格林公式及其应用60295共38页文档
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第三节格林公式及其应用
Qdx ddydy2(y)Q dx
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
CQ B (x E ,y )d y CQ A (x E ,y )ddy
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
y
L
D1
l
or
x
02r2co2sr2r2si2nd
2.
(其中l 的方向 取逆时针方向)
(注意格林公式的条件)
3. 计算平面面积
格 林 公 式 :D ( Q x P y )dx L d P y d Q xdy
取 Py,Qx, 得 2dxd yLxdyydx
即
(x2y3xex)d x1x3ysiyn d y
L
3
3e2π(12π)3.
xdy ydx
例 6
计算
L
x2 y2 , 其中 L 由点 A(- , - )
经曲线 y = cos x 到点 B(, - ) (如图).
（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充
要条件是P Q 在G 内恒成立. y x
有关定理的说明：
( 1 ) 开 区 域 G 是 一 个 单 连 通 域 .
(2) 函 数 P (x,y),Q (x,y)在 G 内 具 有 一 阶 连
续 偏 导 数 . 两条件缺一不可
证 充分性：
因为 Q P , (x, y) G，所以对 G 内任
D
闭 区 域 D 的 面 积 A 1 2Lxd yyd . x
取 P0,Qx, 得ALxdy 取 Py,Q0, 得ALydx
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
高等数学教学课件-2019 第三节 格林公式及其应 用
F 是
保 u (x 守 ,y)(场 x ,y) P (x ,y)d x Q (x ,y)d是 y x ,y 的
二 .
u(xx,y)u(x,y)(x 0,y0)
lim
x 0
x
l x 0 i 1 x m ( ( x x 0 ,y 0 x ) ,y ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d ( ( x y x 0 , , y y ) 0 ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d y
LL
(xy)3
y3x 3yx
D
x((xy)3
) ( y (xy)3
)d
xdy
3 ( x y ) 3 ( y 3 x ) 3 ( x y ) 2 3 ( x y ) 3 ( 3 y x ) 3 ( x y ) 2
[
D
( x y ) 6
( x y ) 6
] d xd
L x2y2
c x2y2
2 0 co t((c so itt))2 n s (ssiti(tn )n 2 co t)d s t022co2ts22si2ntdt
2
0 dt2.
例 3、 计算 (ey1x 2)d y x(xyecoy)d s,其 y L 是 中 L 曲y线 11x2上A 从 (1,1)到 B (1,1)一.段
则
L
P(x,
y)dxQ(x,
y)dy
D(Qx
P)dxd.y y
证明 由 引 1 理 LP(x,y)dx D P ydxdy
由引 2 理 LQ (x,y)dy D Q xdxdy
LP(x,y)d xQ (x,y)d yD Q x P y dxdy
用第二型曲线积分表示区域的面积公式：
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
4.1格林公式及其应用
1 U 0 ln r
(r 0),
2
通常称它为二维拉普拉斯方程的基本解。
现在我们介绍三维拉普拉斯方程
u xx u yy u zz 0
的球对称解。 作球坐标变换
x r sin cos ,
r
x2 y2 z2 ,
z x y z
2 2 2
y r sin sin , z r cos ,
其中
n
表示外法向导数。
u(v n)dS
8
(
P Q R )d x y z
( P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS, (3)
设函数 u u( x, y, z) 和 v v( x, y, z )以及它们的所有 一阶偏导数在 上是连续的， 且在 内具有 连续的所有二阶偏导数。 在公式(3)中， 令P u 则得格林第一公式：
(6)
(7)
(8)
1 u(M 0 ) 4
因为函数 v 在点 M 0 处变为无穷大， 故对区域 不能直接应用格林第二公式(6). 但是，如果在 区域 内挖去一个以 M 0 为心，充分小正数 为 半径的球 K M , 则在剩下的区域 K M 中函数 v 就是连续可微的了(如图4.1)。
(6)
(7)
(8)
1 u(M 0 ) 4
1 u ( M ) rMM n 0
0
1 u ( M ) dS. rMM n 0
证
在区域 K M 上对上述的调和函数 u 和
1 v 应用公式(6)得 r
(4’)
在式(4’)中，交换函数 u , v 的位置，得
(r 0),
2
通常称它为二维拉普拉斯方程的基本解。
现在我们介绍三维拉普拉斯方程
u xx u yy u zz 0
的球对称解。 作球坐标变换
x r sin cos ,
r
x2 y2 z2 ,
z x y z
2 2 2
y r sin sin , z r cos ,
其中
n
表示外法向导数。
u(v n)dS
8
(
P Q R )d x y z
( P cos(n, x) Q cos(n, y) R cos(n, z))dS, (3)
设函数 u u( x, y, z) 和 v v( x, y, z )以及它们的所有 一阶偏导数在 上是连续的， 且在 内具有 连续的所有二阶偏导数。 在公式(3)中， 令P u 则得格林第一公式：
(6)
(7)
(8)
1 u(M 0 ) 4
因为函数 v 在点 M 0 处变为无穷大， 故对区域 不能直接应用格林第二公式(6). 但是，如果在 区域 内挖去一个以 M 0 为心，充分小正数 为 半径的球 K M , 则在剩下的区域 K M 中函数 v 就是连续可微的了(如图4.1)。
(6)
(7)
(8)
1 u(M 0 ) 4
1 u ( M ) rMM n 0
0
1 u ( M ) dS. rMM n 0
证
在区域 K M 上对上述的调和函数 u 和
1 v 应用公式(6)得 r
(4’)
在式(4’)中，交换函数 u , v 的位置，得
格林公式及其应用
高等数学
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
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Q y2x2 P x (x2y2)2 y
则 L x x d 2 y y yd 2 x0
(2) 原点在D内时
选取适当小的 r 0， 作位于 D内的圆周 l
x2 y2 r2 记L与l所围的闭区域为 D1; 即D1为复连通区, 域 l的方向取逆时,针 有方向
Lxxd2yyyd2xl xxd2yyyd2x 0
导数 ,如果对于 G内任意指定的
两个点 A、B及G内从 A到B的任
意两条曲线 L1与 L2 , 都有 :
P dxQ dyP dxQ dy
L 1
L 2
恒成立. 则,曲 称线积 Pdx分 Qdy在 G内与路 , 径
L
否则便说.与路径有关
2、曲线积分与路径无关的结论
曲线积P分 dxQdy在G内与路径无关G 相 内当
L
任意闭C 曲 的线 曲线积 : 分 PdxQdy0
L
因 PdxQdy PdxQdy
L1
L2
而 PdxQdy PdxQdy
L2
L2
故 PdxQdy PdxQdy0，
L1
L2
即 PdxQdy0
L1(L2)
此时 L1(L2)为有向闭曲线成 ，立 ,故结论 反之也.成立
3、定理2 设区域 G是一个单连通域， P(x函, y)数 、Q(x, y)
包括沿区域D的全部边界，且边界的方向对D来说都 是正向.
