电磁场 镜像法与电轴法(完美解析)
大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法
(x
−
K K
2 2
+ −
1 1
b)2
+
y2
=
(
2bK K2 −
)2 1
圆心坐标
h(
=
K2 K2
+1b), −1
0,
圆半径
a=
2bK K2 −1
ϕP
=
τ 2πε0
ln
ρ2 ρ1
= τ ln (x + b)2 + y2 2πε0 (x − b)2 + y2
当K取不同数值时,就得到一族偏心圆。
a、h、b三者之间的关系满足
4πε r20XX
r1 = d 2 + R2 − 2Rd cosθ r2 = b2 + R2 − 2Rb cosθ
图2.8.3 点电荷对接地导体球面的镜像 [q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 )] + 2R(q'2 d − q2b) cosθ = 0
q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 ) = 0 q'2 d − q2b = 0
a2
+ b2
=
(
2bK K2 −
)2 1
+ b2
=
(
K K
2 2
+ 1 b)2 −1
=
h2
令：ϕP = 常数
(x + b)2 (x − b)2
+ +
y2 y2
=
K2
应该注意到,线电荷所在的两个点,对每一个等位圆的圆心来说,互为反演。即
a2 = h2 − b2 = (h + b)(h − b)
1-7镜像法
1)
边值问题： 边值问题：
∇ 2ϕ = 0
ϕ ϕ
r→ ∞ 导球面
=0 =0
（除q点外的导 体球外空间)
2)设镜像电荷-q 位于球内,球 面上任一点电位为:
ϕp =
图1-29 点电荷对接地导体球面的镜像
q 4 πε 0 r1
−
q' 4 πε 0 r2
2.点电荷和接地导体球 q点电荷附近接地导体 球的影响 可用镜像电荷（-q′） 可用镜像电荷（ 代替感应电荷， 代替感应电荷，其中 位置与电荷量为： 位置与电荷量为：
R2 b= d b R q' = q= q d d
3.点电荷和两种不同介质 平面分界面S的上下半空间充满介电常数为ε 平面分界面 的上下半空间充满介电常数为ε1和ε2的均 的上下半空间充满介电常数为 匀介质，在上半空间距S为 处有一点电荷 处有一点电荷q， 匀介质，在上半空间距 为h处有一点电荷 ，求空间 的电场 设上半空间电位为ϕ1，下半空间 根据唯一性定理， 电位为ϕ2，根据唯一性定理， ϕ1 应满足： 和ϕ2应满足： （1）
r2
h
q′
1 q q′ + ϕ1 = 4πε1 r1 r2
镜像系统为： 镜像系统为：下半空间 由原来电荷q处的像电荷 由原来电荷 处的像电荷 q″所产生（介电常数ε2 所产生（ 所产生 介电常数ε 冲满整个空间） 冲满整个空间）
r1
ϕ1 =
1 q q′ + 4πε1 r1 r2
长直平行双传输线
思路：采用等效观点， 思路：采用等效观点， 对于两圆柱导体外部的电场， 对于两圆柱导体外部的电场，可以设想将两圆柱 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 细线。 细线。 如图相距为2b（ 的数值待定 的数值待定） 如图相距为 （b的数值待定）的两根电荷线密度 的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 为τ、-τ的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 这种方法称为电轴法。 这种方法称为电轴法。
4镜像法和电轴法
考虑如图b，在导体平面下方h处放点电荷-q，
并撤去导体，整个空间充满介质的情况
14
q
P
h
qr
P r’ 单一介质！
h
h
-q
(图b)
(图a)
结论：
P
q 4 r
q 4 r
1. 图a中电介质中的电场分布可用图b计算； 2. -q 为镜像电荷，它代替了分布在导电平板上的负值 感应电荷的作用； 3. 用镜像法要注意有效范围： 4. 镜像电荷必须放在有效范围之外。
b
=0
n n x Dn sin y (x,y) = Bn sh b b n 1
n 1
5
1.5.1直角坐标系中的分离变量法
例一、长直金属槽如图.三边接地,另一边电位为V0,求槽内电位分布. 解： ▽
2
b |(y=0,0<x<a)= 0 =V0 =0 |(x=a,0<y<b) = V0 x =0 n n 0 a x Dn sin y (x,y) = Bn sh b b n 1 na ny 由边界条件4 ： Bn Dn sh b sin b V0 n 1 b b na ny my my 数学处理： Bn Dn sh sin sin dy V0 sin dy 0 0 b b b b n 1
BnDn sh (na/b ) =
|(x=0,0<y<b) =0 |(y=b,0<x<a)= 0
2 2 2 =0 2 x y
金属槽内
y
=0
4V0/ n 0
n为奇数
n为偶数
6
电磁场课件 Part8--镜像法(1)
Topic # 8—镜像法(method ofimages)Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constantpotential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。
场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。
