第二章 格林定理 镜像法
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2.8 镜像法
分界面为一无限大平面位于介质1中距分界面的距离为求介质1及介质导体平面位于点电荷产生的电场中时会在其上产生感应电荷其面电荷密利用镜像电荷可代替其感应电荷的作用从而将导体平面去2018414第二章2818那么电介质平面位于点电荷产生的电场中时会在其上产生则我们是否也可以利电荷多少个
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
2014-6-14
0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
2014-6-14
P点在导体球面上
23
第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
2014-6-14 2
第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
第二章 2.8
2.8
Z
0
q
P( x y z)
导体
h
z 0 平面为导体平面，其参考电位为零。
点电荷 q 与导体平面之间的电位满足：
电位 给定
z ＞0
2 0
q所在点除外
4
z0
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0
第二章 2.8
镜像电荷 q 的设置： 将无限大导体平面去 h 掉，整个空间充满介 电常数为 0 的介质， 在 q的镜像位置上置 一电荷 q ，则
2
q
2
第二章 2.8
三、球面导体与点电荷：
1、接地导体球与点电荷如图所示：求球外 ?
a
o
q
P 1
r2
a
P
d1
镜像电荷 ：
0 d 2 q
P2
r 1
q
P1
d1
1
q P2 点
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P点在导体球面上
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第二章 2.8
26
r2
边界条件： 方法一：
球面： r 如图 1
边界
像电荷
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第二章 2.8
镜像法最后将求解有限区域 的边值问题转换为无边界的无限 大均匀媒质中的求解问题。
原电荷
像电荷
镜
如何求镜 像电荷
3
数学物理方法 12 格林函数法
（14.2.4）
(r r0 ) 代表三维空间变量的 函数，在直角坐标系中其形式为
(r r0 ) ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
（14.2.4）式中 函数前取负号是为了以后构建格林函数方便 格林函数的物理意义【2】：在物体内部（T 内） r0 处放置一个单位点电荷，而该物体的界面保持电位为零, 那么 该点电荷在物体内产生的电势分布，就是定解问题(14.2.4)的 解――格林函数．由此可以进一步理解通常人们为什么称格林 函数为点源函数．
（14.3.8）
上式正是我们所熟知的静电场的电位表达式
二、二维轴对称情形
用单位长的圆柱体来代替球．积分在单位长的圆柱体内进行，即
G(r ,0)dV (r )dV
T T
因为
(r )dV 1
T
G(r ,0)dV G(r,0)dV
令积分常数为0，得到
G(r ,0)
1 1 G(r ,0) ln c 2π r
1 1 ln 2π r
因此二维轴对称情形的格林函数为
G(r , r0 ) 1 1 ln 2π | r r0 |
（14.3.9）
将（14.3.9）代入式（14.3.1）得到二维无界区域的解为
u (r ) 1 1 f (r0 )ln dS0 S0 2π | r r0 |
点场的影响的总和．两项积分中的格林函数相同．这说明 泊松方程的格林函数是点源在一定的边界条件下所产生的 场． 对于拉普拉斯方程 第一边值问题的解为 第三边值问题的解为
f (r0 ) 0
u (r ) (r0 )
G (r , r0 ) ]dS0 n 0
电动力学 第2章 2-4
q ⎡1 1 1 1⎤ ϕ= − + ⎥ ⎢ − 4πε 0 ⎣ R R1 R2 R3 ⎦
