近世代数发展简史
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系以及代数结构的性质。
在近世代数的发展过程中，有许多重要的里程碑和贡献者。
本文将详细介绍近世代数的发展历程，包括其起源、重要概念的提出以及对现代数学的影响。
1. 起源近世代数的起源可以追溯到16世纪的欧洲。
当时，数学家开始对代数问题进行更加系统和抽象的研究，从而逐渐形成了近世代数的基本框架。
其中，意大利数学家斯卡拉潘尼（Niccolò Fontana Tartaglia）和费拉里（Gerolamo Cardano）在解三次方程和四次方程的过程中做出了重要贡献，他们的研究为近世代数的发展奠定了基础。
2. 重要概念的提出2.1 多项式多项式是近世代数中的重要概念之一。
法国数学家维尔纳（François Viète）在16世纪提出了多项式的概念，并建立了代数符号与数之间的联系。
他的工作为代数学的发展打下了坚实的基础。
2.2 群论群论是近世代数中的另一个重要概念。
德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss）和法国数学家狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）在19世纪提出了群论的基本概念和性质。
群论的研究不仅对近世代数的发展有着重要的影响，而且对现代数学的各个领域都产生了深远的影响。
2.3 环论环论是近世代数中的另一个重要分支。
德国数学家李特尔（Richard Dedekind）和德国数学家诺特（Ernst Eduard Kummer）在19世纪提出了环论的基本概念和性质。
环论的研究使得近世代数的抽象性更加突出，为后续的代数研究提供了重要的思想和方法。
3. 对现代数学的影响近世代数的发展对现代数学产生了深远的影响。
首先，近世代数的抽象性质和符号计算的方法为数学的发展提供了新的思路和方法。
其次，近世代数的研究为其他数学分支，如数论、几何学和拓扑学等提供了重要的工具和理论基础。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数和运算的性质。
近世代数的发展经历了数百年的演变和进步，从最初的代数方程解法到现代的抽象代数理论，为数学的发展做出了巨大的贡献。
本文将详细介绍近世代数的发展历程和关键里程碑。
1. 代数的起源代数的起源可以追溯到古希腊和古埃及时期。
古希腊数学家毕达哥拉斯和欧几里得等人对代数方程的解法进行了研究，提出了一些基本的代数原理和方法。
古埃及人也在解决实际问题中使用了代数的概念和方法。
2. 文艺复兴时期的代数在文艺复兴时期，代数开始脱离实际应用，成为一门独立的学科。
意大利数学家斯卡拉潘尼和法国数学家维尼奥等人对代数进行了深入研究，并提出了一些重要的代数理论。
斯卡拉潘尼的《代数学》被认为是近世代数的奠基之作。
3. 高斯的贡献19世纪初，德国数学家高斯对代数的发展做出了重要贡献。
他提出了复数的概念，并将代数方程的解法推广到复数域上。
高斯的《代数学基础》成为了近世代数的经典著作，对后来的代数研究产生了深远影响。
4. 抽象代数的浮现20世纪初，抽象代数作为一门独立的数学学科开始崭露头角。
法国数学家加罗华和德国数学家诺特等人对代数的结构和性质进行了深入研究，提出了一些重要的概念和定理。
抽象代数的浮现使代数的研究更加系统化和抽象化。
5. 现代代数理论的发展近现代，代数理论得到了极大的发展和完善。
代数的研究范围涉及了群论、环论、域论等多个方面。
代数理论的应用也广泛渗透到其他数学领域，如数论、几何学等。
代数的发展对数学的发展起到了重要的推动作用。
总结：近世代数的发展经历了数百年的演变和进步，从最初的代数方程解法到现代的抽象代数理论，为数学的发展做出了巨大的贡献。
