02009抽象代数_2
抽象代数——精选推荐

抽象代数⼀、课程⽬的与教学基本要求本课程是在学⽣已学习⼤学⼀年级“⼏何与代数”必修课的基础上,进⼀步学习群、环、域三个基本的抽象的代数结构。
要求学⽣牢固掌握关于这三种抽象的代数结构的基本事实、结果、例⼦。
对这三种代数结构在别的相关学科,如数论、物理学等的应⽤有⼀般了解。
⼆、课程内容第1章准备知识(Things Familiar and Less Familiar)10课时复习集合论、集合间映射及数学归纳法知识,通过学习集合间映射为继续学习群论打基础。
1、⼏个注记(A Few Preliminary Remarks)2、集论(Set Theory)3、映射(Mappings)4、A(S)(The Set of 1-1 Mappings of S onto Itself)5、整数(The Integers)6、数学归纳法(Mathematical Induction)7、复数(Complex Numbers)第2章群(Groups) 22课时建⽴关于群、⼦群、商群及直积的基本概念及基本性质;通过实例帮助建⽴抽象概念,掌握群同态定理及其应⽤;了解有限阿贝尔群的结构。
1、群的定义和例⼦(Definitions and Examples of Groups)2、⼀些简单注记(Some Simple Remarks)3、⼦群(Subgroups)4、拉格朗⽇定理(Lagrange’s Theorem)5、同态与正规⼦群(Homomorphisms and Normal Subgroups)6、商群(Factor Groups)7、同态定理(The Homomorphism Theorems)8、柯西定理(Cauchy’s Theorem)9、直积(Direct Products)10、有限阿贝尔群(Finite Abelian Groups) (选讲)11、共轭与西罗定理(Conjugacy and Sylow’s Theorem)(选讲)第3章对称群(The Symmetric Group) 8课时掌握对称群的结构定理,了解单群的概念及例⼦。
抽象代数第二章

阿贝尔
加罗华
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(2)Hamilton四元数的发现 (2)Hamilton四元数的发现
长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法, 长期以来人们对于虚数的意义存在不同的看法,后来发 现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi,其中i 现可以把复数看成二元数(a,b)=a+bi,其中i2= -1。二元数按 (a,b)±(c,d)=(a±c,b±d),(a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd)的法则进 a,b) c,d)=(a c,b± a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd) 行代数运算,二元数具有直观的几何意义; 行代数运算,二元数具有直观的几何意义;与平面上的点一 一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。 一对应。这是数学家高斯提出的复数几何理论。二元数理论 产生的一个直接问题是:是否存在三元数?经过长时间探索, 产生的一个直接问题是:是否存在三元数?经过长时间探索, 力图寻求三元数的努力失败了。 力图寻求三元数的努力失败了。但是爱尔兰数学家 W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数 W.Hamilton(1805-1865)于1843年成功地发现了四元数。四 年成功地发现了四元数。 元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算, 元数系与实数系、复数系一样可以作加减乘除四则运算,但 与以前的数系相比,四元数是一个乘法不交换的数系。 与以前的数系相比,四元数是一个乘法不交换的数系。从这 点来说四元数的发现使人们对于数系的代数性质的认识提高 了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点, 了一大步。四元数代数也成为抽象代数研究的一个新的起点, 它是近世代数的另一个重要理论来源。 它是近世代数的另一个重要理论来源。
四川省高等教育自学考试2016年4月(16·1次)

