格林公式及其应用
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高数B 格林公式
Q P
(4) 在 D 内每一点都有
=
y
的全微分,
证明 (1) (2)
设 L1 , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
B
线, 则
L2
P
d
x
Q
d
y
P
d
x
Q
d
y
L1
L2
A
L1 L 2
Pd x Qd y
L2
L1
(根据条件(1))
Pd x Qd y
对 D 内任意闭曲线 L 有 L P d x Q d y 0
Q P
在 D 内有
x y
在 D 内有d u P d x Q d y
P d x Q d y 0 为全微分方程
(如图) , 因此在D上
P Q
D D
L
y x
利用格林公式 , 得
Q Q
L P d x Q d y D ( x x )d xd y 0
(4) 在 D 内每一点都有
证毕
P Q
.
y x
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 L Pd x Qd y 0 .
Fx
y tan x
y
Fy
y y tan x
1
y
sec x
因此有
y x 0 1
cos x
练习题：
(1)
(2,1)
证明积分I=(1,0)
2 − 4 + 3 + 2 − 4 3 , 在
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式及其应用
y d
D
x = ψ 1( y)
由于区域 D 既是X − 型又 是Y − 型的,两式相加则有
c O
x = ψ 2 ( y)
x
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
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返回
结束
情形二 情形二 区域 D既不是 X − 型的又不是 Y − 型的, 但 是是单连通区域 .
a, b
∂Q ∂p ∫∫( ∂x − ∂y)dσ = ∫L P( x, y)dx+ Q(x, y)dy D
平面区域上的二重积分与区域 边界曲线上的曲线积分的关系。 边界曲线上的曲线积分的关系。
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2.格林公式 2.格林公式
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L所围成 , 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D上具有一阶连续偏导数 , ∂Q ∂ P − 则有 ∫∫ dxdy = ∫ Pdx + Qdy , L ∂ x ∂y D 其中L 是 D 的正向边界曲线 .
− y2
dy
OA : y = x .
x : 0 → 1.
∫ xe
d y = ∫ xe
0
1
− x2
1 dx = (1 − e −1 ). 2
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(3)计算平面区域的面积 (3)计算平面区域的面积
∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dσ = ∫L P ( x , y )dx + Q( x , y )dy. D
D − y2
dxdy , D : 以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
y
为顶点的三角形闭区域 .
格林公式及其应用
一、区域连通性的分类 二、格林（Green）公式 三、简单应用 四、小结
一、区域连通性 的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D
单连通区域
D
复连通区域
L L1 L2
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.
L2 d
c
L1
证明 (3)
D3 D1
D2
D
证明 (4)D：复连通区域 由(2)知
G
E C
B F
A
定理1
格林公式
格林公式： *1 格林公式的行列式形式：
*2 格林公式与牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式：
()左边: ()右边:
故 ()即 说明(?) 格林公式是牛顿-莱布尼兹公式的推广
*3 格林公式的向量形式
解
四、小 结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
— 格林公式
3. 格林公式的应用.
作业：199页 1(1)(2)(4)(5),4,5,9(2),*9(1)(3)
思考题
若区域 D 如图为复连通域， 试描述格林公式中曲线积 分中L的方向。
g ef
思考题解答
L 由两部分组成 外边界： 内边界：
二、格林 公式
定理1
格林公式
证明
思路:公式两边化为同一定积分.
(1)若区域 D 既是 X—型又是Y — 型.
从简单情形出发.
d L1
E
L2
D
c
C
d L1
E
L2
D
c C
类似，把 D 看成 X —型，有 两式相加得
一、区域连通性 的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D
单连通区域
D
复连通区域
L L1 L2
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.
L2 d
c
L1
证明 (3)
D3 D1
D2
D
证明 (4)D：复连通区域 由(2)知
G
E C
B F
A
定理1
格林公式
格林公式： *1 格林公式的行列式形式：
*2 格林公式与牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式：
()左边: ()右边:
故 ()即 说明(?) 格林公式是牛顿-莱布尼兹公式的推广
*3 格林公式的向量形式
解
四、小 结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
— 格林公式
3. 格林公式的应用.
作业：199页 1(1)(2)(4)(5),4,5,9(2),*9(1)(3)
思考题
若区域 D 如图为复连通域， 试描述格林公式中曲线积 分中L的方向。
g ef
思考题解答
L 由两部分组成 外边界： 内边界：
二、格林 公式
定理1
格林公式
证明
思路:公式两边化为同一定积分.
(1)若区域 D 既是 X—型又是Y — 型.
