一格林公式及其应用
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738-第三节 格林公式及其应用-PPT精选文档
解 用格林公式。 记右半圆域为 D。 A Q P ( )dxdy 原式 x y D D
OA
OA
L
D
3dxdy
D
3 2 1 . 3| D | 0 sinydy cos 2
2
5/23
OA : x 0
D
例2. 求 (2x y4 )dx (3x5y6 )dy , L:
L
(0 ,0 ) 、 (3 ,0 ) 、 (3 ,2 )为 顶 点 的 三 角 形 ， 的 顺 边 时针方向。 D。 解 用格林公式。 记 相 应 三 角 域 为
原式
D
Q P ( ) dxdy x y D
L
3) 在 D 上， Pdx Qdy 与路径无 ；
AB
4) 在 D 上， Pdx Qdy 是某个函数的全 ( x, y) （ Qdy 是一个原函 . 数 即 有原函数 (x ,y ) Pdx
0 0
8/23
说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为
P d xQ d y P dxQ dy AB A
21/23
r
x
Q P d x d y P d x Q d y 格林公式 x y D L
用格林公式易证： xOy 面上有界闭区 D 的面
| D| xdy D ydx
D
1 xdy ydx . 2 D
x a cos 所围面积 : ( 0 2 π) 例如, 椭圆 L y b sin 1 A x d y y d x 2L 2 π 1 2 2 πab ( ab cos ab sin ) d 0 2
格林公式及其应用
L1 L2 L2
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
格林公式
为顶点的三角形闭区域．
解 令 P=0，Q=x e
y2
Q P y2 ，则 ， =e ． x y
y
y2
因此，由格林公式有
∫∫ e
D
y2
dxdy =
=
OA+ AB + BO
∫ xe
y2
dy
1 x2
B(0, 1)
dx
A(1, 1)
∫ xe
OA
dy = ∫ xe
0
1 = (1 e 1 ) ． 2
u u =P(x, y)， =Q(x, y)． x y 2 u P 2 u Q = = ， ． xy y yx x
2u 2u 由于 P、Q 具有一阶连续偏导数，所以 、 连续， xy yx P Q 2u 2u = 因此 ，即 ． = xy yx y x
充分性：
P Q = 已知 在 G 内恒成立，则积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy L y x
y L1
恒成立，就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
L
． B
在G内与路径无关，否则说与路径 有关． O A． L2 x
曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：
设曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关，L 1 和 L 2 是 G
L
内任意两条从点A到点B的曲线，则有
∫
因为
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，
P Q y2 x2 2 2 = 则当 x +y ≠0 时，有 ． = 2 2 2 y x ( x + y )
记L 所围成的闭区域为D． 当(0, 0)D时，由格林公式得
高等数学-格林公式及其应用.ppt
l D1
O D2
x
1
2π
d
1 2π
π
20
2
l :4x2 y2 2
法二
l
ydx xdy 4x2 y2
l
ydx
2
xdy
1
2
ydx xd y
l
格林公式
D2是由l 所围区域
4x2 y2 2
所以 I 0 π
π.
1
2
1
2
(1
D2
(2)
π
2
1)dxdy
2
π
25
10.3 格林公式及其应用
Pdx Qdy
L
(L1, L2, L3对D来说为正方向)
8
10.3 格林公式及其应用
(3) 对复连通区域证明:
对若复区连域通不区止域由D一, 格条林闭公曲式线
的右所曲端围线应成积 包.添分 括加,沿且直区边线域界段D的的A方全B向,部CE对边.区界 G D
域则DD来的说边都界是曲正线向由. AB, L2 , BA,
2π 0
格林公式
sin d(
2
(Q P )dxdy D1 x y 0
cos ) cos d(
2
2
0 sin
)
24
10.3 格林公式及其应用
l
ydx xdy 4x2 y2
2π
sin
d(
2
cos
)
2
cos
d(
sin
)
0
2
2 0
π
2
2
sin
2
2
2
2
cos2
d
y L: x2 y2 4
格林公式及其应用(IV)
在流体动力学中，格林公式可以用于分析流体速度场。通过 将速度场转换为面积分，可以方便地计算出流体的速度分布 和方向。
流体压力场的分析
在流体动力学中，格林公式也可以用于分析流体压力场。通 过将压力场转换为面积分，可以方便地计算出流体的压力分 布和变化趋势。
03
格林公式的推导过程
利用斯托克斯定理推导
在电磁场中的应用
电场强度的计算
在电磁场中，格林公式可以用于计算 电场强度。通过将电场强度转换为面 积分，可以方便地计算出某区域的电 场强度。
磁场强度的计算