09:00-11:3014:30-17:0009:00-11:3000147 人力资源管理(一)00018 计算机应用基础00182 公共关系学00163 管理心理学00107 现代管理学00277 行政管理学00292 市政学00341 公文写作与处理03350 社会研究方法12656 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论03706 思想道德修养与法律基础00051 管理系统中计算机应用00054 管理学原理00070 政府与事业单位会计00053 对外经济管理概论04184 线性代数(经管类)00078 银行会计学00058 市场营销学04183 概率论与数理统计(经管类)00067 财务管理学00068 外国财政00139 西方经济学03708 中国近现代史纲要00051 管理系统中计算机应用00054 管理学原理00078 银行会计学00053 对外经济管理概论00061 国家税收04183 概率论与数理统计(经管类)00058 市场营销学00076 国际金融00067 财务管理学00150 金融理论与实务00068 外国财政04184 线性代数(经管类)03708 中国近现代史纲要00051 管理系统中计算机应用00045 企业经济统计学00102 世界市场行情00097 外贸英语写作00149 国际贸易理论与实务04183 概率论与数理统计(经管类)00100 国际运输与保险04184 线性代数(经管类)07750 国际投资学03708 中国近现代史纲要05844 国际商务英语00042 社会经济统计学原理00054 管理学原理00153 质量管理(一)00051 管理系统中计算机应用00061 国家税收00154 企业管理咨询00067 财务管理学00149 国际贸易理论与实务04183 概率论与数理统计(经管类)00151 企业经营战略00150 金融理论与实务03708 中国近现代史纲要04184 线性代数(经管类)00042 社会经济统计学原理00061 国家税收00159 高级财务会计00051 管理系统中计算机应用00149 国际贸易理论与实务00160 审计学备注:1.代码以A开头的为自考专科,B.D开头的为本科。
抽象代数等价关系习题答案

抽象代数等价关系习题答案抽象代数等价关系习题答案抽象代数是数学中的一个重要分支,研究的是代数结构的一般性质和规律。
在抽象代数中,等价关系是一个基本概念,它描述了两个元素之间的相等性。
在本文中,我将为大家提供一些抽象代数中等价关系习题的答案,希望能对大家的学习有所帮助。
1. 设A是一个非空集合,R是A上的一个等价关系。
证明:对于任意的a ∈ A,[a] = A。
解答:根据等价关系的定义,[a]是由所有与a等价的元素组成的集合。
而等价关系具有自反性,即对于任意的元素a,a与自身等价。
因此,a ∈ [a],即a属于[a]中的元素。
又因为R是等价关系,所以对于任意的b ∈ A,若a与b等价,则b与a也等价。
因此,[a]中的任意元素与a都等价,即[a]包含了A中的所有元素。
综上所述,[a] = A。
2. 设A是一个非空集合,R是A上的一个等价关系。
证明:对于任意的a, b ∈ A,若a与b等价,则[a] = [b]。
解答:假设a与b等价,即(a, b) ∈ R。
根据等价关系的定义,对于任意的c ∈ [a],都有(c, a) ∈ R。
由于(a, b) ∈ R,根据等价关系的传递性,对于任意的c ∈ [a],都有(c, b) ∈ R。
因此,[a]的任意元素与b都等价,即[b] ⊆ [a]。
同理可证,[a] ⊆ [b]。
综上所述,[a] = [b]。
3. 设A是一个非空集合,R是A上的一个等价关系。
证明:对于任意的a, b ∈ A,若[a] ∩ [b] ≠ ∅,则[a] = [b]。
解答:假设[a] ∩ [b] ≠ ∅,即存在一个元素c,使得c ∈ [a] 且c ∈ [b]。
根据等价关系的定义,对于任意的d ∈ [a],都有(d, a) ∈ R。
由于c ∈ [a],根据等价关系的传递性,对于任意的d ∈ [a],都有(d, c) ∈ R。
同理可证,对于任意的d ∈ [b],都有(d, c) ∈ R。
因此,[a]和[b]中的任意元素与c都等价,即[a] ⊆[b] 且 [b] ⊆ [a]。
抽象代数第二册教学设计

抽象代数第二册教学设计一、背景介绍抽象代数是数学中的一个基本分支,也是现代数学的一个重要组成部分。
抽象代数作为一门高度抽象的数学课程,其教学难度较大,需要对学生的数学分析、数学思维水平有一定的要求。
在抽象代数第一册的教学中,学生接触了基本的代数结构和相关定理,并掌握了代数基本分组结构、同构等概念。
在第二册教学中,将继续深入学习代数中的基本概念、原理、定理和应用。
二、教学目标1.系统掌握群的基本定义、定理和操作方法;2.熟悉群的同态映射和同态基本定理;3.熟悉环的基本定义、定理和操作方法;4.掌握欧几里得整环、唯一分解环、多项式环等环的应用;5.能够通过运用抽象代数原理和方法解决一些数学问题。