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
3、线电荷对无限大导体平面的镜像
位于无限大接地导体平面附近的无限长直线电荷问题也可由镜像 法求解。设线电荷距导体平面为h，单位长度带电荷ρl ，则其像 电荷仍是无限长线电荷，其中像电荷的线密度为 ρl ’=- ρl ，像 电荷的位置为z’=-h 在z>0的上电Q，则还需要在球心放置一个点电荷Q。
3、球内点电荷的镜像
在半径为a的接地导体球壳内，有一点电荷q，它与球心相距为d (d<a),如图所示。求球内的电位分布和球面上总感应电荷。 解：与点电荷位于导体球外的情况做类似的 处理。这里像电荷q’应位于导体球壳 外 且在球心与点电荷q的连线的延长线上， 如图所示。设像电荷距球心为d，同样 有 球壳内任一点的电位则为
§2.4
镜像法(电象法)
在许多静电场问题中，电荷位于导体表面附近、或位于电介质 分界面附近。对这类问题，直接求解泊松方程（或拉普拉斯方 程）会遇到很大困难，这时可采用镜像法间接求解。 镜像法是一种间接求解方法，它是在所求解的场区域以外的空 间中某些适当的位置上设置适当的等效电荷（称为像电荷）， 在保持场域边界面上所给定的边界条件下，用像电荷替代导体 面上或介质面上的复杂电荷分布，把求解边值问题转换为求解 无界空间的问题。 根据唯一性定理，只要由源电荷与像电荷共同产生的位函数既 满足场域内的泊松方程（或拉普拉斯方程），又满足边界上所 给定的边界条件，则这个位函数就是唯一正确的解。
在介质分界面z＝0处，电位满足边界条件
总
结：
（１）点电荷对导体平面的镜象 一个点电荷Q，若距无限大的电位为零的导体平面为d， 则其镜象电荷为在平面另一侧，距平面为d处的点电荷-Q。 （２）点电荷对导体球的镜象 一个点电荷Q，若离半径为a的接地导体球球心为d，则其 镜象电荷Q’位于球心及Q所在点的联线上，距球心为b， a 并且 a2 Q Q ' = − b= d d （３）点电荷对电介质平面的镜像 其中：q’位于点电荷的异侧， q’’位于点电荷的同侧。
高等电磁场理论-格林函数
突变量正好是点源 函数的单位强度。
3. 除此之外，标量格林函数的一个重要的性质是对源 点和场点的偶对称性，即
G r',r Gr,r'
设有标量格林函数 G r',r1 和 G r',r2 ，它们是不同源点 r1 和 r2 在场点 r' 所产生的标量场，在同一体积 V
内，它们必满足以下方程
（5-2）
在直角坐标系中
r r' x x' y y' z z'
(5-3a)
在圆柱坐标系中
r
r'
1
'
'
'
z
z'
在圆球坐标系中
r
r'
r'2
1
sin
'
r
r'
'
'
(5-3b) (5-3c)
三维 函数 r r' 可以展开为傅里叶积分
r r'
1
2 3
e jk•
合边界 S 上所满足的边界条件，
p r 为已知函数，当 0, 0 时边界上的标量场已知，为第一类边界条件，
对应的问题称为第一类边值问题；
当 0, 0 时边界上的标量场法向导数已知，为第二类边界条件，对应的问题
称为第二类边值问题；
当 0, 0 时通常是在一部分边界上标量场已知而在其余的边界上标量场的法
本征函数归一化，即使本征函数满足
n
r
* m
r dV
mn
V
式中 mn 是克罗内克尔 函数。
mn
1, 0
mn mn
（5-31）
求出本征值与本征函数后，可将标量格林函数用本征函数 n (r) 展开， 即
3. 除此之外，标量格林函数的一个重要的性质是对源 点和场点的偶对称性，即
G r',r Gr,r'
设有标量格林函数 G r',r1 和 G r',r2 ，它们是不同源点 r1 和 r2 在场点 r' 所产生的标量场，在同一体积 V
内，它们必满足以下方程
（5-2）
在直角坐标系中
r r' x x' y y' z z'
(5-3a)
在圆柱坐标系中
r
r'
1
'
'
'
z
z'
在圆球坐标系中
r
r'
r'2
1
sin
'
r
r'
'
'
(5-3b) (5-3c)
三维 函数 r r' 可以展开为傅里叶积分
r r'
1
2 3
e jk•
合边界 S 上所满足的边界条件，
p r 为已知函数，当 0, 0 时边界上的标量场已知，为第一类边界条件，
对应的问题称为第一类边值问题；
当 0, 0 时边界上的标量场法向导数已知，为第二类边界条件，对应的问题
