电磁场理论课件 2-4镜像法
镜像法的基本概念与镜面对光的反射很相似。
1.导体外空间中的电场包括点电
导 体
荷Q所激发的电场和导体上感应
电荷所激发的电场。导体面上的
感应电荷可以由镜像电荷替代。
2.镜像法的理论基础:唯一性定理
注意：镜像电荷一定在所求场强 区域之外。
一 点电荷密度的-函数表示。
首先了解点电荷的电荷密度数学表达式。
22 0
Q 2 4 0R
Q 2 R R02 1 R R01 4 0R02
b R01 r R01 a r Q R01 Q
a
Q r
- Q r
b R012 a
电位分布为两点电荷电位加上一个常电位（球壳）
1
1 （Q 4 0 r
Q r
）
R R02
常数 1 S1 2 S2
Qf (x x0 )2 y2 z2
利用边值关系，可求得（也可代入边值验证）
所以解为
x0 x0
Qf
1 1
2 2
Q
f
1 x0 2 x0
1
1
x
x0
2
2
x
x0
1 2 0
1
Qf
41
[
1
1 2
(x x0 )2 y2 z2 1 2
1
]
(x x0 )2 y2 z2
2 2 (1 2 )
在 (x) 有一个点电荷 Q(x)，则空间电荷密度
分布可写作
(x)
Q
(
x
x)
二、举例：通过例题了解镜像法的应用，以 及导体附近电场分布的规律。
例1、接地无限大导体平面附近一点电荷Q， 求空间场分布。
如果设想去掉导体， 全空间为真空，在电 荷Q 像的位置(0, 0, -a) 上引入像电荷 .
Q Q
• 推广2、无限大接地平面外有两个或多个点 电荷，则可引入两个或多个像电荷。
• 例2、真空中一半径为 R0 的导体球接地， 距球心为 a 处(a R0 ) 有点电荷Q，求空间各 点电势分布。
Q Q 0
4 r 4 r
即：r Q 常数 rQ
r b R0 常数 r R0 a b R02
a
Q R0 Q a
1 [Q R0Q / a ] 40 r r
1 [
Q
40 R2 a2 2Ra cos
R0Q / a
]
R2 b2 2Rb cos
7、如果导体球壳内外半径分别为 R01 和 R02 ，
壳内一点电荷Q，导体球壳不接地，带有电 荷 Q0 ，求全空间电位分布。
分为球外和球内电势。 R<R01 R01<R<R02 R>R02
表面上感应电荷对点电荷 Q
的作用力
F
4
Q Q 0(a
b)2
ez
3、如果导体球不接地，带电量为 Q0
C 常数
-
r R0
r
r R0
ds
边界条件 Q0
怎么求电势分布？
1 [Q Q Q] 40 r r R
1 [Q - R0Q Q0 R0Q / a ]
4 pe0 r ar
R
• （1）由于没有改变上半空间的电荷分布, 所以在上半空间电位 所满足的方程不变.
• （2）根据对称性，电力线如图所示,都垂直
于z 0 的平面。所以 z 0的平面是等位
面。上半空间的电位分布可以用电荷 Q
和它的像电荷 Q 在上半空间产生的电位表 示。
结论：
• 1 只要引入的像电荷不在所研究的空间V之内， 则所研究的区域V内方程不变.
第4节 镜像法（电像法）
对于不同的具体问题，可用不同的方法来求解 静电场的解。
对于一些对称的电荷分布，采用高斯定理求解
电场的分布，是一种简便的方法。
对于没有自由电荷的区域，可以采用求
解拉普拉斯方程的方法得到电场的分布。
如果区域内有自由电荷，必须解泊松方程。
如果我们研究的电荷附近是有规则的导体面或 介质分界面时，可以采用一种特殊的方法求解 静电场，即镜像法。
• 例3．设有两种各向同性均匀介质分别充满
半无限空间，介质的介电常数分别为
和 2 ，介质1中有一自由电荷 Qf
，1 求
全空间场分布。
分析：对空间场有贡献的电荷有
1 自由电荷 Qf 2 自由电荷周围的极化电荷 3 界面上的极化面电荷
定解问题:
方程
21
Qf
1
(x x0, y, z)
22 0
边界条件：
1 2 0
边值关系：
1 x0 2 x0
1
1
x
x0
2
2
x
x0
分别考虑区域V1(x>0)和V2(x<0)内的电位分布.