从古希腊和古埃及的代数起源，到文艺复兴时期的代数研究，再到高斯的贡献和抽象代数的浮现，近世代数的发展历程丰富多样。
现代代数理论的发展使代数的研究更加系统化和抽象化，并对其他数学领域产生了深远影响。
近世代数的发展不仅推动了数学的进步，也为人类认识世界和解决实际问题提供了重要的工具和方法。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学领域中一门重要的学科，它研究的是数和运算的结构。
近世代数的发展经历了数百年的演变和探索，涵盖了众多的数学家和理论。
本文将为您详细介绍近世代数的发展历程和相关的重要成果。
1. 古代代数的起源古代代数的起源可以追溯到公元前2000年摆布的古埃及和古巴比伦时期。
在这个时期，人们开始使用符号和方程式来解决实际问题，如土地测量和贸易计算。
然而，古代代数的发展相对较为有限，主要集中在线性方程和几何问题的解决上。
2. 文艺复兴时期的代数革命文艺复兴时期（14世纪至17世纪）是近世代数发展的关键时期。
在这个时期，代数学开始脱离几何学的束缚，成为独立的学科。
重要的代数学家如意大利数学家斯卡拉潘尼、法国数学家维阿塔、德国数学家费尔马等，为近世代数的发展奠定了基础。
3. 代数方程的解法研究在文艺复兴时期，数学家们开始研究代数方程的解法。
其中最著名的是意大利数学家卡尔达诺的工作。
他发现了一种求解三次方程的方法，被称为“卡尔达诺公式”。
这个发现对于后来的代数学发展起到了重要的推动作用。
4. 群论的发展群论是近世代数的一个重要分支，它研究的是集合和运算的结构。
群论的发展起源于19世纪，德国数学家高斯和狄利克雷等人对数论中的整数运算进行了深入研究。
后来，法国数学家瓦埃斯特拉斯和德国数学家诺伊曼等人对群的性质进行了系统的研究，奠定了群论的基础。
5. 现代代数的发展20世纪是近世代数发展的黄金时期。
在这个时期，代数学的研究范围不断扩大，涉及到了更多的领域。
线性代数、抽象代数、代数几何等分支学科相继发展起来。
现代代数的发展离不开一些重要的数学家的贡献，如德国数学家埃米尔·阿尔蒂因、法国数学家布尔巴基等。
总结：近世代数的发展可以追溯到古代，但真正的突破发生在文艺复兴时期。
代数方程的解法研究为代数学的发展带来了重要的推动。
群论的浮现和发展进一步丰富了代数学的研究内容。
而现代代数的发展则在20世纪达到了巅峰，形成为了更为完整的理论体系。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述：近世代数是数学中一个重要的分支，它涉及了数与符号的关系、方程的解法以及数学结构的研究。
本文将从四个方面介绍近世代数的发展历程。
一、代数符号的引入1.1 数与符号的关系- 在古代，数学主要是以文字和图形的形式进行表达和计算，缺乏统一的符号体系。
- 16世纪，法国数学家维阿尔提出了使用字母表示数的概念，为代数符号的引入奠定了基础。
1.2 代数运算的规则- 17世纪，法国数学家笛卡尔提出了代数运算的规则，如加法和乘法的分配律、结合律等。
- 他还发展了解方程的方法，将代数从几何中独立出来，为代数学的独立发展奠定了基础。
1.3 代数的形式化- 18世纪，德国数学家高斯和拉格朗日等人进一步发展了代数的形式化。
- 他们提出了复数的概念，引入了虚数单位i，从而解决了一些无解的方程，推动了代数学的发展。
二、线性代数的兴起2.1 矩阵与行列式- 19世纪，英国数学家哈密顿提出了矩阵的概念，为线性代数的发展奠定了基础。
- 同时，日本数学家行列式的研究也为线性代数的发展做出了重要贡献。
2.2 线性变换与线性空间- 20世纪初，德国数学家埃米尔·诺特发展了线性变换的理论，引入了线性空间的概念。
- 他的工作为现代代数学的发展提供了重要的数学工具。
2.3 线性代数的应用- 线性代数的理论不仅在数学中有着广泛的应用，还在物理学、计算机科学等领域起着重要作用。
