格林公式及其应用
28.格林公式及其应用
称(x, y)是方程的积分因子.
例: ydx xdy 0 不是全微分方程.
取(x, y)
1 y2
,
ydx xdy y2
0是全微分方程 .
即: d( x ) 0, x C是方程通解. 1 , 1 , 1
y
y
x2 xy x2 y 2
也是该方程积分因子30
例1: 求微分方程通解 (x2 2xy y2 )dx (x2 2xy y2 )dy 0
1. P Q 在D内恒成立. y x
du Pdx Qdy,
由定理的条件，有 P Q .
y x
23
例1：计算 (e y x)dx (xe y 2 y)dy, L
L : 过o(0,0), A(0,1)及B(1,2)所决定的圆周的一段弧 .
y
解： P e y x; Q xe y 2y
20
3a2 8
2 sin 2 2tdt
0
3a 2
8
16
三、平面曲线积分与路径无关条件
设P(x,y),Q(x,y)是定义在平面域D上的有界函数，
如果对于D内的任意两点A,B以及D内 从点A到点B的任意两条曲线 , L1 L2
y
Pdx Qdy L1
BD A
O
x
17
定理 :
1. P Q 在D内恒成立. y x
L
L1 L2
Pdx Qdy
L1 L2 ABBA
(Q P )dxdy x y D 8
Q P
( )dxdy P(x, y)dx Q(x, y)dy
x y
L
D
可记为： x y dxdy ÑL P(x, y)dx Q(x, y)dy
DP Q
格林公式及其应用
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式及其应用
格林公式及其应用
本节，我们将会讨论曲线积分与二重积分之间的关系．格林公式就是 连接两种积分的桥梁．
1.1 格林公式
格林公式给出了平面闭区域上二重积分与该闭区域边界曲线上第二类曲线积分之 间的关系．在介绍它们之间的关系前，我们首先给出单连通区域和复连通区域的定义．
定义 设 D 为平面区域，如果 D 内任意一条闭曲线所围成的部分都属于 D ，则称 D 为平面单连通区域（即 D 内部不含有“洞”），否则称为复连通区域．
1.1 格林公式
定理 1（格林公式） 设函数 P(x ，y) ， Q(x ，y) 在闭区域 D 上具有一阶连续偏 导数，则有
D
Q x
P y
dxdy
L
Pdx
Qdy
，
其中 L 为 D 的正向边界曲线．
（12-4）
1.1 格林公式
证 将区域 D 分为单连通区域和复连通区域两种情形来证明．
（1）如果 D 是单连通区域，则分以下两种情况讨论．
例 如 ， 区 域 {(x ，y) | x2 y2 1} 和 (x ，y) | y x 是 单 连 通 区 域 ； 环 状 区 域
{(x ，y) |1 x2 y2 4} 是复连通区域．
1.1 格林公式
关于平面区域 D 边界曲线的正负向规定如下：设平面区域 D 的边界曲线为 L ， 当沿着边界曲线 L 运动时，平面区域总在其左侧，此运动方向即为 L 的正向，此时 的反向即为 L 的负向．对于单连通区域来说，逆时针方向为正向．对于如图所示的 复连通区域来说，图中的箭头指向即为边界正向．
b a
P
(
x
，2
(
x))dx
b a
P
(
x
高等数学-格林公式及其应用
(2) L为正方形 x y 1 的正向.
作位于 D内圆周 l : x2 y2 a2 ,
取顺时针方向。
记 D1由 L和 l所围成, 应用格林公式,得
L
xdy x2
ydx y2
xdy ydx Ll x2 y2
xdy ydx l x2 y2
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20 14
例5 计算抛物线 ( x y)2 ax(a 0) 与 x 轴所围成
的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO 由函数
y ax x, x [0,a]表示,
M
N
A(a,0)
1
A xdy ydx
计算
L
xdy x2
ydx , y2
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
(2) L为正方形 x y 1的正向.
解 记 L所围成的闭区域为 D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
,
则当
x2 y2 0
时,有
Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P .
y
(1) L为圆周(x 1)2 ( y 1)2 1的正向.
