3.2格林公式及其应用
格林公式及其应用
其中L是 D的取正向的边界曲线.
格林公式的实质: 沟通了沿闭曲线的积分与二重
积分之间的联系.
3. 简单应用
(1) 计算平面面积
格林公式
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
取 P y, Q x,
得
2 dxdy L xdy ydx
D
闭区域D的面积
A 1 xdy ydx 2L
例1 求椭圆 x a cos t, y bsint,0 t 2
解 由格林公式
(e x sin y my )dx (e x cos y m)Ody AO OA
A(a,0)x
mdxdy
1 8
ma 2
OA的方程为y 0, 0 x a
D
故
(e x sin y my )dx (e x cos y m)dy
a
0dx 0
OA
0
所以, I 1 ma2 0 1 ma2.
AO OA OA 8
8
(3) 简化二重积分
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
例5 计算 e y2dxdy, 其中D是
D
y 1B
A
以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
D
为顶点的三角形闭区域.
解 令 P 0, Q xe y2
O
1x
则 Q P e y2 格林公式
x y
e y2dxdy
规定 边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.
y L
D
L
D
l
O
x
L+l 称为复合闭曲线
格林公式及其应用
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用格林公式是矢量分析中的重要定理之一，它描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
格林公式广泛应用于电磁学、流体力学、热力学等领域，下面将对格林公式进行详细讨论及应用。
格林公式可以用数学的方式描述为：对于一个可微的矢量场F，它的散度为div(F)，则该矢量场F通过一个闭合曲面S的流量为∬F⋅ds，该闭合曲面S所围成的体积为∭div(F)dV，格林公式表达了这两者之间的关系，即：∬F⋅ds = ∭div(F)dV其中，∬表示曲面积分，∭表示体积积分，F⋅ds表示矢量场F与ds 的内积，div(F)表示矢量场F的散度。
1.流体力学中的应用格林公式在流体力学中有着广泛的应用。
例如，可以通过格林公式计算流体在一个闭合曲面上的流量，这对于流体的体积流量和质量流量的计算有重要意义。
另外，格林公式还可以用来推导流体的连续性方程和Navier-Stokes方程等重要方程。
2.电磁学中的应用格林公式在电磁学中也有着重要的应用。
例如，可以利用格林公式计算电磁场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算电场和磁场的电荷和磁荷的分布有着重要意义。
此外，通过格林公式还可以推导出麦克斯韦方程组中的一些重要方程，如高斯定律、安培环路定理等。
3.热力学中的应用格林公式在热力学中也有着重要的应用。
例如，可以通过格林公式计算热场在一个闭合曲面上的通量，这对于计算热量的传递和热功的计算有着重要意义。
此外，格林公式还可用于推导出热传导方程等重要方程。
除了上述应用之外，格林公式还广泛应用于流场分析、电磁场分析、电力系统分析等领域。
在实际应用中，可以利用格林公式对复杂的问题进行推导和计算，从而得到更加精确的结果。
总结起来，格林公式是矢量分析中的重要定理之一，描述了向量场在一个闭合曲面上面的流量与该向量场的散度在该闭合曲面所围成的空间体积之间的关系。
它在流体力学、电磁学、热力学等领域都有重要的应用。
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
格林公式及其应用【高等数学PPT课件】
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 区域为D , 则
它与L 所 围
原式
例5. 验证 数 , 并求出它.
证: 令
在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函
则 由定理 2 可知存在原函数
或
例6. 设质点在力场
由
移动到
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
解:
令
则有
可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.
第十一章
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一. Green公式 闭曲线L的正向: 当沿此方向前进时,L所 围的区域 总在左边.
(Green公式)
格林公式 推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
例如, 椭圆
所围面积
例1 解
例2. 计算
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
则
1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;
2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,
若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Qdy在域 D 内的原函数:
取定点
及动点
则原函数为
或
例4. 计算
其中L 为上半
圆周
从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
定理2. 设D 是单连通域 , 函数
在D 内
具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价:
(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
与路径无关, 只与起止点有关.