- 线性代数的研究成果为解决实际问题提供了有力的工具。
三、群论的发展3.1 群的概念与性质- 19世纪末，法国数学家勒贝格提出了群的概念，研究了群的性质和运算规则。
- 他的工作为群论的发展奠定了基础。
3.2 群的分类与应用- 20世纪初，德国数学家费尔巴哈提出了有限群的分类问题，为群论的发展做出了重要贡献。
- 群论的应用广泛涉及数学、物理学、密码学等领域。
3.3 群论的深入研究- 20世纪，群论的研究进一步深入，涉及了有限群、无限群、拓扑群等多个方向。
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近世代数发展简史近世代数是数学中一个重要的分支，它对于数学的发展做出了巨大的贡献。
本文将从近世代数的起源开始，逐步介绍其发展历程和重要成就。
1. 近世代数的起源近世代数的起源可以追溯到16世纪，当时意大利数学家Cardano、Tartaglia等人开始研究解三次方程的方法。
他们的研究成果为代数学的发展奠定了基础，也为后来的代数学家提供了启示。
2. 方程理论的发展随着近世代数的发展，人们开始更加深入地研究各种类型的方程。
17世纪，法国数学家Viète提出了代数方程的一般理论，他的研究成果为后来的代数学家们提供了重要的参考。
此后，拉格朗日、高斯等数学家在方程理论的研究中做出了重要的贡献，推动了近世代数的发展。
3. 群论的兴起19世纪，数学家Galois提出了群论的概念，这是近世代数中一个重要的分支。
群论的出现极大地推动了近世代数的发展，它为研究方程的根的性质提供了新的工具和方法。
群论的发展也为后来的数学研究提供了重要的基础。
4. 线性代数的发展近世代数中的另一个重要分支是线性代数。
19世纪，数学家Cayley、Grassmann等人开始研究线性方程组的解法和向量的性质。
他们的研究成果为线性代数的发展奠定了基础，也为后来的代数学家们提供了重要的工具和方法。
5. 抽象代数的出现20世纪初，数学家Emmy Noether提出了抽象代数的概念，这是近世代数中的一个重要分支。
抽象代数的出现极大地拓展了代数学的研究范围，它不再局限于特定类型的代数结构，而是研究了一般的代数结构和它们之间的关系。
抽象代数的发展为数学研究提供了新的视角和方法。
6. 近世代数的应用近世代数不仅仅是一门纯粹的数学学科，它的研究成果也广泛应用于其他领域。
在密码学中，代数的理论为密码的设计和分析提供了重要的工具。
在计算机科学中，代数的思想和方法被广泛应用于算法设计和数据结构的研究。
近世代数的应用还涉及到物理学、工程学等多个领域。
总结：近世代数是数学中一个重要的分支，它的发展经历了从方程理论到群论、线性代数和抽象代数的演进。
近世代数发展简史
近世代数发展简史引言概述:近世代数是数学中的一个重要分支，它的发展经历了几个重要的阶段。
本文将从近世代数的起源开始，逐步介绍其发展的关键点和重要成果。
首先，我们将探讨近世代数的起源和发展背景，然后详细介绍近世代数的五个主要部分，包括整数环、多项式环、域、线性代数和群论。
一、整数环1.1 整数环的定义和性质1.2 整数环的基本运算和性质1.3 整数环的应用和发展二、多项式环2.1 多项式环的定义和性质2.2 多项式环的基本运算和性质2.3 多项式环的应用和发展三、域3.1 域的定义和性质3.2 域的基本运算和性质3.3 域的应用和发展四、线性代数4.1 线性代数的基本概念和性质4.2 线性代数的基本运算和性质4.3 线性代数的应用和发展五、群论5.1 群论的基本概念和性质5.2 群论的基本运算和性质5.3 群论的应用和发展正文内容:一、整数环1.1 整数环是指由整数构成的一个环结构，它包含了整数的加法和乘法运算。
整数环的性质包括封闭性、结合律、交换律、分配律等。
整数环在数论、密码学等领域有着重要的应用，如素数的判定和加密算法的设计等。
