第11讲 镜像法
镜像的成像规律
镜像的成像规律在我们的日常生活中，镜子是一个常见的物品。
当我们站在镜子前，会看到一个与自己相似但又左右相反的影像，这就是镜像。
那么，镜像的成像到底遵循着怎样的规律呢？让我们一起来探究一下。
首先，我们要明白镜像的形成是基于光的反射原理。
当光线照射到镜子表面时，会发生反射，这些反射光线进入我们的眼睛，我们就看到了镜子中的像。
在平面镜成像中，有几个重要的规律。
第一，像是虚像。
什么是虚像呢？就是说这个像并不是由实际光线汇聚而成的，而是我们的眼睛“认为”光线是从那个位置射过来的。
你用手去“抓”镜子里的像，肯定是抓不到的，这就说明了像是虚的。
第二，像与物体的大小相等。
不管你离镜子远还是近，镜子里的你看起来和真实的你在大小上是一样的。
想象一下，一个身高 18 米的人站在镜子前，镜子里的像也是 18 米高。
第三，像与物体到平面镜的距离相等。
假如你距离镜子 2 米，那么镜子里的像距离镜子也是 2 米。
这就好像是镜子在中间，把你和你的像对称地分开了。
第四，像与物体的连线与平面镜垂直。
简单来说，就是你和你的像之间的连线，如果延长的话，会和镜子所在的平面成 90 度角。
这些规律在我们的生活中有很多实际的应用。
比如，在服装店里，试衣镜让我们能够看到自己穿上新衣服的效果，就是基于像与物体大小相等、距离相等这些规律。
还有，牙医在检查牙齿时，会使用小平面镜，也是利用了平面镜成像的原理，能够更清楚地看到牙齿的情况。
除了平面镜成像，还有凸面镜和凹面镜成像。
凸面镜能使平行光线发散，因此它所成的像是缩小的虚像。
在道路的拐弯处，我们常常能看到凸面镜，就是为了让司机能够看到更大范围的路况，保证行车安全。
凹面镜则能使平行光线会聚，它可以成实像也可以成虚像。
比如手电筒里的反射面就是凹面镜，能够把灯泡发出的光会聚起来，照得更远更亮。
我们再来深入探讨一下平面镜成像的特点。
当物体在平面镜前移动时，像也会随之移动，而且移动的方向是相反的。
比如，你向左移动，像就会向右移动。
电动力学镜像法课件
03
理论框架完善
未来研究将进一步完善镜像法的理论框架，建立更严谨的数学和物理基
础，为解决复杂问题提供更有力的工具。
镜像法在其他领域的应用前景
光学领域
镜像法在光学领域有广泛的应用前景，如光子晶体、光子器件的 设计与模拟等。
生物医学工程
镜像法可用于模拟生物组织的电磁特性，为医学成像和诊断提供技 术支持。
镜像法在静电场中主要用于解决导体表面的电荷分布和电场分布问题。
详细描述
当一个带电体放置在导体附近时，导体表面的电荷分布会受到带电体的影响。通 过应用镜像法，可以计算出导体表面的电荷分布和电场分布，从而进一步分析带 电体与导体之间的相互作用。
镜像法在静磁场中的应用
总结词
镜像法在静磁场中主要用于解决磁力线和磁感应强度分布问题。
详细描述
电动力学在许多领域都有重要的应用。例如，无线通信依赖于电磁波在空间的传播，雷达通过发射电磁波并检测 其反射来探测目标，电子显微镜利用电磁场来控制电子束的传播和成像。此外，电动力学还在电力传输、电磁兼 容性、粒子加速器等领域有广泛应用。
03 镜像法在电动力学中的应用
镜像法在静电场中的应用
总结词
镜像法的计算步骤
确定原问题和镜像模型
根据实际问题，确定需要求解的原问 题和对应的镜像模型。
建立等效关系
根据镜像法的数学模型，建立镜像电 荷或镜像边界与原电荷或原边界之间 的等效关系。
求解等效问题
利用等效关系，求解等效的静电场或 静磁场问题。
计算结果分析
对计算结果进行分析，得出原问题的 解。
镜像法的计算实例
电动力学镜像法课件
目录
Contents
• 镜像法简介 • 电动力学基础 • 镜像法在电动力学中的应用 • 镜像法的计算方法 • 镜像法的优缺点分析 • 镜像法的发展前景
镜像法原理
镜像法原理镜像法，又称镜像原理，是物理学中的一种重要原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
镜像法的基本原理是通过假想一个镜像，来简化问题的求解，从而使得问题的求解变得更加容易和直观。
