数的开方精品PPT教学课件
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《数的乘方与开方》课件
开方的运算顺序
先乘除后加减，有括号先 算括号里面的。
开方的运算律
结合律、交换律、分配律 。
03
乘方与开方之间的关系
乘方与开方的转换关系
乘方的开方
乘方的逆运算，即求一个数的乘 方的算术平方根。例如，求2的三 次方的算术平方根是2的平方根。
开方的乘方
开方的逆运算，即求一个数的算 术平方根的乘方。例如，求2的平 方根的三次方是2的立方根。
乘方与开方在数学中的应用
乘方在数学中的应用
在代数、几何和概率统计等领域中， 乘方运算常用于表示数的幂次、计算 幂和以及解决与指数相关的问题。
开方在数学中的应用
在代数、几何和工程等领域中，开方 运算常用于求解平方根、立方根、四 次方根等，以及解决与平方、立方等 相关的几何问题。
04
数的乘方与开方的实际应用
高计算效率。
乘方的应用
乘方在数学、物理、工程等领域 有着广泛的应用。例如，在计算 面积、体积、速度等方面，乘方
可以简化计算过程。
乘方的注意事项
在计算乘方时，需要注意负数的 奇次方仍为负数，负数的偶次方 为正数；同时，当底数为0且指
数为非整数时，结果为0。
02
数的开方
开方的定义
定义：求一个数的平 方根的运算，叫做开 方。
科学计算中的乘方与开方
科学计中的乘方运算
在数学、物理、工程等领域，经常需要进行乘方运算，例如计算面积、体积、 指数函数等。掌握乘方运算的规则和方法，能够提高科学计算的效率和准确性 。
开方运算在科学计算中的应用
开方运算在科学计算中有着广泛的应用，例如求解一元二次方程、求矩阵的逆 和行列式等。掌握开方运算的规则和方法，能够解决许多实际问题。
最新八年级上册数学精品课件第11章 数的开方
第11章 数的开方
11.1 平方根与立方根
知识点 平方根
平方根节是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正 好是当年年份最后两位数字的算术平方根,例如2009年的3月3 日,2016年的4月4日.
知识点 平方根
√ + a 是求非负数a的平方根,因为没有一个数的平方等于负数,所以负
数没有平方根.
知识点 实数的性质
存在两个和为零的无理数,所以互为相反数的两个实数可都为 无理数.
知识点 实数的大小比较
边长为a的正方形的面积是5,下图三个小伙伴的两次站队的位 置完美诠释了边长a的整数部分的确定方法. 第一次:
第二次:
知识点 实数的运算
某丝巾的形状是等腰钝角三角形.
知识点 实数的运算
某厂在下图所示的方格纸中设计出面积最大的丝巾,求出三边 的长的过程就是实数运算的过程.
知识点 利用计算器求一个数的立方根
利用科学计算器可以求出一个数的立方根.
第11章 数的开方
11.2 实 数
知识点 无理数的概念
公元前500年,希伯索斯发现了一个惊人的事实,一个正方形的 对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对 角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万 物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭.人们为了纪念希伯索斯 这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理 数”——这就是无理数的由来.
知识点 开平方
开平方时,被开方数a必须是非负数.
知识点 利用计算器求一个正数的算术平方根(了解)
知识点 立方根
两个正方体的对话完美诠释了立方根的概念及其求法.
知识点 立方根
知识点 开立方
4阶魔方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小正方 体组成,求体积为64的4阶魔方的边长的过程就是开立方运算.
11.1 平方根与立方根
知识点 平方根
平方根节是数学爱好者的节日,这一天的月份和日期的数字正 好是当年年份最后两位数字的算术平方根,例如2009年的3月3 日,2016年的4月4日.
知识点 平方根
√ + a 是求非负数a的平方根,因为没有一个数的平方等于负数,所以负
数没有平方根.
知识点 实数的性质
存在两个和为零的无理数,所以互为相反数的两个实数可都为 无理数.
知识点 实数的大小比较
边长为a的正方形的面积是5,下图三个小伙伴的两次站队的位 置完美诠释了边长a的整数部分的确定方法. 第一次:
第二次:
知识点 实数的运算
某丝巾的形状是等腰钝角三角形.