整数环的发展经历了欧几里得算法的提出和数论的建立，为后续代数学的发展奠定了基础。
二、多项式环2.1 多项式环是指由多项式构成的一个环结构，它包含了多项式的加法和乘法运算。
多项式环的性质包括封闭性、结合律、交换律、分配律等。
多项式环在代数几何、信号处理等领域有着广泛的应用，如曲线的描述和信号的滤波等。
多项式环的发展经历了多项式插值和多项式因式分解等重要成果的提出，为代数学的发展提供了重要工具。
三、域3.1 域是指一个满足一定条件的数学结构，它包含了加法、乘法、减法和除法运算。
域的性质包括封闭性、结合律、交换律、分配律等。
域在代数方程、密码学等领域有着广泛的应用，如多项式方程的求解和公钥密码算法的设计等。
域的发展经历了有理数域、实数域和复数域的建立，为代数学的发展提供了重要基础。
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近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系。
代数的发展可以追溯到古代，但近世代数的起源可以追溯到16世纪。
以下是近世代数发展的简史。
1. 文艺复兴时期（16世纪）在文艺复兴时期，代数开始出现了一些重要的发展。
意大利数学家Cardano首次提出了解三次方程的方法，并发表了《代数学大全》。
同时，法国数学家Viète 提出了代数中的符号表示法，开创了代数符号的使用。
2. 方程论的发展（17世纪）17世纪，方程论成为代数中的重要研究领域。
法国数学家Fermat和英国数学家Descartes分别独立地发展了代数几何学，将代数与几何相结合。
Fermat提出了著名的“费马大定理”，并在边注中提到了他的证明思路，这成为了代数中的一个重要问题。
3. 群论的兴起（19世纪）19世纪，代数的发展进入了一个新的阶段。
法国数学家Galois提出了群论的概念，并建立了现代代数的基础。
他研究了方程的可解性，并提出了著名的“Galois理论”，解决了费马大定理中的一些特殊情况。
Galois的工作对代数的发展产生了深远的影响。
4. 现代代数的建立（20世纪）20世纪，代数的发展进入了一个全新的阶段。
德国数学家Hilbert提出了代数基础的问题，并提出了一系列的公理化方法。
同时，抽象代数成为了代数中的重要分支，研究了各种代数结构的性质。
在这一时期，代数的研究范围得到了极大的扩展。
5. 应用领域的发展近世代数的发展不仅仅局限于理论研究，还涉及到了许多实际应用领域。
代数在密码学、编码理论、计算机科学等领域都有广泛的应用。
代数的发展为这些领域提供了强大的工具和方法。
总结：近世代数的发展经历了多个阶段，从文艺复兴时期的代数基础研究，到方程论的发展，再到群论和现代代数的建立，代数的研究范围不断扩展。
近世代数的发展不仅仅是理论上的突破，还涉及到了许多实际应用领域。
代数的发展为数学和其他学科的发展做出了巨大贡献。
近世代数发展简史
近世代数发展简史近世代数是数学中的一个重要分支，它起源于16世纪，经过几个世纪的发展，逐渐成为了现代数学的核心领域之一。
本文将为您详细介绍近世代数的发展历程和主要成就。
1. 文艺复兴时期的代数奠基者近世代数的发展可以追溯到文艺复兴时期。
16世纪初，意大利数学家卡尔达诺（Cardano）和费拉拉（Ferrara）开始研究解三次方程的方法，他们的研究成果为代数学的发展奠定了基础。
2. 齐次坐标和代数几何的兴起17世纪，法国数学家笛卡尔（Descartes）提出了齐次坐标系统的概念，这一概念将代数与几何联系起来，为代数几何的发展打下了基础。
笛卡尔的代数几何理论为后来的代数学家们提供了强有力的工具，推动了近世代数的发展。
3. 群论的兴起19世纪，法国数学家瓦塞尔（Galois）在研究方程的可解性时，提出了群论的概念。
群论是近世代数中的一个重要分支，它研究的是集合上的一种代数结构，通过研究群的性质和变换的性质，可以解决一些关于方程可解性的问题。