三、教学内容和方法1. 群的基本概念和性质1.1 群的定义群是一个数学结构,由一个集合和其上的一个二元运算组成,满足四个基本关系:封闭性、结合律、单位元和逆元。
在群的基础上,我们将学习群的同构、群的结构定理、Sylow定理等知识。
1.2 群操作方法我们要通过具体的例子和题目,掌握群的操作方法,包括:1.群的乘法口诀、幂与逆元的运算方法;2.子群和循环群的定义和操作方法;3.群的生成元和阶的概念以及应用方法。
2. 环的基本概念和性质2.1 环的定义在第一册中,我们已经接触了一些环的基本知识。
在本节中,我们将通过大量的例子和练习来深入学习环的定义、性质、环同态和环理想等概念的内容。
2.2 环的应用我们将着重研究欧几里得整环、唯一分解环、多项式环等应用。
通过这些环的实际问题和计算,来加深我们对环的应用的理解和掌握。
3. 抽象代数的应用我们将通过抽象代数的知识,实际运用到一些数学问题上。
例如:1.应用群的同构和Sylow定理推导FS_p的公式;2.用环的应用解决关于元素交错和时间调度的问题;3.应用容斥原理和Pascal定理计算一些数学问题。
四、教材与评价1. 教材•《抽象代数(第二版)》(美)丹尼尔·A.松本, Edward J.基弗奇著,邱明等译,高教出版社。
【大学数学】重新理解系列之三:抽象代数

【大学数学】重新理解系列之三:抽象代数我学过一学期的抽象代数,但感觉啥都没学到,对那些定义、定理没啥理解,完全就是考验记忆能力,但是下面的几篇文章居然勾起了哥学习抽象代数的欲望,对现代数学三大支柱一直的抽象代数感兴趣的同学可以慢慢看看,其实学习一门数学课时先读读这方面的科普文章,对整体把握和学习效果有非常大的提升。
文章列表:1. 初学者应该如何学习抽象代数2. 漫谈抽象代数(非常好)3. 抽象代数不抽象4. 抽象代数的人间烟火5. 抽象代数学习方法6. 近世代数概论前言7. 近世代数学习方法(之后的几篇文章还没来得及看)8. 群论问题与物理问题(和众多牛人的讨论总结)9. 近世代数基础课件(感觉很不错)10. 近世代数发展简史11. 近世代数的应用12. 抽象代数学习报告初学者应该如何学习抽象代数曾经看到一些抽象代数(近世代数)的初学者有这样的疑问:我们为什么要研究像群这样的抽象结构呢?有人解释说这是刻画对称性,也有人解释说是现代数学的一种语言,有点道理却又语焉不详。
【为什么学抽象代数?多么实际而迫切的问题,但学了也没能回答这个问题。
既然抽象代数研究的是结构,那么就对应数学物理工程医学中的实际的结构,如化学中物质结构、网络结构等等,我觉得都是可以用上去的,这都是一下想到的,没有详细去考证。
】为什么要研究群呢?提出这类问题的人困惑的并不是群的本质,而是需要一个合理的过渡,我觉得从具体的代数到抽象代数之间的过渡可以类比于从算术到普通代数的过渡。
记得我第一次遇到代数时感到很奇怪,为什么一眼就能看出答案的问题,非要设个未知量x来解方程。
直到后来发现几个x可以抵消,我才算领会了方程的方便,再后来遇到二次的情形就非要列方程不可了。
如果说方程中字母x代表某个数的话,那么群中的字母g又代表什么呢?它不仅代表处在某个地位上的数,更是代表一个特殊的位置,这样的位置是与整个群的结构相互联系的。
比如在三阶循环群中,两个生成元尽管作为数是不同的,但它们在群的地位却是一致的。
02009抽象代数

高纲0926江苏省高等教育自学考试大纲02009抽象代数江苏教育学院编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一、课程性质、目的和要求抽象代数即近世代数是现代数学的一个重要分支,是研究多种代数结构的一门学科。
它是现代科学各个分支的基础,而且随着科学技术的不断进步,特别是计算机的发展与推广,近世代数的思想、理论与方法的应用越来越广泛。
它的思想方法已经渗透到数学的多个分支,它的结果已应用到众多学科领域,它的内容对中学代数教学有指导意义。
本课程是师范院校数学专业学生的必修课,也是教师本科自考的必考课程。
近世代数的内容丰富,在本科阶段不可能全部掌握,根据所选教材,要求考生在学习本课程中,掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法,使学生拓宽眼界,扩大知识领域,提高抽象思维能力和逻辑推理能力,提高数学修养与技巧,以便能深入理解中学代数的内容和方法,为进一步学习其它学科创造条件。
课程内容包括:基本概念;群;环;整环里的因子分解。
二、课程内容与考核要求第一章基本概念本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础,也是学习本课程各个代数体系的必备知识。
