格林公式及其应用
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第3节 格林公式及其应用
那末 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
由于 Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
L2
即 Pdx Qdy 0 .
L1
L
2
L1 L2 是 G内一条有向闭曲线 .
因此 , G内由曲线积分与路径无关
可推出,在 G 内沿闭曲线的积分为零 .
G
DC
x
于是我们得到与定积分中莱布尼兹公式类似的公式 ,
(x, y) Pdx Qdy U (x, y) ( x0 , y0 )
(x , y) ( x0 , y0 )
U (x, y) U (x0 , y0 )
,
其中 L 为一条无重点 ` 分段光滑
且不经过坐标原点的连续曲线 , L的方向为逆时针方向.
解 令 P y , Q x .当 x2 y2 0 时,有
x2 y2
x2 y2
? ? Q
x
y2 x2 x2 y2 2
, P y
y 2 x2 , Q P . x 2 y 2 2 x y
记 L 所围的区域为 D : (1) 当 (0, 0) D , 由格林公式
y
L D
L
xdy x2
ydx y2
D
Q x
P y
dxdy
0
D
dxdy
0
.
o
x
(2) 当 (0, 0) D ,取 r 适当小, 作小圆l
l : x2 y 2 r 2 , 记 L l 所围的区域为 D1 .
y
格林公式及其应用
思考：如果L 取负向呢?
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
证明: 设 D 是 X 型区域,
D {( x , y ) a x b , 1 ( x ) y 2 ( x )}
P ( x , y )dx
L
L1
L2
L3
P ( x , y ) dx
L4
Pdx
L1 a b
Pdx
2( y)
1
x 1( y)
y
D
L3
L4
c
x 2( y)
[
c
D
Q ( x , y ) x
( y)
dx ]dy （把Q( x , y )看作x的函数
x dxdy .
Q
用牛顿 莱布尼兹公式）
如果D既是X型又是Y 型，则
L
P ( x , y ) dx
P y
，
则曲线积分 Pdx Qdy在该区域内与路径无关 .
L
( 2 ) 如果
Q x
P y
在复连通域内成立，则
曲线积分
不一定与路径无关。
前例，
xdy ydx x y
2 2
.
L
( 3)由定理的证明过程可知 u ( x, y)
( x, y) ( x 0 , y0 )
P ( x , y ) d x Q( x , y ) d y .
L3
( L2 , L4上 dx 0)
b a
L1 y ( x ) 2
L2
P ( x , 2 ( x )) dx
b a
P ( x , 1 ( x )) dx
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式及其应用
高等数学
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
高等数学-格林公式及其应用
由格林公式知 xdy ydx 0 L x2 10 y 2
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
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∫L Pdx + Qdy = ∫L
1
Pdx + Qdy
2
恒成立, 就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内
L
与路径无关, 否则说与路径有关.
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
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xdy − ydx , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 2 2 L x +y 不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向.
例 4 计算 ∫
解 记L所围成的闭区域为D. 当(0, 0)∈D时, 在D内取一圆周l: x2+y2=r2(r>0). 记L及l所围成的复连通区域为D1, 应用格林公式得
§10.3 格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
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一、格林公式
单连通与复连通区域 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于 D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
D
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L, 则
A = 1 ∫ xdy − ydx . 2 L 例1 求椭圆x=acosθ, y=bsinθ 所围成图形的面积A.
解 设L是由椭圆曲线, 则
D
用格林公式计算区域的面积 设区域D的边界曲线为L, 则
A = 1 ∫ xdy − ydx . 2 L
提示: 在格林公式中, 令P=−y, Q=x, 则有
− ydx + xdy = 2∫∫ dxdy , 或 A = ∫∫ dxdy = 1 ∫ xdy − ydx . ∫L 2 L
D
D
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L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域Df Chemical Technology
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y
证明(1)
若区域 D 既是 X − 型又 是Y − 型,即平行于坐 标轴的直线和 L至多交 于两点.