镜像法的应用可以大大简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。
下面我们将详细介绍镜像法的原理及其在不同领域的应用。
首先，我们来介绍镜像法在光学中的应用。
在光学中，镜像法被广泛应用于光学成像问题的求解。
例如，在平面镜成像问题中，我们可以通过假想一个虚拟的物体，将实际物体和虚拟物体关于镜面的位置进行对称，从而得到虚拟物体的像的位置。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化平面镜成像问题的求解过程，大大提高问题的求解效率。
其次，镜像法在电磁学中也有着重要的应用。
在电磁学中，镜像法被广泛应用于求解导体表面的电场分布问题。
通过假想一个虚拟的镜像电荷，将实际电荷和虚拟电荷关于导体表面进行对称，从而得到虚拟电荷在导体表面的电场分布。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化导体表面的电场分布问题的求解过程，提高问题的解决效率。
此外，镜像法还在流体力学中有着重要的应用。
在流体力学中，镜像法被广泛应用于求解流体与固体边界的流动问题。
通过假想一个虚拟的镜像流体，将实际流体和虚拟流体关于固体边界进行对称，从而得到虚拟流体在固体边界的流动情况。
这样一来，我们就可以利用镜像法来简化流体与固体边界的流动问题的求解过程，提高问题的解决效率。
总的来说，镜像法是一种非常重要的物理原理，它在光学、电磁学、流体力学等领域都有着广泛的应用。
通过假想一个镜像，镜像法可以简化问题的求解过程，提高问题的解决效率。
因此，掌握镜像法的原理及其在不同领域的应用对于物理学和工程学领域的学习和研究都具有着重要的意义。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解镜像法的原理及其应用。
镜像法
p v R
则区域2中任一点的电位为：
2
q q
4π 2 R
q q
2
2
在分界面(R = R′= R″)上，应满足电位的边界条件：
1
1
设想用镜像电荷 代替界面上极化 电荷的作用，并 使镜像电荷和点 电荷共同作用， 满足界面上的边
界条件。
当待求区域为介质1所在区域时，在边界之外设一镜像电荷 q′
介质1中任一点的电位为：
1
q q
4π1R 4π1R
电磁场
第3章 静电场及其边值问题的解法
当待求区域为介质2所在区域时，
* 此时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。
q q 4R 4R
故对z=0平面上任意点有R R R0 :
于是，
q 4
1 R
1 R
q 4
q q 0 4 R0
1
x2 y2 (z h)2
电位的法向导数
n
s
f2 s
一、二类边界条件的 线性组合，即
n
s2
f4 s
电磁场
一、静电场边值问题及其分类
第3章 静电场及其边值问题的解法
1. 边值问题的分类----根据场域边界条件的不同
狄利克雷问题：给定整个场域边界上的电位函数值 s f1s
（第一类）
聂曼问题：给定待求位函数在边界上的法向导数值 （第二类）
U0
O
ax
第3章 静电场及其边值问题的解法
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
电磁场与电磁波第11讲电流密度电动势电压电流定理讲解
V (x, y, z) X (x)Y( y)Z(z)
3
Main topic 恒稳电流
1. 电流密度和欧姆定律 2. 电动势和基尔霍夫电压定律 3. 连续性方程和基尔霍夫电流定律
4
1. 电流密度和欧姆定律
Electrolytic current(电解电流): 正离子和负离子移动的结果; Convection current(运流电流): 电子或离子在真空中的运动； Conduction current(传导电流): 导体和半导体中的电子和（或） 空穴的移动引起的;
并联：
1 11 Rp R1 R2 Gp G1 G2
10
材料 银 铜 金 铝
黄铜 铁
几种材料的电导率 单位：S/m
电导率
材料
6.17 107 5.80 107 4.10 107
