磁场的镜像法
电磁场课件 Part8--镜像法(1)
Topic # 8—镜像法(method ofimages)Part1n镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统n电轴~无限大接地导电平面系统的电场n电轴法 (广义镜像法)1n镜像法n定义The method of images is an analytical technique that involves replacing constantpotential surfaces with equivalent sources called image sources that generate the same fields.镜像法——用场域闭合边界外虚设的较简单的电荷分布来等效替代该边界上未知的较为复杂的电荷分布以简化原问题的分析和计算。
场域闭合边界—一般为导体组成等位面2n镜像法n适用场合The conducting boundaries that can be modeled inthis way include infinite planes, spheres, infinitecylinders, and wedges.34n 点电荷~无限大的接地导板系统 n Background对于大地上方输电线、雷电形成的电场，可以典型化为最 基本的问题：无限大接地导体上方点电荷激发的电场问题+q2s DP (x,y,z )1s he 导板¥r 2 0j Ñ=5n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 分析—直接求解是否可能1. ? 不行，2. 已知场源分布，求3. 高斯定理？0 4 P qrj e = p E vd SE S · ò vv Ñ0 E S × 或 非单一媒质需要探索新的求解方法不通6n 点电荷~无限大的接地导板系统n 换一个角度考虑：考虑其边值问题20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 211221 10 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ7n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 12 |0S j = 0 | y n n E E e= = r r8n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 边值问题22 0 ()j Ñ= 在上半空间 1 2 |0 S j = 0 | y n nE E e = = r r y =0的平面为等位面，且其电位为零9n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 能否找到较简单的等效模型？一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场—仅考虑上半空间 22122210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 在正点电荷处取同样“大小”的面元S 2，可近似认为该 面元为等位面，于是：q+ 2s 1s h0 e ¥e hq- 2 2 0j Ñ= xy o Er10n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 比较边值问题一对相距2h 位于e 0 单一媒质的上半空间的电场原问题22 0 () j Ñ= 在上半空间 1 220 ||=0S y j j = =0 |0t y E = = 22122 210 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®®¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 20 in Dj Ñ= 1||0S j j == 导板表面 |0t E = 导板表面 21122110 00 d d s C s s S S q n j j s e = ®® ¶ ====-= ¶ òò ÑÑ 二者完全一样（y =0平面对应导板表面）11n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 结论由唯一性定理可知，两者的解答 j =j 2注意适用区域：仅上半平面？