在电磁场中，格林公式也可以用于计 算磁场强度。通过将磁场强度转换为 面积分，可以方便地计算出某区域的 磁场强度。
在流体动力学中的应用
流体速度场的分析
要点一
总结词
格林公式在电磁场计算中用于求解电磁波的传播和散射问 题。
要点二
详细描述
在电磁场计算中，格林公式被广泛应用于电磁波的传播和 散射问题的求解。通过设定适当的边界条件和初始条件， 格林公式能够计算出电磁波的传播方向、幅度和相位等信 息，对于电磁波传播和散射现象的研究具有重要的意义。
06
总结与展望
格林公式的一般形式是：对于一个封闭的曲线C，其上的 线积分∫Pdx+Qdy与由C围成的区域D内的面积S之间的关 系为：∫Pdx+Qdy=2×S。
其中，P和Q是定义在区域D内的函数，C是D的边界。
格林公式的几何意义
01
格林公式的几何意义在于，它表 示一个封闭曲线上的线积分等于 该曲线所围成的区域的面积的两 倍。
可以进一步加强与其他学科的交叉研究，如物理学、工程学、经济学 等，探索更多具有实际意义的课题和应用场景。
THANKS
感谢观看
流体压力场的分析
在流体动力学中，格林公式也可以用于分析流体压力场。通 过将压力场转换为面积分，可以方便地计算出流体的压力分 布和变化趋势。
03
格林公式的推导过程
利用斯托克斯定理推导
在电磁场中的应用
电场强度的计算
在电磁场中，格林公式可以用于计算 电场强度。通过将电场强度转换为面 积分，可以方便地计算出某区域的电 场强度。
磁场强度的计算
在电磁场中，格林公式也可以用于计 算磁场强度。通过将磁场强度转换为 面积分，可以方便地计算出某区域的 磁场强度。
在流体动力学中的应用
流体速度场的分析
要点一
总结词
格林公式在电磁场计算中用于求解电磁波的传播和散射问 题。
要点二
详细描述
在电磁场计算中，格林公式被广泛应用于电磁波的传播和 散射问题的求解。通过设定适当的边界条件和初始条件， 格林公式能够计算出电磁波的传播方向、幅度和相位等信 息，对于电磁波传播和散射现象的研究具有重要的意义。
06
总结与展望
格林公式的一般形式是：对于一个封闭的曲线C，其上的 线积分∫Pdx+Qdy与由C围成的区域D内的面积S之间的关 系为：∫Pdx+Qdy=2×S。
其中，P和Q是定义在区域D内的函数，C是D的边界。
格林公式的几何意义
01
格林公式的几何意义在于，它表 示一个封闭曲线上的线积分等于 该曲线所围成的区域的面积的两 倍。
可以进一步加强与其他学科的交叉研究，如物理学、工程学、经济学 等，探索更多具有实际意义的课题和应用场景。
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《格林公式及其应用》PPT课件
n (cos,cos).
v nds L
(P cos Q cos)ds
L
由格林公式
Pdy Qdx =========
(P Q )d .
L
D y x
（格林公式的另一种形式）
称函数
为平面向量场 v (P(x, y),Q(x, y))
的散度.物理意义：稳定流体通过某一闭曲线的流量，等
于其散度在该闭曲线所的区域上的二重积分之值.
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
0dxdy 0.
D1
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结束
铃
这里(L ) 表示多连通区域 D1的正向边界曲线 .这时L按 逆时针方向，而按顺时针方向.因而
(x y)dx (x y)dy
( L )
x2 y2
(x y)dx (x y)dy (x y)dx (x y)dy,
(x y)dx (x y)dy
L
x2 y2
1 r2
2 [r2 (cost sin t)(sin t) r2 (cost sin t)(cost)]dt
0
2
0 1dt 2.
例 4 设函数u(x,y)在有界闭区域D上有连续的二阶
偏导数，L 为D 的边界且逐段光滑.证明：
u
L
u n
ds
y
x
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy, AO
oA
(x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy
AO
0 x2dx 8 .
2
3
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结束
铃
当曲线积分 (x2 y)dx (x y2 sin3 y)dy 与路径无 AB
第三节第三节格林公式及其应用
另一种记法 :
x
DP
Green 公式
y Q
dxdy
ÑL Pdx
Qdy.
分析：
待证表达式
D
(
Q x
P )dxdy y
L Pdx
Qdy
等价于证明
D
Q x
dxdy
L
Qdy
D
P y
dxdy
LPdx
Y型区域
X 型区域
证明依赖于区域的形状
既 X又 Y型
单连通 一般区域
复连通
证明:
y
1. 若区域 D既是 X 型
1r 2 dxdy xdy xdy xdy xdy
4
D
L
OA
AB
BO
xdy dxdy 1 r2.
AB D
4
例 2 计算抛物线( x y)2 ax(a 0)与 x轴所
围成的面积.
解 ONA为直线 y 0.
曲线 AMO:
y ax x, x从a变到0.
M
L2
L3
L1
L Pdx Qdy
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
1.它建立了二重积分与曲线积分的一种等式关系; 2.它揭示了函数在区域内部与边界之间的内在联系.
