点到平面的距离的七种求法
求点到平面距离的基本方法
求点到平面距离的基本方法北京农大附中闫小川求点到平面的距离是立体几何中的一个基本问题，是高考的一个热点，也是同学学习中的一个难点.本文通过对一道典型例题的多种解法的探讨，概括出求点到平面的距离的几种基本方法.例（2005年福建高考题）如图1，直二面角E ABD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EB AE，F 为CE 上的点，且BF平面ACE.(Ⅰ)求证：AE 平面BCE ；(Ⅱ)求二面角E ACB的大小；(Ⅲ)求点D 到平面ACE 的距离.FEDCBA图1(Ⅰ)、(Ⅱ)解略，(Ⅲ)解如下：一、直接法利用两个平面垂直,直接作出点到平面的距离. 如图2,A,,l , l AM,则AM.AM 为点A 到平面的距离.图2解：如图3，过点A 作AG EC ，连结CG DG,，则平面ADG ∥平面BCE ，∵平面BCE 平面ACE ，∴平面ADG 平面ACE ，作,AG DH垂足为H ，则DH平面ACE.∴DH 是点D 到平面ACE 的距离. 在ADG Rt 中，.332622AGDG AD DHABCDEFGH图3二、平行线法如图4,l A ,l ∥,B 为l 上任意一点, AM,BN,则BN AM.点A到平面的距离转化为平行于平面的直线l 到平面的距离，再转化为直线l上任意一点B 到平面的距离.图4解：如图5，过点D 作DMAE ，连结CM ，则DM ∥平面ACE ，点D 到平面ACE 的距离转化为直线DM 到平面ACE 的距离，再转化为点M 到平面ACE 的距离.作,CE MN垂足为N ，∵平面CEM 平面ACE ，∴MN平面ACE ，∴MN 是点M 到平面ACE 的距离. 在CEM Rt 中，.332622CECMEM MNN MABCDEF图5三、斜线法利用平面的斜线及三角形相似,转化为求斜线上的点到平面的距离. 如图6、7, O l，l BA,, AM ,BN,若t BOAO ,则BN t AM .点A 到平面的距离转化为求直线l 上的点B 到平面的距离.图6图7解：如图8，BD 与AC 的交点为Q ，即BD 平面Q ACE，∵BQ DQ，∴点D 到平面ACE 的距离与点B 到平面ACE 的距离相等. ∵平面BCE平面ACE ，BF平面ACE ，∴BF 是点B 到平面ACE 的距离. 在BCE Rt 中，.332622CEBE BC BFQ ABCDEF图8四、线面角法如图9，OP 为平面的一条斜线，OP A ，l OA，OP 与所成的角为，A 到平面的距离为d ，则由斜线和平面所成的角的定义可知，有sin l d.经过OP 与垂直的平面与相交，交线与OP 所成的锐角就是OP 与所成的角，这里并不强求要作出A 在上的射影B ，连结OB 得.图9解：如图10，∵BF 平面ACE ，∴平面BDF平面ACE ，BQF 为DQ 与平面A C E 所成的角为,则点D 到平面A C E 的距离sinDQ d.由(Ⅱ)知二面角E ACB的正弦值为36，得36sin.∴D 到平面ACE 的距离332362d.QFEDCBA图10五、二面角法如图11，l ，、所成二面角的大小为，A ，l AB ，a AB ，点A 到平面的距离d AO ，则有sin a d .也就是二面角的大小，而不强求作出经过AB 的二面角的平面角.图11解：如图12，∵平面ACD 平面ACEAC ，DQ平面ACD ，AC DQ，设二面角E ACD的大小为，则点D 到平面ACE 的距离sinDQ d.由(Ⅱ)知二面角E ACB 的正弦值为36，得36sin.∴D 到平面ACE 的距离332362d.ABCDEFQ图12六、体积法解：如图13，过点E 作AB EO 交AB 于点O ,1OE.∵二面角E ABD为直二面角，∴EO ⊥平面ABCD.设D 到平面ACE 的距离为h ，,ACDEACEDV V ∴.3131EO ShSACDACEAE 平面BCE ，∴EC AE . ∴.3326221122212121EC AE EO DC AD h∴点D 到平面ACE 的距离为.332OF EDCBA图13七、向量法解：如图14，以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系xyz O，AE 平面BCE ，BE 平面BCE ，∴BE AE，在AB O AB AEB Rt 为中,2,的中点，∴1OE,∴).2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(C E A ).2,2,0(),0,1,1(ACAE设平面ACE 的一个法向量为),,(z y x n ，则.022,0,0,0z y y x nAC n AE 即。
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式
点到平面的距离公式：d=|Ax0+By0+Cz0+D|/√(A²+B²+C²)。
点到平面距离是指空间内一点到平面内一点的最小长度。
特殊的，当点在平面内时，该点到平面的距离为0。
计算一点到平面的距离，通常可通过向量法或测量法求得。
点到平面距离怎么求
一般方法：
确定一个点的射影（如垂足）位置的方法（分情况）①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②若一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角平分线上；③若一条直线与一个角的两边夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角平分线上；④两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影必在这两个平面的交线上；⑤若三棱锥的侧棱相等或侧棱与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的外心；⑥若三棱锥顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的内心（或旁心）；