为什么？计算导板上方的电场时，可以把导板上的感应电荷的影响 用一置于对称位置上的集中电荷等效由于引入的电荷位于原电荷对导板的镜像处—镜像法n点电荷~无限大的接地导板系统 n计算模型—原问题De导体j = x1ryo(,,0)P x yq+h1213n 点电荷~无限大的接地导板系统 n 计算模型—镜像法模型场中电场分布,等效于引入镜 像电荷q ，撤去 导板，整个空 间充满同一种 电介质的电场。
5-恒定磁场-4镜像法
r a1n
r
H1
µ1
r
µ2
H2
如果没有自由表面电流：r r r r an × H1 = an × H2
… 时，分界面切向分量连续— — H1τ = H2τ
矢量磁位… 连续— —
磁 场 中 “镜像法 ”
因为“唯一性”定理：… … 在不改变 恒定磁场区域内电流分布和边界条件的情况下， 用场域外的等效源 (电流 )代替边界对场的影响，来简化 场的计算。
电导线平行于分界面，距离为 a 求：单位长度磁介质同导线之间的作用力
I
a
µ
磁介质的边界条件－1
1. 磁感应强度
µ1
r B1
r a2 n
“扁盒子”
rr
∫ B•dS = 0
µ2
S
分界面法向分量连续— —
r a1n
r B2
r B1
•
r an
=
r B2
•
r an
r ∇•B = 0
矢量磁位连续— —
rr A1 = A2
磁介质的边界条件－2
2. 磁场强度
r a2n
“闭合回路”
r rr r an × ( H1 − H 2) = J sFree
h
I ' = µ2 − µ1 ⋅ I µ2 + µ1
I' ' = 2 ⋅µ1 ⋅ I µ2 + µ1
对比： “线电荷 ”镜像
ε1
ρ
h
ε2
对比： “线电荷 ”镜像
1. 上半区域：
ε1
ρ'
ρ'= − ε2 − ε1 ⋅ ρ ε2 + ε1
2. 下半区域：
ρ"
静磁场中的镜像法
◆ 二维问题的分离变量过程： 若边界面形状适合用直角坐标表示，则在直角坐标 系中求解，以二维的拉普拉斯方程为例，求解电位 函数，设 (x, y) ，电位函数满足
2 2 2 0 2 x y
（4-1） （4-2）
待求的电位函数用二个函数的乘积表示为
f (x)g (y)
4.2 惟一性定理
惟一性定理：在每一类边界条件下，泊松方程或拉 普拉斯方程的解唯一
1 2
【反证法】 假如存在两个满足相同边界条件的不同 解 和 令
U 1 2
在场域 内，u满足拉普拉斯方程 U 在边界上，要么 U 0 （第一类边值问题），要么 n 0 （第二类边值问题）。 令格林第一恒等式（1-157）中的 U ，即
( x, y) [ Ae
ky x
Be
ky x
][C sin(k y y) D cos(k y y)]
（4-11b）
综上所述： a：当 k 0 时，偏微分方程（4-1）的通解 为
2 x
( x, y) ( A0 x B0 )(C0 x D0 )
[ An sin(k xn x) Bn cos(k xn x)][Cn sinh(k xn y ) Dn cosh(k xn y )]
gn ( ) An sin(n ) Bn cos(n )
（4-29）
（4-28）式变为
r d df (r ) 2 r n f (r ) 0 dr dr
（4-30）
（4-31）
即
d 2 f (r ) df (r ) 2 r r n f (r ) 0 dr 2 dr
电磁场 镜像法与电轴法(完美解析)
r
球面
0
设镜像电荷 q '如图，球面电位
q q' p 0 4 π 0 r1 4 π 0 r2
r1 d 2 R 2 2 Rd cos
2
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r2 b 2 R 2 2 Rb cos
2
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第 一 章
qh p＝Dn 0 E 2 π(h 2 x 2 ) 3 / 2
地面上感应电荷的总量为 qh S p dS 0 2π(h2 x 2 )3/ 2 2πxdx
q
图1.7.2 地面电荷分布
