静电场的镜像法
镜像法求解静电场
镜像法求解静电场
镜像法是求解静电场问题的一种常用方法，它可以将问题简化为一些已知边界条件的部分。
我们可以通过将电荷和导体的形状映射到空间中的另一侧来获得镜像电荷和镜像导体。
这样，我们就可以将问题转化为在一定边界条件下求解单个电荷或导体所产生的电场问题。
具体来说，对于一个导体，镜像法可以将其映射到空间中的另一侧，并将它的电势设为零。
这样，它在空间中的影像就成为了一条等势线。
通过这样的操作，我们可以将一个有限的导体问题转化为无限大空间中的等势面问题，大大简化了求解难度。
同样地，对于一个点电荷，我们也可以利用镜像法求解其产生的电场。
我们将其映射到空间中的另一侧，并计算出镜像电荷。
这样，我们可以将原问题转化为一个在有限空间中求解两个点电荷所产生
的电场问题。
镜像法的一个优点是它能够将问题简化为一些边界条件已知的
问题，从而减少了求解难度。
此外，它也可以应用于复杂问题的求解，如球形和柱形状的导体等。
- 1 -。
电动力学镜像法ppt课件
性，电势也应具有球对称性。当考虑较
r
远处场时，导体球可 视为点电荷。
2 0 (r a)
r 0
r3
(r 0) r , 0
B0 A
r
A
n r r 2
Q
0
r
dS
ra
0
A dS 0 A4 a 2
a2
a2
A Q
4 0
Q 4 0r
E
Q
(r a)
r Qr
2、导体内部电场为零；
3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率
为ε，导体表面的边界条件为
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关，
麦氏方程组的电场ห้องสมุดไป่ตู้分为
E 0
E
D 静电场的无旋性是它的一个重要特
性，由于无旋性，我们可以引入一
这两方程连同介质 的电磁 性质方程 D 是E 解决静
个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。
把单位正电荷由P1点移至 P2点，电场E对它所作的
功为
P2 E dl P1
这功定义为P1点和P2点的
电势差。若电场对
电荷做了正功，则电势
下降。由此
(P2 )
(P1 )
P2 P1
E
dl
镜像法在静电场边值问题中的应用
0, h ) 点, 电位函数 5 满足的是以 ∆ 函数表示的泊松方程:
2
Υ= -
Ε 0
q
∆( x , y , z - h ) , 这也没有变化 ],
这就保证了条件 ( 2) 。 于是原问题中 Z > 0 空间的点的电位可表示为: Υ=
q 1 ( 4Π Ε 0 r1 q
1
r2
) ( 3)
1 1 = { 2 2 2 2 2 1 2} (z - h ) 2 ]1 2 4Π Ε x + y + (z + h ) ] 0 [x + y +
图1
图 1, 无限大导体平面附近点电荷 + q 的镜像法取直角坐标系, z = 0 的平面与导体平面重合, 并设 此面为 O 电位面, 亦即导体平面接地, 因此点电荷 + q 与导体平面之间的电位必须满足下列条件: ( 1) Z = 0 处 ( 1) 5 = 0 ( 2) Z > 0 的空间里, 除点电荷+ q 所在的点外, 处处满足
r1 = a + d 2 2 2
4Π Ε 0 r1
q
+
4Π Ε 0 r2
q′
= 0
( 5)
2d 1 acosΗ , r2 2 = a 2 + d 2 2 - 2d 1 acosΗ
代入 ( 5) 式并整理得到
2 2 2 ( d 1 2 + a 2 ) ] + 2a ( q ′ [ q2 (d 2 2 + a 2 ) - q ′ d 1 - q d 2 ) cosΗ= 0
2
Υ=
4Π Ε 0
q
[
2
(
1
r1
镜像法与电轴法(静电场)
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
EP
2π0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
c) 场中任一点电位为
P
U0 2lnb(ha)
ln
2 1
b(ha)
U0
20 2lnb(ha)
b(ha)
分裂导线
在高压电力传输中，为了降低电晕 损耗，减弱对通信的干扰，常采用分裂
导线的方法，即将每一根导线分成几股 排列成圆柱形表面，以减弱传输线周围 的电场。（原理P50）
镜像法（电轴法）小结
2d
d
2
)2
a
2 1
已知一对半径为a,相距为d的长直圆柱导体传输线 之间电压为U0，试求圆柱导体间电位的分布。
a)确定电轴的位置
b2h2a2
b
d2h
(d)2a2 2
b) 场中任一点电位为
ln 2 2π0 1
由 U0AB解出
b (h a ) b (h a ) U 02 π0ln b (h a ) 2 π0ln b (h a )
谢谢大家聆听！！！
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镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一 性定理；
镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电 荷（电轴）替代未知电荷的分布，使计算场域为 无限大均匀介质；
镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷 （电轴）的个数（根数），大小及位置；
静电场中的镜像法与分离变量法
静电场中的镜像法与分离变量法摘要:静电场的基本问题是求解给定边界条件下的泊松方程或拉普拉斯方程的解，本文分别阐述在求解区域内有和没有自由电荷分布的情况下，应用镜像法和分离变量法求解;同时，举例来演示应用镜像法和分离变量法的解题思路、步骤和结果讨论以及一些注意点，并在相同情况下分别应用镜像法和分离变量法进行对比讨论;深入理解镜像法和分离变量法及其特征。
关键词:静电场、镜像法、分离变量法。