瓦塞尔的群论成果对代数学的发展产生了深远影响。
4. 环论和域论的发展20世纪初，德国数学家诺特（Noether）提出了环论和域论的概念。
环论研究的是集合上的一种代数结构，它在抽象代数中占据着重要地位。
域论则是环论的一个重要分支，研究的是满足一定性质的代数结构。
环论和域论的发展推动了近世代数的进一步发展，为现代数学的发展奠定了基础。
5. 线性代数的发展近世代数的另一个重要分支是线性代数。
线性代数研究的是向量空间和线性变换的性质，它广泛应用于物理学、工程学和计算机科学等领域。
20世纪，线性代数得到了快速发展，各种线性代数的理论和方法被广泛应用于实际问题的求解中。
总结：近世代数是数学中的一个重要分支，它起源于16世纪，经过几个世纪的发展，逐渐成为了现代数学的核心领域之一。
近世代数的发展历程包括文艺复兴时期的代数奠基者、齐次坐标和代数几何的兴起、群论的兴起、环论和域论的发展以及线性代数的发展等。
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近世代数发展简史根据课程教学安排，通过查阅近世代数发展历史的相关资料，了解了相关的知识，并对近世代数的知识结构和发展脉络有了更清楚的认识和理解，以下是我将对近世代数及其发展历史的认识。
一、近世代数的定义代数学是以数、多项式、矩阵、变换和它们的运算，以及群、环、域、模等为研究对象的学科，而近世代数（又称抽象代数）是代数学研究的一个重要分支，主要研究群、环、域、模这四种抽象的代数结构，并深入研究了具有一定特性的群、环、域、模及其子结构、商结构、同态和同构、以及作为它们支柱的具体例子，它不仅在代数学中，而且在现代数学的理论与应用中都具有基本的重要性。
二、近世代数的发展代数学的起源较早，在挪威数学家阿贝尔（Abel，N.H.）证明五次以上方程不能用根式求解的进程中就孕育着群的概念；1830年，年仅19岁的伽罗瓦（Galois，E.）彻底解决了代数方程的根式求解问题，从而引进数域的扩张、置换群、可解群等概念；后来，凯莱（Cayley，A.）在1854年的文章中给出有限抽象群；戴德金（Dedekind，J.W.R.）于1858年在代数数域中又引入有限交换群和有限群；克莱因（Klein，C.F.）于1872年建立了埃尔朗根纲领，这些都是抽象群产生的主要源泉。
然而抽象群的公理系统直到1882年凯莱与韦伯（Weber，H.）在Math.Annalen的同一期分别给出有限群的公理定义，1893年韦伯又给出无限抽象群的定义。
由于李（Lie，M.S.）对连续群和弗罗贝尼乌斯（Frobenius，F.G.）对群表示的系统研究，对群论发展产生了深刻的影响。
同时，李在研究偏微分方程组解的分类时引入李代数的概念，然而，它的发展却是19世纪末和20世纪初，由基灵（Killing，W.K.J.）、外尔（Weyl，（C.H.）H.）和嘉当（Cartan）等人的卓越工作才建立了系统理论。
域这个名词虽是戴德金较早引入的，但域的公理系统却是迪克森（Dickson，L.E.）与亨廷顿（Huntington，E.V.）于19世纪初才独立给出。
而域的系统发展是从1910年，施泰尼茨（Steinitz，E.）的著名论文“域的代数理论”开始的。
同期，布尔（Boole，G.）研究人的思维规律，于1854年出版《思维规律的研究》，建立了逻辑代数，即布尔代数。
但格论是在1933～1938年，经伯克霍夫（Birkhoff，G.D.）、坎托罗维奇（Канторович.П.В.）、奥尔（Ore，O.）等人的工作才确立了在代数学中的地位。
另一方面，1843年，哈密顿（Hamilton，W.R.）引进四元数并奠定了矢量代数和矢量分析的基础，而四元数系又构成实数域上有限维可除代数。
凯莱与西尔维斯特（Sylvester，J.J.）一起建立了代数型的理论，奠定了代数不变量的矩阵理论。