d x = ψ 1( y) A c o a
1 xdy − ydx = 1 2π (ab sin 2 θ + ab cos2 θ )dθ A= ∫ 2 ∫0 2 L 1 ab 2π dθ = abπ . = 2 ∫0
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
AB
y
A
D
o
L
B
x
解 引入辅助曲线 L , L = OA+ AB+ BO
应用格林公式,
P = 0, Q = x 有
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用格林公式求闭曲线积分 xdy − ydx 例 4 计算 ∫ 2 2 , 其中 L 为一条无重点、分段光滑且 L x +y 不经过原点的连续闭曲线, L的方向为逆时针方向. 解 记L所围成的闭区域为D. 当(0, 0)∉D时, 由格林公式得
E
y = ϕ 2 ( x)
D
B
x = ψ 2 ( y) Cy = ϕ 1 ( x ) x b
D = {( x , y ) ϕ 1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ 2 ( x ), a ≤ x ≤ b}
D = {( x , y )ψ 1 ( y ) ≤ x ≤ ψ 2 ( y ), c ≤ y ≤ d }
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1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy + ∫L Pdx + Qdy
1 2 3
= ∫L Pdx + Qdy
L3
D3
D2
L2
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
D1
L1
L
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证明(3) 证明(3)
单连通区域
在他的左边. 在他的左边 Jlin Institute of Chemical Technology
复连通区域
边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 区域D总 边界曲线的正向: 当观察者沿边界行走时 区域 总
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设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全 属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域.
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∂Q ∂P 两式相加得 ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
证明(2) 证明(2)
若区域 D 由按段光 滑的闭曲线围成.如图, 将 D 分成三个既是 X − 型又是 Y − 型的区域 D1 , D2 , D3 .
2
3
= ( ∫L + ∫L + ∫L )( Pdx + Qdy ) = ∫L Pdx + Qdy
2 3 1
( L1, L2 , L3对D来说为正方向 )
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
L3 D3 D2 L2
D
D1
L1
L
∫∫ (
D
∂ Q ∂P ∂Q ∂ P − )dxdy = ∫∫ ( − )dxdy ∂x ∂y ∂y D + D + D ∂x
1 2 3
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∂Q ∂P ∂Q ∂P ∂Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy + ∫∫ ( ∂x − ∂y )dxdy D D D
∫ xe
dy
∫
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格林公式:
∂Q ∂P ∫∫( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy .
D
•简化曲线积分 简化曲线积分
例 3 计算 ∫ xdy ,其中曲线 AB是半径为 r 的圆在第一 象限部分.
⇔ ∫ Pdx + Qdy + ∫
L1
Jlin Institute of Chemical Technology
L2
−
Pdx + Qdy = 0 ⇔ ∫
L1 + ( L2 )
−
Pdx + Qdy = 0 .
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关
曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关相当于沿 G 内任
r 2 cos2 θ + r 2 sin 2 θ dθ =2π. r2
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二、平面上曲线积分与路径无关的条件
曲线积分与路径无关 设G是一个开区域, P(x, y)、Q(x, y)在区域G内具有一阶 连续偏导数. 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点 B的任意两条曲线L1、L2, 等式
L
意闭曲线 C 的曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 等于零.
L
这是因为, 设L1和L2是G内任意两条从 点A到点B的曲线, 则L1+(L2−)是G内一条任 意的闭曲线, 而且有
∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy
1 2
⇔ ∫ Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy = 0
L1 L2
x = ψ1( y)
E D
x =ψ 2 ( y)
= ∫CBE Q( x , y )dy − ∫CAE Q ( x , y )dy
= ∫CBE Q ( x , y )dy + ∫EAC Q ( x , y )dy
= ∫L Q ( x , y )dy
c o
C
x
同理可证
∂P − ∫∫ dxdy = ∫L P ( x , y )dx D ∂y
D
其中L是D的取正向的边界曲线. >>>
定理证明
应注意的问题: 对复连通区域D, 格林公式右端应包括 沿区域D的全部边界的曲线积分, 且边界的 方向对区域D来说都是正向.