常微分方程课后答案
《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
常微分方程第三版课后习题答案
习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y =ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
《常微分方程》(王高雄)第三版课后答案
e 8 : dy = −
y2 +3x
dx
y
解：变量分离，得 y dy = − 1 3x + c
e e y2
3
9 : x(ln x − ln y)dy − ydx = 0
解：方程可变为：− ln y • dy − y dx = 0
x
x
令u = y ,则有：1 dx = − ln u d ln u
x
x
1 + ln u
两 边 积 分 得 arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以 x(t)=tg[x’(0)t+c] 当 t=0 时 x(0)=0 故 c=0 所以
x(t)=tg[x’(0)t]
02411 黄罕鳞（41） 甘代祥（42）
关注公众号【大学资料宝典】，获取大学各科期末复习资料+海量网课资源
11. dy = (x+ y)2 dx 解：令x + y = t,则 dy = dt + 1
dx dx 原方程可变为：dt = 1 + 1
dx t2
变量分离得： 1 dt = dx, 两边积分arctgt = x + c
t2 +1
代回变量得：arctg(x + y) = x + c
12． dy = 1
所以 x(0)=0. x’(t)= lim x(t + Δt) − x(t) = lim x(Δt)(1 + x2 (t)) = x'(0)(1 + x2 (t) )
Δt
Δt[1 − x(t)x(Δt)
dx(t) = x'(0)(1 + x2 (t)) dt
常微分课后答案第一章
常微分课后答案第一章yx C x C y x C x C y 2222121sin cos ,cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='，所以0222=+y dxyd ω，故xCx C y ωωsin cos 21+=为方程的解．（6）yB x A y B x A y 22)sin(,)cos(ωωωωω-=+-=''+='，故0222=+y dxyd ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解．3．验证下列各函数是相应微分方程的解：（1）xxy sin =，x y y x cos =+'； （2）212x Cy -+=，xxy y x2)1(2=+'-（C 是任意常数）；（3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）xe y =，xx xe ye y ey 2212-=-+'-；（5）x y sin =，0cos sin sin 222=-+-+'x x x y yy ；（6）xy 1-=，1222++='xy y x y x ； （7）12+=xy ，xy x yy 2)1(22++-='；（8）)()(x f x g y =，)()()()(2x f x g y x g x f y '-'='．证明 （1）因为2sin cos x xx x y -='，所以xxxx x x x y y x cos sin sin cos =+-=+'．（2）由于21xCx y --='，故xx C x xCx x xy y x 2)12(1)1()1(2222=-++--⋅-=+'-．（3）由于xCe y ='，xCe y =''，于是022=+-=+'-''x x x Ce Ce Ce y y y ．（4）由xe y ='，因此xx x x x x x x e e e e e e ye y e y 22212)(2-=⋅-+⋅=-+'--．（5）因为x y cos ='，所以cos sin sin sin 2sin cos cos sin sin 22222=-+⋅-+=-+-+'x x x x x x x x x y y y ． （6）从21xy ='，得1111122222++=+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=='xy y x x x x x y x ．（7）由x y 2='，得到xy x y x x x x x y 2)1(2)1)(1()1(2222222++-=+++-+=='．（8）)()()()()()()()()()()()()()()(222x f x g y x g x f x f x g x f x g x g x f x f x g x f x g x f y '-'='-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅'='-'='．4．给定一阶微分方程x dx dy 2=， （1）求出它的通解； （2）求通过点)4,1(的特解； （3）求出与直线32+=x y 相切的解；（4）求出满足条件210=⎰ydx 的解；（5）绘出（2），（3），(4)中的解的图形． 解 （1）通解 Cx xdx y +==⎰22．（2）由41==x y ，得到3=C ，所以过点)4,1(的特解为32+=xy ．（3）这时122=⇒=x x ，切点坐标为)5,1(，由51==x y ，得到4=C ，所以与直线32+=x y 相切的解为42+=xy ．（4）由231)31()(131210=+=+=+=⎰⎰C Cx x dx C x ydx ，得到35=C ，故满足条件21=⎰ydx 的解为352+=xy ．