1(x) 41
Qf
(x x0 )2 y2 z2 41
Qf (x x0 )2 y2 z2
2(x) 41QfFra bibliotek(x x0 )2 y2 z2 41
• 2 只要能保证引入像电荷后，原来的边界条件 不变，可以采用电像法求解电场分布。
• 3 引入像电荷后，全空间都看做一种均匀介质.
• 4 导体表面上感应电荷密度可由 求出， n 的方向由导体指向外.
n
• 推广1: 由两个接地导体平面组成一空间V时， 空间内有点电荷Q，则场分布有时可用电像 法求出。
b R02 a
Q R0 Q a
r b R0 常数 r R0 a
40F
Q(Q0 - Q) a2
QQ (a - b)2
QQ0 a2
-
Q2R03(2a2 - R02 ) a3(a2 - R02 )2
怎么求电势分布？
0
Q
4 0 R0
可求出Q
1 [Q 4 0 r
Q r
Q ] R
5、导体球外为多个点电荷情况.
a
Q R0 Q a
Q Q
因为Q发出的电场只有一部分收敛于球面
1 [Q R0Q / a ] 40 r r
1 [
Q
40 R2 a2 2Ra cos
R0Q / a
]
R2 b2 2Rb cos
讨论：
1、Q 0 时, 电力线如图所示. 导体球总感应
电荷为 Q R0 Q
.
a
作2、用点力电荷FQ所, 受实到际导上体是球导的体
Qf ( x x0 )2 y2 z2
1
Qf
4 1
[
2 0
1
(x x0 )2 y2 z 2
导体
1
]
(x x0 )2 y2 z 2
作业：9,11
如果导体球接地，则球外每个点电荷分别有自己的像电 荷。球外的电位分布, 等于球外所有点电荷和他们的像电 荷产生电位的迭加.
6、接地导体球壳内有一点电荷情况.
怎么求电势分布？
接地导体球壳内有一点电荷情况.
Q Q 0
4 r 4 r
即：r Q 常数 rQ
r b R0 常数 r R0 a b R02
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5-恒定磁场-4镜像法
r a1n
r
H1
µ1
r
µ2
H2
如果没有自由表面电流：r r r r an × H1 = an × H2
… 时，分界面切向分量连续— — H1τ = H2τ
矢量磁位… 连续— —
磁 场 中 “镜像法 ”
因为“唯一性”定理：… … 在不改变 恒定磁场区域内电流分布和边界条件的情况下， 用场域外的等效源 (电流 )代替边界对场的影响，来简化 场的计算。
电导线平行于分界面，距离为 a 求：单位长度磁介质同导线之间的作用力
I
a
µ
磁介质的边界条件－1
1. 磁感应强度
µ1
r B1
r a2 n
“扁盒子”
rr
∫ B•dS = 0
µ2
S
分界面法向分量连续— —
r a1n
r B2
r B1
•
r an
=
r B2
•
r an
r ∇•B = 0
矢量磁位连续— —
rr A1 = A2
磁介质的边界条件－2
2. 磁场强度
r a2n
“闭合回路”
r rr r an × ( H1 − H 2) = J sFree
h
I ' = µ2 − µ1 ⋅ I µ2 + µ1
I' ' = 2 ⋅µ1 ⋅ I µ2 + µ1
对比： “线电荷 ”镜像
ε1
ρ
h
ε2
对比： “线电荷 ”镜像
1. 上半区域：
ε1
ρ'
ρ'= − ε2 − ε1 ⋅ ρ ε2 + ε1
2. 下半区域：
ρ"
电动力学二四镜象法ppt课件
把导体板抽去
。 这样，没有
改变所考虑空
间的电荷分布
（即没有改变
电势服从的泊
松方程）。
假想电荷Q’ 与给定电荷 Q激发的总 电场如图所 示。由对称 性看出，在 原导体板平 面上，电场 线处处与它 正交，因而 满足边界条 件。
11
导体板上的 感应电荷确 实可以用板 下方一个假 想电荷Q’代 替。
P r
b
R
2 0
a
20
球外任一点P（如 图）的电势为
1
4
0
Q r
R0Q ar
Q
1
4 0
R2 R2
a 2 2Racos
R0 Q a
b2 2Rbcos
21
物理结果讨论：
根据高斯定理， 收敛于球面的电 通量为Q’。 Q’ 为球面的总感应 电荷，它是受电 荷Q的电场的吸 引而从接地处传 至导体球上的。