凯莱又是矩阵代数的创始人，他建立了八元数与非结合代数，同时，克利福德（Clifford，W.K.）将八元数（复四元数）及外代数推广到一般克利福德代数，并将其成功地应用于非欧几里得空间中运动的研究。
19世纪和20世纪之交，库默尔（Kummer，E.E.）引入对代数数论有重要影响的理想数概念，他于1844年指出整环未必有惟一分解性质。
戴德金将库默尔理想数推广并引出现代理想的概念，建立了代数数域的理论和代数整数环上理想的惟一分解定理。
特别是1894年，嘉当（Cartan ，E.J.）关于复单李代数的完全分类以及1907年，韦德伯恩（Wedderburn，J.H.M.）发展了嘉当关于实数域和复数域上线性结合代数的结构定理，从而创立了一般域上结合代数的结构定理，极大地发展了近世代数的理论。
在此期间，群以及与其紧密相关的不变量概念在分析、几何、力学和理论物理中都发挥了重大影响，而这些学科的发展反过来又促进了代数的发展。
如诺特（Noether，M.）研究代数簇在双有理变换下的不变性质和关于曲面的著名定理，便导致多项式环理想理论的建立。
因此，深入研究代数的相关概念，以及从各种具体对象抽象出共同特性来进行公理化的研究，就导致近世代数的进一步演变，促进了相对独立的学科，如群、域、线性代数、代数数论、环论等向纵深和综合两方面发展.德国代数学派在这方面起了领导作用，戴德金、希尔伯特（Hilbert，D.）和韦伯以及施泰尼茨等对代数学抽象公理化的研究有很大贡献，其中突出的成就是布饶尔（Brauer，R.（D.））、哈塞（Hasse，H.）、诺特（Noether，A.E.）、阿尔贝特（Albert，A.A.）关于有限维结合代数的理论，它阐明了有理数域上单代数都是其中心F上的循环代数。
特别是诺特于1920年引入左（右）模的概念，并研究了模在有限群表示论中的作用，以及模与代数结构理论之间的联系，使模成为数学的重要工具，从而又推动了环论的发展。
1921年，她写的“整环的理想理论”建立了交换诺特环理论，证明了准素分解定理，成为交换代数的里程碑。
1926年，她又给出戴德金环的公理刻画，因此，诺特是近世代数的奠基人之一。
她和阿廷（Artin，E.）以及他们的学生（包括中国数学家曾炯之）为中心，在20世纪20—30年代，对域论、类域论、代数的理想理论到阿廷环的推广取得辉煌成就。
其中，阿廷在1927年将代数结构定理推广到极小条件环上，就是著名的韦德伯恩-阿廷定理，成为环论发展的一个新里程碑；同时，克鲁尔（Krull，W.）创立了局部环的理想理论，范•德•瓦尔登（Van der Waerden，B.L.）等人发展并简化了单纯代数的结构和环的理想理论.20世纪30年代初，范•德•瓦尔登的《近世代数学》综合总结了从伽罗瓦起100年来近世代数各方面的工作，是近世代数的一个里程碑。
由于近世代数的理论和方法已渗透到数学的各个学科和其他领域（如理论物理、晶体学），这就反过来推动近世代数在深度和广度上更加迅速发展，范•德•瓦尔登的书只能是现代数学工作者的基础了。
近世代数的各分支学科之间，以及与其他学科之间的相互渗透，不仅促进这些学科的进一步发展，也促进了新学科的形成。
比如，同期，范•德•瓦尔登与扎里斯基（Zariski，O.）首先将交换代数的方法引进代数几何；在20世纪40年代，韦伊（Weil，A.）又用近世代数的方法建立了一般域上代数几何的理论.又如，域上多重线性代数的概念和理论推广到交换环上形成环上多重线性代数。
从20世纪40年代初开始，近世代数进入一个新的阶段。
1945年，雅各布森（Jacobson，N.）引入根及本原环的理论，成为环论发展的新阶段。
另一方面，作为线性代数推广的模论得到进一步发展并产生深刻影响。
在20世纪20—30年代出现了以生成元及其定义关系所定义的无限群，经霍尔（Hall，P.）、马尔采夫（Мальцев，А.И.）等人的精彩工作，到20世纪40年代已形成独立体系。