称为第二类边值问题；
当 0, 0 时通常是在一部分边界上标量场已知而在其余的边界上标量场的法
本征函数归一化，即使本征函数满足
n
r
* m
r dV
mn
V
式中 mn 是克罗内克尔 函数。
mn
1, 0
mn mn
（5-31）
求出本征值与本征函数后，可将标量格林函数用本征函数 n (r) 展开， 即
电动力学镜像法ppt课件
性，电势也应具有球对称性。当考虑较
r
远处场时，导体球可 视为点电荷。
2 0 (r a)
r 0
r3
(r 0) r , 0
B0 A
r
A
n r r 2
Q
0
r
dS
ra
0
A dS 0 A4 a 2
a2
a2
A Q
4 0
Q 4 0r
E
Q
(r a)
r Qr
2、导体内部电场为零；
3、导体表面上电场必沿法线方向，因此导体表面为 等势面，整个导体的电势相等。
设导体表面所带电荷面密度为σ，设它外面的介质电容率
为ε，导体表面的边界条件为
|s 常数
n s
Q dS dS
S
S n
En
三．静电场的能量
仅讨论均匀介质
1. 一般方程： 能量密度
本节主要内容
一、静电场的标势 二、静电势的微分方程和边值关系 三．静电场的能量
一、静电场的标势
在静止情况下，电场与磁场无关，
麦氏方程组的电场ห้องสมุดไป่ตู้分为
E 0
E
D 静电场的无旋性是它的一个重要特
性，由于无旋性，我们可以引入一
这两方程连同介质 的电磁 性质方程 D 是E 解决静
个标势来描述静电场，和力学中用 势函数描述保守力场的方法一样。
把单位正电荷由P1点移至 P2点，电场E对它所作的
功为
P2 E dl P1
这功定义为P1点和P2点的
电势差。若电场对
电荷做了正功，则电势
下降。由此
(P2 )
(P1 )
P2 P1
E
dl
大学电磁场与电磁波第二章2.8镜像法
E
=
q 4πε0
1 (r2
er
−
R dr12
er1
+
R dr2 2
er2
)
不接地导体球面上的正负感应电荷的 绝对值等于镜像电荷 q′吗? 为什么？
图2.8.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图
补充题： 试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置?
图2.8.8 点电荷对导体球面的镜像
=
qh
(h
2
1 + x2 )1/
2
∞
0
= −q
2. 导体球面镜像 设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。
1) 边值问题：
∇2ϕ = 0 （除q点外的导体球外空间)
ϕ =0 r →∞
ϕ
=0
导球面
2) 设镜像电荷 − q′位于球内,球面上任一点电位为
ϕp
=q
4πε
r
− q' = 0
2
sin
θ
=
q'' 4πε2r
2
sin
θ
q + q' = q'' ε1 ε1 ε2 q − q'= q''
q' = ε1 − ε 2 q ε1 +ε2
和
q' ' = 2ε2 q ε1 +ε2
•ε1中的电场是由q与q' 共同产生，其有效区在上半空间，q'是等效替代极化电荷的
影响。
•ε 2中的电场是由 q'决' 定，其有效区在下半空间，q''是等效替代自由电荷与极化电荷
《电动力学第三版》chapter2_4镜像法
总电场如图所示, 由对称性知，边界条件满足. 因此,导体板上的
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
U inR R 0 ou R tR 0
in 0
▲顺便计算导体对点电荷Q的作用力：
FQE
E n ouetnRaR ouetxRa
F
1
4π 0
Q(q
R0 a
a2
Q)
Q2 ( R0 a
(a R02 a
) )2
ex
1
4π 0
Q a2
q
QR03(2a2 a(a2 R02
(1)球面为等势面(电势待定);
(2)从球面发出的总电场强度通量为Q0 /0. 由上例可知, 若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q , 其
位置和大小如前, 则球面上电势为零. 若在球心处再放一个假想电
荷Q0Q ,则导体球所带总电荷为Q0,同时球面仍为等势面. 因此,
条件(1)和(2)都满足.