《格林公式及其应用》课件
特殊型格林公式
特殊形式的格林公式适用于计算具有特殊形 状的曲线或曲面上的积分，如圆形、椭圆形 等。
格林公式的应用
1 线积分的计算
通过格林公式，我们可以计算曲线上的积分，从而得到与曲线相关的物理量，如流量、 环流等。
2 面积的计算
利用格林公式，我们可以计算平面上的闭合曲线所围成的面积，为测量和计算提供了方 便。
3 体积的计算
基于格林公式，我们可以计算由曲线围成的立体图形的体积，为求解三维图形的体积提 供了便利。
格林公式的计算方法
1
极坐标系下的计算方法
当曲线在极坐标系下表达时，我们可以利用极坐标的性质，简化格林公式的计算 过程。
2
直角坐标系下的计算方法
当曲线在直角坐标系下表达时，我们可以借助直角坐标系的符号和定义，求解格 林公式中的各个参数。
格林公式及其应用
本课件介绍格林公式的形式、应用场景及计算方法，以及灵活应用格林公式 的技巧。让我们一起探索格林公式的奥秘！
什么是格林公式
格林公式是一个在向量分析中常用的定理，它将二重积分与线积分、面积积分联系起来。了解它的基本 原理对于理解多变量微积分至关重要。
格林公式的形式
一般型格林公式
一般形式的格林公式在计算线积分与面积积 分时特别有用，它将曲线的内部区域与曲线 的边界联系起来。
例题分析
给定一个曲线和一个区域，我们将应用格林公式来计算相关的积分和物理 量，以解决问题。
总结
格林公式的优势与不足
格林公式在解决某些问题中非常有用，但在特定场景下可能有其局限性，我们需理解其应用ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ范围和限制。
如何灵活应用格林公式
学习了格林公式的基本原理和计算方法后，我们可以尝试将其巧妙应用于实际问题中，创造 性地解决难题。
§2 格林公式及其应用
1
力场势函数） 。 力场势函数）
1 F ( M ) 可理解为电荷体密度或质量密度。 称为体位势： 可理解为电荷体密度或质量密度。 − ∆ V ( M 0 ) 称为体位势： 4π
(2.11)
证 明： 将调和函数基本积分公式应用到Γa 上有：
1 ∂ 1 1 ∂u u( M 0 ) = − ∫∫ u r − r dS = 0 4π Γa ∂n r r ∂n
上页 下页 返回
1 1 1 ∂ 1 在Γa 上 = ， r = − 2 ，所以 r a ∂n r a 1 ∂u 1 ∂u r r ∫∫ r ∂n dS = a ∫∫ ∂n dS = 0 Γa Γa
1 1 1 ∂u ∂ 1 1 ∂u − ∫∫∫ ∆udΩ = ∫∫ u r − r dS + 2 ∫∫ udS − ∫∫ r dS r ∂n r r ∂ n ε Γε ∂n ε Γε Ω\ Kε Γ
ε ε ε
上页 下页 返回
1 ∂u 1 ∂u dS ， 即 u∗ 和 udS ， r = 记u = 2 ∫∫ r 2 ∫∫ 4πε Γε ∂n 4πε Γε ∂n
当 u 是Ω 内的调和函数， M 0 ≠ Ω ，则由格林第二公式 有：
∂ 1 u( M ) r ∫∫ ∂n rM 0 M Γ
1 ∂u( M ) − r dS = 0 r ∂n M0M
当 u 是 Ω 内的调和函数，M 0 ∈ ∂Ω = Γ ，类似基本积分公 内的调和函数， 式的推导， 式的推导，记 Γε′ = Γε I Ω ， Γ ′ = Γ \ K ε ，则有
格林公式及其应用
格林公式及其应用格林公式是微积分中的一个重要工具，用于计算其中一区域内的面积和体积。
它是由德国数学家格林（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出的，被广泛应用于物理、工程、经济等领域的计算中。
格林公式的一般形式如下：$$\oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D ( \frac{{\partialQ}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} ) dA $$其中，$C$表示封闭曲线，$D$表示被封闭曲线围成的区域，$P$和$Q$是$D$内的函数，$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}$表示$P$对$y$求偏导数，$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$表示$Q$对$x$求偏导数，$dA$表示面积元素。
格林公式的应用有以下几个方面：1.计算曲线积分：格林公式将曲线积分转化为了面积积分，使得计算曲线积分更加简便。
通过计算封闭曲线上其中一函数和微分形式 $Pdx + Qdy$ 的积分，可以得到围成该区域的面积。
2.计算平面区域的面积：通过格林公式可以计算出封闭曲线围成的平面区域的面积。
将面积元素 $dA$ 替换为 $1$，$Pdx + Qdy$ 替换为$dx$，然后对曲线积分进行计算，即可得到该区域的面积。
3.计算体积：对于封闭曲线$C$，通过格林公式可以计算出围成该曲线的曲面的面积。
再通过计算该曲面旁切平面上函数的面积积分，就可以得到该曲面的体积。
4.计算电场：格林公式在物理学中应用广泛，特别是在电场计算中。
当电场满足一些条件时，可以通过格林公式计算出电场的其中一参数。
例如，在静电学中，可以通过格林公式计算电场的电势差，从而得到电场的分布。
5.计算流体的流量：格林公式在流体力学中也有重要应用。
通过格林公式，可以计算流体从一个闭合曲面流出的流量，从而得到流体的流速和流量。
格林公式及其应用