其主要内容有1.集合的概念与运算2.映射的定义与几种特殊映射的性质3.卡氏积与代数运算4.等价关系与集合的分类考试要求:掌握集合的概念与运算,掌握集合的交、并、集合A的幂集A2的定义及表示,熟练掌握习题7、8的结论;了解映射的定义与几种特殊映射的性质,掌握映射的合成,熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论;掌握代数运算的定义与判定方法, 熟练掌握习题2;掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质,能够由等价关系得出集合分类,并能正确给出商集,熟练掌握习题5、6。
第二章群群是具有一种代数运算的代数体系,即具有一个代数运算的集合,它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。
其主要内容有1.半群的定义及性质2.群的定义及等价条件3.元素阶的定义及性质4.循环群的定义及结构5.子群及判定条件6.变换群7.群的同态与同构、Cayley定理8.子群的陪集、Lagrange定理9.正规子群与商群、正规子群的等价条件10.同态基本定理与同构定理考试要求:掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论;掌握群的定义及性质,如定理2.5、定理2.6及推论;熟练掌握群的一些重要例子,如例1、例3、例4、例7,熟练掌握习题2、3、6、9;掌握元素阶的定义及相关重要性质,如定理2.8、定理2.9、定理2.10,熟练掌握例1、例2;熟练掌握循环群的定义、构造及性质,如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2, 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9;熟练掌握子群的定义及性质,如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5;掌握变换群的概念及有关结论,熟练掌握n次对称群、循环置换的概念及性质,特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质,如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4;掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30,会求同态象与同态核,掌握习题1、2;掌握子群陪集的概念及性质,熟练掌握Lagrange 定理及及其推论1、推论2、例5、例6,熟练掌握习题2、3、4、5;掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40, 能够正确判定子群与正规子群, 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6,正确掌握商群的概念及性质(推论);掌握并正确使用同态基本定理,熟练掌握复习题二中的第2、4题。
《抽象代数》课程大纲(草稿-细节待完善)

《抽象代数》课程大纲(草稿-细节待完善)一、课程简介课程名称:抽象代数学时/学分:68/4先修课程:线性代数(E)面向对象:致远学院本科生(计算机班)教学目标:本课程是为致远学院(计算机班)开设的系列代数课程的第二部分。
通过整个课程的学习使学生掌握近世代数学(又叫抽象代数)的基本理论、思想与方法,使学生的计算能力和抽象思维能力得到系统的训练和提高,为将来进一步学习其它专业课程和将来的应用奠定坚实的代数基础。
在教学过程中特别强调结合具体的例子来理解近世代数学的数学思想和思维方法,注意介绍最新的科研成果以开阔同学的视野。
主要内容:群(子群、群同态及基本定理、 Sylow定理、群作用及其应用),环(环同态、理想、商环、 多项式环与矩阵环),域(素子域,域的扩张, 可裂域与有限域)二、教学内容第一章 预备知识主要内容:等价关系、等价类、商集合与满映射; 数论中的整除与同余:Euler定理与Fermat小定理重点与难点:商集合与满映射的一一对应性第二章群与对称性主要内容:群的定义以及重要例子(循环群、二面体群与其他旋转群);子群与旁集(Coset): Lagrange定理,计数公式(1);正规子群与商群;群同态基本定理重点与难点:群同态基本定理;商群第三章群作用主要内容:群作用与群方程;各种具体的群作用(共轭作用;Cayley定理;抽象群作用);Burnside引理及其应用;Sylow定理及其应用重点与难点:群作用;轨道个数的计数公式(即群方程)第四章环主要内容:子环与理想、商环;多项式环及其商环;模n的剩余类环;PID与欧氏整环;整环中的素元与不可约元;UFD重点与难点:理想与商环;环的特征;分解问题第五章域主要内容:素域与域扩张; 单扩域;代数扩域:定义及例子;分裂域、正规扩域; 有限域:重点是分裂域和有限域重点与难点:域扩张;分裂域三、教学进度安排第一章.预备知识(6课时)1.1.等价关系、等价类、商集合与满映射(4学时)1.2.初等数论中的整除与同余:Euler定理与Fermat小定理(2学时)习题课(2学时)第二章. 