知识点 实数的运算
某厂在下图所示的方格纸中设计出面积最大的丝巾,求出三边 的长的过程就是实数运算的过程.
知识点 利用计算器求一个数的立方根
利用科学计算器可以求出一个数的立方根.
第11章 数的开方
11.2 实 数
知识点 无理数的概念
公元前500年,希伯索斯发现了一个惊人的事实,一个正方形的 对角线与其一边的长度是不可公度的(若正方形的边长为1,则对 角线的长不是一个有理数),这一不可公度性与毕氏学派的“万 物皆为数”(指有理数)的哲理大相径庭.人们为了纪念希伯索斯 这位为真理而献身的可敬学者,就把不可通约的量取名“无理 数”——这就是无理数的由来.
知识点 开平方
开平方时,被开方数a必须是非负数.
知识点 利用计算器求一个正数的算术平方根(了解)
知识点 立方根
两个正方体的对话完美诠释了立方根的概念及其求法.
知识点 立方根
知识点 开立方
4阶魔方,又称“魔方的复仇”,由四层完全相同的64个小正方 体组成,求体积为64的4阶魔方的边长的过程就是开立方运算.
八年级数学数的开方(PPT)3-1
间还存在一个软流圈，它是地球外圈与地球内圈之间的一个过渡圈层，位于地面以下平均深度约公里处。这样，整个地球总共包括八个圈层，其
中岩石圈、软流圈和地球内圈一起构成了所谓的固体地球。对于地球外圈中的大气圈、水圈和生物圈，以及岩石圈的表面，一般用直接观测和测
量的方法进行研究。而地球内圈，主要用地球物理的方法，例如地震学、重力学和高精度现代空间测地技术观测的反演等进行研究。地球各圈层 在分布上有一个显著的特点，即固体地球内部与表面之上的
知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数
就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 a或 a 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有x为何值时，下列代数式有意义。
（1） 3 2x
（2） x 2 2 x
（3） x2 3
（4） （5）
1
3x 1
x 1 x 1
（6） (x 1)2
本初子午线（度经线）以东为东经E，本初子午线以西为西经W；、经度向东递增为东经E，经度向西递增为西经E。半球划分赤道分南、北半球 °W和°E分东、西半球地形与气候编辑气候主词条：气候因为地球气候从亘古到现在都有发生巨大变化并且这种变化将继续演进，很难把地球 气候概括。地球上与天地球的气候地球的气候(张)气和气候有关的自然灾害包括龙卷风、台风、洪水、干旱等。两极地气候被两个温度相差并非 很大的区域分隔开来：赤道附近宽广的热带气候和稍高纬度上的亚热带气候，降水模式在不同地区也差异巨大，降水量从一年几米到一年少于一 毫米的地区都有。[]地貌海陆分布地球总面积约为.7亿平方千米，其中约9.%（.89亿平方千米）是陆地，其余7.8%（.亿平方千米）是水。陆地 主要在北半球，有五个；股票入门基础知识 股票入门基础知识 ；大陆：欧亚大陆、非洲大陆、美洲大陆、澳大利亚大 陆和南极大陆，另个还有很多岛屿。大洋则包括太平洋、大西洋、印度洋，北冰洋和南冰洋五个大洋及其附属海域。海岸线共.万千米。极端海拔 陆地上最低点：死海-8米全球最低点：马里亚纳海沟-,米全球最高点：珠穆朗玛峰8,8.米人文地理编辑主词条：世界人口世界人口总数是人类在一 个特定的时间内在地球上生活的数目。根据美国人口调查局的估计，截至年月日，全世界约有7.8亿人。世界人口在世纪的黑死病后不断增长， 最快的世界人口增长率（高于.8%）出现于世纪年代。根据世界人口预测，世界人口将继续增长直到年。政区世界上共有个国家和地区，国家99 个，地区7个。亚洲（8个国家），欧洲（个国家/个地区）非洲（个国家/个地区）大洋洲（个国家/个地区）北美洲（个国家/个地区）南美洲 （个国家/个地区）。结构编辑综述主词条：地球圈层地球圈层分为地球外圈和地球内圈两大部分。地球外圈可进一步划分为四个基本圈层，即 大气圈、水圈、生物圈和岩石圈；地球内圈可进一步划分为三个基本圈层，即地幔圈、外核液体圈和固体内核圈。此外在地球外圈和地球内圈之
中岩石圈、软流圈和地球内圈一起构成了所谓的固体地球。对于地球外圈中的大气圈、水圈和生物圈，以及岩石圈的表面，一般用直接观测和测
量的方法进行研究。而地球内圈，主要用地球物理的方法，例如地震学、重力学和高精度现代空间测地技术观测的反演等进行研究。地球各圈层 在分布上有一个显著的特点，即固体地球内部与表面之上的
知识点归纳：
1、平方根 （1）平方根的意义：如果一个数的平方等于a ，这个数
就叫做a 的平方根。a的平方根记作: 2 a或 a 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方.