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
Q( 2 ( y ), y ) d y Q( 1 ( y ), y ) d y c
CBE
Q( x, y )d y
EAC
Q( x, y )d y
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
Q P D x y d xd y L Pd x Qd y
例31.8. 计算 I
B(2,0)的路径．
AOB
(12 xy e y )dx (cos y xe y )dy ,
其中AOB为由点A(1,1)沿y x 2到O(0,0),再沿y 0到
解： 添加辅助线: 直线段BC与CA.
y A
O
I sin 1 e 1.
C
B
x
(2) 若D不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割
为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P D x y d xd y
y
D2
D1
L
Dn
k 1 n
n
Dk
Q P d xd y x y
o
x
k 1
Dk
P dx Qd y
(Dk 表示 Dk 的正向边界 )
(1)
其中L取正向．
公式(1)称为格林公式．(Green formula)
证明: (1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且
1 ( x) y 2 ( x) D: a xb
y
d x 1 ( y) A
E
y 2 ( x)
D
B
格林公式及其应用
格林公式及其应用摘要：本文主要讨论了格林公式及格林定理，格林公式指出了平面区域上二重积分与沿着该区域边界的闭曲线的曲线积分之间的联系，是计算曲线积分重要的公式；而格林定理则说明了积分与路径无关，只与起终点有关。
然后根据格林公式推导出了计算平面区域的面积公式，分别讨论了再（非）闭区域、有奇点存在、平面区域面积的计算、证明质心公式、在物理上关于力场的功的计算以及由格林公式导出的格林函数法用于计算泊松方程和拉普拉斯方程的应用。
关键字：格林公式；格林定理；（非）闭区域；奇点；面积；质心；泊松方程；拉普拉斯方程The Green formula and its applicationAbstract：This paper mainly discusses the Green formula and the Green theorem, Green formula is pointed out between the closed curve in plane area and double integral along the boundary curve of integral relation is important formula curve integral; Green theorem is explained and path independent integral, and the only end point according to the Green formula. According to the Green formula, the formula for calculating the area of the plane is derived. Discussed again (non) closed region, singularity, calculation of plane area, centroid proof in physics calculation formula on stress field work by Green function method and Green formula for calculation of Poisson equation and Laplace equation.Keywords: Green formula; Green Theorem; (non) closed region; singular point; area; barycenter; Poisson equation; Laplace equation1 引言格林公式的多远微积分学中一个重要的公式，它沟通了沿封闭曲线的积分与二重积分之间的联系，给出了平面区域上的二重积分与沿着该区域的边界的闭曲线的曲线积分之间的关系， 2 预备知识2．1格林公式[1]定理1若函数(,)P x y ，(,)Q x y 在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂DL Qdy Pdxd yP x Q σ)(（1）这里L 为区域D 的边界曲线，分段光滑，并取正方向.（1）式就是格林公式.证 根据区域D 的不同形状，一般可分为三种情形证明：（i ）若区域D 既是x 型区域又是y 型区域，即平行于坐标轴的直线和L 之多交于两点，如图1所示。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
P Q R d ( Pnx Qny Rnz )dS . x y z
*格林第一公式
1 2 u u ( x , y , z ), v v ( x , y , z ) C ( ) C (), 设 ， v v v 记 P u , Q u , R u , 由高斯公式，可得 x y z
于是
1 u(M 0 ) 2 4 a
a
udS .