球外任一点P的电势为
点电荷Q的镜像
Q
Q ++
++
代换没有改变电荷分布 泊松方程不变
代换满足边界条件
假想电荷代替 感应电荷分布
问题解决
注意：
(1) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布 所满足的泊松方程或拉普拉斯方程. 因此，在所研究 的场域内不可放置镜像电荷，也就是说，镜像电荷 必须放在研究的场域外.
感应电荷确实可以用板下方一个假想电荷Q 代替， Q 称为Q的
镜像电荷.
导体板上部空间的电场可以看作原电荷Q与镜像电
荷Q 共同激发的电场. 以r 表示Q到场点P的距离, r 表 示象电荷Q 到P的距离, P点的电势为
(P) 1 4π0
QQ r r'
U inR R 0 ou R tR 0
in 0
▲顺便计算导体对点电荷Q的作用力：
FQE
E n ouetnRaR ouetxRa
F
1
4π 0
Q(q
R0 a
a2
Q)
Q2 ( R0 a
(a R02 a
) )2
ex
1
4π 0
Q a2
q
QR03(2a2 a(a2 R02
(1)球面为等势面(电势待定);
(2)从球面发出的总电场强度通量为Q0 /0. 由上例可知, 若在球外有电荷Q而在球内放置假想电荷Q , 其
位置和大小如前, 则球面上电势为零. 若在球心处再放一个假想电
荷Q0Q ,则导体球所带总电荷为Q0,同时球面仍为等势面. 因此,
条件(1)和(2)都满足.
球外任一点P的电势为
点电荷Q的镜像
Q
Q ++
++
代换没有改变电荷分布 泊松方程不变
代换满足边界条件
假想电荷代替 感应电荷分布
问题解决
注意：
(1) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布 所满足的泊松方程或拉普拉斯方程. 因此，在所研究 的场域内不可放置镜像电荷，也就是说，镜像电荷 必须放在研究的场域外.
镜像电源求格林函数
静电源像法求解格林函数摘要利用静电源象法求出不同区域的格林函数,是求解这些区域上的拉普拉斯方程与泊松方程边界间题的关键。
同时,静电源象法也是物理专业学生在电动力学等专业课的学习中应熟练掌握的一个有用工具。
针对这个间题文章归纳出利用静电源像法求格林函数的一般基本思路。
关键词格林函数；静电源像法；狄利克雷边值静电源像法理论依据静电源像法求区域的格林函数归结为求函数g（,),也就是求感应电荷产生的点位。
当区域的边界具有特殊的对称性时，就可以用类似于反射波的方法求的格林函数。
在区域外也有一个点电荷，他对自由空间的电场产生一个电位，这两个点电荷所产生的电位在边界上恰好抵消，这个点电荷在内的电位就等于感应电荷产生的电位。
现在利用静电源法求秋的格林函数，K是以O为圆心，R为半径的球面。
在点放置一单位电荷，在半射线上截线段使=，（1.1）其中,,称点为关于球面K的反演点。
设P是球面K 上的任意给定一点，考察三角形,他们在点O有公共角，而夹此角的二相应边按（1.1）式是成比例的，因此这两三角形是相似的。
有相似性得到，对球面K上任意点P必有。
在点处有一个点电荷，根据上式，它所产生的电位恰好与处单位电荷所产生的电位抵消，必须是在处的点电的电量为-,因此,这样一来，以K为球面的球上的格林函数就是：, (1.2) 现在用（1.2）求方程满足边界条件（1.3）的狄利克雷问题的解。
应用，其中=,是和OM的夹角，利用（1.1）式，根据（1.2）式就得到格林函数：, 易知在球面K上，-=因此，得到在球上的狄利克雷问题的接的表达式为，（1.4）球坐标形式如下其中（）是点的坐标，是球面K上P的坐标，。
静电源像法求解半空间的狄利克雷问题要求一个半空间z>0上的调和函数，它在平面z=0上取函数f(x,y):.点的对称点是。
由此，有如下的格林函数：对于半空间z>0来讲，平面z=0的法线方向是与z轴相反的方向，即。
此外，对于半空间的情形，只要对调和函数()加上在无穷远处的条件：（），再由公式，可得到半空间上的调和方程的狄利克雷问题的解的表达式为：=静电源像法应用举例无限大导体平面前的点电荷用镜像法解题，设在无限大接地导体平面（z=0）附近有一点电荷Q与平面距离为z=h导体平面是等位面。
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2 t
V
( E H )]d ( E d )dt ( ( E H ) d )dt
1 2 2 1 2 2 0 V 0
t
V
( E H )]d ( ( E H ) nd)dt
1 2 2 1 2 2 0
t
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
解之得:
m1, 2
b b2 a 2 a
l U 1 2 (1nm1 1nm2 ) 2 0 l b b a l b b a 1n 1n 2 2 2 0 b b a 0 a
E E1 E 2
H H1 H 2
E H E t
H E t
D 0
B 0
(E H ) H E E H
( E H ) d
V
1 2 1 [ J E ( 2 E 2 H 2 )]d t
2 2
该式称为格林第二恒等式。 格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分 解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