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第 一 章
静 电 场
2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题 （除q点外的空间) 2 0
q q' q' ' sin sin sin 2 2 2 4πr 4πr 4πr
2 2 1 2 q 解得 q ' q 和 q' ' 1 2 返 回 1 2
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第 一 章
静 电 场
思考
1 中的电场由 q 与 q’ 共同产生，q’
等效替代极化电荷的影响。
球面电位
q ＝ 4 π 0 d
图1.7.7 点电荷位于不接地导体 球附近的场图
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第 一 章
静 电 场
3. 不同介质分界面的镜像
图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
根据惟一性定理
E1t E2 t
D1n D2n
q q' q' ' cos cos cos 2 2 2 4π1r 4π1r 4π 2 r
镜像法
/jp2007/02/wlkc/htm/c_4_p_4.htm§4.4 镜像法镜像法是求解电磁场的一种特殊方法，特别适用于边界面较规则(如平面、球面和柱面等)情况下，点源或线源产生的静态场的计算问题。
例如当一点电荷q 位于一导体附近时，该导体将处于点电荷q产生的静电场中，在导体表面上会产生感应电荷，则空间的电场应为该感应电荷产生的电场和点电荷q产生的电场的叠加。
一般情况下，在空间电场未确定之前，导体表面的感应电荷分布是不知道的，因此直接求解该空间的电场是困难的。
然而，在一定条件下，可以用一个或多个位于待求场域边界以外虚设的等效电荷来代替导体表面上感应电荷的作用，且保持原有边界上边界条件不变，则根据惟一性定理，空间电场可由原来的电荷q和所有等效电荷产生的电场叠加得到。
这些等效电荷称为镜像电荷，这种求解方法称为镜像法。
可见，惟一性定理是镜像法的理论依据。
在镜像法应用中应注意以下几点：(1)镜像电荷位于待求场域边界之外。
(2)将有边界的不均匀空间处理为无限大均匀空间，该均匀空间中媒质特性与待求场域中一致。
(3)实际电荷(或电流)和镜像电荷(或电流)共同作用保持原边界上的边界条件不变。
4.4.1 点电荷对无限大接地导体平面的镜像zqdx设在自由空间有一点电荷位于无限大接地导体平面上方，且与导体平面的距离为d 。
如图4.2(a)所示上半空间的电位分布和电场强度计算可用镜像法解决。
待求场域为0z >空间，边界为0z =的无限大导体平面，边界条件为在边界上电位为零，即(,,)0x y z φ= (4.29)设想将无限大平面导体撤去，整个空间为自由空间。
在原边界之外放置一镜像电荷'q ，当'q q =-，且'q 和q 相对于0z =边界对称时，如图4.2(b)所示。
点电荷q 和镜像电荷'q 在边界上产生的电位满足式(4.29)所示的边界条件。
根据镜像法原理，在0z >空间的电位为点电荷q 和镜像电荷'q 所产生的电位叠加，即1/21/2222222011{}4()()qx y z d x y z d φπε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.30)上半空间任一点的电场强度为E φ=-∇电场强度E 的三个分量分别为3/23/22222220{}4()()x qxxE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31a)3/23/22222220{}4()()y qyyE x y z d x y z d πε=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31b)3/23/22222220{}4()()z qz dz dE x y z d x y z d πε-+=-⎡⎤⎡⎤++-+++⎣⎦⎣⎦(4.31c)可见，在导体表面0z =处，0x y E E ==，只有z E 存在，即导体表面上法向电场存在。
磁场的镜像法
