格林公式及其应用
格林公式及其应用
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式及其应用
o
Dn x
n
Pd界)
L Pdx Qdy
证毕
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
P
dx
Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
o
x
D1
2
0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
格林公式及其应用
y d
D
x = ψ 1( y)
由于区域 D 既是X − 型又 是Y − 型的,两式相加则有
c O
x = ψ 2 ( y)
x
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫L Pdx + Qdy D
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结束
情形二 情形二 区域 D既不是 X − 型的又不是 Y − 型的, 但 是是单连通区域 .
a, b
∂Q ∂p ∫∫( ∂x − ∂y)dσ = ∫L P( x, y)dx+ Q(x, y)dy D
平面区域上的二重积分与区域 边界曲线上的曲线积分的关系。 边界曲线上的曲线积分的关系。
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2.格林公式 2.格林公式
定理1 设闭区域 D由分段光滑的曲线 L所围成 , 函数P ( x , y ), Q ( x , y )在D上具有一阶连续偏导数 , ∂Q ∂ P − 则有 ∫∫ dxdy = ∫ Pdx + Qdy , L ∂ x ∂y D 其中L 是 D 的正向边界曲线 .
− y2
dy
OA : y = x .
x : 0 → 1.
∫ xe
d y = ∫ xe
0
1
− x2
1 dx = (1 − e −1 ). 2
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(3)计算平面区域的面积 (3)计算平面区域的面积
∂ Q ∂P ∫∫ ( ∂x − ∂y )dσ = ∫L P ( x , y )dx + Q( x , y )dy. D
D − y2
dxdy , D : 以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
y
为顶点的三角形闭区域 .
格林公式及其应用
一、区域连通性 的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成 的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域.
D
单连通区域
D
复连通区域
L L1 L2
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区域 D 总在他的左边.
L2 d
c
L1
证明 (3)
D3 D1
D2
D
证明 (4)D：复连通区域 由(2)知
G
E C
B F
A
定理1
格林公式
格林公式： *1 格林公式的行列式形式：
*2 格林公式与牛顿-莱布尼兹公式 牛顿-莱布尼兹公式：
()左边: ()右边:
故 ()即 说明(?) 格林公式是牛顿-莱布尼兹公式的推广
*3 格林公式的向量形式
解
四、小 结
1.连通区域的概念;
2.二重积分与曲线积分的关系
— 格林公式
3. 格林公式的应用.
作业：199页 1(1)(2)(4)(5),4,5,9(2),*9(1)(3)
思考题
若区域 D 如图为复连通域， 试描述格林公式中曲线积 分中L的方向。
g ef
思考题解答
L 由两部分组成 外边界： 内边界：
二、格林 公式
定理1
格林公式
证明
思路:公式两边化为同一定积分.
(1)若区域 D 既是 X—型又是Y — 型.
从简单情形出发.
d L1
E
L2
D
c
C
d L1
E
L2
D
c C
类似，把 D 看成 X —型，有 两式相加得
高等数学-格林公式及其应用
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
格林公式的应用
格林公式的应用
1.什么是格林公式？
格林公式是指由英国数学家格林提出的用来计算某一多项式在
某一点的近似值的公式，它是一个多项式的近似值计算公式。
格林公式是基于抛物线（parabola）近似曲线在一定范围内拟合某多项式，其实际应用中是以三次多项式来近似计算出某多项式在某一点的近
似值。
2.格林公式的应用
（1）求解曲线的稳定点：格林公式可用来计算曲线的稳定点，即一阶导数为0时的值。
（2）优化函数：格林公式可用于优化函数，如果给定函数的一阶和二阶导，可利用格林公式求得函数的极值点。
（3）数值积分：格林公式也用于数值积分，能够准确而快速地求得曲线的积分值。
（4）对称函数：格林公式可用于求解对称函数的极值点，比如圆形的半径等。
（5）曲线拟合：格林公式也可以用于曲线拟合来确定某一多项式在某一点的值，从而降低计算的复杂度。
- 1 -。
《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
格林公式及其应用-课件
y
(1 )
o
y x2
x y2
B(1,1)
x
A(1,0)
进一步猜测：沿任意分 段光滑的曲线 LOB：
2xydx x2dy ?
LOB
(1 )
问题1
一、Green公式
是否所有二型线积分都 有这样的性质： 积分值只与曲线 L的起点和终点有关
而与曲线 L所走过的路径无关？ ( 否 )
B(1,1)
I 1 2 y2 y 2 ydy 1 y4dy o
0
0
x
A(1,0)
5 1 y4dy 1 0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
L
LOAAB 来自12x 0dx
112 dy 1
0
0
1. 引例
一、Green公式
引 求I 2xydx x2dy,其中L分别为：1) y2 x;2) y x2;
例
L
1 3)OAB上由O(0,0) B(1,1)一段有向曲线 (如图)。
猜一猜：
2xydx x2dy ?