（2）平方根的性质 ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数 ②0有一个平方根，它是0本身 ③负数没有x为何值时，下列代数式有意义。
（1） 3 2x
（2） x 2 2 x
（3） x2 3
（4） （5）
1
3x 1
x 1 x 1
（6） (x 1)2
本初子午线（度经线）以东为东经E，本初子午线以西为西经W；、经度向东递增为东经E，经度向西递增为西经E。半球划分赤道分南、北半球 °W和°E分东、西半球地形与气候编辑气候主词条：气候因为地球气候从亘古到现在都有发生巨大变化并且这种变化将继续演进，很难把地球 气候概括。地球上与天地球的气候地球的气候(张)气和气候有关的自然灾害包括龙卷风、台风、洪水、干旱等。两极地气候被两个温度相差并非 很大的区域分隔开来：赤道附近宽广的热带气候和稍高纬度上的亚热带气候，降水模式在不同地区也差异巨大，降水量从一年几米到一年少于一 毫米的地区都有。[]地貌海陆分布地球总面积约为.7亿平方千米，其中约9.%（.89亿平方千米）是陆地，其余7.8%（.亿平方千米）是水。陆地 主要在北半球，有五个；股票入门基础知识 股票入门基础知识 ；大陆：欧亚大陆、非洲大陆、美洲大陆、澳大利亚大 陆和南极大陆，另个还有很多岛屿。大洋则包括太平洋、大西洋、印度洋，北冰洋和南冰洋五个大洋及其附属海域。海岸线共.万千米。极端海拔 陆地上最低点：死海-8米全球最低点：马里亚纳海沟-,米全球最高点：珠穆朗玛峰8,8.米人文地理编辑主词条：世界人口世界人口总数是人类在一 个特定的时间内在地球上生活的数目。根据美国人口调查局的估计，截至年月日，全世界约有7.8亿人。世界人口在世纪的黑死病后不断增长， 最快的世界人口增长率（高于.8%）出现于世纪年代。根据世界人口预测，世界人口将继续增长直到年。政区世界上共有个国家和地区，国家99 个，地区7个。亚洲（8个国家），欧洲（个国家/个地区）非洲（个国家/个地区）大洋洲（个国家/个地区）北美洲（个国家/个地区）南美洲 （个国家/个地区）。结构编辑综述主词条：地球圈层地球圈层分为地球外圈和地球内圈两大部分。地球外圈可进一步划分为四个基本圈层，即 大气圈、水圈、生物圈和岩石圈；地球内圈可进一步划分为三个基本圈层，即地幔圈、外核液体圈和固体内核圈。此外在地球外圈和地球内圈之
数的开方ppt课件
数学家所知道的无理数确实少的可怜：
知道得最多的只是各式各 样的根式，这是古希腊人即知道 的；其次是π与e两个非代数数。 那些比代数数多得多的无理数在 哪儿？1900年数学家希尔伯特 〔Hilbert，1862-1943〕提出著 名的23个数学问题即包括了这一 内容。然而，假设略微诘问一句 “(π+e)是无理数还是有理数〞？ 那么至今都没有严密的答案。
练习、判别题：
1．±12是144的平方根．( √ ) 2．-12是144的平方根．( √ ) 3．144的平方根是-12．( × ) (是±12) 4．-1的平方根是-1．( × ) (-1无平方根) 5．-1是1的平方根．( √ ) 6．(-1)2的平方根是-1．( × )(是±1)
例6、2019年某市全年完成国内消费总 值264亿元，比2019年增长23%，
五、算术平方根定义：
正数a有两个平方根，其中 正数a的正的平方根，也叫做a
的算术平方根，记作：2 a
阐明： 1、由于正数均有一正一负两个
平方根，所以正数均有算术平 方根．
做一做：
例2、说出以下式子的含义：
立方根
概念:假设一个数的立方等于a， 这个数就叫做a的立方根．(也称数a 的三次方根) .