海水 淡水 干土
3.54 107 1.57 107
107
变压器油 玻璃 橡胶
电导率 4
10 3 10 5 10 11 10 12 10 15
i
可以分析证明：对大多数导电材料而言，电荷载体的平均漂移速度 与电场强度成正比。对金属导体而言，有
u eE (m / s)
其中， e 为 电子迁移率， 单位是 (m/V·s)。可得：
J Nqu eeE E (A/m2 )
其中 e=-Ne 为漂移电子的电荷密度，为负值。 比例系数=-ee, 是
14
电动势用来衡量非保守源的强度，用 表示，可得
E Conducting medium
1
1
2 Ei
dl
=
第11讲 镜像法
P r a d P r a d' R' q' d R q
q'来等效。q'应位于导体球内（显然
不影响原方程），且在点电荷q与球 心的连线上，距球心为d'。则有
q q ( ) 4 0 R R 1
b
a a
o
r d
R q
R'
q'
d'
a q q, d
a2 d d
| q'|>|q|，镜像电荷的电荷量大于点电荷的电荷量 像电荷的位置和电量与外半径 b 无关（为什么？）
第11讲 镜像法
导体腔内的电位
q 1 a 2 2 4 0 r d 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
第11讲 镜像法
2. 两平行导体圆柱问题 问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半
径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长
度分别带电荷 l 和 l。
a
l
h
l
a
h
特点：由于两圆柱带电导体的电场互相
影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相
图1 两平行导体圆柱
对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷
R d a R a d
a2 d 像电荷的位置 d q q R a 0 q q q 像电荷的电量 R R R d a 1 q q d
第11讲 镜像法
球外的电位函数为
q 1 a 4 r 2 d 2 2rd cos d r 2 (a 2 d )2 2r (a 2 d ) cos
电磁场镜像法
§18 镜像法一、镜像法1. 定义:就是解静电场问题得一种间接方法,它巧妙地应用唯一性定理,使某些瞧来棘手得问题很容易地得到解决。
该方法就是把实际上分区均匀媒质瞧成就是均匀得,对于研究得场域用闭合边界处虚设得简单得电荷分布,代替实际边界上复杂得电荷分布来进行计算。
即镜像法处理问题时不直接去求解电位所满足得泊松方程,而就是在不改变求解区域电荷分布及边界条件得前提条件下,用假想得简单电荷分布（称为镜像电荷）来等效地取代导体面域（电介质分界面）上复杂得感应（半极化）电荷对电位得贡献,从而使问题得求解过程大为简化。
2. 应用镜像法应主意得问题应主意适用得区域,不要弄错。
在所求电场区域内:①不能引入镜像电荷;②不能改变它得边界条件;③不能改变电介质得分布情况; ④在研究区域外引入镜像电荷,与原给定得电荷一起产生得电荷满足所求解（讨论）得边界条件;⑤其求得得解只有在所确定得区域内正确且有意义。
3. 镜像法得求解范围应用于电场与电位得求解;也可应用于计算静电力;确定感应电荷得分布等。
二、镜像法应用解决得问题一般就是边界为平面与球面得情况1. 设与一个无限大导电平板（置于地面）相距远处有一点电荷,周围介质得介电常数为,求解其中得电场。
解:在电介质中得场,除点电荷所引起得场外,还应考虑无限大导电平板上得感应电荷得作用,但其分布不知（未知）,因此无法直接求解。
用镜像法求解该问题。
对于区域,除所在点外,都有以无限远处为参考点在边界上有: 即边界条件未变。
由唯一性定理有对于大场不存在推广到线电荷得情况,对于无限长线电荷也适合上述方法求解。
例115 、P54求空气中一个点电荷在地面上引起得感应电荷分布情况。