电磁场镜像法
§1-8 镜像法一、镜像法1. 定义：是解静电场问题的一种间接方法，它巧妙地应用唯一性定理，使某些看来棘手的问题很容易地得到解决。
该方法是把实际上分区均匀媒质看成是均匀的，对于研究的场域用闭合边界处虚设的简单的电荷分布，代替实际边界上复杂的电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足的泊松方程，而是在不改变求解区域电荷分布及边界条件的前提条件下，用假想的简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂的感应（半极化）电荷对电位的贡献，从而使问题的求解过程大为简化。
2. 应用镜像法应主意的问题应主意适用的区域，不要弄错。
在所求电场区域内： ① 不能引入镜像电荷；② 不能改变它的边界条件；③ 不能改变电介质的分布情况；④ 在研究区域外引入镜像电荷，与原给定的电荷一起产生的电荷满足所求解（讨论）的边界条件；⑤其求得的解只有在所确定的区域内正确且有意义。
3. 镜像法的求解范围应用于电场E 和电位ϕ的求解；也可应用于计算静电力F ；确定感应电荷的分布(),,ρστ等。
二、镜像法应用解决的问题一般是边界为平面和球面的情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距h 远处有一点电荷q ，周围介质的介电常数为ε，求解其中的电场E 。
解：在电介质ε中的场E ，除点电荷q 所引起的场外，还应考虑无限大导电平板上的感应电荷的作用，但其分布不知（σ未知），因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于ε区域，除q 所在点外，都有20ϕ∇=以无限远处为参考点()0θϕ= 在边界上有：044q qrrϕϕϕπεπε+--=+=+= 即边界条件未变。
由唯一性定理有11444q q q r r r r ϕπεπεπε+-+-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭对于大场E 不存在()0E =推广到线电荷τ的情况，对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例1-15. P54求空气中一个点电荷q 在地面上引起的感应电荷分布情况。
电磁场课件6镜像法、电轴法、电容
电磁场问题求解
• 电磁场问题可以分为电磁场分析（正问题）、逆问题 （含优化设计问题）和电磁场工程三个部分。
➢求解电磁场问题的方法，归纳起来可分为三大类，分别 是解析法、数值法和半解析数值法。
解析法包括积分法、分量变量法、镜像法、电轴法等 ； 数值计算方法包括有限元法（FEM）、时域有限差分法 （FDTD）、矩量法（MOM）和边界元法等 ； 半解析数值法是解析法和数值法的综合。
联立求解
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0 q'2 d q2b 0
得到
b R2 d
镜像电荷位置
q' b q R q 镜像电荷大小 dd
图1.7.4 球外的电场计算
球外任一点 P 的电位与电场为
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
q
qR
EP 4π 0r12 er1 4π 0dr22 er2
1.7 镜像法与电轴法
1.7.1 镜像法
1.接地无限大导体平面上方点电荷的电场
2 0 0
s D dS q
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处）
（S 为包围 q 的闭合面）
2.正负点电荷在上半空间产生的电场
2 0
除 q 所在点外的区域
q q 0 4 0r 4 0r
中间对称面处
s D dS q
设镜像电荷 q'如图，球面电位
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
0
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r12 d 2 R2 2Rd cos r22 b2 R2 2Rb cos
将 r1, r2 代入方程 qr2 q 'r1 0，得
4镜像法和电轴法
2 2 2
+τ x
K2 +1 2 2bK 2 2 ) (x 2 b) + y = ( 2 K 1 K 1
则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为d，圆半径为R 则等位线为若干圆，设圆心到原点的距离为 ，圆半径为
K2 + 1 d= 2 b K 1
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置 注意确定等效电轴的位置。
设圆柱导体的半径为a，两圆心距离为 ，两等效电轴的距离为2b 设圆柱导体的半径为 ，两圆心距离为2h，两等效电轴的距离为
a
-τ 0 P’ 2b U0 D
x
9
不同半径)外部的电场 四、两长直平行带电圆柱导体(不同半径 外部的电场： 两长直平行带电圆柱导体 不同半径 外部的电场：
电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线(等效电轴 电轴法：将圆柱导体撤去，代之以两带电细线 等效电轴 。 两带电细线 等效电轴) 注意确定等效电轴的位置。 注意确定等效电轴的位置。 等效电轴的位置
导体内部 的电场？ 的电场？
a2+b2 =h2
y -τ a -τ
r_ r+