4、格林公式 的一个简单应用
取 P y, Q x
得 2dxdy xdy ydx
D
L
即A12Lxdyydx
即：闭区域D的面积可用封闭曲线的曲线积分来表示.
例1
求椭圆
xacos ybsin
所围成图形的 A. 面积
解: 由 A12Lxdyydx可求 ,
OA
0 1xex2dx1 2(1e1)
例 4计算 L xdxy2 yyd2x,其中 L为一条， 无分 重段 点光滑
经过原点的连 ,L的 续方 闭向 曲为 线逆. 时针方
解: 由已知可知此题有二种情况： (a)原点在D外 (b)原点在D内
( 1 )原D 外 点P 时 在 x 2 y y 2 ： ,Q x 2 xy 2 当x2y20时
P ( x ,y ) 与 Q ( x ,y ) 在 D 上 一阶具 连续偏导数有 ,则有
D Q x P y dxdyL P dxQ dy
其中L是D的取正向的边界曲线，上式为格林公式. 注意:
格林公式表达了平面区域上的二重积分与其边界 曲线上的曲线积分之间的关系.
证: 将格林公式分为两式
D P yd x d y L P d x ， D Q x d x d y L Q d y
此时xacos, dxasind
ybsin, dybcosd 由0到2π
A12Lxdyydxb 1202π(abcos2 absin2)d
12ab02πd πab
例2 L为任意一条分段光滑的闭曲线，证明：
2xdyxx2dy0
L
证: P 2xy, Q x2
Q P 2x 2x 0 x y
(1)先D 既 证X 型 是又 Y型是 的 : 情形
设 D(x,y)1(x)y2(x)， axb
因 P连续，故第一式左边 y
D
P y
dxdy
ab12((xx))
P(x, y
y)
dydx
abPx,2(x) Px,1(x)dx
第一式右 Pd边 x Pdx Pdx
L
L1
L2
abPx,1(x)dxbaPx,2(x)dx
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域. 通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域：{(x, y) x2 y2 1} 上半平面：{(x, y) y 0} 都是单连通区域.
又例如 圆环形区域：{x(,y)1x2y24}、 {x(,y)0x2y22}都是复连通区域.
L xxd2 y y yd 2xlxxd2 y y yd 2x xrcos, y rsin, 由0到2π 上式右端02πr2cos2r2r2sin2d
2π
二、平面上曲线积分与路径无关的条件
1、 什么叫平面上曲线积分与路径无关
设 G是一个区域 , P ( x, y)、
Q(x, y)在G内具有一阶连续偏
D1
Q x
P y
d x d y
Pdx
MCBAM
Qdy
Q
D2
x
P dxdy y
Pdx
ABPA
Qdy
D3
Q x
P y
d x d y
Pdx
BCNB
Qdy
将三个等式相加 意时 到， 沿注 辅助曲曲线线 积分的
相互抵消，便有
D Q x P y dxdyL P dxQ dy
注意： 对复连通区域D应用格林公式，公式右端的L应
2xd y xx2 d y 0 d xd y0
L
D
例 3 e y2dxdy，其 D 是 中 O 以 (0,0)A ,(1,1)B ,(0,1)为顶
D
的三角.形闭区域
解: Q P ey2 , x y
令P 0, Q xey2
ey2dxdy
D
0xey2dyxey2dy00
O AAB BO
若L是平面区域D的边界曲线，现规定L的正向如 下：
我们沿L的方向行走时，D内在我们近处的那一部 分总在我们的左边. 例如 D 为 复连通区域, 其边 界曲线为 L 与 l , 作为 D 的正向边界 , L 的正向 是逆时针方向 , l的正向 是顺时针方向 .
定理1 (格林公式) 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数
abPx,1(x)Px,2(x)dx
DP ydxdyL Pdx
同理， D设 (x,y)1(y)x2(y),cyd
可证DQ xdxdyL Qdy
两式同时成立 即， 得 格林合 公式并 . 后
(2)若 D 为一,既 般 X 型 非 情又 Y 型 形非 区域
可在D内引进一条或几条曲 辅线 助,将D分 成有限个部分闭区在 域上 ，图中所示的闭区域 D，它的边界曲L线 : MNPM，引进一条辅助线 ABC，将D分为D1、D2、D3三部分，得：
在G内具有一阶连续偏 ，导 则数 曲线积P分dxQdy
L
在G内与路径无(或关沿: 是
P Q y x 在G内恒成立.
证:先证充分性 因G为单连通区域，故闭曲线C所围成的区域D全 部在G内. P Q y x 由格林公式有：