群与对称性(20学时)2.1.群的定义以及重要例子(循环群、二面体群与其他旋转群;置换群) (4学时)2.2.子群与旁集(Coset): Lagrange定理,计数公式(1);由子集生成的子群;群的表达式(generators and relations)(6学时)2.3.正规子群与商群: 定义;重要例子;Cauchy引理(作为商群的应用)(4学时)2.4. 群同态基本定理以及第一第二同构定理; (2学时)2.5. 自同构与内自同构(2学时)2.6. 群的内、外直积(2学时)习题课(2学时)第三章. 群作用(共10学时)3.1抽象群作用: 轨道; 稳定化子; 计数公式(2)(2学时)3.2 群方程;各种具体的群作用(共轭作用;Cayley定理;抽象群作用)(3学时)3.3 Burnside引理及其应用(2学时)3.4 Sylow定理及其应用(3学时)习题课(2学时)第四章.环(16学时)4.1 定义(均有单位元且为结合环)以及重要例子(矩阵环,多项式环,形式幂级数环, 整数剩余类环) (2学时)4.2子环与理想: 重点是理想; 理想的生成问题;(2学时)4.3商环与环同态:同态基本定理及其应用(4学时)4.4 素理想与整环;最大理想与域 (2学时)4.5 多项式环及其商环的表达(与多项式带余除法的联系)(2学时)4.6. PID与欧氏环(2学时)4.7. 整环中的不可约元与素元;UFD理论介绍(2学时)习题课(2学时)第五章. 域(共12学时)5.1素域与域扩张: 强调与线性代数的联系(2学时)5.2单扩域;代数扩域: 强调与多项式环商环构造的联系(4学时)5.3 分裂域与正规扩域(2学时)5.4有限域(4)习题课(2学时)第六章. 偏序集、格与Bool代数(共4学时)6.1 偏序集与格 (2学时)6.2 Bool代数(2学时)习题课-总复习(2学时)四、课程考核及说明(1) 20%为平时成绩20%为大作业(小论文)60%为考试成绩(2)总课时(68学时)之外安排大约12学时习题课,由助教唱主角;另有若干次答疑(一般放在第8周后的周六或者周日进行)。
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高纲0926江苏省高等教育自学考试大纲02009抽象代数江苏教育学院编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一、课程性质、目的和要求抽象代数即近世代数是现代数学的一个重要分支,是研究多种代数结构的一门学科。
它是现代科学各个分支的基础,而且随着科学技术的不断进步,特别是计算机的发展与推广,近世代数的思想、理论与方法的应用越来越广泛。
它的思想方法已经渗透到数学的多个分支,它的结果已应用到众多学科领域,它的内容对中学代数教学有指导意义。
本课程是师范院校数学专业学生的必修课,也是教师本科自考的必考课程。
近世代数的内容丰富,在本科阶段不可能全部掌握,根据所选教材,要求考生在学习本课程中,掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法,使学生拓宽眼界,扩大知识领域,提高抽象思维能力和逻辑推理能力,提高数学修养与技巧,以便能深入理解中学代数的内容和方法,为进一步学习其它学科创造条件。
课程内容包括:基本概念;群;环;整环里的因子分解。
二、课程内容与考核要求第一章基本概念本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础,也是学习本课程各个代数体系的必备知识。
其主要内容有1.集合的概念与运算2.映射的定义与几种特殊映射的性质3.卡氏积与代数运算4.等价关系与集合的分类考试要求:掌握集合的概念与运算,掌握集合的交、并、集合A的幂集A2的定义及表示,熟练掌握习题7、8的结论;了解映射的定义与几种特殊映射的性质,掌握映射的合成,熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论;掌握代数运算的定义与判定方法, 熟练掌握习题2;掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质,能够由等价关系得出集合分类,并能正确给出商集,熟练掌握习题5、6。
第二章群群是具有一种代数运算的代数体系,即具有一个代数运算的集合,它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。