高等数学
第二十讲
第三节
第十一章
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
一、 格林公式
区域 D 分类 单连通区域 ( 无“洞”区域 )
L
多连通区域 ( 有“洞”区域 )
D
域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左
第三节_格林公式及其应用
第三节_格林公式及其应用
格林公式是一个重要的微积分计算工具，用于计算微分方程在给定边
界条件下的解。
它可以用来解决一类非常有用的问题，例如求解复杂的微
分方程组、积分变分形式的物理问题。
此外，格林公式还可以应用于计算
微分函数在任意区间上的有限性以及在一些特定情况下的无穷性。
格林公式的主要思想是，给定边界以及满足一些条件的控制变量，可
以将一个微分方程组的解表示为不同常量的线性组合。
因此，可以通过解
决有限个简单的常系数非齐次线性微分方程来求解更复杂的微分方程组。
其中，常系数非齐次线性微分对应的格林公式是：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(βt)
其中，A、B是常数，α、β是解的根。
这个公式可以用来求解不同
类型的微分方程，包括拉普拉斯方程、伯努利方程、线性齐次微分方程组等。
应用：
1、求解拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一类重要的常微分方程，它可以用来描述物理系统的
传播过程以及电、热等物理场的扩散等现象。
拉普拉斯方程的一般形式为：y"+αy'+βy=f(t)
这里，α、β是常数，f(t)是一个任意函数。
可以用格林公式来求
解这个方程的解：
y(t) = A*exp(αt) + B*exp(-αt) + [1/α]*∫exp(-αt)f(t)dt
其中，A、B是常数，α是解的根。
2、求解伯努利方程。
格林公式的应用
格林公式的应用
1.什么是格林公式？
格林公式是指由英国数学家格林提出的用来计算某一多项式在
某一点的近似值的公式，它是一个多项式的近似值计算公式。
格林公式是基于抛物线（parabola）近似曲线在一定范围内拟合某多项式，其实际应用中是以三次多项式来近似计算出某多项式在某一点的近
似值。
2.格林公式的应用
（1）求解曲线的稳定点：格林公式可用来计算曲线的稳定点，即一阶导数为0时的值。
（2）优化函数：格林公式可用于优化函数，如果给定函数的一阶和二阶导，可利用格林公式求得函数的极值点。
（3）数值积分：格林公式也用于数值积分，能够准确而快速地求得曲线的积分值。
（4）对称函数：格林公式可用于求解对称函数的极值点，比如圆形的半径等。
（5）曲线拟合：格林公式也可以用于曲线拟合来确定某一多项式在某一点的值，从而降低计算的复杂度。
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第三节格林公式及其应用一、格林公式1．单连通区域。
设D 为单连通区域，若D 内 任一闭曲线所围的部分都属于D 。
称D 为单连 通区域（不含洞），否则称为复连通区域（含洞）。
规定平面D 的边界曲线L 的方向，当观测者沿L 行走时，D 内在他近处的那一部分总在他的左边，如右图图10-3-1定理1（格林公式） 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数),(y x P 和),(y x Q 在D上具有一阶连续偏导数，则有dxdy yPx Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=L Pdx Qdy +⎰。
L 为D 的取正向的边界曲线。
证 对既为X -型又为Y -型区域2L ：)(2x y ϕ=∵yP∂∂连续， ⎰⎰∂∂D dxdy y P=dy y y x P dx x x b a ⎰⎰∂∂)()(21),(ϕϕ=dx x x P x x P ba})](,[)](,[{1121⎰-ϕϕ图10-3-21L ：)(1x y ϕ= 又⎰⎰⎰+=21L L LPdx Pdx Pdx=dx x x P ba ⎰)](,[11ϕ+dx x x P ba⎰)](,[21ϕ=dx x x P x x P ba})](,[)](,[{2111⎰-ϕϕ∴⎰⎰⎰=∂∂-L D Pdx dxdy y P对于Y -型区域，同理可证 ⎰⎰∂∂D dxdy y Q=⎰L Qdx ∴原式成立对于一般情况，可引进辅助线分成有限个符合上述条件区域，在4321,,,D D D D 上应用格林公式相加，由于沿辅助线积分是相互抵消，即可得证。