2) 在求解区域之外引入象电荷取代感应电荷， 保持求解区域电荷分布不变；
3) 引入镜象电荷，不改变求解区域边值关系和 边界条件。
28
2、与分离变量法比较 共同点：
1) 两种方法都是根据边值关系和边界 条件进行求解；
2) 可解的条件都是唯一性定理所要求 的分区均匀介质和边界条件。
29
不同点：
分离变量法
12, 1 n 12 n 2
2、给出导体上的电势，导体
面上的边界条件为
0
给定常数
3、给出导体所带总电荷 Q，在导体面上的边界条 件为
常数 待定，
－
电动力学镜像法ppt课件
性，电势也应具有球对称性。当考虑较
r
远处场时，导体球可 视为点电荷。
2 0 (r a)
r 0
r3
(r 0) r , 0
B0 A
r
A
n r r 2
Q
0
r
dS
ra
0
A dS 0 A4 a 2
a2
a2
A Q
4 0
Q 4 0r
E
Q
(r a)
r Qr
2、导体内部电场为零；
3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率
为ε，导体表面的边界条件为
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关，
麦氏方程组的电场ห้องสมุดไป่ตู้分为
E 0
E
D 静电场的无旋性是它的一个重要特
性，由于无旋性，我们可以引入一
这两方程连同介质 的电磁 性质方程 D 是E 解决静
个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。
把单位正电荷由P1点移至 P2点，电场E对它所作的
功为
P2 E dl P1
这功定义为P1点和P2点的
电势差。若电场对
电荷做了正功，则电势
下降。由此
(P2 )
(P1 )
P2 P1
E
dl
镜像法
Q 1 Q F =− e =− e =− e 2 z 2 z 2 z 4πε0 (2a) 4πε0r 16πε0a
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Q
2
2. 真空中有一半径 0的接地导体球，距球心 a > R0 真空中有一半径R 的接地导体球， 处有一点电荷 Q，求空间各点电势。 ，求空间各点电势。 解：（1）分析： ）分析： 导体球接地故球的电 因导体球接地故球的电 势为零。 势为零。根据镜象法原 假想电荷应在球内。 则假想电荷应在球内。 因空间只有两个点电荷 两个点电荷， 因空间只有两个点电荷， 应具有轴对称， 场应具有轴对称，故假 想电荷应在线上， 想电荷应在线上，即极 轴上。 轴上。
ϕ2 = ϕ +
Q′′
4πε0R 4πε0R
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+
Q0
所受到的 （6）导体球不接地而带自由电荷 Q0 时 Q 所受到的 ） 作用力可以看作 作用力可以看作 Q0 与 Q′及位于球心处的等效电荷 Q′′的作用力之和。 的作用力之和。
2 3 2 2 ′′) ′ Q(Q0 + Q QQ 1 QQ0 Q R0 (2a − R0 ) F= + = [ 2 − 3 2 ] 2 2 2 2 4πε0 a 4πε0 (a − b) 4πε0a a (a − R0 )
ϕ1 = ϕ +
Q′′ 4πε0R
等效电荷一般是一个点电荷组或 一个带电体系， 一个带电体系，而不一定就是一 个点电荷。 个点电荷。
（5）若导体球不接地，且带上自由电荷 Q0 ，导体上总电 若导体球不接地， 此时要保持导体为等势体， 荷为 Q ，此时要保持导体为等势体，Q 也应均匀分布在 0 0 球面上。 球面上。
第8讲 镜像法 ppt课件
(r a)
S
r
ra
4πa(a2
q(d 2 a2)
d 2 2ad cos )3
2
➢ 导体球面上的总感应电荷为
qin
S
S dS
q(d 2 a2 4πa
)
2π 0
π
0 (a2
a2 sindd d 2 2ad cos )3 2
a d
q
导体球面上的总感应电荷也与所设置的镜像电荷电量相等。
1 ( q q ) 4π R R
问题： d ? q ?