（5）如图1-1所示．-3-2-1123x24681012y图1-15．求下列两个微分方程的公共解： （1）422x x yy -+='；（2）2422y y x xx y --++='．解 公共解必须满足2424222y y x x x x x y --++=-+，即 022242=-+-x y x y ，得到2x y =或212--=x y 是微分方程422x x y y -+='和2422y y x x x y --++='的公共解．6．求微分方程02=-'+'y y x y 的直线积分曲线．解 设直线积分曲线为0=++C By Ax ，两边对x 求导得，0='+y B A ，若0=B ，则0=A ，得到0=C ，不可能．故必有0≠B ，则B Ay -='，代入原方程有02=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-B Cx B A B A x B A ，或)(22=-++B AB C x B A BA ，所以，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0,022BA B C B AB A ，得到⎩⎨⎧==0,0C A 或B C A -==．所求直线积分曲线为0=y 和1+=x y ． 7．微分方程32224xy y y x=-'，证明其积分曲线关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．证明 设0),(=y x F 是微分方程32224xy y y x =-'的积分曲线，则与其关于坐标原点)0,0(成中心对称的曲线是),(=--y x F ．由于),(=y x F 适合微分方程32224xy y y x =-'，故3222),(),(4xyy y x F y x F x y x =-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⋅，分别以y x --,代yx ,，亦有3222))(()(),(),()(4y x y y x F y x F x y x --=--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-----⋅-，而由0),(=--y x F ，得到),(),(y x F y x F y yx -----='，从而0),(=--y x F 也是此微分方程的积分曲线．8．物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成比例，如果物体在20分钟内由100C 冷至60C ，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到30C ？假设空气的温度为20C ． 解 设物体在时刻t 的温度为)(t u u =，20=au，微分方程为)(au u k dtdu --=，解得ktaCe u u -+= ，根据初始条件10000===u ut ，得80=-=a u uC ，因此 kta a e u u u u --+=)(0，根据60,201===uu t ，得到ka a e u u u u2001)(--+=，由此202ln ln 20110=--=a a u u u u k ，所以得到t e u 202ln 8020-+=，当30=u 时，解出60=t （分钟）1=（小时）．在1小时的时间内，这个物体的温度达到30C ．9．试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程：（1）曲线上任一点的切线与该点的向径夹角为α；（2）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分等于定长l ；（3）曲线上任一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积都等于常数2a ；（4）曲线上任一点的切线介于两坐标轴之间的部分被切点等分；（5）曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方；（6）曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项；（7）曲线上任一点的切线的斜率与切点的横坐标成正比．（提示：过点),(y x d 的横截距和纵截距分别为'-yy x 和y x y '-）．解 （1）曲线上任一点为),(y x ，则xy y x yy '+-'=1tan α，即ααtan tan y x x y y -+='． （2）曲线上任一点),(y x 处的切线方程为yy x Y X y -'=-'，与两坐标轴交点为),0(y x y '-和)0,(y yy x '-'，两点间距离为l y x y y y y x ='-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'-'22)(，即 222)()(l y x y y y x ='-+'-． （3）由（2），有221a y x y y yy x ='-'-'，或y a y y x '=-'222)(．（4）由（2），有2y x y y '-=，或0=+'y y x ．（5）由（2），2xy xy='-．（6）同样由（2），2yxy xy +='-，或xy xy='-2．（7）易得kxy='（k为常数且0>k）．。
《常微分方程》_(方道元_著)_课后习题答案__浙江大学出版社
= 4x3 ° y sin x;
2
(2) (4) (6)
dy dx2 dy dx
3
+ cos y + 4x = 0;
dy + 3 dx ° 6y = 0.