从简单情形出发.
d L1
E
L2
D
c
C
d L1
E
L2
D
c C
类似，把 D 看成 X —型，有 两式相加得
格林公式求面积
格林公式求面积格林公式是一种计算多边形面积的方法，适用于各种形状的多边形。
本文将介绍格林公式的原理和应用，并通过实例演示如何使用格林公式计算多边形的面积。
一、格林公式的原理格林公式是基于向量叉乘的原理，其核心思想是将多边形划分成若干个小三角形，然后计算每个小三角形的面积并求和，最终得到整个多边形的面积。
二、格林公式的应用格林公式适用于各种形状的多边形，包括凸多边形和凹多边形。
使用格林公式计算多边形的面积需要知道多边形的顶点坐标，然后按照一定的顺序连接这些顶点，形成一个封闭的多边形。
三、格林公式的计算步骤1. 根据多边形的顶点坐标，按照一定的顺序连接这些顶点，形成一个封闭的多边形；2. 遍历多边形的每条边，计算该边与x轴的夹角，并计算该边的长度；3. 根据向量叉乘的原理，计算每个小三角形的面积；4. 将每个小三角形的面积求和，得到整个多边形的面积。
四、格林公式的实例演示假设有一个四边形，其顶点坐标依次为A(0, 0)，B(2, 0)，C(2, 3)，D(0, 3)。
按照顺序连接这四个顶点，形成一个封闭的四边形。
计算AB边与x轴的夹角为0°，长度为2；计算BC边与x轴的夹角为90°，长度为3；计算CD边与x轴的夹角为180°，长度为2；计算DA边与x轴的夹角为270°，长度为3。
然后，根据向量叉乘的原理，计算AB边和BC边所形成的小三角形的面积为(2 * 3) / 2 = 3；计算BC边和CD边所形成的小三角形的面积为(3 * 2) / 2 = 3。
将每个小三角形的面积求和，得到整个四边形的面积为3 + 3 = 6。
五、格林公式的优缺点格林公式的优点是适用于各种形状的多边形，计算结果较为准确。
缺点是需要知道多边形的顶点坐标，并按照一定的顺序连接这些顶点，这在实际应用中可能会带来一定的困扰。
六、结语格林公式是一种计算多边形面积的常用方法，通过将多边形划分成小三角形并计算每个小三角形的面积，可以得到整个多边形的面积。
高等数学-格林公式及其应用
由格林公式知 xdy ydx 0 L x2 10 y 2
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
格林公式的应用
格林公式的应用
1.什么是格林公式？
格林公式是指由英国数学家格林提出的用来计算某一多项式在
某一点的近似值的公式，它是一个多项式的近似值计算公式。
格林公式是基于抛物线（parabola）近似曲线在一定范围内拟合某多项式，其实际应用中是以三次多项式来近似计算出某多项式在某一点的近
似值。
2.格林公式的应用
（1）求解曲线的稳定点：格林公式可用来计算曲线的稳定点，即一阶导数为0时的值。
（2）优化函数：格林公式可用于优化函数，如果给定函数的一阶和二阶导，可利用格林公式求得函数的极值点。
（3）数值积分：格林公式也用于数值积分，能够准确而快速地求得曲线的积分值。
（4）对称函数：格林公式可用于求解对称函数的极值点，比如圆形的半径等。
（5）曲线拟合：格林公式也可以用于曲线拟合来确定某一多项式在某一点的值，从而降低计算的复杂度。
- 1 -。
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D
PdxP dxP dx
L
L 1
L 2
L 1:y1(x)
Oa
bx
b
a
a P [x ,1 (x )d x ] bP [x ,2 (x )d x ]
a b {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x } DPydxdy.
2021/3/9
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设 D :1 ( y 区 ) x 2 ( y )c 域 ,y d .
终位于他. 的左侧 D带有正向的边 为D 界 的曲 正线 向称 边.界曲
例 D 1 : 如 {x ,(y )x 2 y 2 1 } ,
z
正向边界为逆时针的 走单 向 位圆周{(x, y) x2 y2 1}.
2021/3/9
O
1y
x1
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z
D 2:{x (,y)x2y21}
正向边界为顺时针走
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式的简单应用
2021/3/9
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一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界
D设 为一平面 ,如区果 D域 内任意一条闭曲
所围的有界区D域 ,则都 称 D是 属平 于面单连通
域,不是单连通的称 平为 面复 区连 域.通区域
2021/3/9
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情形三D是 复连通.区域
将 D沿辅A 助 割 B线 ,开 得到 L1以 BA L2A为 B
正向边界的 . 单连通区域
D(Q xPy)dxdy
L1
L2 A
B
D
P (x,y)d xQ (x,y)d y
L 1B A L 2AB
因P 为 (x ,y )d x Q (x ,y )d y 0 ,
D
0
2021/3/9
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二、格林公式的简单应用
(1)简化曲线积分
例1 计算 x4dxxd yy,其L 中 是(以 0,0)(,1,0)(,0,1) L
为顶点的三正 角向 形 .边 区界 域的
解 记 L所围区 D,由 域格 为林公 1 y式
x 4 d xxd y( (x) y (x 4))d x d y
L
D x y
D
ydxdy 1dx1xydy1.