1 q q ' 4 0 r r
r [ x y ( z h) ] , r [ x y ( z h) ]
2 2 2 1/ 2 2 2
2 1/ 2
qx 1 1 3 3 Ex 4 0 r r qy 1 1 3 3 Ey 4 0 r r qz z h z h 3 3 Ez 4 0 r r
q q' q' ' ,
q q'
2
q"
1
2 1 q' q 2 1
21 q' ' q 2 1
图4-7 例 4-6 用图 (a) 介质镜像问题； (b) 区域 2 等效； (c) 区域 1 等效
解： 右半空间任一点的电位为:
1 q q' 2 4 2 r2 r1
左半空间任一点的电位为:
1
其中q′和q″待定。
q' ' 4 1r2
1 2 1 2 , 1 2 x x
l 1nm 2 0
例4-5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离 是 2d，如图 4-6，求导体单位长的电容。
图4-6 平行双导体
解:设两个导体圆柱单位长带电分别为ρl和-ρl，利用柱面镜像 法，将导体柱面上的电荷用线电荷ρl 和-ρl 代替，线电荷相距 原点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。
2 2
2 2 2
m 1 2md 2 x 2 d y 2 m 1 m 1
这个方程表示一簇圆，圆心在(x0, y0)，半径是R0。其中：
2md m2 1 R0 2 , x0 2 d , y0 0 m 1 m 1
每一个给定的m(m>0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为:
2.10.3 圆柱面镜像法 例4-4 线密度为ρl 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平 面前，二者相距d, 如图 4-5(a)所示，求电位及等位面方程。
图4-5 例4-3 用图 (a) 导体平面与线电荷；(b) 等位线
解：
l r0 1n 2 0 r
同理得镜像电荷-ρl的电位：
l r0 1n 2 0 r
任一点(x, y)的总电位：
l r 1n 2 0 r
用直角坐标表示为:
l ( x d )2 y 2 ( x, y ) 1n 4 0 ( x d ) 2 y 2
等位线方程为:
(x d ) y m2 ( x d )2 y 2
S
right
i
Si
i / / i ( i i )dS n n i / i 1 / ( )dS i ( ) dS ( i qi/ i / qi ) Si n n i
[ i
i
Si
(r ) 1 (r ) 2
于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离为b(b<a)，这样球
外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q′产生电位的叠加， 即:
q 4 0r1
q' 4 0r2
当计算球面上一点的电位时， 有:
q 4 0 r10
q' 4 0 r20
0
式中r10、r20分别是从q、q′到球面上点P0的距离。在上式中q′
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:
V
dV dS S n
2
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
V
dV 0
2
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
和
H1 H 2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 及不同边界条件的场解是唯一的
2.10
2.10.1 平面镜像法
镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
解： 当 z>0 时，▽2φS=0； 当 z=0时，φ=0； 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
FdV F dS
V S
在上式中，令
F 则:
F ( ) 2 FdV ( 2 )dV
V V
( ) dS
2 2 2 2
C
l
U
0
b b a 1n a
2 2
当b>>a时，
C
0
2b 1n a
2.10.4 平面介质镜像法
例4-6 设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0 及x>0 的 半空间，在介质 2 中点(d, 0, 0)处有一点电荷q, 如图 4-7(a)所示， 求空间各点的电位。
n
证毕 （1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷 i/ qi/ i
i 1
n
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
V
/ d / d
V
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。 如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS ( x 2 y 2 h2 )3 / 2 q 2