几何应用： 在格林公式中，取x Q y P =-=,，⎰⎰Ddxdy 2=⎰-Lydx xdy∴21=A ⎰-Lydx xdy说明：（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立图10-3-3（2）记法⎰-Lydx xdy =⎰⎰∂∂-∂∂Ddxdy yx （3）在一定条件下用二重积分计算曲线积分，在另外条件下用曲线积分计算二重积分。
（4）几何应用。
例1 计算⎰++-Cdy y x dx x y )3()( L ：9)4()1(22=-+-y x解 原式=⎰⎰=-Ddxdy π18)13(，3=∂∂x Q ，1=∂∂yP例2 计算星形线⎩⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 围成图形面积)20(π≤≤t 解 ⎰⎰⋅+⋅=-=π202223)sin cos 3sin cos sin 3cos (2121dt t t a t a t t a t a ydx xdy A L =832a π二、平面上曲线积分与路径无关的条件定理2 设区域G 是一个单连通区域，函数),(),,(y x Q y x P 在G 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分⎰+LQdy Pdx 在G 内与路径无关（或沿G 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是xQ y P ∂∂=∂∂在G 内恒成立。
例1 ⎰-++Ldy y x dx y x )()( 1L ：从)1,1(到)3,2(的折线 ；2L：从)1,1(到)3,2(的直线 解⎰+1L Qdy Pdx =25)1()2(2131=++-⎰⎰dx x dy y 3 2L ：)2(23-+=x y ,即 12-=x y⎰-++2)()(L dy y x dx y x =25)]1(2)12[(21=-+-+⎰dx x x x 图10-3-4定理 3 设),(y x P ，),(y x Q 在单连通区域D 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件相互等价（1）内任一闭曲线C ，⎰+CQdy Pdx =0。
（2）对内任一曲线L ，⎰+LQdy Pdx 与路径无关oyx(2,3)(1,1)L2L1（3）在D 内存在某一函数),(y x μ使Qdy Pdx y x d +=),(μ在D 内成立。
（4）xQy P ∂∂-∂∂，在D 内处处成立。
证明 （1）⇒（2） 在D 内任取两点B A ,，及连接B A ,的任意两条曲线⋂AEB ，⋂AGB ∴⋂⋂+=BGA AGB C 为D 内一闭曲线 由（1）知⎰+CQdy Pdx ，即⎰⋂+AGBQdy Pdx +⎰⋂+BEAQdy Pdx =0 ∴⎰⋂+AGBQdy Pdx =⎰⋂+BEA Qdy Pdx图10-3-5（2）⇒（3）若⎰+LQdy Pdx 在D 内与路径无关。
当起点固定在（0,yx ）点，终点为),(y x 后，则⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx 是y x ,的函数，记为),(y x u 。
下证 ),(y x u =⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx 的全微分为),(y x du =Qdy Pdx +。
∵),(y x P ，),(y x Q 连续，只需证),(y x P xu=∂∂，),(y x Q yu=∂∂， 由定义=∂∂x u 0()(,)lim x u x x u x y x ∆→+∆-∆=∆+),(y x x u ⎰∆++),(),(00y x x y x Qdy Pdx =),(y x u +⎰∆++),(),(y x x y x Qdy Pdx 图10-3-6=),(y x u +⎰∆+xx xPdx∴-∆+),(y x x u ),(y x u =⎰∆+xx xPdx =x P ∆，),(y x x P P ∆+=θ )10(≤≤θ即),(y x P x u =∂∂， 同理),(y x Q yu=∂∂。
（3）⇒（4）若),(y x du =Qdy Pdx +，可证y P ∂∂=x Q ∂∂，=P x P ∂∂，=Q yQ∂∂y x P y P ∂∂∂=∂∂，x y Q x Q ∂∂∂=∂∂， 由Q P ,具有连续的一阶偏导数=∂∂∂y x u 2xy u∂∂∂2 oyxE B AGx ∆),(000y x M oyxM(x,y)N(x+,y)故y P ∂∂=xQ ∂∂ （4）⇒（1）设C 为D 内任一闭曲线，D 为C 所围成的区域。