若取y轴电位为 ， 若取 轴电位为0， 轴电位为 则圆柱导体外任一点 的电位为 的电位为: 则圆柱导体外任一点P的电位为
P(x, y) + +τ τ x
r τ ln P = 2πε r+
0 2b
2h
8
例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为 尺寸如图， 例一、两长直平行带电圆柱导体的电压为U0，尺寸如图，求导体 及导体外任意点P的电位 的电位。 轴向单位长度电荷量τ及导体外任意点 的电位。 解：用电轴法
电磁场理论第10讲-镜像法与电轴法
电轴法
∇2ϕ = 0 导线以外的空间
ϕ surface A = constant
∫
D ⋅ dS = −τ
S
ϕ
surface
B=
constant
∫
D ⋅ dS = −τ
S
长直平行圆柱导体传输线
两两根根细细导导线线产产生生的的电电场场
∫ ϕ1 =
Q ρ1
τ 2πε
0
ρ
dρ
=
−
τ 2πε 0
ln
ρ1
+
平面导体上电荷的场 平面导体的镜像
平面导体上电荷的场边值问题
∇
2ϕ
=
0
ϕ = 0
∫
D ⋅ dS
s
=
q
除点电荷之外区域 平面导体和无穷远 S为包围点电荷面积
上半区域场边值问题
∇
2ϕ
=
0
除 点电荷之外的区域
ϕ
=
q 4πε 0 r
−
q 4πε 0 r
= 0 平面导体和无穷远
∫
D ⋅ dS
s
=
q
S为包围点电荷面积
b = h2 − a2
圆柱导线间电场和电位
E
P
=
τ 2πε 0
(1 ρ1
eρ1
−
1 ρ2
eρ2 )
ϕ p
=
τ 2πε 0
ln
ρ2 ρ1
（以y轴为电位为参考点）
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体。试决定电轴位置。
解：
b 2 b 2
= =
h12 h22
− −
a12
a
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r
球面
0
设镜像电荷 q '如图，球面电位
q q' p 0 4 π 0 r1 4 π 0 r2
r1 d 2 R 2 2 Rd cos
2
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r2 b 2 R 2 2 Rb cos
2
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第 一 章
qh p＝Dn 0 E 2 π(h 2 x 2 ) 3 / 2
地面上感应电荷的总量为 qh S p dS 0 2π(h2 x 2 )3/ 2 2πxdx
q
图1.7.2 地面电荷分布
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第 一 章
静 电 场
2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题 （除q点外的空间) 2 0
q q' q' ' sin sin sin 2 2 2 4πr 4πr 4πr
2 2 1 2 q 解得 q ' q 和 q' ' 1 2 返 回 1 2
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第 一 章
静 电 场
思考
1 中的电场由 q 与 q’ 共同产生，q’
等效替代极化电荷的影响。
球面电位
q ＝ 4 π 0 d
图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图
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第 一 章
静 电 场
3. 不同介质分界面的镜像
图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
根据惟一性定理
E1t E2 t
D1n D2n
q q' q' ' cos cos cos 2 2 2 4π1r 4π1r 4π 2 r
导体B
1.7.12 长直平行双传输线
const
电荷分布不均
S D dS ,
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第 一 章
静 电 场
Q
1
1. 两根细导线产生的电位
1 d ln 1 C1 2 π 2π 0 0 2 ln 2 C2 2π 0 2 P 1 2 ln C 2π 0 1
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第 一 章
2
静 电 场
2 K 1 2 bK 2 2 2 K 1 整理后，等位线方程 ( x b ) y ( ) h 2 b K 2 1 2 K 1 K 1
圆心坐标 h , 0 圆半径
2bK a 2 K 1
图1.7.14 两根细导线的等位线
解：
b 2 h12 a12 2 2 2 b h a 2 2 d h h 1 2
确定 b, h1 , h2
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第 一 章
静 电 场
例1.7.5 已知平行传输线之间电压为U0, 试求电位分布。 解： 确定电轴的位置
b 2 h 2 a 2 d 2h
以 y 轴为参考电位， C=0， 则
图1.7.13 两根带电细导线
2 ( x b) 2 y 2 P ln ln 2 2 2π 0 1 2π 0 ( x b) y
P C， 等位线方程 令：