dy 2 ° ( dx ) + 2xy ;
d y dx3
(1) (2) (3) (4) (5) (6) 2. (1) y = 1 + x2 ,
dy dx
dx
z = x2 (C + x°1 y 2 = x2 (C + x°1 ) (6) y¥0 C y 6= 0 °y °2 dz 2z ln x = ° dx x x e°
R
2 x
z = y °1
dx
y °1 = x2 (C + 4
1 + 2 ln x ) 4x2
C (7) y=0 e
R
1 x
y 6= 0
x
x2 sin y + y 3 ex = C C (12) [ y2 x e ° 2ye2x ]dx + (ex y ° e2x )dy = 0 2 y2 x e ° ye2x = C 2 C (13) dy + dx + {x2 exy dy + [(1 + xy )exy ]dx} = 0
y + x + xexy = C C (14) (y sec2 x)dx + tan xdy + (sec x tan x)dx + 2ydy = 0
1
mc , m s Vc , V s , 8 < mc g ° ∏Vc = mc dVc + ΩVc g dt : m g ° ∏V = m dVs + ΩV g
常微分方程(第三版) 王高雄等编 高等教育出版社 课后习题答案
1常微分方程习题答案2.11.xy dx dy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123.yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y xxyxyx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dxdy dx dy xycy ud uudx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydxdy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdudxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dx x du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y ee ee ee eexy uu xy x uu xyxyyx xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
常微分方程课后习题部分答案
18. 设),(y x f 及连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.证:必要性 若该方程为线性方程,则有)()(x Q y x P dx dy += , 此方程有积分因子⎰=-dx x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 .充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ .则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程 , 从而dxx d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂ ,)()(x x y f μμ'-=∂∂ , )()()()()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰μμμμ . 其中)()()(x x x P μμ'-= .于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy 即方程为一阶线性方程.20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0 有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1-证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0 则y uyf ∂∂=uf+uy y f ∂∂+yf y u ∂∂=)(g f xy f -+)(g f xy y f y-∂∂-yf 222)()(g f y x y g xy y f xy g f x -∂∂+∂∂+- =2)(g f xy y f gy y g yf-∂∂-∂∂=2)(g f x y xy xy f g y xy xy g f -∂∂∂∂-∂∂∂∂ =2)(g f xy f g xy g f-∂∂-∂∂ 而x uxg ∂∂=ug+ux x g ∂∂+xg x u ∂∂=)(g f xy g -+)(g f xy x g x -∂∂- xg 222)()(g f y x x g xy x f xy g f y -∂∂-∂∂+-=2)(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf-∂∂∂∂-∂∂∂∂=2)(g f xy f g xy g f -∂∂-∂∂ 故y uyf ∂∂=xuxg ∂∂，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M （x,y ）N(x,y)满足关系xN y M ∂∂-∂∂= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（2.43）有积分因子u=exp(⎰dx x f )(+⎰dy y g )()证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 即证x uN y uM ∂∂=∂∂)()(⇔u y M ∂∂+M y u ∂∂=u x N ∂∂+N xu ∂∂⇔ u(y M ∂∂-x N ∂∂)=N xu ∂∂- M y u ∂∂⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=Ne ⎰⎰+dy y g dx x f )()(f(x) -M e ⎰⎰+dy y g dx x f )()(g(y)⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=e ⎰⎰+dy y g dx x f )()((Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。
常微分方程第四版课后练习题含答案
常微分方程第四版课后练习题含答案第一章：常微分方程基本概念和初值问题1.2 课后练习题1.2.1（1）y′=2y+3，y(0)=1，求解y(t)；（2）y′+ty=1，y(0)=0，求解y(t)。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，其通解为$$y(t)=Ce^{2t}-\\frac{3}{2}$$代入初始条件y(0)=1，可得$$C=\\frac{5}{2}$$所以$$y(t)=\\frac{5}{2}e^{2t}-\\frac{3}{2}$$（2）首先设$u(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}y(t)$，则$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}(y'+ty)$。
代入原方程可得$$u'(t)=e^{\\frac{t^2}{2}}$$对其积分得$$u(t)=\\int e^{\\frac{t^2}{2}} dt +C=\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}+C$$其中$erf(x)=\\frac{2}{\\sqrt{\\pi}}\\int_0^x e^{-t^2} dt$称为误差函数。
进一步解得$$y(t)=e^{-\\frac{t^2}{2}}u(t)-ue^{-\\frac{t^2}{2}}=-\\frac{\\sqrt{2\\pi}}{2}erf\\frac{t}{\\sqrt{2}}e^{-\\frac{t^2}{2}}$$ 代入初始条件y(0)=0即可得到最终解答。
第二章：一阶线性微分方程2.2 课后练习题2.2.1求下列方程的通解：（1）(2x+1)y′+y=1；（2）(x−1)y′−y=2x；（3）$(2+\\cos x)y'-y=2-x\\cos x$。
解答：（1）该微分方程为一阶线性常微分方程，设方程的通解为$y=Ce^{-\\int \\frac{1}{2x+1} dx}+\\frac{1}{2x+1}$。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