⑦若三棱锥的侧棱相互垂直或各组对棱相互垂直，那么顶点在底面上的射影是底面三角形的垂心。
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
空间几何向量法之点到平面的距离
空间几何向量法之点到平面的距离1、要求一个点到平面的距离,可以分为三个步骤:(1) 找出从该点出发的平面的任意一条斜线段对应的向量; (2) 求出该平面的法向量;(3) 求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值,再除以法向量的模,这就就是该店到平面的距离。
例子:点A 到面α的距离AB n d n•=u u u u r r r(注:AB 为点A 的斜向量,n →就是α面的法向量,点B 就是面α内任意一点。
)2、求立体几何体积(向量法) 体积公式:1、柱体体积公式:.V S h =2、椎体体积公式:1.3V S h =3、球体体积公式:343V R π=课后练习题例题:在三棱锥B —ACD 中,平面ABD ⊥平面ACD,若棱长AC=CD=AD=AB=1,且∠BAD=300,求点D 到平面ABC 的距离。
要求平面α外一点P 到平面α的距离,可以在平面α内任取一点A,则点P 到平面α的距离即为d=||PA =⋅建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,21-),B(21213,0,-),C(0,,023),D()0,0,21∴)0,,(2321=,),0,(2123=,)0,,(2321-=设=(x,y,z)为平面α的一个法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅0023212123y x AC n z x∴x z x y 3,33-=-= ,可取)3,1,3(-=n代入d =得,1339132323==+d ,即点D 到平面ABC 的距离就是1339。
1、 已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)就是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离、解:设),,(z y x n =就是平面ABC 的一个法向量,则由0n AB =g 及10n BC =g ,得2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于就是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n n u u u r r g r =1749=171749、2、已知四边形ABCD 就是边长为4的正方形,E 、F 分别就是AB 与AD 的中点,GC ⊥平面ABCD,且GC=2,求点B 到平面EFG 的距离、解:建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz,则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0),∴GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0)、设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =,则由0n GE =g 及0n GF =g ,得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩⇒x=y z 3y⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于就是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=、 3、在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求点C 1到平面A 1BD 的距离。
点到平面距离的若干求解方法
点到平面距离的若干求法1 定义法求点到平面距离(直接法)定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法。
定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。
以下几条结论常常作为寻找射影点的依据:(1)两平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。
(2) 如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。
(3)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。
设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线。
(4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。
例 如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面AB D ''的距离。
(注:本文所有解法均使用本例)图4解法一(定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ，垂足为H ，下面证明A H '⊥平面AB D ''。