P
r
R
a
q
d
P
r
R
a
R' q
q'
d' d
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
1、点电荷位于接地导体球面外
P
镜像电荷的确定
由镜像法原理：镜像电荷位于球内区域， a
且镜像电荷与原电荷共同作用使得在球
r
R
R' q
q'
面上电位为0，即：
d' d
1 [q q'] 0 ra 4 R R ' ra
特点：
• 在介质分界面上存在极化电荷分布 • 空间中任一点的电场由点电荷与极化电
荷共同产生。
z
q
1 h x
2
图1 点电荷与电介质 分界平面
问题：如何确定镜像电荷？
第八讲 镜像法
五、无限大介质分界平面的镜像
1、点电荷与无限大电介质分界平面的镜像
第八讲 镜像法
三、导体球面的镜像
2、点电荷位于接地导体球壳内
镜像电荷的确定
如图所示接地空心导体球壳的内半径 为a 、外半径为b，点电荷q 位于球壳内， 与球心相距为d ( d < a )。
《电磁场镜像法》课件
2 电场的定义
详细说明电场的定义和相关概念。
3 静电的产生与分布
分析静电的产生原因以及在空间中的分布规律。
镜像法的应用
1
镜像法在电势问题中的应用
探索镜像法在解决电势问题中的实际应用。
2
镜像法在电场问题中的应用
展示镜像法在解决电场问题中的应用案例。
平面、球面和柱体的镜像法
平面的镜像法
介绍平面镜像法的基本原理和 实际应用场景。
《电磁场镜像法》PPT课 件
欢迎来到《电磁场镜像法》PPT课件！本课程将深入探讨电磁场镜像法的应用， 带你领略这一令人惊叹的物理学原理。
引言
电磁场镜像法的概述
介绍电磁场镜像法的基本原理和应用领域。
直线电荷和平面的电场
探讨直线电荷和平面上电场的特性。
电场与电势
1 电势能
解释电势能在电磁场中的作用和意义。
总结
1 电磁场镜像法的优缺点
总结电磁场镜像法的优点和局限性。
2 电磁场镜像法的应用前景
展望电磁场镜像法在未来的科学研究和工程应用中的发展前景。
参考文献
在此提供了一些相关的参考文献，供进一步学习和了解电磁场镜像法的理论基础和实际应用。
球面的镜像法
探讨球面镜像法在电磁场问题 中的具体应用。
柱体的镜像法
解析柱体镜像法的原理及其工 程实践。
实例分析
平面直流电荷的电场问题
研究平面直流电荷的电场特性以 及相关问题解决方法。
球面电荷的电势问题
分析球面电荷的电势分布及其带 来的电场效应。
柱体电荷的电场问题
了解柱体电荷在电场中产生的特 殊现象和应用。
《电磁场理论第七周》PPT课件
式中R与R‘分别是点电荷Q与镜像电荷Q’到场点的离。 点电荷Q受到导体平面的作用力为
ppt课件
21
平面边界
设 在z=0平面上， 只有 ，即只有法向分量
根据导体表面的边界条件，
感应电荷面密度为
x
z
Q hRPy h R'
ppt课件
22
平面边界
为什么公式里面有个负号？
上式表明，在导体表面上电荷面密度并不均匀，但总电荷量
11
考虑到
4、唯一性定理
S1
，有
S2
S0
S3
将上式对全部场域积分，并应用高斯散度定理，得
式中S是包围场域V的闭合曲面，它由包围各导体的表
面
和一个半径为无穷大的球面 构成。
ppt课件
12
4、唯一性定理
导体表面上有 计算 上的面积，可考虑一个有限大小的球面的积分， 然后令其半径扩展到无限大。 当球面足够大时， 和 随 而变，而 随 而变，
ppt课件
3
电磁场理论第七周 讲稿
§4.1 边值问题的分类和唯一性定理 §4.2 镜像法
作业：4－1，3，5
ppt课件
4
边值问题的分类和唯一性定理
1、静态场 2、静态场的边值问题 3、静态场的边值条件 4、唯一性定理
ppt课件
5
1、静态场
静电场、恒定电场和稳恒磁场都属于静态场问题。 所谓静态场 是指相对于观察者静止且不随时间变化的场源(电荷或 电流)所产生的场。对静态场的一些基本的简单问题已 进行了分析和计算。然而，特殊的方法只能解决场源 分布较简单的问题，而场源较复杂或媒质分布较复杂 的情况往往需要求解标量势和矢量势的拉普拉斯方程 或泊松方程满足给定边界条件下的解。
ppt课件
21
平面边界
设 在z=0平面上， 只有 ，即只有法向分量
根据导体表面的边界条件，
感应电荷面密度为
x
z
Q hRPy h R'
ppt课件
22
平面边界
为什么公式里面有个负号？
上式表明，在导体表面上电荷面密度并不均匀，但总电荷量
11
考虑到
4、唯一性定理
S1
，有
S2
S0
S3
将上式对全部场域积分，并应用高斯散度定理，得
式中S是包围场域V的闭合曲面，它由包围各导体的表
面
和一个半径为无穷大的球面 构成。
ppt课件
12
4、唯一性定理
导体表面上有 计算 上的面积，可考虑一个有限大小的球面的积分， 然后令其半径扩展到无限大。 当球面足够大时， 和 随 而变，而 随 而变，
ppt课件
3
电磁场理论第七周 讲稿
§4.1 边值问题的分类和唯一性定理 §4.2 镜像法
作业：4－1，3，5
ppt课件
4
边值问题的分类和唯一性定理
1、静态场 2、静态场的边值问题 3、静态场的边值条件 4、唯一性定理
ppt课件
5
1、静态场
静电场、恒定电场和稳恒磁场都属于静态场问题。 所谓静态场 是指相对于观察者静止且不随时间变化的场源(电荷或 电流)所产生的场。对静态场的一些基本的简单问题已 进行了分析和计算。然而，特殊的方法只能解决场源 分布较简单的问题，而场源较复杂或媒质分布较复杂 的情况往往需要求解标量势和矢量势的拉普拉斯方程 或泊松方程满足给定边界条件下的解。
电磁场 镜像法PPT课件
面上，剩余传到无穷远。
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，
r′
求空间电势。
r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，
r′
求空间电势。
r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
《电动力学第三版》chapter2_4镜像法
设Q 的距球心为b, 两三角形相似条件为
P rꞌ b Qꞌ
r
Q
a
V 0
b R0 b R02
R0 a
a
Q'R0 Q a
球外任一点的电势
(P) 1 4π0
QR0Q r ar'