( x b) 2 y 2 2 K ( x b) 2 y 2
静 电 场
将 r1, r2 代入方程
qr2 q' r1 0 ，得
[q 2 (b 2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
联立求解
q (b R ) q' (d R ) 0
2 2 2 2 2 2
q '2 d q 2b 0
2 1
图1.7.19 电压为U0的传输线
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第 一 章
静 理论基础是：
静电场惟一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是： 用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分 布，使计算场域为无限大均匀媒质； 镜像法（电轴法）的关键是：
确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：
第 一 章
1.7 镜像法与电轴法
1. 平面导体的镜像
a 2 0 空气中除点电荷外
静 电 场
Image Method and Electric Axis Method 1.7.1 镜像法（Image Method)
导板＝0
b
上半场域除点电荷外 q q 0 4π 0 r 4π 0 r
镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区
域。叠加时，要注意场的适用区域。
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R2 b 镜像电荷位置 d b R q' q q 镜像电荷大小 d d
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得到
第 一 章
静 电 场
球外任一点 P 的电位与电场为
q q' p 4 π 0 r1 4π 0 r2
图1.7.4 球外的电场计算
q qR EP e e 2 r1 2 r2 4π 0 r1 4π 0 dr2
图1.7.16 平行传输线电场的计 算
1 1 EP ( e e ) 2π 0 1 2 2 p ln 2π 0 1 ( 以 y 轴为参考电位)
1 2
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第 一 章
静 电 场
例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
图1.7.5 球外的电场分布
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第 一 章
静 电 场
例1.7.2 不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 解： 边值问题 （除q点外的空间) 2 0
S const
思路
D dS 0
S
球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q'大小相等）
d 2 2 b ( ) a 2
设电轴线电荷 ，任一点电位 2 ln 2π 0 1
b (h a) b (h a) U0 ln ln 2π 0 b (h a) b (h a)
U0 ln 所以 b (h a) 2 ln b (h a)
2
K 取不同值时，得到一族偏心圆。
2 2
2bK 2 2 K 1 2 a b ( 2 ) b ( 2 b) h 2 K 1 K 1 a、h、b满足关系
a 2 h 2 b 2 (h b)(h b)
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第 一 章
静 电 场
2. 电轴法 例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。 解： a) 取圆柱坐标系 电轴位置 b h 2 a 2 b) 圆柱导线间的电场与电位
R R2 q ' q , b 则 图1.7.6 不接地金属球的镜像 d d q 1 R R 任一点场强 E ( 2 er 2 er1 2 er2 ) 4π 0 r dr1 dr2
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第 一 章
静 电 场
任一点电位
q 1 R R ( ) 4π 0 r dr1 dr2
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2 0
方程相同，边界条件相同，解惟一。
图1.7.1 平面导体的镜像
第 一 章
静 电 场
例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
解：设点电荷 q 镜像后
E E E （方向指向地面）
qh q cos E2 2 2 3/ 2 2 2 π ( h x ) 4π 0 r 0
2中的电场由 q” 决定，q” 等效替
代自由电荷与极化电荷的作用。
图1.7.10 电场分布图
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第 一 章
静 电 场
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
边值问题
0 (导线以外的空间)
2
导体A
const
S
D dS , 电荷分布不均匀