The Method of Mirror Image and the Separate Variational Method inthe Electrostatic FieldAbstract: The basic problem of electrostatic field is to explore the solution of Poisson equation or Laplace equation under its given boundary condition. This article respectively explains the approaches to explore the solution using mirror image and separate variational methods under the to-be-explore solution area situation which has and which lacks freedom electric chargedistribution .Meanwhile, it takes some instances to demonstrate the problem-solving thoughts and steps applying mirror image and separate variational methods. It also provides some discussions about the result and the points needing to be noted in the process of this demonstration. This writer also tries to help the readers todeeply understand the methods of mirror image and separatevariational methods and their characteristics by doing contrastdiscussion under the same condition. Keywords: the electrostatic field, the method of mirror image, the separate variational method.1、引言:静电场和电源外恒定电场的边值问题的求解，可归纳为在给定边界条件下，对拉普拉斯方程或泊松方程的求解。
《电动力学第三版》chapter2_4镜像法
P rꞌ b Qꞌ
r
Q
a
V 0
b R0 b R02
R0 a
a
Q'R0 Q a
球外任一点的电势
(P) 1 4π0
QR0Q r ar'
4π Q 0 (R2a22 1ac Ro )1 s/2(R2R a0 2 4R 20 Ra R a 0 2co )1 s/2
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
具体求解过程如下.
R2010 Q(xa, y0,z0) R0 0
(1)
(2) (3)
p QQ'4πQ ε0r4πQ ε0r' '4π1ε0(Q r Q r'')
设想，感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替. 如图,
设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q , 然 后把导体板抽去. 若Q =－Q，则假想电荷Q 与给定电荷Q激发的
总电场如图所示, 由对称性知，边界条件满足. 因此,导体板上的
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
(2) 由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷 的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的 导体或介质界面不存在. 也就是把整个空间看成是无 界的均匀空间. 并且其介电常量应是所研究场域的介 电常量.
(3) 镜像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实 的感应电荷或极化电荷有等效作用. 而其电荷量并不 一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过 在某些问题中，它们却恰好相等.
用镜像法求解静电场
3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关 系和边界条件。
2、与分离变量法比较 共同点：
1) 两种方法都是根据边值关系和边 界条件进行求解；
2) 可解的条件都是唯一性定理所要 求的分区均匀介质和边界条件。
不同点：
分离变量法
镜象法
Q’和a如何确定？
0
Q Q
z 0
x 2 y 2 a 2
x 2 y 2 a 2
QQ, aa 舍去正号解？
Q
1
1
[
]
40 x2y2 (z a )2 x2y2 (z a )2
接地导
Q
体外有
一点电
荷的电
势分布
图
例2 真空中有一半径为R0的接地导体 球，距球心为a（a>R0）处有一点电 荷Q，求空间各点的电势（如图）。
分离变量求解拉普拉斯方程
唯一性定理给出静电场可以唯一 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
② 球面感应电荷分布 （5）若导体不接地，导体上带上自由电荷，又如何分析？
接地导体外有一点电荷的电势分布图
求解的条件。 这是由电荷与电场之间的制约关系决定的。
导体球接地后，感应电荷总量不为零？ 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。
求解区域没有（或 求解区域有一个
电荷分布 者经过变换没有） 或者几个自由点
自由电荷分布
电荷
具体方法
分离变量求解拉 普拉斯方程
求解区域之外引入 象电荷取代感应电
荷
者电势法向导数唯一地确定。 （4）若导体不接地，电势不为零，
第二章 静电场 镜像法
解：先考虑介质1 中的电势，设想将下半空间换成 与上半空间一样，并在z=-a处有Q的像电荷Q' 来代替分界面上极化电荷对上半空间场的影响。 则在Z>0的区域，空间一点的电势为
`1
1
4 1
(Q r
Q) r
(1)
1
4 1
x2
y2
Q (z
a)2
1 2
ez
3. 真空中有一半径R0的接地导体球，距球心 a > R0 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
解：（1）分析： 因导体球接地故球的电 势为零。根据镜象法原 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上，即极 轴上。
1 [Q Q] 40 r r
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson’s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
a=b
பைடு நூலகம்
由以上三式解得
所以
Q 1 2 Q 1 2
Q 2 2 Q 1 2
1
Q
4 1
1
1 2
x2 y2 (z a)2 1 2
2 2 (1 2 )
Q x2 y2 (z a)2
(8)
1
设电量为 Q，位置为（0，0，a ）