解:用镜像法求解P点:感应电荷密度, （大地）点电荷例1-16 P55解:用镜像法,如图所示,边界条件2. 镜像法应用于求解两种不同介质中置于点电荷或电荷时得电场问题。
解:应用镜像法求解区域如图b,如图c 设中电位为,中电位为满足条件:在中除所在点外,有,在中在两种媒质分界面上应有, 由有与两个镜像电荷来代替边界得极化电荷若q 为得线电荷则有:3. 点电荷对金属面得镜像问题点电荷与接地金属球得问题①与得电场中,求电位为零得等位面。
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第10讲 镜像法
d 2 2 a 4 2 da 2cos l 导体圆柱面外的电位函数： ln C 2 2 2 d d 2 d cos l d 由 时， a 0 C ln 2 a
故
d 2 2 a 4 2 da 2 cos l ln 2 a 2 2 a 2 d 2 2 da 2 cos
第10讲 镜像法
上半空间( z≥0 ）的电位函数
q 1 1 ( x, y , z ) [ ] 2 2 2 2 2 2 4 x y ( z h) x y ( z h)
导体平面上的感应电荷密度为
( z 0)
q
s in
z
z 0
qh 2 ( x 2 y 2 h 2 )3 2
镜像电荷= 感应电荷
第10讲 镜像法
2. 点电荷位于接地空心导体球壳内
如图所示接地空心导体球壳的内半径为a 、外半径为b，点电荷q 位 于球壳内，与球心相距为d ( d < a )。
• 感应电荷是如何分布的？
分布在球壳的内表面上。
• 镜像电荷q′应位于何处？
位于导体空腔外，且在点电荷q与球 心的连线的延长线上。
的作用
目的： 将复杂边值问题转换为无界均匀媒质空间的问题 3. 镜像法的理论基础 —— 解的惟一性定理
第10讲 镜像法
4. 镜像法应用的关键点
镜像电荷的确定 像电荷的个数、位置及其电量大小——“三要素” ； 明确等效求解的“有效场域”。 5. 确定镜像电荷的两条原则 等效电荷必须位于所求解的场区域以外的空间中； 像电荷的个数、位置及电荷量的大小以满足所求解的场 区域 的边界条件来确定。
密度较小。
分析方法：将导体表面上的电荷用线密
度分别为 l 、且相距为2b 的两根无限长 带电细线来等效替代，如图2所示。
a
b
b
l
l
a
h
h
图2 两平行导体圆柱的等效电荷
第10讲 镜像法
利用线电荷与接地导体圆柱面的镜像确定b 。
a2 由 d d
(h b)(h b) a 2
E ( x) ex
q 4 0 (2 x) 2
We qE ( x) dx
d
0
x q d
q 2 4 0
d
1 q2 dx 2 (2 x) 16 0 d
-d
q'
Wo We
q
2
16 0 d
第10讲 镜像法
导体球面的镜像
1. 点电荷位于接地导体球面外
q'
d'
1 q q q ( ) 4 0 R R r
d
第10讲 镜像法
4. 点电荷位于不接地空心导体球壳内
a P
b
o
d
q
a rR
R' q d' q'
d
a q q , d a2 d d
b o
a q
b
r q"
P
q"= - q
第10讲 镜像法
导体圆柱面的镜像
1. 线电荷与接地导体圆柱面的镜像 问题：如图 1 所示，一根电荷线密度为
第10讲 镜像法
2. 两平行导体圆柱问题 问题：如图1所示，两平行导体圆柱的半
径均为a，两导体轴线间距为2h，单位长
度分别带电荷 l 和 l。
a
l
h
l
a
h
特点：由于两圆柱带电导体的电场互相
影响，使导体表面的电荷分布不均匀，相
图1 两平行导体圆柱
对的一侧电荷密度大，而相背的一侧电荷
第10讲 镜像法
• •
镜像法的基本原理 接地导体平面的镜像
•
• •
导体球面的镜像
导体圆柱面的镜像 点电荷与无限大电介质平面的镜像
•
线电流与无限大磁介质平面的镜像
第10讲 镜像法
镜像法的基本原理 1. 问题的提出
无限大接地导体平板附近有一个点电荷，如图所示。
非均匀感应面电荷
q
等效电荷
q′
用等效电荷替代非均匀感应电荷
h
导体平面上的总感应电荷为
qh dxdy qin s in dS S 2 ( x 2 y 2 h 2 )3 2 qh 2 d d q 2 2 32 0 0 2 ( h )