D
00
6
O
1x
2021/3/9
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例2 计算 Lxdy,L是半径 r的为 圆周在第一
则有
D
Q x
Pdxdy y
L
Pdx
Qdy,
其中L是D的正向边界曲. 线
公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家格林在 1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推 广.反应的是二重积分与区域边界曲线上的第二类曲线积 分的关系。结果是二重积分与曲线积分的計算可以互转。
2021/3/9
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证 情 :区 D 既 形 域 X 型 是 一的 Y 型 .又 的 是
D : 1 ( x ) y 2 ( x ) a ,x b .
Pdxdybdx2(x)Pdy
Dy
a 1(x) y
y
b
a {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x .}
L 2:y2(x)
微积分学基本公式 a b f(x )d x F (x )b a F (b ) F (a )
复习Newton-Leibniz公式： 这里 f(x)在[a,b]上连续
F (x )f(x )
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Newton-Leibniz公式的推广
函数：一元函数
二元函数
O
1
1 x
正向边界为逆时针走向
y 向的单位圆周 {(x, y) x2 y2 1}.
z
的圆周{(x, y) x2 y2 4} 与顺时针走向的圆周
1O 1 2 y
{(x, y) x2 y2 1}共同组成. x2 D 3:{x ,(y )1 x 2 y 2 4 }
2021/3/9
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积分范围：[a,b]
边界: a,b
2021/3/ (x,y)dy
平面区域上的二重积分与区域
边界曲线上的曲线积分的关系。
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2.格林公式
定理1 设闭区D域由分段光滑的曲 L所线围成, 函数P(x, y),Q(x, y)在D上具有一阶连续偏,导数
B A AB
P(x,y)dxQ (x,y)dy.
L 1L 2
定理得证.
2021/3/9
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公D 式 Q x P y dxdyLP dxQ dy的重:要
1．格林公式的实质: 建立了二重积分与边
界曲线积分之间的联系.
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二类曲线积分的新方法.
D
D
单连通域
复连通域
从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域．
2021/3/9
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D 是 x设 O 平 y面上 ,规 的 D 的 定 闭边 区界 域
的正:向如下 当人x站 O平 y立 面(于 位 上于 z轴正向所指
侧)并 , 沿边界的这 前一 行方 进 ,邻向 时 近朝 处 D始的
类似地可证
y
D
Qdxdy x
LQdy.
d x1(y)
由于区D域既是X型又 c
是Y型的,两式相加则有 O
D
x2(y) x
D Q x P y dxdyLP dxQ dy
2021/3/9
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情形D 二 既 X 不 型 区 是 的 域 Y 又 型 ,但 不 的
是是单 . 可使以得用每连 辅个助部曲分线闭把区通 域D分都成满有足限上区 个述部条分件闭。区域 域，
添 在 X 加 型 Q 每 D 辅 又 i 上 P ,助 个 Y 是 有 d x Dd 线 型 分 y 将 的 割P 部 成 dx 分 有 Q .d 区 限 y, 域 个D既 1 是 CABDD23
因 D ix 为 y
L i
P dxQ dy0,
ACCBB A
对i求和有D Q x P y d xd yLP d xQ d y.
格林公式便于记忆的形式
x ydxdyLP(x,y)dxQ (x,y)dy.
DP Q
2021/3/9
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例: 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydxx2dy0
证: 令 P2xy,Qx2, 则
Q P 2x2x0 x y
利用格林公式 , 得
L2xydxx2dy
0dxdy
PdxP dxP dx
L
L 1
L 2
L 1:y1(x)
Oa
bx
b
a
a P [x ,1 (x )d x ] bP [x ,2 (x )d x ]
a b {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x } DPydxdy.
2021/3/9
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设 D :1 ( y 区 ) x 2 ( y )c 域 ,y d .
终位于他. 的左侧 D带有正向的边 为D 界 的曲 正线 向称 边.界曲
例 D 1 : 如 {x ,(y )x 2 y 2 1 } ,
z
正向边界为逆时针的 走单 向 位圆周{(x, y) x2 y2 1}.