注 如果 u C() ，则定理可包含与边界相切的球面。
3.极值原理
*物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在 内部不可能有最高点或最低点。
*数学角度证明 定理2.3（极值原理） 对不恒等于常数的调和函数 u ( x, y, z ) ，其在区域 的任何内点上的值不可能达到 它在 上的上界或下界。 证 用反证法证明。设调和函数 u ( x, y, z ) 不恒等于 常数，且在区域 上的上界为m （注：只需证明有上界 情况即可，相反情况，定理自然成立），而 u ( x, y, z ) 在 内某点 M 0 取值 m ，我们来引出矛盾。
y
x
其中 K 表示 中以 M 0 为球心，以 为半径的 小球，边界记 。
1 1 u F )dS dV . 令u F , 则 (u n r r n r \ K
1 1 1 1 1 2 2, 在球面 上，由于 n n r r r r r
4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
u 0, 定理2.4 狄利克雷内问题 的解如果存在， u f
必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 f 。 证 假设有两个调和函数 u1 ( x, y, z) 和 u2 ( x, y, z)，它们
在有界区域 的边界 上的值完全相同，则 v : u1 u2
推论1 在有限区域 内调和、在 上连续的函数
必在边界 上取得其最大值和最小值。 推论2 设 u 及 v 都是区域 内的调和函数，且在 上连续。如果在 u 的边界 上成立着不等式 u v, ，
那么在 内上述不等式也成立；并且只有在 u v 时，
在 内才会有等号成立的可能。
定理2.2（平均值公式）设函数 u M 在某区域 内 a为 调和，M 0 是 中的任一点。则对以 M 0为球心、 半径完全落在区域的内部的球面 a ，成立
1 u(M 0 ) 4 a 2
a
udS .
证 把调和函数积分公式应用到球面 a 上，得到 1 1 1 u u M0 (u )dS . 4 a n r r n 1 u 1 u 由定理2.1知 dS dS 0; a r n a a n
由定理2.3的推论1知
max u1 u2 max f1 f 2 ,
min u1 u2 min f1 f 2 .
因此,在 上各点有
u1 u2 max u1 u2 max f1 f 2 .
v 0, 满足 由定理2.3的推论1知 v 0. v 0.
即 u1 u2 .
下证稳定性：令 (ui , fi ) 满足 ui 0, ui
则 u1 u2 0,
u1 u2 ( f1 f1 ).
fi , i 1, 2.
v uvd u dS u vd. n
互换 u , v 位置，可得
u vud v dS v ud. n
v uvd u dS u vd. n u vud v dS v ud. n
1 u M0 4
1 1 u )dS . a (u n r r n
1 u dS 0. a r n
1 1 1 n 2 r n 另一方面， n r a r a r a 1 1 M M0 M M0 2 2 r r a r a 1 1 dS 2 udS . a u n a r a
v u uvd vud u dS v dS . n n
在上式中取 v 1, u 为调和函数，则有下列定理：
定理 2.1 设函数 u 在以曲面 为边界的区域 内调 和，在 上有连续一阶偏导数，则
u dS 0. n
*格林第二公式 上面两式相减，可得格林第二公式
v u uvd vud u dS v dS . n n
下面我们利用格林第二公式推导调和函数的一些基本 性质。
v u uvd vud u dS v dS . n n
1 1 u F u * 因此 (u )dS 4 u 4 dV . n r r n r n \ K
*
1 1 u F u * (u )dS 4 u 4 dV . u 0. n r r n r n \ K
*调和函数的积分表达式
1 1 1 . 考察函数 v : 2 2 2 r rM0M ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
z
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
M0
则 v 0 in \ M 0 . 利用格林公式，
.