图4-2 相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像
2.10.1 唯一性定理
设在区域V内，
1 和 2
2 2
满足泊松方程，即:
(r) 1 (r) 2
在V的边界S上
1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
1 |S f ( r ) 2 |S f ( r )
令φ =φ1-φ2 ，则在V内，▽ 2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
/ i / V i 1 / i / V
n
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
现令：
V
( )d
2 2
S
( )dS n n
2 / / 2
/
/ ( )dS n n
/
V
( )d
2.10.2 球面镜像法
例4-2 如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电
荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。
图4-3 球面镜像 (a) 球面镜像原问题；(b) 等效问题
解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷 在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置
和b是待求量。取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到 确定q′、b的两个方程：
q q' 0 qa ab q q' 0 d a ab
解之得:
q 2 a b d a q' d
可以算出球面上总的感应电荷qin=-qa/d=q′。 如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理 求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总 感应电荷为零。应使用两个等效电荷：一个是q′，其位置和 大小由式(4-9)确定； 另一个是q″, q″=-q′, q″位于球心。 如果导体球不接地，且带电荷Q，即q′位置和大小同上， q″的位置也在原点，但q″=Q-q′, 即q″=Q+qa/d。
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。 现测得各带电导体的电位为 i 体电荷元处的电位为
V
( E H )]d ( E d )dt ( ( E H ) d )dt
1 2 2 1 2 2 0 V 0
t
V
( E H )]d ( ( E H ) nd)dt
1 2 2 1 2 2 0
t
2md a 2 m 1 m2 1 d b 2 m 1
解之得:
m1, 2
b b2 a 2 a
l U 1 2 (1nm1 1nm2 ) 2 0 l b b a l b b a 1n 1n 2 2 2 0 b b a 0 a
E E1 E 2
H H1 H 2
E H E t
H E t
D 0
B 0
(E H ) H E E H
( E H ) d
V
1 2 1 [ J E ( 2 E 2 H 2 )]d t
2 2
该式称为格林第二恒等式。 格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分 解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
1 q q ' 4 0 r r
r [ x y ( z h) ] , r [ x y ( z h) ]
2 2 2 1/ 2 2 2
2 1/ 2
qx 1 1 3 3 Ex 4 0 r r qy 1 1 3 3 Ey 4 0 r r qz z h z h 3 3 Ez 4 0 r r
q q' q' ' ,
q q'
2
q"
1
2 1 q' q 2 1
21 q' ' q 2 1
图4-7 例 4-6 用图 (a) 介质镜像问题； (b) 区域 2 等效； (c) 区域 1 等效
解： 右半空间任一点的电位为:
1 q q' 2 4 2 r2 r1
左半空间任一点的电位为:
1
其中q′和q″待定。
q' ' 4 1r2
1 2 1 2 , 1 2 x x
l 1nm 2 0
例4-5 两平行圆柱形导体的半径都为a，导体轴线之间的距离 是 2d，如图 4-6，求导体单位长的电容。
图4-6 平行双导体
解:设两个导体圆柱单位长带电分别为ρl和-ρl，利用柱面镜像 法，将导体柱面上的电荷用线电荷ρl 和-ρl 代替，线电荷相距 原点均为d，两个导体面的电位分别为φ1和φ2。
2 2
2 2 2
m 1 2md 2 x 2 d y 2 m 1 m 1
这个方程表示一簇圆，圆心在(x0, y0)，半径是R0。其中：
2md m2 1 R0 2 , x0 2 d , y0 0 m 1 m 1
每一个给定的m(m>0)值，对应一个等位圆，此圆的电位为:
2.10.3 圆柱面镜像法 例4-4 线密度为ρl 的无限长线电荷平行置于接地无限大导体平 面前，二者相距d, 如图 4-5(a)所示，求电位及等位面方程。