磁场的镜像法嘿，你知道磁场的镜像法吗？这可是个超有趣的物理概念呢！就好像我们在镜子前看到自己的镜像一样，磁场的镜像法也是一种巧妙的“镜像” 操作哦。
在物理学中，当我们面对一个带有电荷或者电流的物体，它会在周围产生磁场。
而有时候，为了更方便地求解这个磁场的分布情况，我们就会用到镜像法。
比如说，一个点电荷在无限大的导体平面附近，这个导体平面就会对电荷产生影响，使得空间中的磁场分布变得复杂起来。
这时候，我们就可以想象在导体平面的另一侧有一个“镜像电荷”，这个镜像电荷和原来的电荷大小相等，但符号相反。
通过这样的设定，我们就可以把复杂的问题简化啦。
你看，这就好比在一个热闹的派对上，有一个人在舞台中央表演（就像那个点电荷），而舞台的背景幕布（导体平面）会对他的表演效果产生反射和影响。
我们通过想象在幕布后面有一个和他相反的“镜像表演者”，就能更好地理解整个派对现场（空间磁场）的氛围和情况啦。
再比如说，一个电流元在一个磁介质的边界附近，我们也可以用镜像法来处理。
想象一下，电流元就像是一条在河流中游动的小鱼（电流元），而磁介质的边界就像是河流中的一块大石头（边界）。
小鱼的游动会引起水流（磁场）的变化，而大石头会对水流产生阻挡和反射作用。
这时候，我们通过在大石头的另一侧设置一个“镜像小鱼”（镜像电流元），就能更清楚地知道整个河流中水流（磁场）的走向和分布啦。
磁场的镜像法在很多实际问题中都有着重要的应用呢。
比如在电磁屏蔽方面，我们就可以利用镜像法的原理来设计屏蔽结构，让不需要的磁场像被镜子反射一样，被引导到我们希望的方向去，从而减少对其他设备的干扰。
这就好像给我们的电子设备穿上了一件“隐形披风”，让它们免受外界磁场的“骚扰”，是不是很神奇呢？而且，在电机设计、电磁感应等领域，磁场的镜像法也能帮助工程师们更好地分析和设计设备。
通过巧妙地运用镜像法，他们可以更准确地计算磁场的强度和分布，从而优化设备的性能，提高效率。
总之，磁场的镜像法就像是一把神奇的钥匙，能够打开很多复杂磁场问题的大门，让我们更深入地了解和掌握磁场的奥秘。
电磁场 镜像法PPT课件
Q 40
[
1
R2 a2 2Ra cos
(Ra
/
R0
)2
1 R02
2Ra
cos
]
(R
R0
)
0
(R R0)
② 球面感应电荷分布
感
0
RR R0Fra bibliotekQ4R0a
1
R02 a2
(1 2
R02 a2
)
3
R0 a
cos
2
Q 4R0
(a2 R02 )
a2
R02
2R0a cos
应用举例
P
1. 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，
r′
求空间电势。
r
解：根据唯一性定理左半空间 0
Q
z
右半空间，Q在（0，0，a）点，
Q/
a
电势满足泊松方程。
边界上 0 z0
从物理问题的对称性和边界条件考虑，设想在导体板左与电荷Q对 称的位置上放一个假想电荷Q’ ，然后把板抽去。 这样，没有改变 所考虑空间的电荷分布（即没有改变电势服从的泊松方程）
看作原电荷与
r’
镜象电荷共同
激发的电场。
场点P的电势
Q’
P 1 Q Q
4 0 r r
可以看出，引入象电荷取代感应电荷，的确是
一种求解泊松方程的简洁方法。
镜像法所解决的问题中最常见的是导体表面作为边
界的情况，但也可用于绝缘介质分界面的场问题。
例2 设电容率分别为ε1和ε2的两种均匀介
质，以无限大平面为界。在介质1中
这里要注意几点：
a) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布所满足的 Poisson‘s equation or Laplace’s equation，即所研究空间的泊松方 程不能被改变（即自由点电荷位置、大小不能变）。因此，做替 代时，假想电荷必须放在所求区域之外。在唯一性定理保证下， 采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。
镜像法计算通电导体磁场强度
1、电磁学的镜像法有平面镜像法和球面镜镜像法。
2、镜像法的核心思想和核心方法是将感应电荷与原电场（原电荷）的作用等效为镜像电荷与原电场（原电荷）的作用。
3、使用镜像法的难点在于确定镜像电荷的电量多少、电荷位置等。
对于平面镜来说，确定起来较为简单，好似平面镜成像。