其主要内容有1.半群的定义及性质2.群的定义及等价条件3.元素阶的定义及性质4.循环群的定义及结构5.子群及判定条件6.变换群7.群的同态与同构、Cayley定理8.子群的陪集、Lagrange定理9.正规子群与商群、正规子群的等价条件10.同态基本定理与同构定理考试要求:掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论;掌握群的定义及性质,如定理2.5、定理2.6及推论;熟练掌握群的一些重要例子,如例1、例3、例4、例7,熟练掌握习题2、3、6、9;掌握元素阶的定义及相关重要性质,如定理2.8、定理2.9、定理2.10,熟练掌握例1、例2;熟练掌握循环群的定义、构造及性质,如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2, 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9;熟练掌握子群的定义及性质,如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5;掌握变换群的概念及有关结论,熟练掌握n次对称群、循环置换的概念及性质,特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质,如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4;掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley 定理及定理2.28、定理2.30,会求同态象与同态核,掌握习题1、2;掌握子群陪集的概念及性质,熟练掌握Lagrange 定理及及其推论1、推论2、例5、例6,熟练掌握习题2、3、4、5;掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40, 能够正确判定子群与正规子群, 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6,正确掌握商群的概念及性质(推论);掌握并正确使用同态基本定理,熟练掌握复习题二中的第2、4题。
第三章环环是具有两中代数运算的代数体系,它也是近世代数中的一个重要分支。
其主要内容有1. 环的定义;整环、除环、域的定义及性质2. 子环及判定条件3.环的同态与同构4.理想与商环5.素理想与极大理想6. 商域7.多项式环8.扩域9.有限域考试要求:熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题:定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。
熟练掌握几个重要环的例子,如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10,掌握环的单位元、零因子的定义及性质,熟练掌握习题5、9、10、11;掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6,掌握例1、例4、例6,需要注意:子环S与环R在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系,但是并不一定一致;掌握环的同态与同构的定义及相关性质(定理3.10、定理3.11),会求同态象与同态核,需要注意:当R与'R满同态时,R与'R在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系,但是并不完全一致;熟练掌握习题2、3;掌握理想与商环的概念及相关命题(定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18);熟练掌握主理想的构造(推论1),熟练掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7;正确应用同态基本定理及同构定理; 掌握素理想与极大理想的定义、判定方法及相关命题(定理3.22、定理3.23及推论),熟练掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3;了解商域及多项式环的构造;了解域的研究方法,掌握代数元的极小多项式的性质及求法,掌握有限扩域的概念及定理3.35。
第四章整环里的因子分解在整数环Z 中,每个不等于1±的非零整数都能分解成有限个素数的乘积,而且除了因数次序和1±的因数差别外,分解是惟一的。
同样,在数域P 上的一元多项式环][x P 中,每个次数1≥的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积,而且除了因子次序和零次因式的差别外,分解是惟一的。
在这一章里,我们将对一般的整环讨论元素分解的理论,给出整环中因子分解惟一性定理成立的一些条件,并介绍几种惟一分解定理成立的整环。