⎰+CQdy Pdx =dxdy yPx Q D⎰⎰∂∂-∂∂)(=0。
例2 曲线积分⎰-++=Lx ydy y xe dx x eI )2()(， L 为过)0,0(，)1,0(和)2,1(点的圆弧。
解 令x e P y+=，y xe Q y2-=，则y e xQ=∂∂，y e yP=∂∂ ∴I 与路径无关。
取积分路径为AB OA +。
=I ⎰+OAQdy Pdx +⎰+ABQdy Pdx图10-3-7=⎰⎰-++21)2()1(dy y e dx x y =272-e例3 计算⎰+-Cy x ydxxdy 22， （1）c 为以)0,0(为心的任何圆周。
（2）c 为以任何不含原点的闭曲线。
解 （1）令22y x y P +-=，22yx xQ +=， 22222)(y x x y y P +-=∂∂，22222)(y x x y x Q +-=∂∂， 图10-3-8∴在除去)0,0(处的所有点处有y P ∂∂=xQ∂∂，作以0为圆心，r 为半径作足够小的圆使小圆含在C 内，∴⎰⎰++rC CQdy Pdx =0，即=+⎰CQdy Pdx θθπd rr x r ⎰+202222sin cos =π2≠0 （2）∵y P ∂∂=xQ ∂∂ ∴=+⎰C Qdy Pdx 0三、二元函数的全微分求积oyxBAoyx),(00y x ),(y x oyx∵⎰+CQdy Pdx 与路径无关，则Qdy Pdx +为某一函数的全微分为),(y x u =⎰+),(),(00y x y x Qdy Pdx =⎰+x x Qdy Pdx 0+⎰+yy Qdy Pdx 0注：),(y x u 有无穷多个。
图10-3-9例4 验证：ydy x dx y x cos )sin 2(++是某一函数的全微分，并求出一个原函数。
解 令y x P sin 2+=，y x Q cos =y x Q cos =∂∂，y yPcos =∂∂ ∴ 原式在全平面上为某一函数的全微分，取)0,0(),(00=y x ，⎰+=),()0,0(),(y x Qdy Pdx y x u =⎰⎰+xyydy x xdx 0cos 2=y x x sin 2+例5 计算⎰-+-Cxxdy m e y dy my ey )3()(23， c 为从E 到F 再到G ，⋂FG 是半圆弧解 令my e y P x -=3， m e y Q x -=23m e y y P x -=∂∂23，x e y yQ 23=∂∂，图10-3-11添加直线GE ，则，原式+⎰+GEQdy pdx =⎰⎰-Dmdxdy=])22(211221[2π⋅+⋅⋅-m =)41(π+-m∴ 原式=m )41(π+-⎰-310dx =)41(π+-m例6 设)(x f 在),(+∞-∞上连续可导，求dy y x f y y xdx yy x f y L L ⎰⎰++)],([),(1222，其中为从点)32,3(A 到)2,1(B 的直线段。
解 令y y x f y P ),(12+=， ]1),([22-=y x f y yx Qo yxF(2,1)E(1,0)G (3,0)oyxBA CQ Pm x y∂∂-=∂∂图10-3-12222),(1)],(),(2[y y x f y y y x f xy y x yf y P --'+=∂∂=2321),(),(yy x f xy y x f y -+ =∂∂x Q ='+-)],([]1),([13222y x f y y x y x f y y 2321),(),(yy x f xy y x f y -+xQy P ∂∂=∂∂，故原积分与路径无关，添CB AC +构成闭路，∴ 原式+0=+⎰⎰AC BC ∴ 原式=⎰⎰+ACCB=dx x f dy y f y y )]32(941[23]1)([11322322++-⎰⎰dy y y f dx x f ⎰⎰-++=132322]1)([)]32(3223[ u x =3241)()(2323223223213-=+++⎰⎰y dy y f du u f x练习1.证明：若)(u f 为连续函数，而C 为无重点的按段光滑的闭曲线，则0)()(22=++⎰ydy xdx y x f c。
2.确定的n 值，使在不经过直线0=y 的区域上，dy y y x x dx y y x x I c nc n ⎰⎰+-+=222222)()(与路径无关，并求当C 为从点)1,1(到点)2,0(B 的路径时I 的值。
3．设),(y x f ，),(y x g 为L 上的连续函数，证明ds g f gdy fdx LL⎰⎰+≤+22小结：1. 格林公式及应用，积分与路径无关的四个等价命题，全微分求积。