图5AA '⊥平面A B C D '''' ∴B D ''⊥AA '又 在正方形A B C D ''''中，对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''= AA '⊂平面AA E ', A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E ' A H '⊂平面AA E ' ∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D '' AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义，A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
点到平面的距离公式高等数学
点到平面的距离公式高等数学点到平面的距离公式是高等数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。
本文将介绍点到平面的距离公式的定义、推导过程和应用，并深入探讨其背后的数学原理和几何意义。
一、点到平面的距离公式的定义点到平面的距离公式是指，给定一个点P和一个平面Π，求点P 到平面Π的距离d。
这个距离可以看作是点P到平面Π上最近点的距离。
点到平面的距离公式可以用下面的公式表示：d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a + b + c)其中，(x0, y0, z0)是平面上的一个点，a、b、c是平面的法向量的三个分量，d是平面的截距。
二、点到平面的距离公式的推导过程点到平面的距离公式的推导过程比较复杂，需要使用向量的知识和线性代数的基本概念。
下面我们来简单介绍一下推导的过程。
首先，我们可以将点P到平面Π的距离d看作是点P到平面Π上的某个点Q的距离。
因此，我们需要求出平面Π上的点Q，然后再计算点P到点Q的距离。
为了求出平面Π上的点Q，我们可以使用平面的法向量a、b、c。
假设点Q的坐标为(x, y, z)，那么点Q到平面Π的距离为：d = |ax + by + cz + d| / √(a + b + c)为了使d最小，我们需要让点Q到点P的向量和平面的法向量垂直，即：(PQ)·(a, b, c) = 0其中，(PQ)表示向量PQ的点乘积。
将向量PQ表示为(x-x0, y-y0, z-z0)，并代入上式，我们可以得到：a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0将这个式子化简一下，得到：ax + by + cz + d = 0这个式子就是平面Π的方程。
因此，平面Π上的点Q的坐标为： x = x0 - (ad + bx0 + cy0 + dz0) / (a + b + c)y = y0 - (bd + ay0 + cz0 + dz0) / (a + b + c)z = z0 - (cd + az0 + by0 + dz0) / (a + b + c) 将这个点代入点P到点Q的距离公式中，我们就可以得到点到平面的距离公式。
2021届高考数学立体几何专题：点到平面的距离(学生版)
立体几何专题点到平面的距离定义：从平面外一点向平面作垂线，这个点与垂足之间的距离叫这个点到平面的距离。
作用：（1）求几何体的体积；（2）求直线与平面所成的角；（3）求二面角；方法一：直接法，根据题意得到平面α外一点P 在平面α内的射影O ，建立三角形，解出PO 的长度。
【题型一】根据已知条件直接找出点P 在平面α内的射影。
如：①正棱锥的顶点在底面内的射影是底面正多边形的中心；②侧棱长相等的棱锥的顶点在底面内的射影是底面多边形的外心；③三棱锥P ﹣ABC 的三侧棱两两垂直，则顶点在底面的射影是底面三角形的垂心；【典例】在三棱锥P ﹣ABC 中，PA=PB=PC=AC ，AB ⊥BC ，求PB 与底面ABC 所成角的大小.【题型二】利用平面与平面垂直的性质定理，找出点P 在平面α内的射影。
【典例1】（2011重庆文）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AC=AD=2，BC=CD=1.（Ⅰ）求四面体ABCD 的体积；（Ⅱ）求二面角C ﹣AB ﹣D 的平面角的正切值。
【典例2】（2012年天津文）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC=1，PC=32，PD=CD=2.（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值；（II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。
ABCPABCPD ABCD【题型三】根据已知条件，证明PO ⊥α.【典例1】（2016全国Ⅱ）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE=CF ，EF 交BD 于点H ，将△DEF 沿EF 折到△D′EF 的位置.（Ⅰ）证明：AC ⊥HD′；（Ⅱ）若AB=5，AC=6，AE=45，OD′=22，求五棱锥D′﹣ABCFE 的体积【典例2】如图，长方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，AE =A 1E ，AB =3，BE ⊥EC 1．（1）求BC 1与平面EB 1C 1所成角的正弦值；（2）求四棱锥11E BB C C -的体积．方法二：平行线转移法若直线l ∥α，则直线l 上任意一点到平面α的距离相等。