到平面PBD 的距离为17346.二、间接法:即直接求解相对困难时,可采用间接转化的办法.例2 如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ,求点A 1到面AB 1D 1的距离. 解析: ∵AB 1=B 1D 1=AD 1=2a , ∴=∆11D AB S 2223)2(43a a =⋅. 由111111D AB A B AA D V V --=,易得A 1到面AB 1D 1a 33. 例3 如图3,已知斜三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面AA 1C 1C ABC 垂直,∠ABC=90°,BC=2,AC=23,且AA 1⊥A 1C,AA 1=A 1C. (1)求侧棱A 1A 与底面ABC 所成角的大小; (2)求侧面A 1ABB 1与底面ABC 所成二面角的大小;2(3)求CC 1到侧面A 1ABB 1的距离.解析:(1)问,(2)问解析略.(3)问因为CC 1∥面A 1ABB 1 ,所以CC 1到面A 1ABB 1的距离就等于点C 到面A 1ABB 1的距离.由B AA C ABCA V V 11--=,可得点C 到面A 1ABB1的距离为3,所以CC 1到侧面A 1ABB 1的距离为3.总之,我们在求点面距离时,一方面注意能否直接求解,另一方面多从转化入手,增强转化意识,问题就一定能迎刃而解.。
求“点面距离”常用的几种基本方法
易得 A1 E = 2． 所 以 由 OK · A1 E = OE · A1 O，OE = 1，
A1
O
=
槡3，OK
=
槡3 2
．
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法二（ 等体积法） ： 欲求 C 点到平面 A1 ABB1 的距离， 只需求出三棱锥 C － A1 AB 的高即可．
数学学习与研究 2019. 9
所以 C 点到平面 A1 ABB1 的距离为槡3． 解法三 （ 直 接 法 ） ： 直 接 找 出 C 点 到 平 面 A1 ABB1 的 距离．
如图 4 所 示，过 B 作 BF ∥ A1 E 交 A1 B1 于 F，连 接 CF，则：
} } AB⊥A1 E，AB⊥BF，
AB⊥平面 BCF，
由 AB⊥BC，
A1 ACC1 ⊥底面 ABC 交于 ACA1 O⊥平面 ABC． 所以∠A1 AO 为 A1 A 与面 ABC 所成的角． 因为 AA1 ⊥A1 C，AA1 = A1 C，所以 ∠A1 AO = 45°．
图3
图4
（ Ⅱ） 如图 4 所示，过 O 作 OE⊥AB 于 E，连接 A1 E，则由 A1 O⊥平面 ABCA1 E⊥AB． 所以∠A1 EO 是侧面 A1 ACC1 与 底面 ABC 所成二面角的平面角． 由 AB⊥BCEO∥BC，又因
（ a）
（ b）
图1
（ 3） 如图 1 （ b） 所示，M 为线段 AB 的中点，M∈α，A，B
两点分别在平面 α 的异侧，则 A，B 两点分别到平面 α 的距
离 AO，BO1 相等，即 AO = BO1 ． 所以 A，B 两点到平面 α 的距 离可以相互转化．
三、等体积法
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
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“点面距离”常见求法（文科）
------南安新营中学李志参
背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。
教学目标：掌握点面距离常见求法
教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用
教学过程：
一：复习求点面距离常见求法
1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求）
2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法
二：典例分析
已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求
（1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面EFG 的距离.
（3）点B 到平面EFG 的距离.（4）点A 到平面EFG 的距离.
解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2
（2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF.
又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC.
所以EF ⊥平面GHO.
在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离
在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ，
得即点O 到平面EFG 的距离为
（3）
解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ，
∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为
解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点.
C G A
B D E F H O
又因为EG=FG ，所以GH ⊥EF ，
记点B 到平面EFG 的距离为h
故点B 到平面EFG 的距离为：
（4）（比例法）∵AH=HO ，∴点A 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离 三：课堂小结: 求点面距离的方法大致有如下几种：
1．直接法：步骤是“一作，二证，三计算”，即先作出表示距离的线段；再证明它就是所要求的距离；
然后再计算，特别要注意第二步的证明。
2．间接法：包括等体积法和转化法，转化法即点面距离转化为线面距离（面面距离）；点面距离之间
转化，直到求出为止。
四：课堂练习与作业：（至少用二种方法求解） 如图已知在正方体ＡＣ′中，棱长为ａ，求点Ａ′到平面ＡＢ′Ｄ′的距离
分析:（法１）在正方体ABCD--A ′B ′C ′D ′中, ∵A ′B ′= A ′D ′= A ′A,∴点A ′在
平面AB ′D ′的射影是等边△AB ′D ′的外心,连接A ′C ′、B ′D ′交点E ，连接
AE ，则A ′在平面AB ′D ′的射影H 在中线AE 上，由于等边三角形
的“五心”合一，即H 是重心，在AE 的三等分点且靠近E 点，
在等边三角形AB ′D ′中，AE=a 223⋅，AH=ａ３ＡＥ＝３２6在直角三角形A ′ＨＡ中，A ′Ｈ＝a AH 33A A'22=- 即A ′到平面AB ′D ′的距离为a 3
3 （法２）由A ′C 在平面A ′B ′C ′D ′的射影为A ′C ′，而A ′C ′⊥D ′B ′，由三垂线定理（及逆定理）可知A ′C ⊥D ′B ′，同理可证A ′C ⊥AB ′、A ′C ⊥AD ′ 。
于是A ′C ⊥面AD ′B ′ 即面A ′ACC ′⊥面AB ′D ′ 连接A ′C 与AE 交H 点，由面面垂直的性质定理可知A ′H 的长即为所求。
求解略。
(法3)：等体积法 利用''''''''D B A A D AB A V
V --=即可
五：教学反思 Ｄ′ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ
Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ Ｅ Ｈ。