2021/3/9
O
1y
x1
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z
D 2:{x (,y)x2y21}
正向边界为顺时针走
第十一章
第三节(1) 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式的简单应用
2021/3/9
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一、格林公式
1.单(复)连通区域及其正向边界
D设 为一平面 ,如区果 D域 内任意一条闭曲
所围的有界区D域 ,则都 称 D是 属平 于面单连通
域,不是单连通的称 平为 面复 区连 域.通区域
2021/3/9
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情形三D是 复连通.区域
将 D沿辅A 助 割 B线 ,开 得到 L1以 BA L2A为 B
正向边界的 . 单连通区域
D(Q xPy)dxdy
L1
L2 A
B
D
P (x,y)d xQ (x,y)d y
L 1B A L 2AB
因P 为 (x ,y )d x Q (x ,y )d y 0 ,
D
0
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二、格林公式的简单应用
(1)简化曲线积分
例1 计算 x4dxxd yy,其L 中 是(以 0,0)(,1,0)(,0,1) L
为顶点的三正 角向 形 .边 区界 域的
解 记 L所围区 D,由 域格 为林公 1 y式
x 4 d xxd y( (x) y (x 4))d x d y
L
D x y
D
ydxdy 1dx1xydy1.
D
00
6
O
1x
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例2 计算 Lxdy,L是半径 r的为 圆周在第一
则有
D
Q x
Pdxdy y
L
Pdx
Qdy,
其中L是D的正向边界曲. 线
公式称为格林公式,是英国数学家、物理学家格林在 1825年发现的,是微积分基本公式在二重积分情形下的推 广.反应的是二重积分与区域边界曲线上的第二类曲线积 分的关系。结果是二重积分与曲线积分的計算可以互转。
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证 情 :区 D 既 形 域 X 型 是 一的 Y 型 .又 的 是
D : 1 ( x ) y 2 ( x ) a ,x b .
Pdxdybdx2(x)Pdy
Dy
a 1(x) y
y
b
a {P [x ,2 (x ) ]P [x ,1 (x )d ]x .}
L 2:y2(x)
微积分学基本公式 a b f(x )d x F (x )b a F (b ) F (a )
复习Newton-Leibniz公式： 这里 f(x)在[a,b]上连续
F (x )f(x )
一个重要的数学关系——区域内部的问题与边界
问题之间的联系
Newton-Leibniz公式的推广
函数：一元函数
二元函数
O
1
1 x
正向边界为逆时针走向
y 向的单位圆周 {(x, y) x2 y2 1}.
z
的圆周{(x, y) x2 y2 4} 与顺时针走向的圆周
1O 1 2 y
{(x, y) x2 y2 1}共同组成. x2 D 3:{x ,(y )1 x 2 y 2 4 }
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积分范围：[a,b]
边界: a,b
2021/3/ (x,y)dy
平面区域上的二重积分与区域
边界曲线上的曲线积分的关系。
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2.格林公式
定理1 设闭区D域由分段光滑的曲 L所线围成, 函数P(x, y),Q(x, y)在D上具有一阶连续偏,导数
B A AB
P(x,y)dxQ (x,y)dy.
L 1L 2
定理得证.
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公D 式 Q x P y dxdyLP dxQ dy的重:要
1．格林公式的实质: 建立了二重积分与边
界曲线积分之间的联系.
2.给出了计算二重积分的新方法.
3.给出了计算第二类曲线积分的新方法.
D
D
单连通域
复连通域
从直观上看，单连通域是不含有“洞”的区域．
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D 是 x设 O 平 y面上 ,规 的 D 的 定 闭边 区界 域
的正:向如下 当人x站 O平 y立 面(于 位 上于 z轴正向所指
侧)并 , 沿边界的这 前一 行方 进 ,邻向 时 近朝 处 D始的
类似地可证
y
D
Qdxdy x
LQdy.
d x1(y)
由于区D域既是X型又 c
是Y型的,两式相加则有 O
D
x2(y) x
D Q x P y dxdyLP dxQ dy
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情形D 二 既 X 不 型 区 是 的 域 Y 又 型 ,但 不 的
是是单 . 可使以得用每连 辅个助部曲分线闭把区通 域D分都成满有足限上区 个述部条分件闭。区域 域，
添 在 X 加 型 Q 每 D 辅 又 i 上 P ,助 个 Y 是 有 d x Dd 线 型 分 y 将 的 割P 部 成 dx 分 有 Q .d 区 限 y, 域 个D既 1 是 CABDD23
因 D ix 为 y
L i
P dxQ dy0,
ACCBB A
对i求和有D Q x P y d xd yLP d xQ d y.
格林公式便于记忆的形式
x ydxdyLP(x,y)dxQ (x,y)dy.
DP Q
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例: 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
L2xydxx2dy0
证: 令 P2xy,Qx2, 则
Q P 2x2x0 x y
利用格林公式 , 得
L2xydxx2dy
0dxdy