其主要内容有1. 不可约元、素元、最大公因子2. 惟一分解环3. 主理想环4. 欧氏环5. 惟一分解环上的一元多项式环6. 因子分解与多项式的根考试要求:掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质,熟练掌握例1、例2及习题2、3、4;掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质,熟练掌握例1及习题1;熟练掌握主理想环的概念及主理想环的例子,如:整数环Z 、域F 上的一元多项式环][x F ,知道整数环Z 上的一元多项式环][x Z 不是主理想环,掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5;熟练掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子,如:整数环Z 、高斯(Gauss)整数环][i Z 、域F 、域F 上的一元多项式环][x F ,掌握定理4.17、定理4.18;掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环;了解因式分解与多项式的根的概念及其性质,掌握例子及习题1、2、3。
三、 有关说明(一)教材:自学教材:1、《近世代数》,朱平天主编,科学出版社,2001年版;2、《抽象代数基础》,李克正主编,清华大学出版社,2007年。
教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材,教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。
本课程考试命题以大纲为依据。
其他参考书目:《近世代数基础》,张禾瑞编,人民教育出版社, 1984年版。
(二)自学方法的指导本课程作为一门专业课程,内容抽象,综合性强,自学者在自学过程中应该注意以下几点:1.本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基础上,系统地学习群、环、域的基础知识。
因此,自学前,要注意知识的积累与衔接。
应仔细阅读课程考试大纲,了解课程的性质、地位和要求,熟悉掌握课程的基本内容,使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。
2.所配教材是自学的主要依据,自学时应结合教材及课程考试大纲和参考书目,熟练掌握基本概念和方法的同时,能结合具体例子进行练习和运用,以达到本课程的要求。
(三)对社会助学的要求1.应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章节的知识点。
2.对考生进行辅导时,主要以指定的教材为主,同时以考试大纲为依据,关注补充参考书目,注重提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力,增强数学修养与技巧,提高解决问题的能力。
(四)关于命题和考试的若干规定1.本大纲各章节所提到的考核要求中,各条细目都是考试的内容,试题覆盖到各章节,适当突出重点章节,加大重点内容的覆盖密度。
2.试题难度结构合理,记忆、理解、综合性试题比例大致为4:4:2。
3.本课程考试试卷可能采用的题型有:填空题、判断改错题、计算简答题、证明题(见附件题型示例)。
4.考试方式为闭卷笔试,考试时间为150分钟,评分采用百分制,60分为及格。
附录 题型举例一、填空题例 设)(a G =是12阶循环群,则G 的生成元集合为 },,,{1175a a a a .二、判断改错题(若不正确请改正或说明理由)例 设A Q =,,a b A ∈,则22a b a =+ 是Q 上的代数运算. ( ⨯)理由: 22a b a =+ 对于Q 不封闭. 三、计算简答题例 找出整数环Z 的所有素理想和极大理想.解: 整数环Z 的所有素理想有:)()(,},0{是素数p p Z (3分)由于整数环Z 是有单位元的交换环,所以它的极大理想都是素理想,因此,整数环Z 的所有极大理想有:))((是素数p p . (2分)四、证明题例 在整数环Z 上的一元多项式环][x Z 中,证明:),2(x 不是主理想.证明:因为一元多项式环][x Z 是有单位元的交换环,所以]}[)(,)(:)()(2{),2(2121x Z x f x f x xf x f x ∈+= ]}[)(:)(2{0x Z x f x xf a ∈+=即 ),2(x 是由][x Z 中常数项为偶数的多项式所组成. (2分) 若),2(x 是主理想,则存在][)(x Z x p ∈,使 ))((),2(x p x =于是 ))((2x p ∈, ))((x p x ∈.即 )()(2x q x p =, )()(x h x p x =, ][)(),(x Z x h x q ∈因此,由,得 ))((2x p ∈Z a x p ∈=)(. (4分) 再由)()()(x ah x h x p x ==,得1±=a . 于是),2()(1x x p ∈=±矛盾. 因此, ),2(x 不是主理想. (2分)。