图4-5 例4-3 用图 (a) 导体平面与线电荷；(b) 等位线
解：
l r0 1n 2 0 r
同理得镜像电荷-ρl的电位：
l r0 1n 2 0 r
任一点(x, y)的总电位：
l r 1n 2 0 r
用直角坐标表示为:
l ( x d )2 y 2 ( x, y ) 1n 4 0 ( x d ) 2 y 2
等位线方程为:
(x d ) y m2 ( x d )2 y 2
S
right
i
Si
i / / i ( i i )dS n n i / i 1 / ( )dS i ( ) dS ( i qi/ i / qi ) Si n n i
[ i
i
Si
(r ) 1 (r ) 2
于球心与电荷q的连线上，设q′离球心距离为b(b<a)，这样球
外任一点的电位是由电荷q与镜像电荷q′产生电位的叠加， 即:
q 4 0r1
q' 4 0r2
当计算球面上一点的电位时， 有:
q 4 0 r10
q' 4 0 r20
0
式中r10、r20分别是从q、q′到球面上点P0的距离。在上式中q′
V ( )dV S n dS
2
由于▽ 2φ =0，所以有:
V
dV dS S n
2
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
V
dV 0
2
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
和
H1 H 2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 及不同边界条件的场解是唯一的
2.10
2.10.1 平面镜像法
镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
解： 当 z>0 时，▽2φS=0； 当 z=0时，φ=0； 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
FdV F dS
V S
在上式中，令
F 则:
F ( ) 2 FdV ( 2 )dV
V V
( ) dS
2 2 2 2
C
l
U
0
b b a 1n a
2 2
当b>>a时，
C
0
2b 1n a
2.10.4 平面介质镜像法
例4-6 设两种介电常数分别为ε1、ε2的介质充填于x<0 及x>0 的 半空间，在介质 2 中点(d, 0, 0)处有一点电荷q, 如图 4-7(a)所示， 求空间各点的电位。
n
证毕 （1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷 i/ qi/ i
i 1
n
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
V
/ d / d
V
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。 如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
qh S 0 Ez 2 2 2 3/ 2 2 ( x y h )
导体表面总的感应电荷：
qh dxdy qin S dS ( x 2 y 2 h2 )3 / 2 q 2
图4-2 相互正交的两个无限大接地导体平面的镜像
2.10.1 唯一性定理
设在区域V内，
1 和 2
2 2
满足泊松方程，即:
(r) 1 (r) 2
在V的边界S上
1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
1 |S f ( r ) 2 |S f ( r )
令φ =φ1-φ2 ，则在V内，▽ 2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
/ i / V i 1 / i / V
n
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
现令：
V
( )d
2 2
S
( )dS n n
2 / / 2
/
/ ( )dS n n
/
V
( )d
2.10.2 球面镜像法
例4-2 如图4-3(a)所示，一个半径为a的接地导体球，一点电
荷q位于距球心d处，求球外任一点的电位。
图4-3 球面镜像 (a) 球面镜像原问题；(b) 等效问题
解：我们先试探用一个镜像电荷q′等效球面上的感应面电荷 在球外产生的电位和电场。从对称性考虑，镜像电荷q′应置
和b是待求量。取球面上的点分别位于A、B两点，可以得到 确定q′、b的两个方程：
q q' 0 qa ab q q' 0 d a ab
解之得:
q 2 a b d a q' d
可以算出球面上总的感应电荷qin=-qa/d=q′。 如果导体球不接地且不带电，可用镜像法和叠加原理 求球外的电位。此时球面必须是等位面，且导体球上的总 感应电荷为零。应使用两个等效电荷：一个是q′，其位置和 大小由式(4-9)确定； 另一个是q″, q″=-q′, q″位于球心。 如果导体球不接地，且带电荷Q，即q′位置和大小同上， q″的位置也在原点，但q″=Q-q′, 即q″=Q+qa/d。
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。 现测得各带电导体的电位为 i 体电荷元处的电位为