4、镜像法的使用条件是“镜”电势为零。
如果不为零，就要通过添加或减少电荷使得“镜”电势为零再使用。
详细的情况可以查看普通物理《电磁学》中文名称：镜像法英文名称：method of image 定义：用物体或基本流动(如旋涡、偶极子等)的镜像来代替固体边界或射流边界影响的一种处理方法。
一种计算静电场或稳定电磁场的方法。
W.汤姆孙(即开尔文)于1848年提出,最先用于计算一定形状导体面附近的电荷所产生的静电场，叫做电像法；后来发展到可以计算某些稳定电磁场，现在称做镜像法。
在电荷的附近出现导体面（或介质分界面）时，这些面对电场有影响。
镜像法就是利用已经熟悉的静电学知识，通过在这些面的另一侧适当位置，设置适当量的假想电荷（称为电荷的像或像电荷），等效地代替实际导体上的感应电荷或电介质界面上的极化电荷，以保证场的边界条件得到满足。
根据静电唯一性定理，在求解区域中，源电荷与像电荷产生的电场就是实际存在的电场。
镜像法常常很简便地得到场的解析解，但只有边界面几何形状很简单的情形才可能成功地设置电像，故不是普遍适用的方法。
目前，镜像法已不限于静电学范围，它已应用于计算稳恒磁场，稳恒电流场和天线的辐射场等不少重要的电磁场问题。
现用简单的例子阐明镜像法。
如图1a所示,大地上方h米处有点电荷q,因为地表感应的面电荷密度N未知，所以不能用积分方法求解电场的V和E。
但是，由于已经知道,图1b为相距2h的正负点电荷在无限空间产生的静电场，场中通过电荷联线中点且与联线垂直的无穷平面为一零等势面，对比图1a与图1b,它们上部静电场的边界条件、点电荷q的位置及媒质的介电常数ε都相同，根据唯一性定理,图1 b静电场的上半部即图1c，就是所求大地上方的静电场。
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B2 1 I磁压之定义，此时整个 铁磁体将为一个等磁位体，因而μ1媒质中所有穿过界 面的磁力线，均将与铁磁媒质平面垂直。
8
若导线埋设在铁磁媒质中，可设μ1→∞，则
I ' I
（4-85）
I '' 2I
（4-86）
可按图4-39及图4-40分别求解上半场域及下半场域之 磁场。
在求解上半场域，将下 半场域媒质，换以磁导 率为μ1的媒质，这样， 对被研究的上半场域来 说，场域内部条件未变 化。且在边界外导线I的 镜像位置处，放置一位 置长直导线I’，以代替边 界面上分散的磁化电流。
图4-34 用集中的镜象电流代替媒质交界面 上分散的磁化电流
而在求下半场域时， 将上半场域的媒介 换以磁导率为μ2的 媒质，这样对研究 的下半场域来说， 场域内部条件并未 变化。另外在边界 外导线I处，加置一 位置镜像直导线I’’， 以代替媒质交界面 上分散的磁化电流 和原导线的电流。
2 1 I I 2 1
''
图4-38 用镜象法处理后的 磁场
7
I '' ' 由安培环路定理 H 2 2R 21I 2 1I 1 B2 2 H 2 2R 2 1 R (1 1 / 2 )
（4-83）
在上式中令μ2→∞，即得铁中之磁感应强度为
• 设有磁导率为μ1及μ2的导磁媒质，其交接处 为无限大平面，今有一线形载电流I的导体 与平面平行，求两媒质中磁场。
本问题与静电场中无限长电轴对无限大媒质 平面的镜象相对应。因而在求解磁导率为μ1的 媒质中的磁场时，可按图4-34进行求解，而在 求解磁导率为μ2的媒质中的磁场时，可按图435进行。
上半空间为磁导率为μ1的媒质， 下半空间充满铁磁媒质μ2 ，μ2 》 μ1 ，故令μ2→∞得
I I
I 0
（4-81）
（4-82）
图4-37 邻近铁磁物质平面
上半域中的磁场可按图4-38求解。下半域中，由于I″=0，故 H2=0。
6
由于铁的磁导率为无穷 大，则有B2=μ2H2为一不定式。 为了确定铁中之磁感应强度 B2，只需重新引用式（4-80）
图4-35 用集中的电流代替媒质交界面上分 散的磁化电流和原导线的电流
电流I′就是虚拟（集中量）电流，等效于 边界上实际出现的分散量（分子束缚电流）。 电流I″为原电流I与镜象电流I′两者的合成。
图4-36中分别绘出两 媒质交界面处，每一媒 质中具有代表意义的分 子电流。
图4-36 两不同媒质交界面上由邻近
图4-39 铁磁物质内，磁场求解示意图
图4-40 非铁磁物质内，磁场求解示 意图
9