即假设x3=a，那么x叫做a的立方 根，或称x叫做a的三次方根．
2.表示方法：
根号
根指数
不能省略
3a
被开方数
3 读作“三次根号〞；3 a 读作“三次根号a〞；
开立方概念： 求一个数的立方根的运算，
叫做开立方.
开立方运算 互为 逆 运算 立方运算．
立方根的性质： (1)正数有一个正的立方根； (2)负数有一个负的立方根； (3)0的立方根是0．
八年级数学上册课件-第11章-数的开方ppt
2
练习
1.判断下列说法是否正确： （1）两个无理数相加或相减结果一定是一 个无理数 （2）任意一个无理数的绝对值是正数.
2.计算：2 6 3 7 .（结果保留两位小数）
3.比较下列各组数中两个实数的大小：
（1）2 2和3 2
（2）
7 和
23
4.
1
，0，3
1
.
，0.15，
3,
，
2
5,
27
33
22 , 7 ,0.2022022202222... 中 72
整数有：
有理数有：
无理数有：
例题讲解
以前学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大 小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．
实数的相反数、绝对值意义和有理数是一样的.
如： 2 的相反数是 2， 的相反数是 ，
0的相反数是0．
求其对角线长？
做一做
(1)利用计算器求 2
(2)利用平方关系验算所得的结果
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方 等于2，也就是说， 2 不是一个有理数．
探究新知
问题 :
2是怎样的数 ?
你能 举几个 无理数的 例子
吗?
定义
无理数： 无限不循环小数叫做无理数． 实数： 有理数与无理数统称为实数．
实数的分类:
探究新知
情景引入：要制作一种容积为27cm3
的正方体形状的包装箱，这种 包装箱的边长是多少？
xcm
若容积为30，那边长为多少呢？
概括 上面所提出的问题，实质上就是要找 一 个 数 x ， 这 个 数 x 的 立 方 等 于 216. 即 x3=216。
因为63＝216，
所以正方体的棱长应为6 cm．
练习
1.判断下列说法是否正确： （1）两个无理数相加或相减结果一定是一 个无理数 （2）任意一个无理数的绝对值是正数.
2.计算：2 6 3 7 .（结果保留两位小数）
3.比较下列各组数中两个实数的大小：
（1）2 2和3 2
（2）
7 和
23
4.
1
，0，3
1
.
，0.15，
3,
，
2
5,
27
33
22 , 7 ,0.2022022202222... 中 72
整数有：
有理数有：
无理数有：
例题讲解
以前学过的有关有理数的相反数和绝对值等概念、大 小比较、运算法则以及运算律，对于实数也适用．
实数的相反数、绝对值意义和有理数是一样的.
如： 2 的相反数是 2， 的相反数是 ，
0的相反数是0．
求其对角线长？
做一做
(1)利用计算器求 2
(2)利用平方关系验算所得的结果
在数学上已经证明，没有一个有理数的平方 等于2，也就是说， 2 不是一个有理数．
探究新知
问题 :
2是怎样的数 ?
你能 举几个 无理数的 例子
吗?