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
Pd
x
Qd
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A 1 xdy y dx A xdy, A ydx.
r2
d
2π
Ñ 例4 计算 L
xdy 4x2
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2
利用格林公式 , 得
2x y d x x
L
2
d y 0 d x d y 0
D
13
(2) 简化二重积分的计算
例 2 计算 e
D
y2
D 是 dxdy ,其中
以O ( 0,0), A(1,1), B( 0,1) 为顶点 的三角形闭区域.
14
解
令 P 0, Q xe Q P y2 e , 则 x y
无重点,分段光滑且不经过原点的连续 闭曲线, L的方向为逆时针方向.
16
xdy ydx L x 2 y 2
解 记 L所围成的闭区域为 D ,
y x , Q 2 令P 2 , 2 2 x y x y
则当 x 2 y 2 0时,
Q y x P 有 2 . 2 2 x ( x y ) y
( L1, L2 , L3对D来说 为正方向 )
10
L3
D3D2ຫໍສະໝຸດ L2D1L1
L
格林公式的实质:
揭示了平面闭区域上二重积分与区域 边界上的曲线积分之间的联系.
11
3. 简单应用
(1) 简化曲线积分的计算
例1 设L是一条分段光滑的闭曲线， 证明
2 xydx x dy 0.
2 L
12
证: 令 P 2 x y , Q x , 则
y E
y 2 ( x)
d 型x 1 ( y) A c o a
D
B
x 2 ( y) Cy 1 ( x ) x b
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b}
D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
2 2
17
(1) 当(0, 0) D 时, xdy ydx 由格林公式知 L x2 y2 0
y L
D
(2) 当(0,0) D 时,
2 2
o
2
x
作位于D 内圆周 l : x y r ,
记 D1 由 L和 l 所围成,
y
L
应用格林公式,得
Q P x y dxdy Pdx Qdy D1 L l
y2
y2
,
y
1 B D A
应用格林公式,有
o
y2
1
x
e D
dxdy
y2
xe OA AB BO
1 0
dy
1 1 dx (1 e ). 2
xe
OA
dy xe
15
x2
例3
xdy ydx 计算 ,其中 L为一条 2 2 L x y
7
d ( y ) Q Q dxdy c dy ( y ) dx x D x
2 1
Q dxdy Q( x , y )dx L x D
c Q( 2 ( y ), y )dy c Q( 1 ( y ), y )dy
CBE Q( x , y )dy CAE Q( x , y )dy
CBE Q( x , y )dy EAC Q( x , y )dy
y
d
d
d x 1 ( y)
A C
E D B
x 2 ( y)
L Q ( x , y )dy
c
P 同理可证 dxdy L P ( x , y )dx D y
8
o
x
两式相加得 证明(2)
函数P x, y , Q x, y 在D上有一阶连续
偏导数，则有 Q P ( ) dxdy Pdx Qdy L x y D
其中L取正向.
?4
格林公式
y
L
D
y
L1
D
L2
L2
x
x o L正向：逆时针
o
L由L1与L2组成
规 边界曲线L的正向: 当观察者沿边界 定 行走时,区域D总在他的左边.
Q P ( )dxdy L Pdx Qdy y D x
L3 D3 D2 L2
若区域 D 由分段光 滑的闭曲线围成.如图,
将 D 分成三个既是 X 型又 是Y 型的区域 D1 , D2 , D3 .
D1
L1
D
L
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy y y D x D D D x
18 o
l
D1
r
x
0
Q P Pdx Qdy dxdy Pdx Qdy x y L l D1 L l
1 2 3
9
Q P Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy ( )dxdy x y x y x y D1 D2 D3
L Pdx Qdy L Pdx Qdy L Pdx Qdy
1 2 3
L Pdx Qdy
包含了影响19世纪数学物理发展的宝贵思想。
一 格林公式及其应用
1.区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成
的部分都属于D, 则称D为单连通区域, 否则称为
复连通区域.
D D
有洞
单连通区域
3
复连通区域
2.格林公式
定理1
二重积分与其区域边界上 的曲线积分之间的联系
设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,
第九节 各种积分间的关系
一 格林（Green)公式及其应用
二 高斯(Gauss)公式
格林 （Green.George） 简介 磨坊工数学家
格林 （1793—1841）十八世纪英国数学家
8岁上学，9岁辍学。凭着对数学的爱好和惊人的毅
力，在父亲的磨坊一边做工，一边自学。他35岁时发表
了他的第一篇也是最重要的论文“论数学分析在电磁理 论中的应用”，随后又完成了三篇论文。40岁终于进入 了剑桥大学，四年后获得学士学位。 格林短促的一生共发表了十篇论文，数量不多，却
5
注： 1.格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广。 2.边界是反方向，则
Q P ( )dxdy Pdx Qdy L x y D
3.区域是复连通区域时，格林公式也成立， 边界必须是区域的整个边界。
证明：(1)特殊情形
设区域 D 既是 X 又是Y 型,即平行于 坐标轴的直线和 L至 多交于两点.