4π Q 0 (R2a22 1ac Ro )1 s/2(R2R a0 2 4R 20 Ra R a 0 2co )1 s/2
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
具体求解过程如下.
R2010 Q(xa, y0,z0) R0 0
(1)
(2) (3)
p QQ'4πQ ε0r4πQ ε0r' '4π1ε0(Q r Q r'')
设想，感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替. 如图,
设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q , 然 后把导体板抽去. 若Q =－Q，则假想电荷Q 与给定电荷Q激发的
总电场如图所示, 由对称性知，边界条件满足. 因此,导体板上的
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
(2) 由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷 的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的 导体或介质界面不存在. 也就是把整个空间看成是无 界的均匀空间. 并且其介电常量应是所研究场域的介 电常量.
(3) 镜像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实 的感应电荷或极化电荷有等效作用. 而其电荷量并不 一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过 在某些问题中，它们却恰好相等.
P rꞌ b Qꞌ
r
Q
a
V 0
b R0 b R02
R0 a
a
Q'R0 Q a
球外任一点的电势
(P) 1 4π0
QR0Q r ar'
4π Q 0 (R2a22 1ac Ro )1 s/2(R2R a0 2 4R 20 Ra R a 0 2co )1 s/2
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
具体求解过程如下.
R2010 Q(xa, y0,z0) R0 0
(1)
(2) (3)
p QQ'4πQ ε0r4πQ ε0r' '4π1ε0(Q r Q r'')
设想，感应电荷对空间电场的作用用一个假想电荷来代替. 如图,
设想在导体板下方与电荷Q对称的位置上放一个假想电荷Q , 然 后把导体板抽去. 若Q =－Q，则假想电荷Q 与给定电荷Q激发的
总电场如图所示, 由对称性知，边界条件满足. 因此,导体板上的
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
(2) 由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷 的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的 导体或介质界面不存在. 也就是把整个空间看成是无 界的均匀空间. 并且其介电常量应是所研究场域的介 电常量.
(3) 镜像电荷是虚构的，它只在产生电场方面与真实 的感应电荷或极化电荷有等效作用. 而其电荷量并不 一定与真实的感应电荷或真实的极化电荷相等，不过 在某些问题中，它们却恰好相等.
电磁场镜像法
§18 镜像法一、镜像法1.定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。
该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布(称为镜像电荷)来等效地取代导体面域(电介质分界面)上复杂得感应(半极化)电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。
2.应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。
在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况;④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解(讨论)得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。
3.镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。
二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1.设与一个无限大导电平板(置于地面)相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。
解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知(未知),因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。
由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例115、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。
解:用镜像法求解P点:,感应电荷密度, (大地)点电荷例1-16P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2.镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。
解:应用镜像法求解区域如图b,如图c设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有,由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q为得线电荷则有:3.点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。