第10讲 镜像法
8
• 无限大导体平板不接地，有何影响？
d2 q2
第10讲 镜像法
1
d1 q d 60° 2
1 d1
q d2
2
75°
2
1
q d1
120°
d2
2
可得出什么结论？
第10讲 镜像法
例1 一个点电荷q与无限大导体平面距离为 d，如果把它移 至无穷远处，需要做多少功？ 解：由镜像法，感应电荷的电场可以用像电荷q′＝－q 替代。当电荷
q 移至 x时，像电荷q'应位于－x，则有
导体圆柱面上的感应电荷面密度
S
a
2 a(a 2 d 2 2ad cos )
感应电荷与镜像电荷相等
l ( d 2 a 2 )
导体圆柱面上单位长度的感应电荷
l (d 2 a 2 ) 2 ad in S dS l 2 2 S 0 a d 2ad cos 2 a
第10讲 镜像法
接地导体平面的镜像 1. 点电荷对无限大接地导体平面的镜像
q
有效区域
q
h
镜像电荷 电位函数
h
h
q
R
R
q q, h h
1 1 ( ) （z 0 ） 4 R R
z 0
q
因z = 0时， R R
0
满足原问题的边界条件，所得的结果正确。
平行的无限长线电荷，如图2所示。
图2 线电荷与导体圆柱的 镜像
第10讲 镜像法
和 l共同产生的电位函数 l l 1 1 ln ln C 2 2 2 2 2 d 2 d cos 2 d 2 d cos 设镜像电荷的线密度为 l，且距圆柱的轴线为 d ，则由
满足原问题的边界条件，所得的解正确。
第10讲 镜像法
点电荷对相交半无限大接地导体平面的镜像
如图所示，两个相互垂直相连的半无限大接地导体平板，点 电荷q 位于(d1, d2 )处。
对于平面1，有镜像电荷q1=－q，位于(－d1, d2 ) 对于平面2，有镜像电荷q2=－q，位于( d1, －d2 )
第10讲 镜像法
接地导体球附近有一个点电荷，如图。
等效电荷
q′
q
用等效电荷替代非均匀 感应电荷
非均匀感应电荷
接地导体柱附近有一个线电荷。情况与上例类似，但等效 电荷为线电荷。 问题：这种等效电荷是否存在？ 这种等效是否合理？
第10讲 镜像法
2. 镜像法的原理 方法： 在求解区域外设置等效电荷，替代边界上分布电荷
• 有限大接地导体平板问题，可否用镜 像法求解？
q
q
h
h
第10讲 镜像法
2. 线电荷对无限大接地导体平面的镜像 镜像线电荷：
l
l , h h
有效区域
l R 电位函数 ln ( z 0) 2 R
当z=0时， R R
l
h
R
R
0
h
l
l
由于导体圆柱接地，所以当 a 时，电位应为零，即 l l 1 1 ln ln C 0 2 2 2 2 2 a d 2ad cos 2 a d 2ad cos
将上式对φ求导，可以得到
l d (a 2 d 2 ) ld (a 2 d 2) 2add ( l l) cos 0 l l 2 2 2 2 d ( a d ) d ( a d )0 l 所以有 l a2 d l l 0 d
a
b
b
b h2 a 2
l
l
a
h
h
两平行导体圆柱的等效电荷
通常将带电细线的所在的位置称为圆柱导体的电轴，因而 这种方法又称为电轴法。
第10讲 镜像法
l
a2
h2
h1
l
a1
a2
d
a1
两不同半径平行导体圆柱
偏芯同轴线
q
q
a1
能否用镜象法 求解？？？
a2
h2
导体腔内表面上的感应电荷面密度为
(r a)
S r
r a
q(a 2 d 2 ) 4 a(a 2 d 2 2ad cos )3 2
导体腔内表面上的总感应电荷为
q(a 2 d 2 ) 2 a 2 sin d d qin S dS q 2 2 3 2 S 0 0 (a d 2ad cos ) 4 a
球面上的感应电荷面密度为
(r a )
S in
r
r a
q(d 2 a 2 ) 4 a(a 2 d 2 2ad cos )3 2
导体球面上的总感应电荷为
q(d 2 a 2 ) 2 a 2 sin d d a qin S dS q 2 2 32 S 0 0 4 a (a d 2ad cos ) d
显然，q1 对平面 2 以及q2 对平
面 1 均不能满足边界条件。
1
q1