习题1.21．dxdy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy2y dy dy=-11+x dx两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1+x c3．dx dy =yx xy y 321++解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：y y -1dy=-xx 1+dx两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +-令xy=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：-112++u u du=x 1dxln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2xy. 6. xdxdy-y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +xx ||-2)(1x y -则令xy=u dx dy =u+ x dx du211u - du=sgnxx1dx arcsinxy=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgxdx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xccos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.所以原方程的通解为sinycosx=c.8 dx dy +ye x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 32 ex3-3e2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为：dx dy =x y ln xy令x y=u ,则dx dy =u+ x dx duu+ xdxdu=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnxy=cy. 10.dxdy =e yx - 解：原方程为：dxdy =e x e y- e y=ce x11dxdy =(x+y)2解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1 dx du -1=u 2211u +du=dx arctgu=x+c arctg(x+y)=x+c12.dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dxdu -1dx du -1=21uu-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c14:dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.15: dxdy=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy=（x+4y ）2+3令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4141dx du -41=u 2+3 dx du=4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1).16:证明方程y x dxdy=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） y(1+x 2y 2)dx=xdy2） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+ 证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2x u，有：u x dxdu=f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
1） 令xy=u 则dx dy =x 1dx du -2x u(1) 原方程可化为：dx dy =xy [1+（xy ）2] (2)将1代入2式有：x 1dx du -2x u =xu (1+u 2)u=22+u +cx17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。
解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y则与x 轴，y 轴交点分别为： x= x 0 -'y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -'y y 所以 xy=c 18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =4π 。
解：由题意得：y ’=xyy 1dy=x 1 dxln|y|=ln|xc| y=cx. α =4π则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。
证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2+c 即为所求。
常微分方程习题2.11.xy dxdy2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。
故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e xx y c y x x c y c y xdx dy y22,11,0,ln ,212=====+==,0)1(.22=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.解：对原式进行变量分离得：。
故特解是时，代入式子得。
当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当xy c y x y x c y c y x y dy dx x y++=====++=+=+≠=+-1ln 11,11,001ln 1,11ln 0,11123yxy dx dy x y 321++=解：原式可化为：x x y x x yx yx yyxyc c c c x dx x dy y yx ydxdy 2222222232232)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2111,0111=++=++≠++-=++=+≠+∙+=+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然.0;0;ln ,ln ,ln ln 0110000)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：10ln 1ln ln 1ln 1,0ln 0)ln (ln :931:8.cos ln sin ln 07ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(21111,11,,,0)()(:53322222222222c dx dy dx dy xycy ud uu dx x x y u dx xydy x y ydx dy y x x c dy yy yydx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx cx x xycx x u dxx x du xdxdu dxdux u dx dy ux y u x y y dx dy xc x arctgu dxx du u u u dx du x u dxdu xu dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e ee x y uu xy x u u x yxyy x xx+===+=+-===-∙-=--+-=-=+-===-=+∙=+∙=∙=--=+===-+=+-=++=++-++=++===+-==-++-+--两边积分解：变量分离：。
代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。
另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：解：令：。
两边积分得：变量分离，得：则令解：cx y x arctg cx arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dxdy cdx dy dxdy tt y x e e e e e x yxyyx +=++==++=+==+=+===+-)(,11111,.11222)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，12．2)(1y x dx dy += 解c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t tdx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1111222，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则令变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X YX dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'22,31,3131,31;012,0121212.132-+-==--=+=-==-==+-=--+---=.7)5(72177217)7(,71,1,525,14)5(22c x y x cx t dx dt t t tdx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则解：令15．18)14()1(22+++++=xy y x dx dy原方程的解。
，是，两边积分得分离变量，，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dxdy+=++=++==+=+++++=+++++++=6)383232(941494141412)14(181816122222216．2252622y x xy x y dx dy +-=解：，则原方程化为，，令u y xxy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32322332322232]2)[(32(2)( 126326322222+-=+-=xu x u xxu x u dx du ，这是齐次方程，令cx x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz dz z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。