1962年，费特（Feit，W.）与汤普森（Thompson，J.G.）关于奇数阶群必为可解群的定理，是对有限单群分类的重大突破。
从伽罗瓦引入置换群，其后证明An（n≥5）是单群到1981年有限单群分类的完全解决，经历了约150年之久。
同期，李代数也得到深入发展，不仅推广到一般域，而且无限维李代数从20世纪60年代崛起，作为复单李代数推广的卡茨-穆迪代数就是卡茨（Kac，V.）与穆迪（Moody，R.）于1968年彼此独立建立的。
它与理论物理有密切关系。
而李群的深入发展派生出代数群，即群是代数闭域上仿射簇。
代数群及其表示理论与多重线性代数、交换环论、代数几何、李代数等都有十分密切的联系，近年来已成为近世代数的活跃分支。
在近世代数中同态和同构起主要作用，它不考虑代数系的特殊结构，而是用统一方法去研究，这种作为各代数结构的比较性研究，首先是把群论、环论和格论中一些共同的概念和平行的结果推广到代数系上去，这就产生了泛代数，20世纪30年代末提出的伯克霍夫定理，是它独立发展的起点。
泛代数（不限于二元运算）是以各种不同的代数系之间的共性为主要研究对象的学科，它对模型论、自动机理论和程序语言的语义学都有应用。
将同一种代数以及它们之间的同态映射合起来考虑，就会发现这与数学其他分支研究的对象以及对象间的联系（如拓扑空间及连续映射，集合及映射，环及同态等）有许多本质上的共性.1945年，由艾仑伯格（Eilenberg，S.）、麦克莱恩（Maclane，S.）通过研究对偶空间的自然变换建立的范畴论，正好讨论了这些共性。
范畴是比集合更高层次的公共语言，这种语言和它的理论已渗透到代数几何（由格罗腾迪克（Grothendieck，A.）和迪厄多内（Dieudonné，J.）于1960年引入）和代数的以及数学的许多分支（如戈德门特（Godement，R.），埃雷斯曼（Ehresmann，C.）于1958年分别引入拓扑学和微分几何），并在其中起着重要作用。
由美国和欧洲数学家在20世纪40年代，几乎同时彼此独立发展起来同调代数，它是以代数拓扑为背景，以模为主要研究对象的学科，通过两类重要的函子与Hom及由它们导出的函子Tor，Ext得出刻画环的许多深刻结果.由于代数拓扑中赫维茨（Hurewicz，W.）问题的解决，导致1945年艾伦伯格和麦克莱恩定义了群的（系数在任意域上）上同调群.同时，赫希施尔德（Hochschild，G.）引进了结合代数的上同调群，谢瓦莱（Chevalley，C.）等人又发展了李代数的上同调群。
同调代数在数论、群论、代数拓扑、代数几何中都有重要作用。
当考虑李群或者作为它的推广的H空间的同调以及上同调时，就得到霍普夫代数.它的研究是由霍普夫（Hopf，H.）于1941年开始的，博雷尔（Borel，A.）于1953年推广其基本结构定理。
霍普夫代数的理论是代数拓扑的常用工具，它在物理学中的模型是量子群。
20世纪60年代起蓬勃发展的代数K理论，它同拓扑K理论一样是源于格罗腾迪克于1957年的广义黎曼-罗赫定理的工作。
人们企图推广线性代数中某些部分如维数理论到环的模上而发展成为由环范畴到阿贝尔范畴的一系列函子，代数K理论就是研究这些函子（如K0，K1，K2，…等）的理论，它不仅对刻画环的性质起重要作用，而且在代数几何等其他学科中也有着值得重视的作用。
用模、范畴、同调代数的语言和理论来刻画和研究环，从而使环论的发展推向更新的阶段。
20世纪50年代，塞尔（Serre，J.P.）把代数簇理论建立在层的概念上，并建立了凝聚层的上同调，这为格罗腾迪克建立概型理论奠定了基础，从而使代数几何的研究进入一个新阶段。
概型理论也为代数数论提供了新的理论和方法。
代数几何与数学许多分支密切相关，互相促进。
如代数几何中的超越方法与偏微分方程、微分方程、微分几何、拓扑学紧密相关，代数几何在控制论与现代粒子物理中也有广泛应用。