定义
无理数： 无限不循环小数叫做无理数． 实数： 有理数与无理数统称为实数．
实数的分类:
探究新知
情景引入：要制作一种容积为27cm3
的正方体形状的包装箱，这种 包装箱的边长是多少？
xcm
若容积为30，那边长为多少呢？
概括 上面所提出的问题，实质上就是要找 一 个 数 x ， 这 个 数 x 的 立 方 等 于 216. 即 x3=216。
因为63＝216，
所以正方体的棱长应为6 cm．
(精品课件)八年级数学上册第11章数的开方11.1.1平方根教学课件新版华东师大版
4 5
25
即：. 4 2
，所以
4 25
的平方根是
2 5
25 25 5
（3）因为（±0.1）2 =0.01，所以0.01的平方根为±0.1
即 0.01 0.1 .
Excellent courseware
问题2：将2016开平方运算的结果是多少？如何计算呢？ 对于较大的数，或无法直接找到平方等于某个数时，可以借助 计算器来求一个数的算术平方根（有时会是近似值）.
Excellent courseware
2.判断 （1）5是25的算术平方根； （2）-6是36的算术平方根； （3）0的算术平方根是0； （4）0.01是0.1的算术平方根； （5）-5是-25的算术平方根.
3.你知道下列各式中字母x的取值范围吗？
x4
x4
2x 6
x 3
Excellent courseware
4、 5表示的意思是 5的算术平方根
概念 一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫 做a的算术平方根，也就是a的正的平方根.
记法 a（a≥0）的算术平方根记为 a ，读作“根号a”，另一个平 方根是它的相反数，即 a，因此正数a的平方根可以记
作 a，其中a叫做被开方数.
特殊：0的算术平方根是0. 记作 0=0 .
Excellent courseware
根号
±a
被开方数
（a是非负数，a≥ 0）
Excellent courseware
三 开平方运算
问题1：算一算，下面两种运算有什么关系？
x
x2
x2
x
+1
-1
1
+1 1
-1
中考数学总复习第一单元数与式第05课时数的开方课件
课前双基巩固
考点二 二次根式的有关概念
1. 二次根式 形如 ������(a≥0) 的式子叫做二次根式.
2 .最简二次根式 同时满足下列三个条件的二次根式叫做最简二次根式: (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (2)被开方数中不含分母; (3)分母中不含有根号.
课前双基巩固
考点三 二次根式的性质
∴
0.5,-
1
7 25
是同类二次根式,2
13,
12,
75是同类二次根式,
2������2������3,
50������������2是同类二次根式.
高频考向探究
探究三 二次根式的化简与计算
【命题角度】 (1)利用二次根式的两个公式,积的算术平方根、商的算术平方根的性质进行简单计算或变形; (2)进行二次根式的加、减、乘、除的混合运算. 例 5 [2016·泰州] 化简:12 12- 3 13+ 2 .
235
高频考向探究
[方法模型] 比较两个二次根式大小的方法有很多,最常用的是平方法和取倒数法,还可以将根号外的数移到 根号内比较,但这时要注意:(1)负号不能移到根号内;(2)根号外的正数要平方后才能从根号外移到根号内.
高频考向探究
拓考向
[2017·温州] 下列选项中的整数,与 17最接近的是 ( B )
C.±4 D.±8
高频考向探究
明考向
1. [2017·徐州 9 题] 4 的算术平方根是
.
[答案] 2 [解析] ∵22=4,∴4 的算术平方根是 2.