K
0
1 1 (u u)dV r r \ K 1 1 u (u )dS , n r r n
r
F
d M .
u F .
M0M
1 F dM 注 利用叠加原理可得：v M 0 4 rM 0 M 是泊松方程的一个特解 v F . 联系赫尔德条件 注 二维拉普拉斯方程的基本解为 1 1 ln ln , rM0 M ( x x0 )2 ( y y0 )2
1 1 因此 u dS 2 n r
类似地，有
udS 4 u .
*
利用积分中值定理 * u ，其中 是函数 u 在球面 上的平均 值。 球面平均值。
*
1 u 1 u u dS dS 4 . r n n n
从而在整个球 K 上 u m. 现在证明对 中的所有点都恒等于常数 u m. 任取一点 M1 ，在区域 中作联结 M 0及 M 1 两点 的折线 。因为 具有有限长度，故可用完全落在 中的有限个球 K1 , K2 , Kn , 盖住 ，使得 K1 的球心为
M 0 , K 2 的球心落在 K1 中， K3 的球心落在 K 2中，…,
§2 格林公式及其应用
1. 格林公式
* 高斯定理（体积分化成曲面积分）:设 是以足够 光滑的曲面 为边界的有界区域（可以是多连通区域 P( x, y, z ), Q( x, y, z ), R( x, y, z) 在 上具有连 ）， 续偏导数的任意函数，则成立
P Q R d ( Pnx Qny Rnz )dS. x y z
1 4 R 2
1 SR udS 4 R 2
SudS u ( M 0 ) m, 2 S R 4 R
传递性
, 同理， 。 这就发生了矛盾。 因此在球面SR 上，u m 在以M 0为球心、任意 r 为R 半径的球面上，u m.
相应的调和函数积分公式为 1 1 1 u(M ) u M0 (u(M ) ln ln )dSM . 2 n rM 0 M rM 0M n
1 u M0 4
2.平均值定理
1 1 u( M ) (u(M ) )dSM . n rM 0 M rM 0M n
中。根据 K n 的球心落在 Kn1
上面证明的方法，可以依次 证明在所有这些球所包围的 区域上 u m,因此，特别有
M0
K1
传递性
K2 Kn
M1
u(M1 ) m.
由 M 1 的任意性，就得到在整个区域上 u ( x, y, z ) m, 这和 u 不恒等于常数相矛盾。因此 u 不能在 内部取 到其上界。 因为 u 也是调和函数，从而它在于的内部 不能取到它的上界，就得出 u 也不能在 内部取到其 下界。这就证明了极值原理！
在上式中令 0, ，就得到泊松方程解的基本积分公式
*
1 u M0 4 1 4
1 1 u ( M ) (u ( M ) )dS M n rM 0 M rM 0 M n
r
F
d M .
联系引力位势
M0M
F 0 时，调和函数一般积分公式 其中 M 0 . 特别序员 (若M 0在外), 0 1 1 u (u )dS 2 u M 0 (若M 0在上), n r r n 4 u M (若M 在内). 0 0
u 注 诺伊曼内问题 f 有解的必要条件是 f dS 0. n u 注 u f , 0 有解的必要条件是 f 0. n
1 u M0 4 1 4
1 1 u ( M ) (u ( M ) )dS M n rM 0 M rM 0 M n
记 u : ( P, Q, R), 则由第二曲面积分定义
divudV u ndS u dS .
高斯公式 divudV u ndS u dS . T
以 M 0为球心、任意半径 R 作球 K ，使它完全落在区域