ydx
其中，L是D的正向边界曲线。
G.F .:P 0,Q x
证：xdy
L
Py 0,Qx 1
(1 0)d D
D
同理： ydx d D ydx
L
D
L
例1
4. Green公式举例
求椭圆
x2 a2
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格林公式及其应用
摘 要：
格林公式把二重积分化为曲线积分，从而简化了计算的过程。
在介绍格林公式之前先引入平面区域连通性概念。
设D 为一平面区域，如果区域D 内任意区域所围成的部分都属于D ，则称D 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。
关键词 闭区域D ；格林公式；积分与路径的关系；曲线积分；二重积分；
引言
格林公式是英国数学家格林发明，他通过这个公式来求关于面积、二重积分、第二类曲线积分与路径的关系等问题。
其定义是：设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P （x,y ）及Q （x,y ）在D 上具有一阶连续偏导函数，则有
⎰⎰⎰
+=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx dxdy y
P
x Q ）（
，其中L 是D 的取正向边界曲线
格林公式转化的物理意义： 二重积分——第二类曲线积分
将一物体计算体积的值转化为计算绕该物体地面一周所做的功
定理1 设闭区域D 由分段光滑曲线L 围成，函数P （x ，y ）及函数Q （x ，y ）
在D 上具有一阶连续偏导数，则有
D D
Q P Pdx Qdy dxdy x y +∂⎛⎫
∂∂+=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D y dxdy x P Q
∂∂∂=∂⎰⎰
其中L 是D 的取正向的边界曲线，此公式即为格林公式
证明:
(1)若区域D 既是-X 型又是-Y 型,即平行于坐标轴的直线和L 至多交于两
点.
}),()(),{(21b x a x y x y x D ≤≤≤≤=ϕϕ}),()(),{(21d y c y x y y x D ≤≤≤≤=ψψ
dx x Q dy dxdy x Q
y y d c D
⎰⎰⎰⎰∂∂=∂∂)()(21ψψ ⎰⎰-=d
c
d c
dy y y Q dy y y Q )),(()),((12ψψ
x
x x
⎰
⎰-=CAE
CBE
dy y x Q dy y x Q ),(),( ⎰
⎰
+=EAC
CBE
dy y x Q dy y x Q ),(),(
⎰=L
dy y x Q ),(
同理可证⎰⎰⎰
=∂∂-L D
dx y x P dxdy y
P
),(
两式相加得⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂L D
Qdy Pdx dxdy y
P
x Q )(
(2)
若区域D 由按段光滑的闭曲线围成.
如图
将D 分成三个既是-X 型又是-Y 型的区
域1
D ,2
D ,3
D .
⎰⎰⎰⎰++∂∂-∂∂=∂∂-∂∂3
21)()(D D D D dxdy y P x Q dxdy y P x Q ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∂
-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂3
21
)()()(
D D D dxdy y x Q dxdy
y P x Q dxdy y P x Q ⎰⎰⎰
+++++=
3
2
1
L L L Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx
⎰+=L
Qdy Pdx
(3)
若区域不止由一条闭曲线所围
成.添加直线段AB,CE.则D 的边界曲线由AB,2
L ,BA,
AFC,CE,
3L , EC 及CGA 构成
由(2)知⎰⎰∂∂-∂∂D
dxdy y P
x Q )(
⎰
⎰⎰⎰⎰+
+++=CE
AFC BA L AB 2
{
⎰
⎰⎰+⋅+++CGA
EC L Qdy Pdx )(}3
),(32,1来说为正方向对D L L L
⎰⎰⎰+++=2
3
1
))((L L L Qdy Pdx ⎰+=L
Qdy Pdx
应用：
（1）用格林公式计算区域的面积
设区域D 的边界曲线为L , 则
例1 求椭圆x =a cos q , y =b sin q 所围成图形的面积A . 解设L 是由椭圆曲线, 则
（2）用格林公式计算二重积分
为顶点的三角形闭区域.
因此, 由格林公式有
（3）用格林公式求第二类曲线积分
⎰-=L ydx xdy A 2⎰
+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab
-L ydx xdy 1⎰+=πθθθ2022)cos sin (21d ab ab πθπab d ab ==⎰2021. πθπab d ab ==⎰20
21. )1(2111
02
2----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA y . 1(2
111
2
2
----===⎰⎰e dx xe dy xe x OA
y . ),(32,1来说为正方向对D L L L ⎰-=L ydx xdy A 21.
例2 计算⎰⎰-D
y dxdy e
2
, 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)
.
令P =0, 2
y xe
Q -=, 则
2y e y
P
x Q -=∂∂-∂∂. ⎰⎰⎰++-
-=
BO
AB OA y D
y dy xe dxdy e 22 ⎰⎰⎰
++--=BO AB OA y D y dy xe
dxdy e 22
1(2
111
02
2
----===⎰⎰e dx xe dy xe x
OA
y .
例3
不经过原点的连续闭曲线, L 的方向为逆时针方向. 解：记L 所围成的闭区域为D .
当(0, 0)∈D 时,在D 内取一圆周l : x 2+y 2=r 2(r >0). 记L 及l 所围成的复连通区域为D 1, 应用格林公式得
其中l 的方向取顺时针方向.
（4）平面上曲线积分与路径无关的条件
解：这里P =2xy , Q =x 2.
选择从O (0, 0)到A (1, 0)再到B (1, 1)的折线作为积分路线,
例5 计算⎰+L
dy x xydx 22, 其中L 为抛
物线y =x 2上从O (0, 0)到B (1, 1)的一段弧
.
0)(1
2
2=∂∂-∂∂=+-⎰⎰⎰+dxdy y P x Q y x ydx xdy D
l
L , ⎰⎰-+-=+-l L y x ydx xdy y x ydx xdy 2222⎰+=πθθ
θ2022222sin cos d r
r r =2π. -+-=
l y x ydx xdy 22⎰+=πθθθ2022222sin cos d r r r =2π. -+-=+-l y x
ydx xdy y ydx y 2222
⎰+=πθθθ20
2
2222sin cos d r
r r =2π. 因为
x
x
Q y P 2=∂∂=∂∂, 所以积分
⎰+L dy x xydx 22与路径无关. 则 ⎰⎰⎰+++=+AB
OA
L
dy x xydx dy x xydx dy x xydx 222222
111
2==⎰dy .。