高频考向探究
拓考向
2. [2018·安顺] 4的算术平方根为 ( B )
A.± 2
B. 2
C.±2
华东师大版八年级上册 第11章 数的开方复习 课件(共17张PPT)
4、实数与数轴：
知 识
无限不循环小数叫做无理数。
如：2， 3， 5， ， 32， 33,2.030030003……等。
要5.有理数与无理数统称为实数。
点 （1）按定义分类有理：数正0 有理数有限小数或无限循环小数
实数
负有理数
无理数负正无无理理数数无限不循环小数
例题精选
例1、若一个正数m的平方根是3x-10 和 2x-5， 求这个正数m。
解：根据题意得 3x﹣10+2x﹣5=0 解得：x=3 则3x﹣10=﹣1 m=(- 1)2=1
例题精选
例2、若y= a 9 + 9 a +7
求 a + y 的平方根及立方根
解：由题意得 a - 9≥0 9 - a≥0
当堂检测
选择题
1．下列说法中正确的是（C）．
(A) 4是8的算术平方根 （B）16的平方根是4
(C) 6 是6的平方根 （D）- a 没有平方根
2．下列各式中错误的是（D）．
（A）± 0.36 ±0 .6 （B） 0 .36 0 .6 （C） 1 .44 1 .2 （D） 1 .44 ±1 .2
6、下列说法中，正确的是： （ D ）
（A）无限小数都是无理数
（B）带根号的数都是无理数
（C）循环小数是无理数
（D）无限不循环小数是无理数
7、与数轴上的点具有一一对应关系的是:（ B ）
（A）无理数
（B）实数
（C）整数
（D）有理数
8、下列说法中，不正确的是： （ D ）
（A）绝对值最小的实数是0
（B）平方最小的实数是0
则a - 9=0 即a = 9 当a = 9时，y = 7 则a + y =16
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2：√16的平方根是 2 算术平方根是 2
3: 一个数的平方根是a,则比这个数大5的数是 ________ c
A: a+5 B: a-5 C: a2+5
D: a2-5
4: 若x的立方根是4，则x的平方根是 8
5：(√3-2)2的平方根是 (2- √3 )
6：一个正数x的两个平方根分别是a+1和a-3,则a=____x=_____
( )
一个正数的算术平方根一定比这个数小
( )
2020/12/6
7
感谢你的阅览
Thank you for reading
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日期：
演讲者：蒝味的薇笑巨蟹
a+1+a-3=0a=1,x=4
_
7: 当a______时，√a+1 在实数范围内有意义__
a-1
2020/12/6
4
三：能力训练
1:填空
(1) 9的平方根是——25的算术平方根是—— ±3, 5 (2) 8的立方根是——–2 (3) (-7)²的算术平方根是—— 7 (4) 若|x|=√3,则x=_____ ±√3
数的开方
2020/12/6
1
一：双基回顾 1 ： 平方根—立方根的概念和性质
2020/12/6
2
平方根，立方根的概念和性质
平方根
立方根
概 若x2=a,则x叫做a的 若x3=a,则x叫做a
念 平方根
的立方根
算术平方根
正数a的正的平方 根，叫做a的算术 平方根
性 1：正数有2个平方根 1：正数有一个正的 1：0的算术平
下列说法错误的是( )
D
A：3是9的平方根
B：-3是9的平方根
C ： ±3是9的平方根
D： 9的平方根是3
一个实数，它的立方根等于本身，它的算术平方根也等于本身
那么这个实数是( )
A：1 B： ±1或0 C： 0 D：0或1
D
(-4)²的平方根是( A：16 B： -4
2020/12/6
) C： ±4
(5) 若a是√6的小数部分，则a²=_____
a=√6-2a2=10-4 √6
(6) 若a²=4,则a³=_____
±8
2020/12/6
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பைடு நூலகம்
2：选择
0.49的平方根是(
)
D
A 0.07 B ± 0.07 C 0.7 D ± 0.7
若m<0,则m²的算术平方根是( )
B
Am
B -m C ±m D ±√m
质 它们互为相反数
立方根
方根是0
2：0的平方根是0
2：负数有一个负的 2：当a0时，
3：负数没有平方根 立方根
√a0
3： 0的立方根是0
开 求一个数平方根的运算叫 求一个数立方根的运算
方 做开平方，开平方与平方 叫做开立方，开立方与
互为逆运算
立方互为逆运算
2020/12/6
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二：例题分析
1：16的平方根是 _4__ 算术平方根是 4___
D：没有平方根 C
6
3：判断 (-2)²的平方根是-2
( )
-1的立方根是-1 √4的算术平方根是2
( ) ( )
平方根与算术平方根相等的数只有0 ( ) 正数才有算术平方根 ( )
无理数就是开方开不尽的数 ( )
实数a的倒数是a-1
( )
任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 ( )
一个数的算术平方根一定是正数